Centrul de greutate al plăcii plane: pe scurt

Centrul de greutate al unei plăci plane omogene este punctul în care placa stă în echilibru sprijinită pe un vârf; poziția lui depinde numai de forma plăcii, nu de material. Pentru placa de sub graficul funcției continue și pozitive $f$ pe $[a,b]$, coordonatele lui $G$ sunt $x_G=\frac{1}{\mathcal{S}}{\int }_a^{b}xf(x)dx$ și $y_G=\frac{1}{2\mathcal{S}}{\int }_a^b{f}^2(x)dx$, unde $\mathcal{S}$ este aria plăcii — de aceea aria se calculează prima, fiind la numitorul ambelor coordonate. Formulele se dau, cu intuiția „media ponderată a pozițiilor”, și se verifică pe figurile din gimnaziu: dreptunghiul dă centrul geometric, triunghiul dă $\frac{h}{3}$. Factorul $\frac{1}{2}$ de la $y_G$ nu este decorativ — vine din faptul că fiecare fâșie verticală își are centrul la jumătatea înălțimii ei; fără el, pe dreptunghi ar ieși $h$ în loc de $\frac{h}{2}$. La numărătorul lui $x_G$ puterea lui $x$ este $1$: se ponderează poziția $x$ cu masa $f(x)\Delta x$. Pentru placa dintre $g\le f$, numărătorii devin ${\int }_a^{b}x(f-g)$ și $\frac{1}{2}{\int }_a^b(f^2-g^2)$, iar numitorul ${\int }_a^b(f-g)$. Propoziția simetriei: dacă $f$ este pară pe un interval simetric, atunci $x_G=0$ — dar nu și $y_G$, care rămâne strict pozitiv.

Exerciții din această mini-lecție

1. Centrul de greutate al plăcii de sub graficul funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$, este:

   • a) $G(1,5;3)$
   • b) $G(2;4)$
   • c) $G(2;2)$
   • d) $G(1,5;1,5)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $G(2;2)$

   Aria este $\mathcal{S}={\int }_0^{3}2xdx=9$, deci $x_G=\frac{1}{9}{\int }_0^{3}2x^{2}dx=2$ și $y_G=\frac{1}{18}{\int }_0^{3}4x^{2}dx=2$. Control de gimnaziu: placa este triunghiul cu vârfurile $(0,0)$, $(3,0)$, $(3,6)$, al cărui centru de greutate este $\left(\frac{0+3+3}{3};\frac{0+0+6}{3}\right)=(2;2)$. Varianta $G(2;4)$ apare dacă se uită factorul $\frac{1}{2}$ de la $y_G$.

2. Factorul $\frac{1}{2}$ din formula lui $y_G$:

   • a) este o convenție de normare
   • b) vine din faptul că fiecare fâșie verticală își are centrul la jumătatea înălțimii
   • c) provine din aria triunghiului
   • d) apare doar când $f$ este liniară
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) vine din faptul că fiecare fâșie verticală își are centrul la jumătatea înălțimii

   Placa se taie în fâșii verticale de înălțime $f(x)$; centrul unei fâșii se află la înălțimea $\frac{f(x)}{2}$, iar ponderarea acestei înălțimi cu masa fâșiei produce $\frac{1}{2\mathcal{S}}\int f^2$. Verificarea: pe un dreptunghi de înălțime $h$ trebuie să iasă $\frac{h}{2}$; fără factor ar ieși $h$, adică marginea de sus a plăcii.

3. Placa de sub graficul funcției $f(x)=4-x^2$ pe $[-2,2]$ este simetrică față de axa $Oy$. Rezultă că:

   • a) $G$ este originea
   • b) $y_G=0$
   • c) $x_G=y_G=0$
   • d) $x_G=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $x_G=0$

   Simetria față de o axă anulează coordonata perpendiculară pe acea axă: față de $Oy$ se anulează $x_G$. Cum placa stă deasupra axei $Ox$, coordonata $y_G$ este strict pozitivă, deci celelalte trei variante sunt false. Rezultatul se demonstrează cu teorema integralei funcțiilor impare: $xf(x)$ este impară pe un interval simetric.