Clase de resturi; adunarea: pe scurt

Clasa de resturi $\hat{a}$ modulo $n$ este mulțimea $\hat{a}=\{a+kn\mid k\in \mathbb{Z}\}$, adică mulțimea întregilor care dau același rest ca $a$ la împărțirea cu $n$; numărul $a$ este un reprezentant. Restul din teorema împărțirii cu rest este mereu nenegativ și mai mic decât $n$: din $-7=3\cdot (-3)+2$ rezultă $-7\in \hat{2}$, nu în clasa lui $-1$.

Criteriul de egalitate: $\hat{a}=\hat{b}⟺n\mid (a-b)$. Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n=\{\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{n-1}\}$ are exact $n$ elemente, iar cele $n$ clase sunt disjuncte și acoperă tot $\mathbb{Z}$ — o mulțime infinită strânsă, fără pierdere de informație, în $n$ elemente.

Adunarea se definește prin $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$, iar buna definire se demonstrează: din $n\mid (a-a_1)$ și $n\mid (b-b_1)$ rezultă $n\mid [(a+b)-(a_1+b_1)]$. Grija nu e formală — „$\hat{a}\ast \hat{b}=\widehat{\max (a,b)}$” nu este bine definită.

Toate proprietățile coboară de la $\mathbb{Z}$: adunarea claselor este asociativă și comutativă, are elementul neutru $\hat{0}$, iar fiecare clasă are opusul $-\hat{a}=\widehat{n-a}$. Ecuațiile de gradul întâi se rezolvă adunând opusul; când necunoscuta apare de mai multe ori, se verifică toate cele $n$ clase, iar răspunsul poate fi „nicio soluție”.

Exerciții din această mini-lecție

1. În ${\mathbb{Z}}_6$, clasa numărului $-23$ este:

   • a) $\hat{5}$
   • b) $\hat{1}$
   • c) $\hat{3}$
   • d) $\hat{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\hat{1}$

   Scriem împărțirea completă: $-23=6\cdot (-4)+1$, cu restul $1$, care respectă condiția $0\le r<6$. Deci $-23\in \hat{1}$. Varianta $\hat{5}$ vine din calculul făcut pe $23=6\cdot 3+5$, cu semnul uitat; scrierea $-23=6\cdot (-3)-5$ dă un „rest” negativ, care nu este permis de teorema împărțirii cu rest.

2. Opusul clasei $\hat{5}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$ este:

   • a) $\hat{6}$
   • b) $\hat{0}$
   • c) $\hat{5}$
   • d) $\hat{1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\hat{6}$

   Opusul se calculează cu formula $-\hat{a}=\widehat{n-a}$, deci $-\hat{5}=\widehat{11-5}=\hat{6}$; verificare: $\hat{5}+\hat{6}=\widehat{11}=\hat{0}$. Varianta $\hat{5}$ ar însemna că fiecare clasă este propriul opus, ceea ce se întâmplă doar pentru $\hat{0}$ și, când $n$ este par, pentru clasa lui $\frac{n}{2}$. Varianta $\hat{0}$ confundă opusul cu elementul neutru.

3. De ce trebuie demonstrată buna definire a adunării claselor?

   • a) pentru că adunarea claselor nu este comutativă
   • b) pentru că ${\mathbb{Z}}_n$ este o mulțime finită
   • c) pentru că rezultatul ar putea depinde de reprezentanții aleși
   • d) pentru că $\hat{0}$ ar putea să nu fie element neutru
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) pentru că rezultatul ar putea depinde de reprezentanții aleși

   Definiția $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$ trece prin reprezentanți, iar o clasă are infinit de mulți reprezentanți; dacă rezultatul ar depinde de alegere, operația nu ar fi funcție. Că grija e reală o arată „operația” $\hat{a}\ast \hat{b}=\widehat{\max (a,b)}$: în ${\mathbb{Z}}_5$, reprezentanții $1$ și $2$ dau $\hat{2}$, iar $6$ și $2$ dau $\hat{6}=\hat{1}$.