Cel mai mare divizor comun al polinoamelor: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Cel mai mare divizor comun a două polinoame nenule din $K[X]$ este polinomul monic care le divide pe amândouă și care se divide cu orice alt divizor comun al lor; se notează $\mathrm{cmmdc}(f,g)$. Cerința de a fi monic asigură unicitatea: orice divizor comun înmulțit cu o constantă nenulă rămâne divizor comun. Instrumentul de calcul este algoritmul lui Euclid, sprijinit pe lema $f=gq+r\Rightarrow \mathrm{cmmdc}(f,g)=\mathrm{cmmdc}(g,r)$: perechea $(f,g)$ se înlocuiește pas cu pas cu $(g,r)$, algoritmul se oprește la primul rest nul, iar răspunsul este ultimul rest nenul, făcut monic. Fiecare împărțire se verifică înmulțind înapoi, $f=gq+r$. Fracțiile apărute pe drum nu sunt o eroare — într-un corp împărțirea cu orice element nenul este permisă — și dispar la normalizarea finală. Două polinoame cu $\mathrm{cmmdc}(f,g)=1$ se numesc prime între ele. Rădăcinile comune ale lui $f$ și $g$ sunt exact rădăcinile lui $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ în corpul de lucru: un divizor comun de grad cel puțin $1$ nu garantează o rădăcină comună, cum arată $X^2+1$ peste $\mathbb{R}$. Algoritmul funcționează identic peste ${\mathbb{Z}}_p$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea lui $\mathrm{cmmdc}\left(X^3-4X,X^2-4X+4\right)$ este:

   • a) $(X-2{)}^2$
   • b) $X-2$
   • c) $X(X-2)$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $X-2$

   Descompunem: $X^3-4X=X(X-2)(X+2)$, iar $X^2-4X+4=(X-2{)}^2$. Singurul factor comun este $X-2$, luat la puterea cea mai mică, deci $\mathrm{cmmdc}=X-2$, deja monic. Varianta $(X-2{)}^2$ ar cere ca $X^3-4X$ să aibă pe $2$ ca rădăcină dublă, ceea ce nu se întâmplă; varianta $X(X-2)$ adaugă un factor care nu divide al doilea polinom.

2. Într-un algoritm al lui Euclid, ultimul rest nenul obținut este $-2X^2+6X-4$. Atunci $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ este:

   • a) $-2X^2+6X-4$
   • b) $2X^2-6X+4$
   • c) $X^2-3X+2$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $X^2-3X+2$

   Cel mai mare divizor comun se cere monic, deci ultimul rest nenul se înmulțește cu inversul coeficientului dominant: $\frac{1}{-2}\left(-2X^2+6X-4\right)=X^2-3X+2$. Un rezultat nemonic este considerat greșit la Bacalaureat M1. Varianta $0$ vine din confuzia clasică: algoritmul se oprește când restul este zero, dar răspunsul este restul dinaintea lui.

3. Polinoamele $f=X^2+4$ și $g=X^3+4X$ din $\mathbb{R}[X]$ au $\mathrm{cmmdc}(f,g)=X^2+4$. Câte rădăcini comune reale au ele?

   • a) $1$
   • b) $2$
   • c) $3$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $0$

   Rădăcinile comune sunt rădăcinile celui mai mare divizor comun în corpul de lucru. Aici $\mathrm{cmmdc}(f,g)=X^2+4$, care nu are nicio rădăcină reală, fiindcă $x^2+4\ge 4$ pentru orice $x$ real. Un divizor comun de grad cel puțin $1$ nu garantează deci o rădăcină comună: afirmația este adevărată doar dacă acel divizor are rădăcini în corp.