Clase inversabile și ecuații: pe scurt

Legea fiind scrisă multiplicativ, elementul simetrizabil se numește inversabil, iar simetricul se numește invers și se notează ${\hat{a}}^{-1}$. Clasa $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_n$ este inversabilă dacă există $\hat{b}$ cu $\hat{a}\cdot \hat{b}=\hat{1}$; inversul, când există, este unic, iar comutativitatea scutește de a doua verificare.

Teorema centrală: $\hat{a}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_n$ dacă și numai dacă $(a,n)=1$. Deci $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )=\{\hat{a}\mid 0\le a<n,(a,n)=1\}$. Când $p$ este prim, toate cele $p-1$ clase nenule sunt inversabile; clasa $\hat{0}$ nu este inversabilă niciodată. Demonstrația arată mai mult: dacă $(a,n)=1$, produsele $\hat{a}\cdot \hat{x}$ parcurg toate clasele, fiecare exact o dată.

Inversul se calculează fără tablă: cauți primul număr de forma $1+kn$ divizibil cu $a$, apoi împarți. În ${\mathbb{Z}}_{15}$, $91=7\cdot 13$ dă ${\hat{7}}^{-1}=\widehat{13}$.

Ecuația $\hat{a}\cdot \hat{x}=\hat{b}$ se rezolvă după $d=(a,n)$: dacă $d=1$, se înmulțește cu ${\hat{a}}^{-1}$ și soluția este unică; dacă $d>1$, se verifică cele $n$ clase, ecuația are soluții numai când $d\mid b$, iar atunci are exact $d$ soluții. „Împărțirea la $\hat{a}$” nu există.

Exerciții din această mini-lecție

1. Clasa $\hat{a}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_n$ dacă și numai dacă:

   • a) $\hat{a}\ne \hat{0}$
   • b) $a$ este număr prim
   • c) $(a,n)=1$
   • d) $n$ este număr prim
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(a,n)=1$

   Aceasta este teorema centrală a lecției. Varianta a este adevărată numai în ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim: în ${\mathbb{Z}}_{12}$, clasa $\hat{4}$ este nenulă, dar $(4,12)=4\ne 1$, deci nu este inversabilă. Nici b, nici d nu sunt necesare: $\hat{9}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{20}$, deși nici $9$, nici $20$ nu sunt prime.

2. Mulțimea $U({\mathbb{Z}}_{14},\cdot )$ are:

   • a) $6$ elemente
   • b) $7$ elemente
   • c) $13$ elemente
   • d) $14$ elemente
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $6$ elemente

   Numărăm clasele al căror reprezentant este prim cu $14=2\cdot 7$: eliminăm numerele pare și pe $7$, rămân $1,3,5,9,11,13$, adică $6$ clase. Varianta $13$ ar fi corectă doar dacă $14$ ar fi prim, iar $14$ ar include și clasa $\hat{0}$, care nu este inversabilă în niciun ${\mathbb{Z}}_n$.

3. În ${\mathbb{Z}}_{12}$, ecuația $\hat{8}\cdot \hat{x}=\hat{4}$:

   • a) nu are soluții
   • b) are exact o soluție
   • c) are exact $8$ soluții
   • d) are exact $4$ soluții
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) are exact $4$ soluții

   Avem $d=(8,12)=4$ și $4\mid 4$, deci ecuația are soluții, iar numărul lor este exact $d=4$. Verificând clasele, găsim $\hat{2},\hat{5},\hat{8},\widehat{11}$. Varianta b este capcana „ecuație de gradul întâi, o soluție”, valabilă numai când coeficientul este inversabil; varianta a ar fi corectă pentru $\hat{8}\cdot \hat{x}=\hat{3}$, unde $4\nmid 3$.