Împărțirea polinoamelor peste un corp: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Teorema împărțirii cu rest în $K[X]$ garantează, pentru $K$ corp comutativ și $g\ne 0$, existența și unicitatea câtului $q$ și a restului $r$ cu $f=gq+r$ și $r=0$ sau $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$. Ipoteza „$K$ este corp” intră exact într-un loc: la fiecare pas se înmulțește cu inversul coeficientului dominant al împărțitorului. De aceea, peste un inel oarecare, împărțirea reușește doar când acel coeficient este inversabil — în particular când împărțitorul este monic. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ împărțirea se face la fel, cu toate calculele reduse modulo $p$; la un împărțitor nemonic, ca $\hat{2}X+\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_5[X]$, se determină întâi inversul lui $\hat{2}$ și se folosește la fiecare rundă. Teorema restului spune că restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este constanta $f(a)$, iar schema lui Horner dă simultan câtul și restul. Teorema lui Bézout transformă orice divizibilitate cu un factor de gradul întâi într-o ecuație: $X-a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$. De aici rezultă că un polinom nenul de grad $n$ peste un corp are cel mult $n$ rădăcini distincte — enunț care cade dacă modulul nu este prim.

Exerciții din această mini-lecție

1. În ${\mathbb{Z}}_7[X]$, restul împărțirii polinomului $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{4}X+\hat{6}$ la $X+\hat{3}$ este:

   • a) $\hat{0}$
   • b) $\hat{3}$
   • c) $\hat{1}$
   • d) $\hat{6}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\hat{6}$

   Rescriem întâi împărțitorul sub forma $X-a$: în ${\mathbb{Z}}_7$ avem $X+\hat{3}=X-\hat{4}$, deci se evaluează în $\hat{4}$. Calculăm reducând la fiecare pas: ${\hat{4}}^3=\widehat{64}=\hat{1}$, $\hat{2}\cdot {\hat{4}}^2=\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$, $\hat{4}\cdot \hat{4}=\hat{2}$, plus $\hat{6}$. Suma este $\hat{1}+\hat{4}+\hat{2}+\hat{6}=\widehat{13}=\hat{6}$. Varianta $\hat{0}$ este exact rezultatul evaluării greșite în $\hat{3}$.

2. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$ se împarte un polinom la $\hat{2}X+\hat{1}$. La fiecare rundă a algoritmului se înmulțește cu:

   • a) $\hat{2}$
   • b) $\hat{3}$
   • c) $\hat{4}$
   • d) nu se poate împărți, fiindcă împărțitorul nu este monic
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\hat{3}$

   Nu se „împarte la $2$”: se înmulțește cu inversul coeficientului dominant. În ${\mathbb{Z}}_5$, $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{1}$, deci ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$. Determină inversul o singură dată, scrie-l deoparte și folosește-l la fiecare rundă. Împărțirea este posibilă tocmai pentru că ${\mathbb{Z}}_5$ este corp: orice clasă nenulă are invers.

3. Un polinom nenul de gradul al treilea din ${\mathbb{Z}}_5[X]$ poate avea, în ${\mathbb{Z}}_5$, cel mult:

   • a) $5$ rădăcini distincte
   • b) $4$ rădăcini distincte
   • c) $3$ rădăcini distincte
   • d) oricâte rădăcini distincte
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $3$ rădăcini distincte

   Peste un corp, un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte; aici $n=3$. Demonstrația folosește teorema lui Bézout și faptul că un corp nu are divizori ai lui zero: fiecare rădăcină scoate un factor $X-a$, iar gradul nu are de unde să crească. Enunțul cade dacă modulul nu este prim — în ${\mathbb{Z}}_8$, polinomul $X^2-\hat{1}$ are patru rădăcini.