Integrale definite din funcții raționale: pe scurt

Cele patru etape ale integralei raționale: controlul intervalului, împărțirea, descompunerea, evaluarea. Prima etapă se scrie, nu se subînțelege: numitorul nu are voie să se anuleze în niciun punct al intervalului de integrare. Scrierea ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$ nu are sens, iar „rezultatul” $-2$ contrazice pozitivitatea integrandului.

A doua etapă: când gradul numărătorului este mai mare sau egal cu al numitorului, se face întâi împărțirea cu rest; descompunerea în fracții simple aplicată direct dă un sistem incompatibil. A treia etapă: un factor liniar dă logaritm, un factor liniar la putere dă o putere negativă, iar un trinom cu discriminant negativ dă arctangentă, eventual însoțită de un logaritm.

Când numărătorul este exact derivata numitorului, integrala este direct $\ln |u|$ evaluat între limite, fără nicio descompunere. Modulul se pune la factorii care își pot schimba semnul și se omite la trinoamele strict pozitive.

O integrală este reductibilă la o funcție rațională dacă o substituție de tipul $t=e^x$, $t=\ln x$, $t=\sin x$, $t=\cos x$ sau $x=t^2$ o transformă într-una rațională — cu limitele schimbate odată cu variabila. La final, rezultatul se controlează prin semn, prin ordin de mărime și prin încadrare.

Exerciții din această mini-lecție

1. ${\int }_0^1\frac{dx}{(x+1)(x+2)}$ este egală cu:

   • a) $\ln \frac{4}{3}$
   • b) $\ln \frac{3}{4}$
   • c) $\ln 6$
   • d) $\frac{1}{\ln 6}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\ln \frac{4}{3}$

   Descompunerea este $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$, deci integrala este $\ln \frac{x+1}{x+2}{|}_0^1=\ln \frac{2}{3}-\ln \frac{1}{2}=\ln \frac{4}{3}\approx 0,288$. Varianta $\ln \frac{3}{4}$ are semnul răsturnat, iar valoarea trebuie să fie pozitivă, integrandul fiind pozitiv.

2. ${\int }_0^1\frac{x^2}{x+1}dx$ este egală cu:

   • a) $\ln 2$
   • b) $\ln 2+\frac{1}{2}$
   • c) $\frac{1}{2}-\ln 2$
   • d) $\ln 2-\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\ln 2-\frac{1}{2}$

   Gradul numărătorului nu este mai mic decât al numitorului, deci întâi împărțirea: $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$. Atunci integrala este $\left(\frac{x^2}{2}-x+\ln (x+1)\right){|}_0^1=\frac{1}{2}-1+\ln 2=\ln 2-\frac{1}{2}\approx 0,193$.

3. ${\int }_0^2\frac{dx}{x^2+4}$ este egală cu:

   • a) $\frac{\pi }{4}$
   • b) $\frac{\pi }{8}$
   • c) $\frac{\ln 2}{2}$
   • d) $\frac{\pi }{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{\pi }{8}$

   Trinomul are discriminant negativ, deci rezultatul conține arctangentă: $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}{|}_0^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}$. Varianta $\frac{\ln 2}{2}$ apare când se confundă cu integrala surori ${\int }_0^2\frac{xdx}{x^2+4}$, în care numărătorul este derivata numitorului.