Formula de integrare prin părți pentru integrala definită este:

$$\displaystyle\int_a^b fg{}' = fg\Big\vert_{a}^{b} - \displaystyle\int_a^b f{}'g$$

$$\displaystyle\int_a^b fg{}' = \displaystyle\int_a^b f \cdot \displaystyle\int_a^b g{}'$$

$$\displaystyle\int_a^b fg{}' = fg - \displaystyle\int_a^b f{}'g$$

$$\displaystyle\int_a^b fg{}' = fg\Big\vert_{a}^{b} + \displaystyle\int_a^b f{}'g$$

La $$\displaystyle\int_1^{e} x^{2}\ln x\,dx$$, regula descreșterii cere să derivezi:

niciunul: se face schimbare de variabilă

Acasă · Învață ușor · clasa a XII-a · Integrarea prin părți la integrala definită

Integrarea prin părți la integrala definită: pe scurt

Pentru $f$ și $g$ derivabile, cu derivate continue pe $[a, b]$ , formula de integrare prin părți este $\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x)_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$ . Ea se obține în trei rânduri, din derivata produsului și din formula Leibniz–Newton. Termenul din capete este un număr, $f (b) g (b) - f (a) g (a)$ ; scrierea lui fără bara cu limite pune o funcție în locul unui număr.

Alegerea factorilor se face cu regula descreșterii: derivezi ce se simplifică — polinomul, logaritmul, arctangenta — și integrezi ce nu se complică — exponențiala, sinusul, cosinusul, puterile. Dacă după prima aplicare integrala rămasă arată mai rău decât cea inițială, alegerea a fost greșită și se reia cu rolurile schimbate.

Patru familii cer metoda: polinom înmulțit cu exponențială sau cu funcție trigonometrică; funcția singură, cu $g^{'} (x) = 1$ (cazul lui $ln x$ și al lui $arctg x$ ); polinom înmulțit cu logaritm; integralele care „se întorc”, de tipul $\int_{a}^{b} e^{x} sin x d x$ , unde după două aplicări consecvente se obține o ecuație de gradul întâi în necunoscuta $I$ .

La un polinom de gradul al doilea formula se aplică de două ori, calculând termenul din capete imediat ce a fost scris. Constanta $C$ nu apare nicăieri: rezultatul este un număr.

Exerciții din această mini-lecție

Formula de integrare prin părți pentru integrala definită este:
- a) $\int_{a}^{b} f g^{'} = \int_{a}^{b} f \cdot \int_{a}^{b} g^{'}$
- b) $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g - \int_{a}^{b} f^{'} g$
- c) $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g_{a}^{b} + \int_{a}^{b} f^{'} g$
- d) $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g$

Termenul din capete se evaluează între limite, iar integrala rămasă intră cu semnul minus. Varianta b) lasă o funcție acolo unde trebuie să fie un număr, varianta c) pierde semnul din derivata produsului, iar varianta a) inventează o regulă a produsului care nu există.
La $\int_{1}^{e} x^{2} ln x d x$ , regula descreșterii cere să derivezi:
- a) $x^{2}$
- b) $ln x$
- c) ambii factori, pe rând
- d) niciunul: se face schimbare de variabilă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $ln x$

Logaritmul se simplifică prin derivare, devenind $\frac{1}{x}$ , în timp ce $x^{2}$ se integrează fără să se complice, devenind $\frac{x ^{3}}{3}$ . Alegerea inversă ar cere primitiva lui $ln x$ și ar lăsa o integrală mai grea decât cea de la care ai pornit.
$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$ este egală cu:
- a) $1 - \frac{2}{e}$
- b) $\frac{2}{e} - 1$
- c) $1 - \frac{1}{e}$
- d) $2 - \frac{2}{e}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1 - \frac{2}{e}$

Cu $f (x) = x$ și $g^{'} (x) = e^{- x}$ , deci $g (x) = - e^{- x}$ : integrala este $- x e^{- x}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x = - \frac{1}{e} + (1 - \frac{1}{e}) = 1 - \frac{2}{e} \approx 0, 264$ . Varianta b) are semnul răsturnat, o urmare a minusului pierdut din $g$ .

Integrarea prin părți la integrala definită: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu