Nedeterminările reduse la L'Hopital: pe scurt

Regulile lui L'Hôpital vorbesc doar două limbi, $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$, dar lista canonică are șapte poziții: $$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0.$$ Celelalte cinci se traduc, după rețete fixe.

$0\cdot \infty$: răstorni unul dintre factori, $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$ sau $\frac{g}{1/f}$. Alegi varianta care simplifică: coboară jos puterea lui $x$ și lasă sus logaritmul sau exponențiala. La $x\ln x$, coborârea logaritmului duce la $-x{\ln }^{2}x$ — mai greu decât originalul.

$\infty -\infty$: aduci la același numitor, iar la radicali amplifici cu conjugata; adesea nici nu mai e nevoie de derivate.

$1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$: logaritmezi, $f^g=e^{g\ln f}$, calculezi limita exponentului (mereu un caz $0\cdot \infty$) și revii la exponențială. Dacă $g\ln f\to \lambda$, răspunsul este $e^{\lambda }$, nu $\lambda$ — este pierderea de punctaj cea mai frecventă la această temă.

Două avertismente: după logaritmare, verifică dacă exponentul nu e o limită fundamentală mascată (atunci o folosești pe ea, nu regula); iar dacă derivarea nu simplifică deloc expresia, ai intrat într-o buclă și ieșirea este algebrică.

Exerciții din această mini-lecție

1. Nedeterminarea $0\cdot \infty$ se rezolvă:

   • a) aplicând direct regula lui L'Hôpital produsului
   • b) prin logaritmare
   • c) transformând produsul în fracție, $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$ sau $\frac{g}{1/f}$
   • d) prin amplificare cu conjugata
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) transformând produsul în fracție, $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$ sau $\frac{g}{1/f}$

   Enunțul regulii vorbește despre un raport, deci produsul trebuie mai întâi transformat în fracție. Logaritmarea este rețeta cazurilor cu exponent, iar conjugata, cea a diferențelor cu radicali. Alegi varianta de răsturnare care duce la derivate mai simple.

2. La un caz $1^{\infty }$ se logaritmează și se obține $\lim g(x)\ln f(x)=3$. Limita cerută este:

   • a) $3$
   • b) $\ln 3$
   • c) $e$
   • d) $e^3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $e^3$

   Expresia inițială este $f^g=e^{g\ln f}$, iar limita calculată este a exponentului. Prin continuitatea exponențialei, limita cerută este $e^3$. Uitarea acestui pas transformă un calcul corect într-un răspuns greșit, iar baremul îl punctează separat.

3. Valoarea limitei $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}$ este:

   • a) $+\infty$
   • b) $0$
   • c) $1$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $0$

   Caz $0\cdot \infty$. Scriem $x^2{e}^{-x}=\frac{x^2}{e^x}$, caz $\frac{\infty }{\infty }$, cu $g^{\prime }(x)=e^x\ne 0$. Două aplicări succesive dau $\lim \frac{2x}{e^x}$, apoi $\lim \frac{2}{e^x}=0$. Este ierarhia infiniților: exponențiala învinge orice putere.