Nedeterminările 0/0 și ∞/∞ la funcții raționale: pe scurt

Nedeterminarea $\frac{0}{0}$ apare într-un punct finit $x_0$, când $x_0$ e rădăcină comună a numărătorului și a numitorului; $\frac{\infty }{\infty }$ apare la $\pm \infty$. Prima întrebare este mereu: se anulează amândouă, sau numai numitorul?

Pentru $\frac{0}{0}$: din teorema lui Bézout, factorul $x-x_0$ se găsește la ambele polinoame, deci se descompune și se simplifică. Simplificarea e legitimă pentru că se lucrează cu $x\ne x_0$, iar limita nu depinde de valoarea funcției în $x_0$ (caracterul local); justificarea „pentru $x\ne x_0$ avem …” se scrie. Uneltele: formulele $x^2-a^2$ și $x^3-a^3$, rădăcinile trinomului, schema lui Horner. După fiecare simplificare reverifici: dacă a rămas $\frac{0}{0}$, continui; dacă numitorul se anulează, iar numărătorul nu, treci la limite laterale.

Pentru $\frac{\infty }{\infty }$: împarți la puterea dominantă a numitorului, ca acesta să ajungă la o limită finită nenulă. Cu $p$ și $q$ gradele: dacă $p=q$, limita e $\frac{a_p}{b_q}$; dacă $p<q$, e $0$; dacă $p>q$, e infinită. La $-\infty$ decide paritatea lui $p-q$ — greșeala numărul unu a lecției este să copiezi acolo rezultatul de la $+\infty$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x^2-4}$.

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $-\frac{3}{4}$
   • c) $0$
   • d) $\frac{3}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{3}{4}$

   Tip $\frac{0}{0}$. Descompunem: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ și $x^2-4=(x+2)(x-2)$. Pentru $x\ne -2$ simplificăm cu $x+2$ și obținem $\frac{x-1}{x-2}\to \frac{-3}{-2-2}=\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}$. Varianta b) pierde semnul de la numitor.

2. Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x^3-x}{2x^2+7}$.

   • a) $-\infty$
   • b) $+\infty$
   • c) $2$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-\infty$

   Gradele sunt $p=3$ și $q=2$, deci rămâne factorul $x^{p-q}=x$, înmulțit cu o fracție care tinde la $\frac{4}{2}=2$. Cum $x\to -\infty$, produsul tinde la $-\infty$. Diferența $p-q=1$ fiind impară, rezultatul este opus celui de la $+\infty$ (unde limita ar fi $+\infty$) — exact capcana de semn a lecției.

3. Studiați existența limitei funcției $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+3{)}^2}$ în punctul $-3$.

   • a) limita există și este $-\infty$
   • b) limita nu există, deoarece $l_s(-3)=+\infty$ și $l_d(-3)=-\infty$
   • c) limita nu există, deoarece $l_s(-3)=-\infty$ și $l_d(-3)=+\infty$
   • d) limita există și este $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) limita nu există, deoarece $l_s(-3)=+\infty$ și $l_d(-3)=-\infty$

   Tip $\frac{0}{0}$; simplificăm o dată: $f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3{)}^2}=\frac{x-3}{x+3}$ pentru $x\ne -3$. Numărătorul are limita $-6<0$, iar numitorul se anulează în continuare: la stânga lui $-3$ el este $0^{-}$, deci $\frac{-6}{0^{-}}=+\infty$; la dreapta este $0^{+}$, deci $-\infty$. Fiind diferite, limita nu există.