Nedeterminări: 0 ori infinit, 0 supra 0, 1 la infinit: pe scurt

$0\cdot \infty$ nu este un caz nou. A împărți înseamnă a înmulți cu inversul, deci $a_n{b}_n=\frac{a_n}{1/b_n}$ (tip $\frac{0}{0}$) sau $\frac{b_n}{1/a_n}$ (tip $\frac{\infty }{\infty }$): alegi forma în care expresia se scrie mai simplu. Cel mai des e de ajuns să înmulțești efectiv fracțiile. Când factorul care tinde la $0$ este o diferență, îl prelucrezi întâi — numitor comun la fracții, conjugata la radicali.

$\frac{0}{0}$ apare la șiruri când sus și jos stau puteri negative ale lui $n$. Tehnica este oglinda celei de la $\frac{\infty }{\infty }$: forțezi puterea cea mai mică a lui $\frac{1}{n}$, adică termenul care se stinge cel mai încet, deci cel care domină. Simplificarea e permisă fiindcă $\frac{1}{n}\ne 0$. Verificare: după simplificare, numitorul trebuie să aibă limită finită și nenulă.

$1^{\infty }$: mai întâi verifică baza. La ${\left(a_n\right)}^{b_n}$ cu $b_n\to +\infty$, limita bazei decide: $a>1$ dă $+\infty$, $0<a<1$ dă $0$, și doar $a=1$ este nedeterminare. Cazul cere ambele condiții — la ${\left(1+\frac{3}{n}\right)}^4$ exponentul e constant, deci limita este $1$. Nedeterminarea autentică se rezolvă cu instrumentul construit odată cu numărul $e$; până atunci, o recunoști și o numești.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$ este:

   • a) $2$
   • b) $0$
   • c) $1$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2$

   Paranteza tinde la $0$, iar $n^2\to +\infty$: tip $0\cdot \infty$. Aducem paranteza la același numitor: $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{2}{n(n+2)}$. Atunci expresia devine $\frac{2n^2}{n^2+2n}$, raport de polinoame de grade egale, cu limita $2$. Control: pentru $n=1000$ valoarea este $1,996$.

2. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{4n+1}{n+2}\right)}^n$ este:

   • a) $1$
   • b) $4$
   • c) $0$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $+\infty$

   Primul pas este limita bazei: $\frac{4n+1}{n+2}\to 4>1$, deci nu avem nicio nedeterminare, ci rândul $a^{+\infty }=+\infty$ din tabel. Expresia doar seamănă cu $1^{\infty }$, fiindcă baza este un raport de polinoame de același grad și exponentul crește. Control: pentru $n=20$ valoarea depășește $2\cdot 10^{11}$.

3. La limita $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}$ se scoate factor forțat:

   • a) $\frac{1}{n^2}$, puterea cea mai mare
   • b) $\frac{1}{n}$, puterea cea mai mică
   • c) $n^2$, la numărător
   • d) nimic, expresia nu se poate simplifica
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{1}{n}$, puterea cea mai mică

   La exponent negativ ierarhia se răstoarnă: $\frac{1}{n}$ domină pe $\frac{1}{n^2}$, fiindcă se stinge mai încet. Forțând $\frac{1}{n}$ sus și jos și simplificând (permis, căci $\frac{1}{n}\ne 0$), rămâne $\frac{5+\frac{2}{n}}{1-\frac{3}{n}}\to 5$. Alegerea puterii celei mai mari ar lăsa o expresie tot nedeterminată.