Permutări: definiție și compunere: pe scurt

La clasa a 11-a, o permutare de grad $n$ nu mai este o așezare, ca la combinatorică, ci o funcție bijectivă $\sigma :\{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,n\}$. Mulțimea tuturor acestor funcții se notează $S_n$ și are $\mathrm{card}{S}_n=n!$ elemente — același număr ca $P_n$, semn că cele două priviri descriu același obiect.

Se scrie pe două rânduri: sus argumentele în ordine crescătoare, jos imaginile lor. Tabloul este valabil doar dacă linia de jos conține fiecare număr de la $1$ la $n$ exact o dată. Atenție, tabloul acesta nu este o matrice: nu se adună, nu se înmulțește cu un scalar și nu are determinant.

Singura operație de care avem nevoie este compunerea, cu ordinea fixată o dată pentru totdeauna: $(\sigma \circ \tau )(k)=\sigma (\tau (k))$, adică întâi $\tau$, apoi $\sigma$; se citește de la dreapta la stânga. Compunerea nu este comutativă, deci în general $\sigma \circ \tau \ne \tau \circ \sigma$.

Permutarea identică $e$ lasă totul pe loc și joacă rolul lui $1$ de la înmulțire: $\sigma \circ e=e\circ \sigma =\sigma$. Fiind bijectivă, orice permutare are o inversă ${\sigma }^{-1}$, obținută schimbând cele două linii și reordonând apoi coloanele; ea verifică $\sigma \circ {\sigma }^{-1}={\sigma }^{-1}\circ \sigma =e$, iar la un produs ordinea se răstoarnă: $(\sigma \circ \tau {)}^{-1}={\tau }^{-1}\circ {\sigma }^{-1}$.

De aici ies ecuațiile din subiectele de Bacalaureat M1: din $\sigma \circ x=\tau$ obții $x={\sigma }^{-1}\circ \tau$, iar din $x\circ \sigma =\tau$ obții $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}$ — două rezultate, de regulă, diferite. Tot acest instrumentar servește la definiția determinantului de ordin $n$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră permutările $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 2& 1\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 1& 4\end{array}\right)$ din $S_4$. Cât este $\sigma \circ \tau$?

   • a) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 4& 3& 2\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 2& 3& 1\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 1& 4& 2\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 2& 3& 1\end{array}\right)$

   Se aplică întâi $\tau$, apoi $\sigma$: $(\sigma \circ \tau )(1)=\sigma (2)=4$, $(\sigma \circ \tau )(2)=\sigma (3)=2$, $(\sigma \circ \tau )(3)=\sigma (1)=3$, $(\sigma \circ \tau )(4)=\sigma (4)=1$. Varianta a) este $\tau \circ \sigma$, adică rezultatul obținut dacă citești compunerea de la stânga la dreapta — greșeala numărul unu la acest tip de exercițiu.

2. Câte permutări $\sigma \in S_5$ au proprietatea $\sigma (2)=5$?

   • a) $5$
   • b) $120$
   • c) $4$
   • d) $24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $24$

   Valoarea lui $\sigma (2)$ fiind fixată, rămân de repartizat numerele $1,2,3,4$ pe pozițiile $1,3,4,5$, în orice ordine: $4!=24$ posibilități. Varianta b) este $\mathrm{card}{S}_5=5!=120$, adică numărul tuturor permutărilor, fără nicio condiție.

3. Care este inversa permutării $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 1& 2\end{array}\right)$?

   • a) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 2& 1\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 1& 2\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 3& 4\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 2& 1\end{array}\right)$

   Din $\sigma (3)=1$ rezultă ${\sigma }^{-1}(1)=3$; din $\sigma (4)=2$, ${\sigma }^{-1}(2)=4$; din $\sigma (2)=3$, ${\sigma }^{-1}(3)=2$; din $\sigma (1)=4$, ${\sigma }^{-1}(4)=1$. Varianta b) este $\sigma$ însăși (ea nu este propria inversă), iar varianta d) este $\sigma \circ \sigma$. Controlul obligatoriu: $\sigma \circ {\sigma }^{-1}=e$.