Primitive cu arctangentă și arcsinus: pe scurt

Rândurile 11–16 completează tabelul, cu parametrul $a>0$. Ele se sprijină pe derivatele funcțiilor trigonometrice inverse, deduse din identitățile care le definesc: din $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x)=x$ se obține $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$, iar din $\sin (\arcsin x)=x$ se obține $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Cele șase rânduri noi sunt: $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\mathcal{C}$; $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$; $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+\mathcal{C}$; $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\mathcal{C}$; $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+\mathcal{C}$; plus primitivele lui $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$.

Semnalul care decide este radicalul de la numitor: fără radical se ajunge la arctangentă sau la logaritm de raport, cu radical la logaritm de sumă sau la arcsinus. Atenție la factorul $\frac{1}{a}$: el apare în fața arctangentei, dar nu în fața arcsinusului, unde derivarea interiorului îl produce singură. Rândul 13 se scrie fără modul, pentru că $x+\sqrt{x^2+a^2}>0$ oricare ar fi $x$. Răspunsul complet conține și intervalul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$, $\int \frac{dx}{x^2+100}$ este egală cu:

   • a) $\frac{1}{10}\mathrm{arctg}\frac{x}{10}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{1}{10}\arcsin \frac{x}{10}+\mathcal{C}$
   • c) $\ln \left(x^2+100\right)+\mathcal{C}$
   • d) $\mathrm{arctg}\frac{x}{10}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{1}{10}\mathrm{arctg}\frac{x}{10}+\mathcal{C}$

   Este rândul 12 cu $a=10$: $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$. Factorul $\frac{1}{10}$ este obligatoriu, altfel derivarea ar da $\frac{10}{x^2+100}$. Arcsinusul cere radical la numitor, iar logaritmul ar cere derivata numitorului la numărător.

2. Pe intervalul $(-8,8)$, $\int \frac{dx}{\sqrt{64-x^2}}$ este egală cu:

   • a) $\frac{1}{8}\arcsin \frac{x}{8}+\mathcal{C}$
   • b) $\arcsin \frac{x}{8}+\mathcal{C}$
   • c) $\ln \left(x+\sqrt{64-x^2}\right)+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{1}{8}\mathrm{arctg}\frac{x}{8}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\arcsin \frac{x}{8}+\mathcal{C}$

   Este rândul 15 cu $a=8$, iar acolo nu apare factorul $\frac{1}{a}$: ${\left(\arcsin \frac{x}{8}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{64}}}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{\sqrt{64-x^2}}$, pentru că radicalul consumă chiar acel $\frac{1}{8}$.

3. Pe $\mathbb{R}$, $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+36}}$ este egală cu:

   • a) $\ln \left|x+\sqrt{x^2+36}\right|+\mathcal{C}$
   • b) $\arcsin \frac{x}{6}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{1}{6}\mathrm{arctg}\frac{x}{6}+\mathcal{C}$
   • d) $\ln \left(x+\sqrt{x^2+36}\right)+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\ln \left(x+\sqrt{x^2+36}\right)+\mathcal{C}$

   Este rândul 13 cu $a=6$, singurul din familie care se scrie fără modul: cum $\sqrt{x^2+36}>|x|$, expresia $x+\sqrt{x^2+36}$ este strict pozitivă pentru orice $x$ real. Radicalul de la numitor exclude arctangenta, iar ordinea termenilor de sub radical exclude arcsinusul.