Regulile lui L'Hopital: pe scurt

Până acum, nedeterminările cereau de fiecare dată o idee: o factorizare, o conjugată, o limită fundamentală. Regulile lui L'Hôpital înlocuiesc ideea cu o procedură — derivezi sus, derivezi jos, calculezi din nou limita.

Enunțul (se admite fără demonstrație): fie $x_0$ punct de acumulare al lui $I$ și $f,g$ derivabile pe $I\setminus \{x_0\}$, cu $g^{\prime }(x)\ne 0$ acolo. Dacă raportul duce la $\frac{0}{0}$ (ambele limite nule) sau la $\frac{\infty }{\infty }$ ($|g(x)|\to +\infty$) și dacă există $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, atunci există și $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$. Punctul $x_0$ poate fi și $\pm \infty$.

Procedura are patru pași, iar condițiile se verifică explicit la fiecare aplicare, inclusiv la a doua și a treia.

Cele trei capcane: (i) se verifică întâi că e caz de nedeterminare — aplicată în afara lor, regula dă rezultate false; (ii) se derivează numărătorul și numitorul separat, niciodată cu regula câtului; (iii) reciproca nu e valabilă — dacă $\lim \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ nu există, nu rezultă nimic despre $\lim \frac{f}{g}$.

Cel mai util rezultat practic este ierarhia infiniților: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^a}=0$ pentru $a>0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^a}{b^x}=0$ pentru $b>1$. Iar cele cinci limite fundamentale nu se demonstrează cu L'Hôpital: raționamentul ar fi circular.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea limitei $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^3-27}{x^2-9}$ este:

   • a) $\frac{9}{2}$
   • b) $\frac{3}{2}$
   • c) $9$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{9}{2}$

   Ambele funcții tind la $0$ în $3$, sunt polinomiale, iar $g^{\prime }(x)=2x\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $3$: caz $\frac{0}{0}$. Aplicând regula, $\lim \frac{3x^2}{2x}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$. Control algebric: $\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}\to \frac{27}{6}$.

2. Un elev calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+2}{x+1}$ aplicând regula lui L'Hôpital și obține $4$. Care este răspunsul corect?

   • a) $4$, calculul este corect
   • b) $2$, pentru că regula se aplică de două ori
   • c) $6$, prin regula câtului
   • d) $2$, pentru că nu există nicio nedeterminare: numărătorul tinde la $6$, numitorul la $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $2$, pentru că nu există nicio nedeterminare: numărătorul tinde la $6$, numitorul la $3$

   Prima condiție a regulii nu este îndeplinită — nu suntem nici în cazul $\frac{0}{0}$, nici în $\frac{\infty }{\infty }$. Ambele funcții sunt continue în $2$, iar numitorul e nenul, deci limita este pur și simplu $\frac{6}{3}=2$. Aplicată în afara nedeterminării, regula produce un rezultat de două ori mai mare decât cel adevărat.

3. Valoarea limitei $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(\ln x{)}^3}{x}$ este:

   • a) $0$
   • b) $+\infty$
   • c) $1$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $0$

   Este caz $\frac{\infty }{\infty }$; aplicând regula de trei ori, exponentul logaritmului scade de fiecare dată cu o unitate, iar la capăt rămâne $\lim \frac{6}{x}=0$. Rezultatul confirmă ierarhia infiniților: logaritmul, chiar ridicat la o putere, crește mai încet decât $x$.