Ridicarea la putere cu binomul lui Newton: pe scurt

Spre deosebire de inducție, care îți cere să ghicești formula înainte de a o demonstra, binomul o produce. Are însă o ipoteză de care depinde totul: pentru $A,B\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{C})$ cu $AB=BA$, $$(A+B{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{A}^{n-k}{B}^k.$$ Fără comutare formula este falsă: dezvoltarea corectă a lui $(A+B{)}^2$ este întotdeauna $A^2+AB+BA+B^2$, iar termenii din mijloc se strâng în $2AB$ numai dacă $AB=BA$. Ipoteza se verifică prin calcul, nu se presupune.

Partenerul universal este $I_p$, care comută cu orice matrice pătratică de același ordin. De aceea descompunerea $A=\alpha I_p+N$, cu $N=A-\alpha I_p$, este mereu permisă — dar utilă doar când puterile lui $N$ sunt cunoscute. Cazul de aur: $N$ nilpotentă, adică $N^q=O_p$ pentru un exponent $q$. Atunci toți termenii cu $k\ge q$ dispar și suma se reduce la cel mult $q$ bucăți, oricât de mare ar fi $n$.

Rețeta, în patru pași: alegi $\alpha$ uitându-te la diagonala principală (trebuie să fie constantă); scrii $N=A-\alpha I_p$ și îi calculezi puterile până obții efectiv matricea nulă; scrii suma trunchiată; verifici formula pentru $n=1$ și $n=2$. Atenție la exponenții scalarului: ei sunt ${\alpha }^n$, ${\alpha }^{n-1}$, ${\alpha }^{n-2}$ — acolo se pierd cele mai multe puncte.

Exerciții din această mini-lecție

1. Formula $(A+B{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{A}^{n-k}{B}^k$, cu $A,B\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{C})$, este adevărată:

   • a) pentru orice $A$ și $B$
   • b) numai dacă $A\cdot B=B\cdot A$
   • c) numai dacă $A$ sau $B$ este nilpotentă
   • d) numai dacă $A=\alpha I_p$ și $B=O_p$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) numai dacă $A\cdot B=B\cdot A$

   Demonstrația binomului folosește, la fiecare pas, schimbarea ordinii factorilor — legală la numere, interzisă la matrice. Singura ipoteză, dar obligatorie, este comutarea: $AB=BA$. Nilpotența nu are legătură cu valabilitatea formulei, ci doar cu utilitatea ei: ea taie suma la câțiva termeni.

2. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& 3\end{array}\right)$. Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, matricea $A^n$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 5n\\ 0& 3^n\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 5n\cdot 3^n\\ 0& 3^n\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 5n\cdot 3^{n-1}\\ 0& 3^n\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 5^n\\ 0& 3^n\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 5n\cdot 3^{n-1}\\ 0& 3^n\end{array}\right)$

   Diagonala este constantă, egală cu $3$, deci $\alpha =3$ și $N=A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 0& 0\end{array}\right)$, cu $N^2=O_2$. Suma se oprește la $k=1$: $A^n=3^n{I}_2+n\cdot 3^{n-1}N$. Exponentul lui $3$ din al doilea termen este $n-1$, nu $n$ — vine din ${\alpha }^{n-k}$ cu $k=1$. Control pentru $n=2$: $\left(\begin{array}{cc}9& 30\\ 0& 9\end{array}\right)$.

3. Fie $N\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ cu $N^3=O_3$ și $N^2\ne O_3$. Câți termeni are dezvoltarea lui $(I_3+N{)}^n$, pentru $n\ge 2$?

   • a) $n+1$
   • b) unul singur
   • c) doi
   • d) trei
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) trei

   Indicele de nilpotență este $3$, deci toate puterile $N^k$ cu $k\ge 3$ sunt nule și termenii lor dispar din sumă. Rămân exact cei cu $k\in \{0,1,2\}$: $(I_3+N{)}^n=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2$ — trei termeni, oricât de mare ar fi $n$. Aici stă toată puterea metodei: o sumă cu $n+1$ termeni se reduce la una cu cel mult $q$.