Șirul $$(x_n)$$ verifică $$x_{n+1} = 4x_n + 3$$, cu $$x_1 = 1$$. Termenul lui general este:

$$x_n = 2 \cdot 4^{\,n-1} - 1$$

Acasă · Învață ușor · clasa a XI-a · Puterile unei matrice prin șiruri recurente

Puterile unei matrice prin șiruri recurente: pe scurt

A treia metodă nu cere nici să ghicești formula, nici o descompunere norocoasă. Ideea: nu cauți direct matricea $A^{n}$ , ci urmărești cum se schimbă fiecare element de la un pas la altul. Scrii $A^{n} = (a_{n} c_{n} b_{n} d_{n})$ , unde cele patru simboluri sunt șiruri, calculezi produsul $A \cdot A^{n}$ și identifici elementele cu cele ale lui $A^{n + 1}$ . Obții patru relații de recurență, iar valorile de pornire se citesc din $A$ însăși, pentru că $A^{1} = A$ — aceasta este greșeala cea mai frecventă și cea mai ușor de evitat. Rezolvi apoi în ordinea în care șirurile devin cunoscute, începând cu cele care nu depind de celelalte.

Apar doar patru tipare, toate știute din clasa a IX-a. Geometric, $x_{n + 1} = q x_{n}$ , cu $x_{n} = x_{1} q^{n - 1}$ . Cu adaos variabil, $x_{n + 1} = x_{n} + t_{n}$ , rezolvat prin adunarea relațiilor, când termenii intermediari se reduc. Afin, $x_{n + 1} = q x_{n} + c$ cu $q \neq = 1$ , rezolvat prin punctul fix $ℓ = \frac{c}{1 - q}$ : șirul $x_{n} - ℓ$ devine geometric de rație $q$ . Și sistemul cuplat, decuplat prin sumă și diferență, care dau două șiruri geometrice independente.

Metoda funcționează și acolo unde binomul nu se aplică, adică la matricele cu diagonala neconstantă. Uneori recurența este răspunsul, ca la matricea lui Fibonacci. Verifică de fiecare dată pe $n = 1$ și $n = 2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (5011)$ și se notează $A^{n} = (a_{n} c_{n} b_{n} d_{n})$ . Știind că $c_{n} = 0$ și $d_{n} = 1$ pentru orice $n$ , șirul $(b_{n})$ verifică recurența:
- a) $b_{n + 1} = 5 b_{n}$
- b) $b_{n + 1} = b_{n} + 5^{n}$
- c) $b_{n + 1} = 5 b_{n} + 1$
- d) $b_{n + 1} = b_{n} + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $b_{n + 1} = 5 b_{n} + 1$

Calculăm produsul: $A \cdot A^{n} = (5 a_{n} + c_{n} c_{n} 5 b_{n} + d_{n} d_{n})$ . Identificând cu $A^{n + 1}$ , obținem $b_{n + 1} = 5 b_{n} + d_{n} = 5 b_{n} + 1$ — o recurență afină, nu una geometrică. Cu $b_{1} = 1$ și punctul fix $ℓ = - \frac{1}{4}$ rezultă $b_{n} = \frac{5 ^{n} - 1}{4}$ .
Șirul $(x_{n})$ verifică $x_{n + 1} = 4 x_{n} + 3$ , cu $x_{1} = 1$ . Termenul lui general este:
- a) $x_{n} = 4^{n - 1}$
- b) $x_{n} = 4^{n - 1} + 3 (n - 1)$
- c) $x_{n} = 4^{n} - 3$
- d) $x_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1} - 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1} - 1$

Recurența este afină, deci căutăm punctul fix: $ℓ = 4 ℓ + 3$ dă $ℓ = - 1$ . Scăzând, $x_{n + 1} + 1 = 4 (x_{n} + 1)$ , adică șirul $x_{n} + 1$ este geometric de rație $4$ , cu primul termen $2$ . Rezultă $x_{n} + 1 = 2 \cdot 4^{n - 1}$ . Control: $x_{2} = 4 \cdot 1 + 3 = 7$ , iar formula dă $8 - 1 = 7$ .
Se consideră $A = (4114)$ , pentru care $A^{n} = (a_{n} b_{n} b_{n} a_{n})$ . Șirul $s_{n} = a_{n} + b_{n}$ verifică:
- a) $s_{n} = 5^{n}$
- b) $s_{n} = 5 n$
- c) $s_{n} = 3^{n}$
- d) $s_{n} = 4^{n} + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $s_{n} = 5^{n}$

Sistemul de recurențe este $a_{n + 1} = 4 a_{n} + b_{n}$ și $b_{n + 1} = a_{n} + 4 b_{n}$ . Adunându-le, $s_{n + 1} = 5 s_{n}$ : suma este un șir geometric de rație $5$ , iar $s_{1} = 4 + 1 = 5$ , deci $s_{n} = 5^{n}$ . (Diferența dă $p_{n + 1} = 3 p_{n}$ , cu $p_{1} = 3$ , deci $p_{n} = 3^{n}$ .)

Puterile unei matrice prin șiruri recurente: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu