Schimbarea de variabilă la integrala definită: pe scurt

Pentru $f$ continuă și $u$ derivabilă cu derivată continuă, formula este ${\int }_a^{b}f(u(x))u{}^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt$. Deosebirea față de integrala nedefinită este esențială: limitele se schimbă în $u(a)$ și $u(b)$, iar la variabila inițială nu se mai revine, pentru că rezultatul este un număr.

Cei trei pași ai schimbării de variabilă la integrala definită: Pasul 1 — notezi $t=u(x)$ și $dt=u{}^{\prime }(x)dx$; Pasul 2 — calculezi noile limite, scriindu-le explicit; Pasul 3 — calculezi integrala în noua variabilă, fără revenire la $x$. Cele două metode nu se amestecă: ori schimbi limitele și rămâi în $t$, ori revii la $x$ și păstrezi limitele inițiale.

Tiparul care declanșează metoda este $f(u(x))u{}^{\prime }(x)$: caută derivata interiorului. Dacă $u(a)>u(b)$, integrala rămâne așa cum este — inversarea capetelor cere schimbarea semnului.

La substituția inversă $x=\phi (t)$ monotonia lui $\phi$ este esențială, atât pentru capete, cât și pentru semnul expresiilor de sub radical: $\sqrt{a^2{\cos }^{2}t}=a|\cos t|$, iar egalitatea cu $a\cos t$ se sprijină pe alegerea intervalului, care trebuie scrisă. Astfel, cu $x=a\sin t$ și $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, se obține ${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Prin substituția $t=x^2+3$, integrala ${\int }_1^{3}2x{\left(x^2+3\right)}^{4}dx$ devine:

   • a) ${\int }_1^3{t}^{4}dt$
   • b) ${\int }_4^{12}{t}^{4}dt$
   • c) ${\int }_4^{12}2t^{4}dt$
   • d) ${\int }_{12}^4{t}^{4}dt$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) ${\int }_4^{12}{t}^{4}dt$

   Avem $dt=2xdx$, iar limitele devin $u(1)=4$ și $u(3)=12$. Varianta a) este greșeala care nu lasă urme: calculul arată impecabil, dar limitele au rămas cele vechi. Varianta d) inversează capetele fără să schimbe semnul.

2. ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx$ este egală cu:

   • a) $\frac{\ln 2}{2}$
   • b) $\ln 2$
   • c) $\frac{\pi }{4}$
   • d) $2\ln 2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{\ln 2}{2}$

   Cu $t=x^2+1$ și $dt=2xdx$, integrala devine $\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{dt}{t}=\frac{\ln 2}{2}\approx 0,347$. Varianta $\frac{\pi }{4}$ este rezultatul integralei surori ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}$: numărătorul decide metoda.

3. La schimbarea de variabilă în integrala definită:

   • a) se revine la variabila $x$ la final, păstrând noile limite
   • b) se schimbă limitele și se revine la $x$
   • c) se schimbă limitele și nu se mai revine la $x$
   • d) limitele rămân neschimbate
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) se schimbă limitele și nu se mai revine la $x$

   Rezultatul unei integrale definite este un număr, deci variabila nu mai contează: se calculează direct între noile limite $u(a)$ și $u(b)$. Amestecul dintre cele două variante — limite noi și revenire la $x$ — este greșeala care produce numere false fără niciun semnal.