Semigrupuri și monoizi: pe scurt

Un semigrup este o mulțime nevidă $M$ înzestrată cu o lege de compoziție asociativă; dacă legea are și element neutru, perechea $(M,\ast )$ se numește monoid. Adjectivul „comutativ” se adaugă oricărei trepte. Orice monoid este semigrup, dar nu invers: $({\mathbb{N}}^{\ast },+)$ este semigrup fără element neutru, iar $(\mathbb{Z},-)$ nu urcă nici prima treaptă, scăderea nefiind asociativă.

Teoremă. Într-un monoid, simetricul unui element simetrizabil este unic. Demonstrația calculează $y\ast x\ast z$ în două feluri: $y\ast (x\ast z)=y\ast e=y$ și $(y\ast x)\ast z=e\ast z=z$, iar mutarea parantezelor — adică asociativitatea — le face egale.

De aici trei reguli: $(x^{\prime }{)}^{\prime }=x$; $(x\ast y{)}^{\prime }=y^{\prime }\ast x^{\prime }$, cu ordinea inversată; și simplificarea — din $x\ast y=x\ast z$ cu $x$ simetrizabil rezultă $y=z$ (în $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu se simplifică prin $0$).

Mulțimea $U(M)$ a elementelor simetrizabile conține mereu pe $e$ și este parte stabilă; notația poartă legea când e nevoie: $U(\mathbb{Z},\cdot )=\{-1,1\}$, $U(\mathbb{Q},\cdot )={\mathbb{Q}}^{\ast }$.

Puterile se definesc prin $x^0=e$ și $x^{n+1}=x^n\ast x$, cu $x^m\ast x^n=x^{m+n}$ și ${\left(x^m\right)}^n=x^{mn}$; egalitatea $(x\ast y{)}^n=x^n\ast y^n$ cere însă ca $x$ și $y$ să comute.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre afirmații este adevărată?

   • a) orice monoid este semigrup
   • b) orice semigrup este comutativ
   • c) într-un monoid orice element este simetrizabil
   • d) orice semigrup este monoid
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) orice monoid este semigrup

   Monoidul cere asociativitate și element neutru, deci are tot ce cere semigrupul: orice monoid este semigrup. Reciproca este falsă — $({\mathbb{N}}^{\ast },+)$ este semigrup, dar nu are element neutru. Varianta b uită că $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ este necomutativ, iar c este falsă chiar în $(\mathbb{Z},\cdot )$, unde numai $-1$ și $1$ sunt simetrizabile.

2. Structura $({\mathbb{N}}^{\ast },+)$ este:

   • a) monoid comutativ
   • b) semigrup comutativ, dar nu monoid
   • c) nici măcar semigrup
   • d) monoid necomutativ
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) semigrup comutativ, dar nu monoid

   Suma a două numere naturale nenule este tot un număr natural nenul și adunarea rămâne asociativă și comutativă, deci avem un semigrup comutativ. Element neutru însă nu există: din $x+e=x$ ar rezulta $e=0$, care a fost scos din mulțime. Este exemplul-etalon care arată că reciproca afirmației „orice monoid este semigrup” e falsă.

3. Într-un monoid, dacă $x$ și $y$ sunt simetrizabile, atunci $(x\ast y{)}^{\prime }$ este:

   • a) $x^{\prime }\ast y^{\prime }$
   • b) $x\ast y$
   • c) $y^{\prime }\ast x^{\prime }$
   • d) $x^{\prime }\ast y$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $y^{\prime }\ast x^{\prime }$

   Se verifică direct: $(x\ast y)\ast (y^{\prime }\ast x^{\prime })=x\ast (y\ast y^{\prime })\ast x^{\prime }=x\ast x^{\prime }=e$, și analog în cealaltă ordine. Ordinea se inversează — la înmulțirea matricelor sau la compunerea funcțiilor, varianta a dă în general cu totul altceva. La legile comutative greșeala trece neobservată, ceea ce o face și mai periculoasă.