Șiruri de integrale: recurență și limită: pe scurt

Un șir de integrale are drept termeni integralele definite ale unei familii de funcții care depinde de indicele $n$, cel mai adesea $I_n={\int }_a^b{x}^{n}g(x)dx$. Despre el se pun, în această ordine, Întrebarea 1 (este monoton?), Întrebarea 2 (este mărginit?) și Întrebarea 3 (care este limita?). Monotonia nu se citește din valorile termenilor, ci din compararea integranzilor: pe $[0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$, deci orice șir ${\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx$ cu $g\ge 0$ este descrescător, iar pe un interval din $[1,+\infty )$ inegalitatea se răstoarnă. Mărginirea vine din încadrarea integrandului, urmată de integrarea inegalităților: pentru $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+1}dx$ se obține $\frac{1}{2(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{n+1}$. Teorema lui Weierstrass dă doar existența limitei; valoarea ei se obține din încadrare, cu criteriul cleștelui. Relația de recurență se află fie adunând doi termeni consecutivi astfel încât numitorul să se simplifice — coeficientul este termenul liber al numitorului, iar pasul recurenței este gradul lui —, fie integrând prin părți, când integrandul conține $e^x$, $\ln x$ sau funcții trigonometrice. Limitele de forma $\lim n{I}_n$, ultimul subpunct obișnuit la Bacalaureat M1, se obțin combinând recurența cu monotonia: din $I_{n-1}\ge I_n$ și $I_n+I_{n-1}=\frac{1}{n}$ rezultă $I_n\le \frac{1}{2n}$, iar cleștele se închide la $\frac{1}{2}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră șirul $J_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+7}dx$, $n\in \mathbb{N}$. Relația de recurență satisfăcută de $(J_n)$, pentru $n\ge 1$, este:

   • a) $J_n+7J_{n-1}=\frac{1}{n}$
   • b) $J_n+J_{n-1}=\frac{1}{n}$
   • c) $7J_n+J_{n-1}=\frac{1}{n}$
   • d) $J_n-7J_{n-1}=\frac{1}{n}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $J_n+7J_{n-1}=\frac{1}{n}$

   Coeficientul din recurență este termenul liber al numitorului: din $x^n+7x^{n-1}=x^{n-1}(x+7)$ obținem $J_n+7J_{n-1}={\int }_0^1{x}^{n-1}dx=\frac{1}{n}$. Varianta b) copiază recurența șirului cu numitorul $x+1$, varianta c) așază coeficientul la termenul greșit, iar d) scade în loc să adune, caz în care numitorul nu se mai simplifică. Control pe primii termeni: $J_1+7J_0=1$.

2. Se consideră $K_n={\int }_1^2\frac{x^n}{x+7}dx$, $n\in \mathbb{N}$. Șirul $(K_n)$ este:

   • a) descrescător
   • b) crescător
   • c) constant
   • d) nemonoton
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) crescător

   Pe $[1,2]$ avem $x\ge 1$, deci $x^{n+1}\ge x^n$; împărțind la $x+7>0$ și integrând inegalitatea, obținem $K_{n+1}\ge K_n$, adică șirul crește. Varianta „descrescător” este reflexul deprins pe $[0,1]$, unde $x\le 1$ și inegalitatea dintre puteri are sens invers: semnul monotoniei vine din poziția intervalului față de $1$, nu din forma șirului.

3. Despre un șir de integrale $(I_n)$ s-a demonstrat că este descrescător și că $I_n>0$ pentru orice $n$. Ce se poate afirma corect?

   • a) $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=0$, prin teorema lui Weierstrass
   • b) șirul este divergent
   • c) șirul este convergent, dar valoarea limitei cere un argument suplimentar
   • d) $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) șirul este convergent, dar valoarea limitei cere un argument suplimentar

   Teorema lui Weierstrass spune că un șir monoton și mărginit converge; ea nu dă niciodată valoarea limitei. Aceasta se obține separat, dintr-o încadrare și criteriul cleștelui. Varianta a) este greșeala cea mai frecventă a temei: se citește din teoremă o concluzie pe care ea nu o conține. Varianta d) inventează o valoare, iar b) contrazice chiar teorema.