Evaluare finală — clasa a X-a

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de final de an pentru traseul de trunchi comun al clasei a X-a. Ea trece prin toate cele patru capitole mari ale anului, cu punctaje aproape egale: trigonometria aplicată în geometrie, metodele de numărare, statistica matematică și probabilitățile. Nu urmărește exerciții exotice, ci verifică dacă structura anului s-a așezat: dacă elevul recunoaște tipul de problemă, alege instrumentul potrivit și își redactează raționamentul. Cele patru capitole se ating între ele mai mult decât pare la prima vedere — combinatorica devine unealta de numărare a cazurilor favorabile la probabilități, iar statistica și probabilitățile sunt cele două fețe ale aceleiași monede: una descrie datele pe care le avem, cealaltă prezice datele pe care încă nu le avem. Ultimul item închide cercul, cerând exact această legătură.

Harta materiei acoperite (fiecare capitol primește între $22$ și $23$ de puncte):

Aplicații ale trigonometriei în geometrie — unghiuri obtuze, teorema cosinusului în ambele sensuri, natura triunghiului, teorema sinusurilor și raza cercului circumscris, aria cu formula sinusului și cu formula lui Heron, măsurători indirecte. (Itemii 1a, 2, 7, 10 — 23 de puncte)
Metode de numărare — permutări, aranjamente, combinări, alegerea metodei potrivite, numărarea prin complement, binomul lui Newton. (Itemii 1b, 3, 8, 12 — 22 de puncte)
Statistică matematică și sondaje — tabele de frecvențe, frecvențe relative, medie, mediană, mod, cuartile, amplitudine, abatere intercuartilică, abaterea standard, compararea a două seturi de date, eșantionare stratificată. (Itemii 4, 5, 11 — 22 de puncte)
Probabilități — definiția clasică, evenimentul contrar, probabilitatea reuniunii, probabilități condiționate, evenimente independente, numărarea cazurilor cu ajutorul combinatoricii. (Itemii 1c, 6, 9, 13 — 23 de puncte)

Cum se aplică:

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 90 de minute. Fiind o probă de an întreg, ea are nevoie de mai mult decât o oră de curs; orientativ, $20$ de minute pentru Partea I, $35$ pentru Partea a II-a și $35$ pentru Partea a III-a. Dacă orarul nu permite o oră și jumătate, proba se poate administra în două reprize — Partea I împreună cu Partea a II-a într-o oră ( $58$ de puncte), Partea a III-a în ora următoare ( $32$ de puncte) —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate unghiurile sunt unghiuri de bază, iar datele statistice au fost alese ca mediile, cuartilele și abaterile standard să iasă exacte. Probabilitățile se lasă sub formă de fracții ireductibile.
Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La itemii de numărare și de probabilități, un rezultat corect fără raționamentul care îl susține primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului.
La profilul real: teorema cosinusului și teorema sinusurilor s-au studiat în clasa a IX-a, la programa cu mai multe ore de matematică; pentru acești elevi itemii de geometrie sunt recapitulare, iar proba se dă integral.

Interpretarea rezultatului:

Punctaj	Nivel	Ce înseamnă
90–100 p	foarte bine	Anul e stăpânit integral; se poate porni în clasa a XI-a fără recuperări.
75–89 p	bine	Baza e solidă. De reluat, în vacanță, doar capitolul cu cele mai multe puncte pierdute.
60–74 p	satisfăcător	Exercițiile standard ies, cele care combină două capitole încă nu. De lucrat pe itemi transversali.
45–59 p	insuficient	Lipsesc automatismele. Recomandat: recapitulare de vară pe teorema cosinusului, combinări și probabilități.
sub 45 p	de reluat	Se reia anul capitol cu capitol, în ordinea din manual, cu câte un test scurt după fiecare.

Formule de reținut, pe capitole:

Trigonometrie: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ; $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ ; $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ și $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ ; $S = \frac{b c sin A}{2}$ ; $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ cu $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
Numărare: $P_{n} = n!$ , $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ , $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ ; $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ; $(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , cu $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ și $k = 0 \sum n C_{n}^{k} = 2^{n}$ .
Statistică: media ponderată $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}$ ; mediana taie setul ordonat în două; cuartilele $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ se obțin ca mediană a jumătății inferioare, mediană a setului și mediană a jumătății superioare, valoarea mediană fiind exclusă din jumătăți atunci când $n$ este impar; amplitudinea $= x_{m a x} - x_{m i n}$ ; $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ ; abaterea standard a populației $σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ , iar a unui eșantion $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ .
Probabilități: $P (A) = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile}$ ; $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ ; $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ; $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ ; evenimentele $A$ și $B$ sunt independente dacă $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea lui $sin 15 0^{\circ}$ este egală cu: A. $- \frac{1}{2}$ ; B. $\frac{3}{2}$ ; C. $\frac{1}{2}$ ; D. $- \frac{3}{2}$ .

b) Valoarea lui $C_{9}^{2}$ este egală cu: A. $18$ ; B. $36$ ; C. $72$ ; D. $81$ .

c) Într-o urnă sunt $3$ bile roșii și $5$ bile albastre. Probabilitatea ca, extrăgând o bilă la întâmplare, aceasta să fie roșie este: A. $\frac{3}{5}$ ; B. $\frac{5}{8}$ ; C. $\frac{1}{3}$ ; D. $\frac{3}{8}$ .

Itemul 2 (6 puncte)

În triunghiul $A B C$ se cunosc $A B = 3$ , $A C = 8$ și măsura unghiului $A$ egală cu $6 0^{\circ}$ .

a) Calculează lungimea laturii $B C$ . (2 p) b) Calculează $cos C$ . (2 p) c) Precizează natura triunghiului $A B C$ , cu justificare. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

a) Calculează $A_{6}^{3}$ și $C_{6}^{3}$ . (2 p) b) Determină numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $C_{n}^{2} = 15$ . (2 p) c) Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ? (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Notele obținute de cei $20$ de elevi ai unei clase la o lucrare sunt date în tabelul următor:

Nota	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Număr de elevi	$2$	$3$	$5$	$4$	$4$	$2$

a) Calculează frecvențele relative, exprimate în procente, pentru nota $5$ și pentru nota $7$ . (2 p) b) Calculează media notelor clasei. (2 p) c) Determină mediana și modul setului de note. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

Timpii, în minute, în care nouă elevi au rezolvat o problemă sunt: $18, 4, 25, 12, 30, 9, 21, 7, 15.$

a) Ordonează crescător datele și determină mediana $Q_{2}$ . (2 p) b) Determină cuartilele $Q_{1}$ și $Q_{3}$ . (3 p) c) Calculează amplitudinea și abaterea intercuartilică. (2 p) d) Scrie rezumatul în cinci numere al setului de date. (1 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) O urnă conține $5$ bile roșii, $4$ albastre și $3$ verzi. Se extrage o bilă la întâmplare. Calculează probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie. (2 p) b) Pentru aceeași urnă, calculează probabilitatea ca bila extrasă să nu fie verde. (2 p) c) Se alege la întâmplare un număr din mulțimea ${1, 2, 3, \dots, 20}$ . Se consideră evenimentele $A$ : „numărul ales este par" și $B$ : „numărul ales este multiplu de $5$ ". Calculează $P (A \cup B)$ . (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

În triunghiul $A B C$ se cunosc $A B = 6$ , $B C = 10$ și măsura unghiului $B$ egală cu $12 0^{\circ}$ .

✏️Ilustrație: triunghiul ABC cu unghiul obtuz în B, laturile AB = 6 și BC = 10 pornind din B, unghiul din B marcat cu arc și etichetat 120°; latura AC desenată continuu, cu eticheta „de aflat"; cercul circumscris trasat punctat, cu centrul marcat.

a) Calculează lungimea laturii $A C$ . (2 p) b) Calculează aria triunghiului $A B C$ . (3 p) c) Calculează raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ . (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Dezvoltă, folosind binomul lui Newton, $(2 x - 1)^{4}$ . (3 p) b) Calculează suma coeficienților dezvoltării obținute la punctul a) și suma coeficienților binomiali $C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4}$ . (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Într-o clasă cu $25$ de elevi, $15$ studiază limba engleză, $12$ studiază limba franceză, iar $7$ studiază ambele limbi. Se alege la întâmplare un elev al clasei. Se notează cu $E$ evenimentul „elevul ales studiază engleza" și cu $F$ evenimentul „elevul ales studiază franceza".

a) Calculează $P (E \cup F)$ . (2 p) b) Calculează $P (F ∣ E)$ , adică probabilitatea ca elevul ales să studieze franceza, știind că studiază engleza. (2 p) c) Stabilește dacă evenimentele $E$ și $F$ sunt independente, cu justificare. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, aplicații practice și itemi de tip Bacalaureat (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) O navă pleacă din portul $A$ și navighează $30$ km în linie dreaptă până în punctul $B$ . Acolo își schimbă direcția și navighează încă $50$ km până în punctul $C$ , unghiul $A B C$ având măsura de $12 0^{\circ}$ .

✏️Ilustrație: harta traseului, cu portul A în stânga jos, segmentul AB = 30 km desenat spre dreapta, iar din B segmentul BC = 50 km orientat oblic în sus; unghiul din B marcat cu arc și etichetat 120°; segmentul de întoarcere CA desenat punctat.

a) Calculează distanța $A C$ , adică lungimea drumului de întoarcere direct din $C$ în port. (2 p) b) Calculează aria triunghiului $A B C$ . (2 p) c) Calculează $cos A$ , unde $A$ este unghiul $B A C$ . (2 p) d) Calculează $sin A$ și verifică rezultatul folosind teorema sinusurilor. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Rezultatele obținute de câte cinci elevi din două clase, $A$ și $B$ , la aceeași probă, sunt:

$clasa A : 7, 9, 10, 11, 13 clasa B : 4, 8, 10, 12, 16.$

Se consideră fiecare set de date drept întreaga populație studiată.

a) Calculează media fiecărui set de date. (2 p) b) Calculează abaterea standard a setului $A$ . (2 p) c) Calculează abaterea standard a setului $B$ și compară cele două clase. (2 p) d) Într-un liceu cu $800$ de elevi, dintre care $500$ la profilul real și $300$ la profilul uman, se realizează un sondaj pe un eșantion stratificat de $80$ de elevi. Câți elevi se aleg din fiecare profil? (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Dintr-un grup format din $7$ fete și $5$ băieți se alege o delegație de $4$ persoane.

a) Câte delegații se pot forma? (2 p) b) Câte delegații au exact $2$ fete și $2$ băieți? (2 p) c) Câte delegații conțin cel puțin o fată? (2 p) d) Câte delegații sunt formate numai din fete? (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, \dots, 10}$ . Se alege la întâmplare o submulțime cu $3$ elemente a mulțimii $A$ .

a) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $A$ . (2 p) b) Calculați probabilitatea ca toate cele trei elemente alese să fie numere pare. (2 p) c) Calculați probabilitatea ca submulțimea aleasă să conțină elementul $1$ . (2 p) d) Calculați probabilitatea ca submulțimea aleasă să conțină cel puțin un număr impar. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. $15 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}$ , iar sinusul nu își schimbă semnul la reducerea unghiului obtuz: $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . (Cosinusul, în schimb, și-ar schimba semnul: $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ .)

b) B. $C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ . (Varianta C, $72$ , este $A_{9}^{2}$ .)

c) D. Sunt $3 + 5 = 8$ cazuri posibile și $3$ favorabile, deci $P = \frac{3}{8}$ . (Varianta A, $\frac{3}{5}$ , apare dacă se raportează bilele roșii la cele albastre, nu la total.)

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Din teorema cosinusului: $B C^{2} = 3^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49,$ deci $B C = 7$ (2 p). (Triunghiul $3, 7, 8$ există: $3 + 7 = 10 > 8$ ✓.)

b) (2 p) Unghiul $C$ este opus laturii $A B = 3$ , iar laturile care îl cuprind sunt $B C = 7$ și $C A = 8$ : $cos C = \frac{7 ^{2} + 8 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 9}{112} = \frac{104}{112} = \frac{13}{14} (2 p) .$

c) (2 p) Cea mai mare latură este $A C = 8$ ; comparăm $8^{2} = 64$ cu $7^{2} + 3^{2} = 58$ (1 p). Cum $64 > 58$ , unghiul opus, adică $B$ , este obtuz, deci triunghiul este obtuzunghic (1 p). (Control direct: $cos B = \frac{49 + 9 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 3} = - \frac{1}{7} < 0$ ✓.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ (1 p); $C_{6}^{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20$ (1 p). (Legătura: $A_{6}^{3} = C_{6}^{3} \cdot 3! = 20 \cdot 6 = 120$ .)

b) (2 p) $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 15$ , deci $n^{2} - n - 30 = 0$ (1 p); cu $Δ = 121$ obținem $n = \frac{1 + 11}{2} = 6$ (soluția $- 5$ se respinge, $n$ fiind natural) (1 p).

c) (2 p) Cifrele sunt distincte și ordinea contează (numerele $123$ și $321$ sunt diferite), deci sunt aranjamente (1 p): $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 (1 p) .$ (Cifra $0$ nu apare printre cele date, deci nu există restricția obișnuită asupra primei poziții.)

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Frecvența relativă este raportul dintre frecvența absolută și efectivul total, $n = 20$ : $f_{5} = \frac{2}{20} = 0, 10 = 10% (1 p), f_{7} = \frac{5}{20} = 0, 25 = 25% (1 p) .$

b) (2 p) Media ponderată: $\overset{x}{ˉ} = \frac{5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 4 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 2}{20} = \frac{10 + 18 + 35 + 32 + 36 + 20}{20} = \frac{151}{20} = 7, 55 (2 p) .$

c) (2 p) Efectivul $n = 20$ fiind par, mediana este media valorilor de pe pozițiile $10$ și $11$ în șirul ordonat. Frecvențele cumulate sunt $2, 5, 10, 14, 18, 20$ , deci a $10$ -a valoare este $7$ , iar a $11$ -a este $8$ (1 p): $Q_{2} = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5 .$ Modul este valoarea cu cea mai mare frecvență, adică nota $7$ (apare de $5$ ori) (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Ordonat crescător: $4, 7, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 30$ (1 p). Cum $n = 9$ este impar, mediana este valoarea din mijloc, a cincea: $Q_{2} = 15 (1 p) .$

b) (3 p) Valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți (0,5 p). Jumătatea inferioară este $4, 7, 9, 12$ , iar cea superioară $18, 21, 25, 30$ (0,5 p). Fiecare are patru valori, deci mediana ei este media valorilor din mijloc: $Q_{1} = \frac{7 + 9}{2} = 8 (1 p), Q_{3} = \frac{21 + 25}{2} = 23 (1 p) .$

c) (2 p) Amplitudinea: $30 - 4 = 26$ minute (1 p). Abaterea intercuartilică: $IQR = Q_{3} - Q_{1} = 23 - 8 = 15 minute (1 p) .$

d) (1 p) Rezumatul în cinci numere este, în ordine, minimul, $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ și maximul, adică $(4; 8; 15; 23; 30)$ (1 p). (Control de bun-simț: $4 \leq 8 \leq 15 \leq 23 \leq 30$ ✓. Într-un boxplot, cutia s-ar întinde de la $8$ la $23$ , iar mustățile ar merge până la $4$ și până la $30$ .)

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Sunt $5 + 4 + 3 = 12$ cazuri posibile, egal probabile, și $5$ favorabile (1 p): $P (ro ș ie) = \frac{5}{12} (1 p) .$

b) (2 p) Evenimentul „nu e verde" este contrarul evenimentului „e verde", iar $P (verde) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ (1 p), deci $P (\overline{verde}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} (1 p) .$ (Se putea și direct: bilele care nu sunt verzi sunt $5 + 4 = 9$ , iar $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ .)

c) (3 p) Numerele pare din mulțime sunt $10$ , deci $P (A) = \frac{10}{20}$ ; multiplii de $5$ sunt $5, 10, 15, 20$ , deci $P (B) = \frac{4}{20}$ (1 p). Evenimentele se pot realiza simultan pentru numerele care sunt și pare, și multipli de $5$ , adică multiplii de $10$ : $10$ și $20$ , deci $P (A \cap B) = \frac{2}{20}$ (1 p). Prin urmare $P (A \cup B) = \frac{10}{20} + \frac{4}{20} - \frac{2}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} (1 p) .$ (Scăderea intersecției este obligatorie: fără ea, numerele $10$ și $20$ ar fi numărate de două ori.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Unghiul $B$ este obtuz, $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ (0,5 p), deci $A C^{2} = 6^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (- \frac{1}{2}) = 36 + 100 + 60 = 196 ⟹ A C = 14 (1,5 p) .$ (Triunghiul $6, 10, 14$ există: $6 + 10 = 16 > 14$ ✓.)

b) (3 p) Cu formula sinusului, folosind laturile care formează unghiul $B$ (1 p): $S = \frac{A B \cdot B C \cdot sin B}{2} = \frac{6 \cdot 10 \cdot \frac{3}{2}}{2} = 153 (2 p) .$ (Verificare cu Heron: $p = 15$ , iar $15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1 = 675 = 153$ ✓.)

c) (2 p) Din teorema sinusurilor, $\frac{A C}{sin B} = 2 R$ (1 p), deci $R = \frac{14}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{14}{3} = \frac{14 3}{3} (1 p) .$

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Cu $a = 2 x$ , $b = - 1$ și $n = 4$ : $(2 x - 1)^{4} = C_{4}^{0} (2 x)^{4} + C_{4}^{1} (2 x)^{3} (- 1) + C_{4}^{2} (2 x)^{2} (- 1)^{2} + C_{4}^{3} (2 x) (- 1)^{3} + C_{4}^{4} (- 1)^{4} (1,5 p),$ adică $(2 x - 1)^{4} = 16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8x + 1 (1,5 p) .$ (Atenție la semne: puterile impare ale lui $- 1$ dau termeni negativi, deci semnele alternează.)

b) (3 p) Suma coeficienților unei dezvoltări se obține înlocuind $x = 1$ (1 p): $16 - 32 + 24 - 8 + 1 = 1, la fel ca (2 \cdot 1 - 1)^{4} = 1^{4} = 1 (1 p) .$ Suma coeficienților binomiali este, în schimb, $C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4} = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2^{4} = 16 (1 p) .$ (Cele două sume sunt diferite: prima ține cont și de coeficienții numerici $2$ și $- 1$ din binom, a doua doar de combinări.)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Numărul elevilor care studiază cel puțin una dintre limbi este $15 + 12 - 7 = 20$ (1 p), deci $P (E \cup F) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} (1 p) .$

b) (2 p) Prin definiție, $P (F ∣ E) = \frac{P ( E \cap F )}{P ( E )} = \frac{7/25}{15/25}$ (1 p), deci $P (F ∣ E) = \frac{7}{15} (1 p) .$ (Interpretare directă: dintre cei $15$ elevi care fac engleză, $7$ fac și franceză.)

c) (2 p) Comparăm $P (E \cap F)$ cu produsul $P (E) \cdot P (F)$ (0,5 p): $P (E) \cdot P (F) = \frac{15}{25} \cdot \frac{12}{25} = \frac{180}{625} = \frac{36}{125}, P (E \cap F) = \frac{7}{25} = \frac{35}{125} (1 p) .$ Cum $\frac{36}{125} \neq = \frac{35}{125}$ , evenimentele nu sunt independente (0,5 p). (Sunt foarte aproape de independență, dar „aproape" nu contează: definiția cere egalitate exactă.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) În triunghiul $A B C$ cunoaștem $A B = 30$ , $B C = 50$ și unghiul dintre ele, deci aplicăm teorema cosinusului, cu $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ (0,5 p): $A C^{2} = 3 0^{2} + 5 0^{2} - 2 \cdot 30 \cdot 50 \cdot (- \frac{1}{2}) = 900 + 2500 + 1500 = 4900,$ deci $A C = 70$ km (1,5 p).

b) (2 p) $S = \frac{A B \cdot B C \cdot sin 12 0 ^{\circ}}{2} = \frac{30 \cdot 50 \cdot \frac{3}{2}}{2} = 3753 km^{2} \approx 649, 5 km^{2} (2 p) .$

c) (2 p) Unghiul $A$ este opus laturii $B C = 50$ , iar laturile care îl cuprind sunt $A B = 30$ și $A C = 70$ : $cos A = \frac{3 0 ^{2} + 7 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2 \cdot 30 \cdot 70} = \frac{900 + 4900 - 2500}{4200} = \frac{3300}{4200} = \frac{11}{14} (2 p) .$

d) (2 p) Din formula fundamentală, $sin^{2} A = 1 - \frac{121}{196} = \frac{75}{196}$ , iar $A$ fiind unghi de triunghi are sinusul pozitiv: $sin A = \frac{75}{14} = \frac{5 3}{14} (1 p) .$ Verificare cu teorema sinusurilor: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}$ , deci $sin A = \frac{B C \cdot sin B}{A C} = \frac{50 \cdot \frac{3}{2}}{70} = \frac{25 3}{70} = \frac{5 3}{14} ✓ (1 p) . ■$

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Ambele seturi au suma $50$ : $\overset{x}{ˉ}_{A} = \frac{7 + 9 + 10 + 11 + 13}{5} = \frac{50}{5} = 10, \overset{x}{ˉ}_{B} = \frac{4 + 8 + 10 + 12 + 16}{5} = \frac{50}{5} = 10 (2 p) .$ (Mediile fiind egale, ele singure nu deosebesc deloc cele două clase — de aici nevoia unei măsuri a împrăștierii.)

b) (2 p) Datele fiind considerate întreaga populație, se folosește $σ$ , cu împărțire la $n$ (0,5 p). Abaterile față de medie sunt $- 3, - 1, 0, 1, 3$ , iar suma pătratelor lor este $9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20$ (1 p). Prin urmare $σ_{A} = \frac{20}{5} = 4 = 2 (0,5 p) .$

c) (2 p) Pentru setul $B$ , abaterile sunt $- 6, - 2, 0, 2, 6$ , cu suma pătratelor $36 + 4 + 0 + 4 + 36 = 80$ (1 p), deci $σ_{B} = \frac{80}{5} = 16 = 4 (0,5 p) .$ Cum $σ_{B} = 2 σ_{A}$ , rezultatele clasei $B$ sunt de două ori mai împrăștiate în jurul aceleiași medii: clasa $A$ este omogenă, clasa $B$ are și elevi mult sub, și elevi mult peste medie (0,5 p).

d) (2 p) Într-un sondaj stratificat, fiecare strat este reprezentat proporțional cu ponderea lui în populație (0,5 p). Fracția de sondaj este $\frac{80}{800} = \frac{1}{10}$ , deci $real: \frac{500}{10} = 50 elevi, uman: \frac{300}{10} = 30 elevi (1,5 p) .$ (Control: $50 + 30 = 80$ ✓.) $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Grupul are $7 + 5 = 12$ persoane, iar o delegație nu are ordine internă, deci se folosesc combinări (0,5 p): $C_{12}^{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 495 (1,5 p) .$

b) (2 p) Cele două alegeri se fac independent, deci se aplică regula produsului (0,5 p): $C_{7}^{2} \cdot C_{5}^{2} = 21 \cdot 10 = 210 (1,5 p) .$

c) (2 p) Prin complement: contrarul evenimentului „cel puțin o fată" este „nicio fată", adică toți cei $4$ aleși sunt băieți, ceea ce se poate face în $C_{5}^{4} = 5$ moduri (1 p). Deci $495 - 5 = 490 (1 p) .$

d) (2 p) Toate cele $4$ persoane se aleg dintre cele $7$ fete (1 p): $C_{7}^{4} = C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35 (1 p) .$ (S-a folosit proprietatea combinărilor complementare, care scurtează calculul.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Numărul cazurilor posibile este $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120 (2 p) .$

b) (2 p) Numerele pare din $A$ sunt $2, 4, 6, 8, 10$ , deci sunt $5$ ; cazurile favorabile sunt $C_{5}^{3} = 10$ (1 p). Prin urmare $P = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} (1 p) .$

c) (2 p) Dacă elementul $1$ este fixat, celelalte două se aleg dintre cele $9$ rămase: $C_{9}^{2} = 36$ cazuri favorabile (1 p). Deci $P = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} (1 p) .$

d) (2 p) Evenimentul „cel puțin un număr impar" este contrarul evenimentului „toate numerele sunt pare", calculat la punctul b) (1 p): $P = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} (1 p) .$ (Aceasta este scurtătura de reținut: „cel puțin unul" se numără aproape întotdeauna prin complement, nu pe cazuri.) $■$