Evaluare finală — clasa a XI-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de final de an a clasei a XI-a, pe traseul de matematică-informatică. Ea trece prin toate cele opt unități ale anului — de la matrice și determinanți până la studiul variației cu derivate — și este, dintre cele trei evaluări ale clasei, singura construită în jurul legăturilor dintre capitole. Trei itemi sunt explicit transversali și nu se pot rezolva cu un singur capitol: la itemul $7$ derivata produce o dreaptă (tangenta), căreia i se calculează apoi distanța până la origine și aria triunghiului format cu axele; la itemul $8$ un determinant devine funcție și i se calculează limitele; la itemul $10$ întrebarea „sunt trei drepte concurente?" se traduce într-un sistem și se decide cu un determinant. Un elev care duce la capăt acești trei itemi a înțeles că materia anului nu e o listă de proceduri, ci o singură construcție.

Harta materiei acoperite (repartiția pe cele opt unități, la nivel de subpunct):

• Matrice și operații cu matrice — produsul, transpusa, puterea unei matrice de ordinul al doilea, inducția matematică. (Itemii 2a, 2b, 13b — 8 puncte)
• Permutări, determinanți și matrice inversabile — rangul, determinantul de ordin 2 și 3, inversa, ecuația Hamilton-Cayley. (Itemii 1a, 2c, 8a, 13a, 13c — 10 puncte)
• Sisteme de ecuații liniare — sisteme de tip Cramer, rangul matricei extinse, compatibilitatea. (Itemii 3, 10c — 9 puncte)
• Drepte în planul cartezian — ecuația prin două puncte cu determinant, aria, mijlocul, cazul vertical, distanța de la un punct la o dreaptă, intersecția și concurența. (Itemii 4, 7b, 7c, 10a, 10b — 15 puncte)
• Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri — nedeterminarea $\frac{\infty }{\infty }$, numărul $e$, șiruri recurente și teorema lui Weierstrass. (Itemii 1b, 5a, 5b, 9 — 12 puncte)
• Limite de funcții și continuitate — limitele fundamentale, nedeterminările $\frac{0}{0}$ și $\infty -\infty$, continuitatea unei funcții pe ramuri. (Itemii 5c, 5d, 6a, 8b, 8c — 10 puncte)
• Funcții derivabile — derivatele laterale, derivabilitatea în punctul de racord, ecuația tangentei. (Itemii 1c, 6b, 6c, 7a, 11b — 13 puncte)
• Studiul variației funcțiilor cu derivate — tabelul de variație, extremele, imaginea funcției, inegalități demonstrate cu derivate, optimizare. (Itemii 11a, 11c, 12 — 13 puncte)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute. Fiind o probă de an întreg, cu itemi care cer trecerea de la un capitol la altul în interiorul aceleiași probleme, ea are nevoie de mai mult decât o oră de curs — și de mai mult decât cele $70$ de minute ale evaluărilor semestriale. Orientativ: $20$ de minute pentru Partea I, $35$ pentru Partea a II-a și $35$ pentru Partea a III-a. Dacă orarul nu permite o oră și jumătate, proba se poate administra în două reprize — Partea I împreună cu Partea a II-a într-o oră ($58$ de puncte), Partea a III-a în ora următoare ($32$ de puncte) —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — determinanții, soluțiile sistemelor și rădăcinile derivatelor sunt numere întregi, iar limitele au valori exacte ($2$, $e^3$, $\frac{5}{2}$, $\frac{1}{4}$).
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. Se depunctează: aplicarea formulelor lui Cramer fără verificarea condiției $\Delta \ne 0$; folosirea pantei fără a trata cazul dreptei verticale; aplicarea regulilor lui L'Hôpital în afara cazurilor $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$; monotonia sau convexitatea formulate pe o reuniune de intervale; confuzia dintre punctul de extrem și valoarea extremă; și, la problemele aplicate, răspunsul dat ca număr gol, fără unitate de măsură.
• Referința de examen: Bacalaureat M1. Itemii $11$, $12$ și $13$ sunt scriși în formatul subiectelor de la BAC M1, iar itemii transversali $7$, $8$ și $10$ reproduc tipul de întrebare care leagă două capitole.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe unități:

• Matrice: $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$ $\Rightarrow AB\in {\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{C})$; ${}^t(AB)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$; $\mathrm{tr}(A)$ = suma elementelor de pe diagonala principală.
• Determinanți: regula lui Sarrus numai la ordinul 3; dezvoltarea după o linie $\det A=\sum _j{a}_{ij}{\delta }_{ij}$; $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$; $\mathrm{rang}A$ = ordinul maxim al unui minor nenul; Hamilton-Cayley ($n=2$): $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det (A)I_2=O_2$.
• Sisteme: de tip Cramer când $\Delta =\det A\ne 0$, cu $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$; Kronecker-Capelli: compatibil $⟺\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$.
• Drepte: $y=mx+n$, $ax+by+c=0$, $y-y_0=m(x-x_0)$, forma cu determinant $\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0$; verticala $x=a$ nu are pantă; $m_1{m}_2=-1$ la perpendiculare (drepte neverticale); $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$; $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$ cu $\Delta$ determinantul celor trei vârfuri; mijlocul $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
• Limite: cele șapte nedeterminări $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$; cele cinci limite fundamentale, între care $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$, $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$; teorema lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent.
• Derivate: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$; tangenta $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$.
• Variație: $f^{\prime }>0$ pe un interval $\Rightarrow$ $f$ strict crescătoare acolo (consecința teoremei lui Lagrange); tabelul are rândurile $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$ și $2k+4$ coloane la $k$ puncte marcate; simbolurile $\nearrow$, $\searrow$, $\cup$ („ține apa"), $\cap$ („varsă apa"), $\text{M}$, $\text{m}$, $\text{I}$.
• Atenție la simbolul $\Delta$, folosit în această lucrare cu două înțelesuri, amândouă corecte: la itemii $3$ și $10$ este determinantul unui sistem (convenția de la Cramer), iar la itemul $4$ este determinantul de coliniaritate și arie al unui triplet de puncte. Se recunosc după ce stă pe coloane: coeficienți ai necunoscutelor, respectiv coordonate de vârfuri și o coloană de $1$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Rangul matricei $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ este egal cu: A. $0$; B. $1$; C. $2$; D. $3$.

b) Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este egală cu: A. $1$; B. $e$; C. $0$; D. $+\infty$.

c) Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{2x}$, valoarea lui $f^{\prime }(0)$ este egală cu: A. $1$; B. $2$; C. $e^2$; D. $0$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 9\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right)$ din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

a) Calculează $A\cdot B$ și ${}^{t}A$. (2 p) b) Calculează $\mathrm{tr}(A)$, $\det A$ și $A^2$, apoi verifică egalitatea $A^2-10A+I_2=O_2$. (2 p) c) Determină $A^{-1}$. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații liniare $$\{\begin{array}{l}x+3y-z=2\\ 2x-y+2z=5\\ 4x+y+3z=11\end{array}$$

a) Calculează $\Delta$, determinantul sistemului, și arată că sistemul este de tip Cramer. (2 p) b) Calculează determinanții ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ și ${\Delta }_3$. (2 p) c) Determină soluția sistemului și verific-o în toate cele trei ecuații. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,-1)$, $B(5,3)$ și $C(1,9)$.

a) Scrie ecuația generală a dreptei $AB$, folosind forma cu determinant. (2 p) b) Arată că punctele $A$, $B$, $C$ nu sunt coliniare și calculează aria triunghiului $ABC$. (2 p) c) Determină mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$, scrie ecuația medianei $CM$ și explică de ce ea nu poate fi scrisă sub forma $y=mx+n$. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează limitele următoare (câte 2 puncte), precizând de fiecare dată cazul de nedeterminare și metoda folosită: a) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^3+n}{n^3-4}$; b) $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+2}{n-1}\right)}^n$; c) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{e^{2x}-1}$; d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+x}-2x\right)$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b,& x\le 1\\ 2x+1,& x>1\end{array}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) Determină relația dintre $a$ și $b$ pentru care funcția este continuă în punctul $x_0=1$. (2 p) b) Determină $a$ și $b$ pentru care funcția este derivabilă în $x_0=1$. (3 p) c) Pentru valorile găsite, calculează $f^{\prime }(1)$ și scrie ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $1$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+10$, și fie $t$ tangenta la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0=4$.

a) Scrie ecuația generală a dreptei $t$. (3 p) b) Calculează distanța de la originea $O$ la dreapta $t$. (2 p) c) Determină punctele în care dreapta $t$ taie axele de coordonate și calculează aria triunghiului format de $t$ cu cele două axe. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ 1& x& 1\\ 0& 1& x\end{array}\right)$ și funcția $d:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $d(x)=\det A(x)$.

a) Arată că $d(x)=x^3-2x$ și determină valorile lui $x$ pentru care matricea $A(x)$ nu este inversabilă. (2 p) b) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{d(x)}{x^3+1}$. (2 p) c) Calculează $\underset{x\to \sqrt{2}}{\lim }\frac{d(x)}{x-\sqrt{2}}$. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_1=2$ și $a_{n+1}=\frac{a_n+8}{3}$, pentru orice $n\ge 1$.

a) Calculează $a_2$ și $a_3$ și demonstrează prin inducție matematică faptul că $a_n<4$, pentru orice $n\ge 1$. (2 p) b) Arată că șirul este strict crescător. (2 p) c) Justifică faptul că șirul este convergent și calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip Bacalaureat M1 (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreptele $$d_1:x+3y-9=0,d_2:4x-y-10=0,d_3:mx+y-11=0,$$ unde $m$ este un număr real.

a) Determină coordonatele punctului de intersecție a dreptelor $d_1$ și $d_2$. (2 p) b) Determină valoarea lui $m$ pentru care cele trei drepte sunt concurente, folosind determinantul format cu coeficienții celor trei ecuații. (3 p) c) Pentru valoarea găsită, verifică prin ranguri că sistemul celor trei ecuații este compatibil determinat; apoi arată că pentru $m=1$ sistemul este incompatibil și explică ce înseamnă aceasta din punct de vedere geometric. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2\sqrt{x}-\ln x$.

a) Calculează limitele funcției la capetele domeniului. (2 p) b) Calculează $f^{\prime }(x)$, determină punctul critic și alcătuiește tabelul de variație. (3 p) c) Determină valoarea minimă a funcției, deduce inegalitatea $2\sqrt{x}-\ln x\ge 2$ pentru orice $x>0$ și precizează imaginea funcției. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Numărul utilizatorilor conectați simultan la o platformă, exprimat în mii, la $t$ ore de la lansarea unei campanii, este dat de funcția $N:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $N(t)=\frac{12t}{t^2+9}$.

a) Calculează $N^{\prime }(t)$ și determină punctul critic din interiorul domeniului. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație al funcției $N$, tratând corect capătul închis $t=0$ și limita la $+\infty$. (4 p) c) Precizează după câte ore numărul utilizatorilor conectați este maxim, care este acest maxim și ce înseamnă, în limbajul problemei, valoarea limitei la $+\infty$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 4\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

a) Calculează $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$ și scrie ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A$. (2 p) b) Demonstrează prin inducție matematică faptul că, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $$A^n=\left(\begin{array}{cc}\frac{5^n+3^n}{2}& \frac{5^n-3^n}{2}\\ \frac{5^n-3^n}{2}& \frac{5^n+3^n}{2}\end{array}\right).\text{(4 p)}$$ c) Determină $A^{-1}$ folosind ecuația de la punctul a) și calculează $A^3$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Determinantul de ordin $2$ este $1\cdot 4-2\cdot 2=0$, deci rangul nu este $2$; cum matricea are elemente nenule, există un minor de ordin $1$ nenul, deci $\mathrm{rang}A=1$. (A doua linie este dublul primei — de aceea determinantul se anulează.)

b) B. Este definiția numărului $e$ ca limită a șirului ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. (Varianta A este greșeala clasică: baza tinde la $1$, dar exponentul tinde la $+\infty$, iar $1^{\infty }$ este caz de nedeterminare, nu rezultat.)

c) B. $f^{\prime }(x)=2e^{2x}$ (derivarea funcției compuse), deci $f^{\prime }(0)=2e^0=2$.

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+4\cdot (-1)& 1\cdot 0+4\cdot 3\\ 2\cdot 2+9\cdot (-1)& 2\cdot 0+9\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 12\\ -5& 27\end{array}\right)\text{(1 p)},$$ iar transpusa se obține schimbând liniile cu coloanele: ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 9\end{array}\right)$ (1 p).

b) (2 p) $\mathrm{tr}(A)=1+9=10$ și $\det A=1\cdot 9-4\cdot 2=1$ (0,5 p). Apoi $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1+8& 4+36\\ 2+18& 8+81\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 40\\ 20& 89\end{array}\right)\text{(1 p)},$$ iar $10A=\left(\begin{array}{cc}10& 40\\ 20& 90\end{array}\right)$, deci $A^2-10A+I_2=\left(\begin{array}{cc}9-10+1& 40-40\\ 20-20& 89-90+1\end{array}\right)=O_2$ (0,5 p). (Este exact ecuația Hamilton-Cayley, cu $\mathrm{tr}(A)=10$ și $\det A=1$.)

c) (2 p) Cum $\det A=1\ne 0$, matricea este inversabilă, iar $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }=A^{\ast }$ (1 p): $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}9& -4\\ -2& 1\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ (Verificare: $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_2$. Se putea obține și din punctul b): din $A^2-10A=-I_2$ rezultă $A(10I_2-A)=I_2$, deci $A^{-1}=10I_2-A$.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ 2& -1& 2\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$, iar prin dezvoltare după prima linie $$\Delta =1\cdot (-3-2)-3\cdot (6-8)+(-1)\cdot (2+4)=-5+6-6=-5\text{(1,5 p)}.$$ Sistemul are $3$ ecuații, $3$ necunoscute și $\Delta \ne 0$, deci este de tip Cramer (0,5 p).

b) (2 p) Se înlocuiește pe rând câte o coloană cu coloana termenilor liberi ${}^t(2511)$ — câte 0,5 p pentru primii doi determinanți și 1 p pentru al treilea: $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 5& -1& 2\\ 11& 1& 3\end{array}\right|=-5,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 5& 2\\ 4& 11& 3\end{array}\right|=-5,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& -1& 5\\ 4& 1& 11\end{array}\right|=-10.$$

c) (2 p) Formulele lui Cramer dau (1 p) $$x=\frac{-5}{-5}=1,y=\frac{-5}{-5}=1,z=\frac{-10}{-5}=2,$$ deci $S=\{(1,1,2)\}$. Verificarea în toate ecuațiile (1 p): $1+3-2=2$ ✓; $2-1+4=5$ ✓; $4+1+6=11$ ✓.

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Forma cu determinant a dreptei prin două puncte (1 p): $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ -3& -1& 1\\ 5& 3& 1\end{array}\right|=0⟹x(-1-3)-y(-3-5)+(-9+5)=0⟹-4x+8y-4=0,$$ adică, după împărțirea la $-4$, ecuația generală $AB:x-2y+1=0$ (1 p). (Control: $-3+2+1=0$ pentru $A$ și $5-6+1=0$ pentru $B$.)

b) (2 p) Determinantul de coliniaritate al celor trei puncte (aici $\Delta$ are înțelesul geometric, nu pe cel de determinant al unui sistem): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-3& -1& 1\\ 5& 3& 1\\ 1& 9& 1\end{array}\right|=-3(3-9)+1(5-1)+1(45-3)=18+4+42=64\ne 0\text{(1 p)},$$ deci punctele nu sunt coliniare, iar aria triunghiului este $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |=32\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Mijlocul segmentului $[AB]$ este $$M\left(\frac{-3+5}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=\mathbf{M}(1,1)\text{(1 p)}.$$ Punctele $C(1,9)$ și $M(1,1)$ au aceeași abscisă, deci mediana $CM$ este o dreaptă verticală, de ecuație $x=1$ (0,5 p). Ea nu are pantă — unghiul cu semiaxa pozitivă $Ox$ este de $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există —, prin urmare nu poate fi scrisă sub forma explicită $y=mx+n$; în forma generală $ax+by+c=0$ îi corespunde cazul $b=0$ (0,5 p). (Lungimea medianei este $CM=9-1=8$.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) Caz $\frac{\infty }{\infty }$; scoatem termenul dominant $n^3$ (1 p): $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^3\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}{n^3\left(1-\frac{4}{n^3}\right)}=2\text{(1 p)}.$$

b) Caz $1^{\infty }$. Scriem baza ca $1+u_n$, cu $u_n=\frac{n+2}{n-1}-1=\frac{3}{n-1}\to 0$ (1 p): $${\left(1+\frac{3}{n-1}\right)}^n={\left[{\left(1+\frac{3}{n-1}\right)}^{\frac{n-1}{3}}\right]}^{\frac{3n}{n-1}}⟶e^3\text{(1 p)},$$ pentru că paranteza tinde la $e$, iar exponentul $\frac{3n}{n-1}$ tinde la $3$.

c) Caz $\frac{0}{0}$. Folosim două limite fundamentale, cu substituțiile scrise: $t=5x\to 0$ și $s=2x\to 0$ (1 p): $$\frac{\sin 5x}{e^{2x}-1}=\frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{2x}{e^{2x}-1}\cdot \frac{5x}{2x}⟶1\cdot 1\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{2}\text{(1 p)}.$$ (A doua limită fundamentală folosită este $\underset{s\to 0}{\lim }\frac{e^s-1}{s}=\ln e=1$.)

d) Caz $\infty -\infty$; amplificăm cu conjugata (1 p): $$\sqrt{4x^2+x}-2x=\frac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}=\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}}+2}⟶\frac{1}{4}\text{(1 p)}.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Funcția este continuă în $1$ dacă limitele laterale și valoarea coincid (1 p): $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=1+a+b=f(1),\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=2\cdot 1+1=3.$$ Deci condiția de continuitate este $1+a+b=3$, adică $\mathbf{a}+\mathbf{b}=2$ (1 p).

b) (3 p) Derivabilitatea se studiază numai după ce continuitatea e asigurată (o funcție discontinuă nu poate fi derivabilă) (0,5 p). Pe fiecare ramură derivăm: pentru $x<1$, $f^{\prime }(x)=2x+a$, iar pentru $x>1$, $f^{\prime }(x)=2$ (1 p). Derivatele laterale în $1$ sunt $$f_s^{\prime }(1)=2+a,f_d^{\prime }(1)=2\text{(1 p)}.$$ Egalitatea lor dă $a=0$, iar din relația de la punctul a) rezultă $b=2$ (0,5 p). Deci $\mathbf{a}=0$, $\mathbf{b}=2$.

c) (2 p) Cu aceste valori, $f_s^{\prime }(1)=f_d^{\prime }(1)=2$, ambele finite și egale, deci $f$ este derivabilă în $1$, cu $f^{\prime }(1)=2$ (1 p). Cum $f(1)=3$, tangenta în punctul $(1,3)$ are ecuația $y-3=2(x-1)$, adică $$y=2x+1\text{(1 p)}.$$ (Este chiar ramura din dreapta: graficul se continuă lin, fără colț, cu propria tangentă.)

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) $f(4)=16-20+10=6$ (0,5 p); $f^{\prime }(x)=2x-5$, deci $f^{\prime }(4)=3$ (1,5 p). Panta tangentei este $f^{\prime }(4)=3$, iar ecuația ei este $y-6=3(x-4)$ (0,5 p), adică $y=3x-6$, sau, în formă generală, $$t:3x-y-6=0\text{(0,5 p)}.$$

b) (2 p) Cu $a=3$, $b=-1$, $c=-6$ și $O(0,0)$ (0,5 p): $$d(O,t)=\frac{|3\cdot 0-0-6|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}\text{(1,5 p)}.$$

c) (2 p) Intersecția cu $Ox$ ($y=0$): $3x=6$, deci $P(2,0)$; intersecția cu $Oy$ ($x=0$): $-y=6$, deci $Q(0,-6)$ (1 p). Triunghiul $OPQ$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OP=2$ și $OQ=6$, deci $${\mathcal{S}}_{OPQ}=\frac{2\cdot 6}{2}=6\text{(1 p)}.$$ (Control cu determinantul de arie pentru $O(0,0)$, $P(2,0)$, $Q(0,-6)$: $|\Delta |=12$, deci $\mathcal{S}=6$ ✓.)

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Dezvoltăm după prima linie (1 p): $$d(x)=x\left|\begin{array}{cc}x& 1\\ 1& x\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& x\end{array}\right|+0=x(x^2-1)-x=x^3-2x.$$ Matricea nu este inversabilă exact când $d(x)=0$, adică $x(x^2-2)=0$, deci pentru $x\in \{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}$ (1 p).

b) (2 p) Caz $\frac{\infty }{\infty }$; împărțim prin $x^3$ (1 p): $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3-2x}{x^3+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x^3}}=1\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Caz $\frac{0}{0}$, pentru că $d(\sqrt{2})=0$. Factorizăm folosind rădăcinile găsite la punctul a) (1 p): $$\frac{d(x)}{x-\sqrt{2}}=\frac{x\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{x-\sqrt{2}}=x\left(x+\sqrt{2}\right)⟶\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4\text{(1 p)}.$$ (Observație: limita calculată este chiar $d^{\prime }(\sqrt{2})$ — definiția derivatei în punctul $\sqrt{2}$; într-adevăr, $d^{\prime }(x)=3x^2-2$ dă $d^{\prime }(\sqrt{2})=6-2=4$.)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) $a_2=\frac{2+8}{3}=\frac{10}{3}$ și $a_3=\frac{\frac{10}{3}+8}{3}=\frac{34}{9}$ (0,5 p). Verificare pentru $n=1$: $a_1=2<4$ (0,5 p). Pas inductiv: dacă $a_k<4$, atunci $a_k+8<12$, deci $a_{k+1}=\frac{a_k+8}{3}<4$ (1 p). Conform principiului inducției, $a_n<4$ pentru orice $n\ge 1$.

b) (2 p) Calculăm diferența a doi termeni consecutivi (1 p): $$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n+8}{3}-a_n=\frac{8-2a_n}{3}=\frac{2}{3}\left(4-a_n\right).$$ Din punctul a) știm că $a_n<4$, deci $4-a_n>0$ și diferența este strict pozitivă: șirul este strict crescător (1 p).

c) (2 p) Șirul este monoton (crescător) și mărginit ($2\le a_n<4$), deci, conform teoremei lui Weierstrass, este convergent (1 p). Trecând la limită în relația de recurență, cu $\ell =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$, obținem $\ell =\frac{\ell +8}{3}$, adică $3\ell =\ell +8$, deci $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=4\text{(1 p)}.$$

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Rezolvăm sistemul format de primele două ecuații. Determinantul lui este $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& -1\end{array}\right|=-13\ne 0$, deci dreptele $d_1$ și $d_2$ sunt concurente și au un singur punct comun (1 p). Din $x=9-3y$ și $4(9-3y)-y=10$ obținem $36-13y=10$, deci $y=2$ și $x=3$: $$d_1\cap d_2=\{P(3,2)\}\text{(1 p)}.$$

b) (3 p) Cele trei drepte sunt concurente exact când sistemul format de cele trei ecuații (trei ecuații, două necunoscute) este compatibil, adică atunci când determinantul coeficienților și al termenilor liberi se anulează (1 p): $$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -9\\ 4& -1& -10\\ m& 1& -11\end{array}\right|=1(11+10)-3(-44+10m)-9(4+m)=21+132-30m-36-9m=117-39m\text{(1,5 p)}.$$ Condiția $117-39m=0$ dă $\mathbf{m}=3$ (0,5 p). (Verificare directă: pentru $m=3$, dreapta $d_3:3x+y-11=0$ trece prin $P(3,2)$, deoarece $9+2-11=0$.)

c) (3 p) Pentru $m=3$, matricea sistemului și cea extinsă sunt $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& -1\\ 3& 1\end{array}\right),\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 9\\ 4& -1& 10\\ 3& 1& 11\end{array}\right)\text{(0,5 p)}.$$ Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& -1\end{array}\right|=-13\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$, iar $\det \overline{A}=0$ arată că $\mathrm{rang}\overline{A}=2$. Din teorema Kronecker-Capelli, sistemul este compatibil, iar cum rangul comun este egal cu numărul necunoscutelor ($2$), este compatibil determinat: cele trei drepte trec prin același punct (1,5 p). Pentru $m=1$, avem $117-39=78\ne 0$, adică $\det \overline{A}\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2=\mathrm{rang}A$: sistemul este incompatibil. Geometric, cele trei drepte nu au niciun punct comun; fiind două câte două neparalele, ele se taie în trei puncte diferite și formează un triunghi (1 p). $■$

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) La capătul din stânga, când $x\to 0$, $x>0$: $2\sqrt{x}\to 0$, iar $\ln x\to -\infty$, deci $-\ln x\to +\infty$ și $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty \text{(1 p)}.$$ La $+\infty$ avem caz $\infty -\infty$; scoatem forțat factor comun $\sqrt{x}$. Limita raportului $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ este caz $\frac{\infty }{\infty }$, iar prin regulile lui L'Hôpital $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{x}}=0,$$ adică radicalul crește mai repede decât logaritmul. Prin urmare $$f(x)=\sqrt{x}\left(2-\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right)⟶+\infty \text{(1 p)}.$$

b) (3 p) Funcția este derivabilă pe $(0,+\infty )$, iar $$f^{\prime }(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x}-1}{x}\text{(1,5 p)}.$$ Cum $x>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $\sqrt{x}-1$: negativ pentru $x\in (0,1)$, nul în $x=1$ (punct critic), pozitiv pentru $x>1$ (0,5 p). Cu $k=1$ punct marcat, tabelul are $2\cdot 1+4=6$ coloane:

(1 p) (La capătul finit exclus din domeniu, rândul derivatei primește bara $|$, iar rândul funcției limita laterală; la $+\infty$ celula derivatei rămâne goală.)

c) (3 p) Citirea tabelului: funcția este strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$, deci $x=1$ este punct de minim global, iar valoarea minimă este $$f(1)=2\sqrt{1}-\ln 1=2\text{(1 p)}.$$ Fiind minim global, $f(x)\ge f(1)$ pentru orice $x>0$, adică $2\sqrt{\mathbf{x}}-\ln \mathbf{x}\ge 2$, cu egalitate numai pentru $x=1$ (1 p). Cum funcția este continuă, scade de la $+\infty$ la $2$ și crește apoi la $+\infty$, imaginea ei este $$\mathrm{Im}f=[2,+\infty )\text{(1 p)}.$$ (Consecință imediată: ecuația $f(x)=m$ nu are soluții pentru $m<2$, are exact una pentru $m=2$ și exact două pentru $m>2$.) $■$

Itemul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Aplicăm regula câtului (1 p): $$N^{\prime }(t)=\frac{12(t^2+9)-12t\cdot 2t}{(t^2+9{)}^2}=\frac{12\left(9-{\mathbf{t}}^2\right)}{{\left({\mathbf{t}}^2+9\right)}^2}.$$ Numitorul este strict pozitiv, deci semnul lui $N^{\prime }$ este dat de $9-t^2$; pe domeniul $[0,+\infty )$ derivata se anulează numai în $t=3$, punctul critic (1 p).

b) (4 p) Valorile necesare: $N(0)=0$, $N(3)=\frac{36}{18}=2$, $N^{\prime }(0)=\frac{12\cdot 9}{81}=\frac{4}{3}$, iar la $+\infty$ $$\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{12t}{t^2+9}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{12}{t}}{1+\frac{9}{t^2}}=0\text{(1,5 p)}.$$ Semnul derivatei: pozitiv pe $(0,3)$, negativ pe $(3,+\infty )$ (0,5 p). Cu $k=1$ punct marcat, tabelul are $6$ coloane:

(2 p) (Capătul $t=0$ este închis: în rândul derivatei se scrie valoarea derivatei laterale, $\frac{4}{3}$, iar în rândul funcției valoarea $N(0)=0$, cu marcajul de minim. La $+\infty$ celula derivatei rămâne goală, iar în rândul funcției se scrie limita, $0$.)

c) (2 p) Numărul utilizatorilor conectați simultan este maxim după $3$ ore de la lansarea campaniei, iar maximul este $N(3)=2$, adică $2000$ de utilizatori (1 p). Limita $0$ la $+\infty$ înseamnă că, pe termen lung, efectul campaniei se stinge: numărul utilizatorilor conectați simultan scade oricât de aproape de zero, fără să atingă vreodată această valoare (1 p). (Din tabel se citește și imaginea funcției: $\mathrm{Im}N=[0,2]$.) $■$

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $\mathrm{tr}(A)=4+4=8$ și $\det A=16-1=15$ (1 p), deci ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A$ este $$A^2-8A+15I_2=O_2\text{(1 p)}.$$ (Verificare: $A^2=\left(\begin{array}{cc}17& 8\\ 8& 17\end{array}\right)$, iar $8A-15I_2=\left(\begin{array}{cc}32-15& 8\\ 8& 32-15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}17& 8\\ 8& 17\end{array}\right)$.)

b) (4 p) Verificarea pentru $n=1$: $\frac{5+3}{2}=4$ și $\frac{5-3}{2}=1$, deci formula dă chiar $A$ (0,5 p). Pasul inductiv: presupunem formula adevărată pentru $n=k$ și notăm $u=\frac{5^k+3^k}{2}$, $v=\frac{5^k-3^k}{2}$ (0,5 p). Atunci $$A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ v& u\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4u+v& u+4v\\ 4v+u& v+4u\end{array}\right)\text{(1,5 p)}.$$ Calculăm elementul de pe diagonală (1 p): $$4u+v=\frac{4\cdot 5^k+4\cdot 3^k+5^k-3^k}{2}=\frac{5\cdot 5^k+3\cdot 3^k}{2}=\frac{5^{k+1}+3^{k+1}}{2},$$ iar pentru celălalt element, analog, $u+4v=\frac{5^k+3^k+4\cdot 5^k-4\cdot 3^k}{2}=\frac{5^{k+1}-3^{k+1}}{2}$ (0,5 p). Matricea obținută are exact forma cerută pentru $k+1$, deci, conform principiului inducției matematice, formula este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

c) (2 p) Din ecuația de la punctul a): $A^2-8A=-15I_2$, adică $A\left(8I_2-A\right)=15I_2$ (0,5 p), deci $$A^{-1}=\frac{1}{15}\left(8I_2-A\right)=\frac{1}{15}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{15}& -\frac{1}{15}\\ -\frac{1}{15}& \frac{4}{15}\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ Pentru $n=3$, formula de la punctul b) dă $\frac{125+27}{2}=76$ și $\frac{125-27}{2}=49$, deci $$A^3=\left(\begin{array}{cc}76& 49\\ 49& 76\end{array}\right)\text{(0,5 p)}.$$ (Control: $\det A^3=76^2-49^2=3375=15^3$, așa cum cere proprietatea $\det (A^3)=(\det A{)}^3$.) $■$