Evaluare finală mate-info — clasa a X-a

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de final de an pentru traseul de matematică-informatică al clasei a X-a. Ea trece prin toate cele șase capitole ale anului: puteri, exponențiale și logaritmi, metode de numărare, numere complexe (în ambele forme, algebrică și trigonometrică), polinoame, statistică matematică și probabilități, inclusiv cele trei scheme clasice. Este cel mai transversal test al anului și, pe alocuri, arată explicit legăturile dintre capitole: schema lui Poisson se rezolvă construind și desfăcând un polinom, iar numărul de succese se citește dintr-un coeficient — o singură problemă care folosește, în același timp, combinatorica, algebra polinoamelor și probabilitățile. Un elev care duce la capăt itemul 11 a înțeles anul, nu doar l-a parcurs.

Harta materiei acoperite:

Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică — proprietățile logaritmilor, ecuații exponențiale și logaritmice cu condiții de existență, modelarea creșterii și a descreșterii exponențiale. (Itemii 1a, 2, 12 — 16 puncte)
Numere complexe — modul, conjugat, forma trigonometrică, formula lui Moivre, rădăcinile de ordinul $n$ , ecuații binome, rădăcinile unității. (Itemii 1b, 3, 9 — 14 puncte)
Polinoame — împărțirea cu rest, schema lui Horner, teorema restului, teorema lui Bézout, descompunerea în factori, relațiile lui Viète, ecuații algebrice cu rădăcini conjugate. (Itemii 1c, 5, 10 — 18 puncte)
Statistică matematică — tabele de frecvențe, frecvențe relative, medie, mediană, mod, cuartile, amplitudine, abatere intercuartilică și abatere standard. (Itemii 4, 8 — 12 puncte)
Metode de numărare — formula de recurență a combinărilor, termenul general al dezvoltării binomiale, aranjamente, submulțimi. (Itemii 6, 13 — 15 puncte)
Probabilități și schemele clasice — schema bilei revenite (Bernoulli), schema bilei nerevenite (hipergeometrică), schema lui Poisson și legea probabilității totale. (Itemii 7, 11 — 15 puncte)

Cum se aplică:

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 90 de minute. Fiind o probă de an întreg, ea are nevoie de mai mult decât o oră de curs; orientativ, $20$ de minute pentru Partea I, $35$ pentru Partea a II-a și $35$ pentru Partea a III-a. Dacă orarul nu permite o oră și jumătate, proba se poate administra în două reprize — Partea I împreună cu Partea a II-a într-o oră ( $58$ de puncte), Partea a III-a în ora următoare ( $32$ de puncte) —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — logaritmii care apar sunt logaritmi ai unor puteri exacte, argumentele numerelor complexe sunt unghiuri de bază, iar datele statistice au fost alese ca mediile și abaterile standard să iasă numere întregi.
Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La ecuațiile logaritmice, lipsa condițiilor de existență se depunctează chiar dacă rezultatul final este corect. La schemele de probabilitate se cere precizarea schemei folosite și motivul alegerii ei (cu revenire sau fără revenire, probabilități egale sau diferite).
Referința de examen: Bacalaureat M1.

Interpretarea rezultatului:

Punctaj	Nivel	Ce înseamnă
90–100 p	foarte bine	Anul e stăpânit integral; se poate porni în clasa a XI-a fără recuperări.
75–89 p	bine	Baza e solidă. De reluat, în vacanță, doar capitolul cu cele mai multe puncte pierdute.
60–74 p	satisfăcător	Exercițiile standard ies, cele transversale încă nu. De lucrat pe probleme care combină două capitole.
45–59 p	insuficient	Lipsesc automatismele. Recomandat: recapitulare de vară pe polinoame, numere complexe și scheme de probabilitate.
sub 45 p	de reluat	Se reia anul capitol cu capitol, în ordinea din manual, cu câte un test scurt după fiecare.

Formule de reținut, pe capitole:

Logaritmi: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ); $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ ; $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ ; $lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$ ; $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ .
Numere complexe: $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ ; forma trigonometrică $z = r (cos φ + i sin φ)$ , cu $φ \in [0, 2 π)$ ; Moivre: $z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ ; rădăcinile de ordinul $n$ : $z_{k} = n r (cos \frac{φ + 2 k π}{n} + i sin \frac{φ + 2 k π}{n})$ , $k = \overline{0, n - 1}$ .
Polinoame: teorema împărțirii cu rest, $f = g \cdot c + r$ cu $grad r < grad g$ ; teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ ; teorema lui Bézout: $(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0$ ; Viète pentru $a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ : $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}$ , $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ ; la coeficienți reali, rădăcinile complexe apar în perechi conjugate.
Statistică: $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}$ ; cuartilele se obțin ca mediană a jumătății inferioare, mediană a setului și mediană a jumătății superioare, valoarea mediană fiind exclusă din jumătăți când $n$ este impar; $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ ; abaterea standard a populației $σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ , a unui eșantion $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ .
Schemele clasice: Bernoulli (bila revenită, probe independente cu aceeași probabilitate $p$ ): $P (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ ; hipergeometrică (bila nerevenită): $P = \frac{C _{a}^{k} \cdot C _{b}^{n - k}}{C _{a + b}^{n}}$ ; Poisson ( $n$ probe cu probabilități diferite $p_{i}$ ): probabilitatea de a obține exact $k$ succese este coeficientul lui $x^{k}$ din produsul $i = 1 \prod n (p_{i} x + q_{i})$ , cu $q_{i} = 1 - p_{i}$ .
Legea probabilității totale: dacă $A_{1}, \dots, A_{n}$ formează un sistem complet de evenimente, atunci $P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) \cdot P (B ∣ A_{i})$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea expresiei $l g 100 + lo g_{2} \frac{1}{8}$ este egală cu: A. $- 1$ ; B. $1$ ; C. $5$ ; D. $- 5$ .

b) Modulul numărului complex $z = - 3 + 4 i$ este egal cu: A. $1$ ; B. $5$ ; C. $7$ ; D. $25$ .

c) Restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 2 X + 5$ la $X - 1$ este egal cu: A. $2$ ; B. $3$ ; C. $4$ ; D. $5$ .

Itemul 2 (6 puncte)

a) Calculează $lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5$ . (2 p) b) Rezolvă în $R$ ecuația $5^{x + 1} = 125$ . (2 p) c) Rezolvă în $R$ ecuația $lo g_{2} (x + 3) = 3$ , scriind mai întâi condiția de existență. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Se consideră numărul complex $z = 1 + i 3$ .

a) Determină modulul și argumentul redus ale lui $z$ și scrie forma trigonometrică a lui $z$ . (2 p) b) Calculează $z^{3}$ , folosind formula lui Moivre. (2 p) c) Calculează $z^{6}$ . (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Numărul de ore de sport practicate săptămânal de cei $20$ de elevi ai unei clase este dat în tabelul următor:

Număr de ore	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Număr de elevi	$3$	$5$	$6$	$4$	$2$

a) Calculează frecvențele relative, exprimate în procente, pentru valorile $3$ și $4$ . (2 p) b) Calculează media numărului de ore. (2 p) c) Determină mediana și modul setului de date. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X - 2$ .

a) Determină câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ , folosind schema lui Horner. (3 p) b) Determină restul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ . (2 p) c) Determină numărul real $m$ pentru care polinomul $h = X^{3} + m X^{2} - 4 X + 6$ este divizibil cu $X - 1$ . (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Arată că $C_{9}^{2} + C_{9}^{3} = C_{10}^{3}$ . (2 p) b) Determină numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $C_{n}^{2} = 28$ . (2 p) c) Determină termenul care îl conține pe $x^{6}$ din dezvoltarea $(x^{2} + \frac{1}{x})^{9}$ , $x \neq = 0$ . (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) O monedă echilibrată este aruncată de $5$ ori. Calculează probabilitatea de a obține exact $3$ steme, precizând schema folosită. (3 p) b) O urnă conține $6$ bile albe și $4$ bile negre. Se extrag simultan $3$ bile. Calculează probabilitatea ca exact $2$ dintre ele să fie albe, precizând schema folosită. (4 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Punctajele obținute de cinci elevi la o probă practică sunt: $7, 9, 10, 11, 13.$ Se consideră datele drept întreaga populație studiată.

a) Calculează media și mediana setului de date. (2 p) b) Determină cuartilele $Q_{1}$ și $Q_{3}$ , amplitudinea și abaterea intercuartilică. (2 p) c) Calculează abaterea standard. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Rezolvă în $C$ ecuația $z^{3} = 8$ . (3 p) b) Determină rădăcinile de ordinul $4$ ale unității și calculează suma lor. (3 p)

✏️Ilustrație: planul complex cu cercul unitate desenat continuu; pe el sunt marcate cu buline cele patru rădăcini de ordinul 4 ale unității, în punctele de afixe 1, i, −1, −i, unite două câte două prin laturile unui pătrat trasat punctat, cu centrul în origine.

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip Bacalaureat M1 (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ .

a) Scrie relațiile lui Viète pentru rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ ale polinomului $f$ . (2 p) b) Arată că $x = 1$ este rădăcină a lui $f$ și descompune $f$ în factori de gradul I. (3 p) c) Rezolvă în $C$ ecuația $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 5 = 0$ , știind că admite rădăcina $x = 1$ . (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Trei trăgători trag, independent, câte un foc la aceeași țintă. Probabilitățile lor de a nimeri ținta sunt $p_{1} = \frac{1}{2}$ , $p_{2} = \frac{2}{3}$ și $p_{3} = \frac{3}{4}$ . Calculează probabilitatea ca exact doi dintre ei să nimerească ținta și probabilitatea ca toți trei să o nimerească. Precizează schema folosită. (4 p)

b) Două urne conțin bile albe și negre: urna $U_{1}$ are $3$ bile albe și $2$ negre, iar urna $U_{2}$ are $1$ bilă albă și $4$ negre. Se alege la întâmplare o urnă, cu aceeași probabilitate, apoi se extrage din ea o bilă. Calculează probabilitatea ca bila extrasă să fie albă. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) O substanță radioactivă are timpul de înjumătățire de $10$ ani: la fiecare $10$ ani, masa ei se reduce la jumătate. Inițial se aveau $80$ de grame din această substanță. Notăm cu $m (t)$ masa rămasă după $t$ ani.

a) Scrie formula funcției $m$ . (2 p) b) Calculează masa rămasă după $30$ de ani. (2 p) c) După câți ani mai rămân $5$ grame din substanță? (2 p) d) Exprimă timpul $t$ în funcție de masa $m$ , folosind logaritmul, și calculează $t$ pentru $m = 20$ de grame. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, \dots, 9}$ .

a) Determinați numărul submulțimilor cu $4$ elemente ale mulțimii $M$ . (2 p) b) Determinați câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $M$ . (2 p) c) Determinați numărul submulțimilor cu $4$ elemente ale mulțimii $M$ care conțin elementul $9$ și nu conțin elementul $1$ . (2 p) d) Arătați că mulțimea $M$ are $512$ submulțimi, dintre care exact $256$ au un număr par de elemente. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) A. $l g 100 = lo g_{10} 1 0^{2} = 2$ , iar $lo g_{2} \frac{1}{8} = lo g_{2} 2^{- 3} = - 3$ ; suma este $2 + (- 3) = - 1$ .

b) B. $∣ z ∣ = (- 3)^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ . (Varianta D, $25$ , este $∣ z ∣^{2}$ — se uită radicalul.)

c) C. Din teorema restului, restul este $f (1) = 1 - 2 + 5 = 4$ . (Nu e nevoie de efectuarea împărțirii.)

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Diferența logaritmilor cu aceeași bază este logaritmul câtului (1 p): $lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5 = lo g_{2} \frac{40}{5} = lo g_{2} 8 = 3 (1 p) .$

b) (2 p) $125 = 5^{3}$ , deci $5^{x + 1} = 5^{3}$ (1 p); funcția exponențială de bază $5$ fiind injectivă, exponenții sunt egali: $x + 1 = 3$ , deci $x = 2$ (1 p).

c) (2 p) Condiția de existență: $x + 3 > 0$ , adică $x > - 3$ (0,5 p). Din definiția logaritmului, $x + 3 = 2^{3} = 8$ (1 p), deci $x = 5$ (0,5 p); cum $5 > - 3$ , soluția convine.

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) $r = ∣ z ∣ = 1^{2} + (3)^{2} = 4 = 2$ (0,5 p). Argumentul redus $φ \in [0, 2 π)$ îndeplinește $cos φ = \frac{1}{2}$ și $sin φ = \frac{3}{2}$ ; ambele coordonate fiind pozitive, punctul se află în cadranul I, deci $φ = \frac{π}{3}$ (1 p). Așadar $z = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) (0,5 p) .$

b) (2 p) Formula lui Moivre (1 p): $z^{3} = 2^{3} (cos π + i sin π) = 8 \cdot (- 1 + 0 \cdot i) = - 8 (1 p) .$ (Verificare algebrică: $z^{2} = 1 + 2 i 3 - 3 = - 2 + 2 i 3$ , iar $z^{3} = (- 2 + 2 i 3) (1 + i 3) = - 2 - 2 i 3 + 2 i 3 - 6 = - 8$ ✓.)

c) (2 p) Fie prin Moivre, $z^{6} = 2^{6} (cos 2 π + i sin 2 π) = 64$ , fie ridicând la pătrat rezultatul precedent (1 p): $z^{6} = (z^{3})^{2} = (- 8)^{2} = 64 (1 p) .$

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Efectivul total este $n = 3 + 5 + 6 + 4 + 2 = 20$ (0,5 p): $f_{3} = \frac{5}{20} = 25% (0,75 p), f_{4} = \frac{6}{20} = 30% (0,75 p) .$

b) (2 p) Media ponderată: $\overset{x}{ˉ} = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 2}{20} = \frac{6 + 15 + 24 + 20 + 12}{20} = \frac{77}{20} = 3, 85 (2 p) .$

c) (2 p) Efectivul $n = 20$ fiind par, mediana este media valorilor de pe pozițiile $10$ și $11$ . Frecvențele cumulate sunt $3, 8, 14, 18, 20$ , deci ambele poziții cad în clasa valorii $4$ (1 p): $Q_{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4 .$ Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare, adică tot $4$ (apare de $6$ ori) (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Schema lui Horner cu $a = 2$ , pe coeficienții $1, - 4, 5, - 2$ (1 p):

	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
$a = 2$	$1$	$- 2$	$1$	$0$

Ultimul număr este restul, iar celelalte sunt coeficienții câtului (1 p): $c = X^{2} - 2 X + 1, r = 0 (1 p) .$ (Verificare prin înmulțire înapoi: $(X - 2) (X^{2} - 2 X + 1) = X^{3} - 2 X^{2} + X - 2 X^{2} + 4 X - 2 = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X - 2$ ✓. Restul fiind nul, $f$ se divide cu $X - 2$ ; de altfel $f = (X - 2) (X - 1)^{2}$ .)

b) (2 p) Din teorema restului, restul împărțirii la $X + 1 = X - (- 1)$ este $f (- 1)$ (1 p): $f (- 1) = - 1 - 4 - 5 - 2 = - 12 (1 p) .$

c) (3 p) Din teorema lui Bézout, $(X - 1) ∣ h ⟺ h (1) = 0$ (1,5 p). Calculăm $h (1) = 1 + m - 4 + 6 = m + 3 (1 p),$ deci $m + 3 = 0$ , adică $m = - 3$ (0,5 p). (Verificare: pentru $m = - 3$ , $h = X^{3} - 3 X^{2} - 4 X + 6$ și $h (1) = 1 - 3 - 4 + 6 = 0$ ✓; câtul împărțirii la $X - 1$ este $X^{2} - 2 X - 6$ .)

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Este formula de recurență a combinărilor, $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}$ , cu $n = 10$ și $k = 3$ (1 p). Numeric: $C_{9}^{2} = 36, C_{9}^{3} = 84, 36 + 84 = 120 = C_{10}^{3} ✓ (1 p) .$

b) (2 p) $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 28$ , deci $n^{2} - n - 56 = 0$ (1 p); cu $Δ = 225$ obținem $n = \frac{1 + 15}{2} = 8$ (soluția $- 7$ se respinge) (1 p).

c) (3 p) Termenul general este $T_{k + 1} = C_{9}^{k} (x^{2})^{9 - k} (\frac{1}{x})^{k} = C_{9}^{k} x^{18 - 3 k} (1,5 p) .$ Cerem $18 - 3 k = 6$ , deci $k = 4$ (1 p), iar termenul este $T_{5} = C_{9}^{4} x^{6} = 126 x^{6} (0,5 p) .$

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Cele $5$ aruncări sunt probe independente, fiecare cu aceeași probabilitate de succes $p = \frac{1}{2}$ , deci se aplică schema lui Bernoulli (schema bilei revenite) (1 p): $P (3 steme) = C_{5}^{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{2} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} (2 p) .$ (Control: toate cele $2^{5} = 32$ de șiruri de rezultate sunt egal probabile, iar $10$ dintre ele au exact trei steme.)

b) (4 p) Extragerea simultană înseamnă fără revenire, iar bilele sunt de două culori, deci se aplică schema bilei nerevenite (hipergeometrică) (1,5 p). Numărul cazurilor posibile este $C_{10}^{3} = 120$ , iar cel al cazurilor favorabile este $C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{1}$ (1,5 p): $P = \frac{C _{6}^{2} \cdot C _{4}^{1}}{C _{10}^{3}} = \frac{15 \cdot 4}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} (1 p) .$ (De reținut deosebirea: cu revenire — Bernoulli, cu combinări doar pentru ordinea succeselor; fără revenire — hipergeometrică, cu combinări și la numărător, și la numitor.)

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Suma datelor este $7 + 9 + 10 + 11 + 13 = 50$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{50}{5} = 10 (1 p) .$ Datele sunt deja ordonate, iar $n = 5$ este impar, deci mediana este valoarea din mijloc, a treia: $Q_{2} = 10$ (1 p).

b) (2 p) Valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți (0,5 p): jumătatea inferioară este $7, 9$ , iar cea superioară $11, 13$ . Prin urmare $Q_{1} = \frac{7 + 9}{2} = 8, Q_{3} = \frac{11 + 13}{2} = 12 (1 p) .$ Amplitudinea este $13 - 7 = 6$ , iar $IQR = 12 - 8 = 4$ (0,5 p).

c) (2 p) Datele fiind considerate întreaga populație, se folosește $σ$ , cu împărțire la $n$ (0,5 p). Abaterile față de medie sunt $- 3, - 1, 0, 1, 3$ , cu suma pătratelor $9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20$ (1 p), deci $σ = \frac{20}{5} = 4 = 2 (0,5 p) .$ (Dacă cele cinci punctaje ar fi fost un eșantion dintr-o populație mai mare, s-ar fi folosit $s = \frac{20}{4} = 5$ — de aici importanța precizării din enunț.)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Ecuația este o ecuație binomă. Scriem $8$ în formă trigonometrică: $8 = 8 (cos 0 + i sin 0)$ (0,5 p). Rădăcinile de ordinul $3$ sunt $z_{k} = 38 (cos \frac{2 k π}{3} + i sin \frac{2 k π}{3}) = 2 (cos \frac{2 k π}{3} + i sin \frac{2 k π}{3}), k \in {0, 1, 2} (1,5 p) .$ Concret (1 p): $z_{0} = 2, z_{1} = 2 (- \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}) = - 1 + i 3, z_{2} = - 1 - i 3 .$ (Verificare directă pentru $z_{1}$ : $z_{1}^{2} = 1 - 2 i 3 - 3 = - 2 - 2 i 3$ , iar $z_{1}^{3} = (- 2 - 2 i 3) (- 1 + i 3) = 2 - 2 i 3 + 2 i 3 + 6 = 8$ ✓.)

b) (3 p) Rădăcinile de ordinul $4$ ale unității sunt soluțiile ecuației $z^{4} = 1$ , adică $z_{k} = cos \frac{2 k π}{4} + i sin \frac{2 k π}{4}, k \in {0, 1, 2, 3} ⟹ 1, i, - 1, - i (2 p) .$ Suma lor este $1 + i + (- 1) + (- i) = 0 (1 p) .$ (Rezultatul nu e o coincidență: imaginile celor patru rădăcini sunt vârfurile unui pătrat cu centrul în origine, iar suma afixelor vârfurilor unui poligon regulat cu centrul în origine este întotdeauna nulă. Algebric, ele sunt rădăcinile lui $z^{4} - 1$ , iar suma lor este coeficientul lui $z^{3}$ cu semn schimbat, adică $0$ .)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Pentru $f = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ , cu $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = 11$ , $d = - 6$ (0,5 p): $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6, x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 11, x_{1} x_{2} x_{3} = 6 (1,5 p) .$

b) (3 p) $f (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ , deci, prin teorema lui Bézout, $X - 1$ divide $f$ (1 p). Împărțind (de exemplu cu schema lui Horner) obținem câtul $X^{2} - 5 X + 6$ (1 p), ale cărui rădăcini sunt $2$ și $3$ , deci $f = (X - 1) (X - 2) (X - 3) (1 p) .$ (Control cu punctul a): $1 + 2 + 3 = 6$ ✓, $1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 11$ ✓, $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ ✓.)

c) (3 p) Cum $1 - 5 + 9 - 5 = 0$ , $x = 1$ este într-adevăr rădăcină, deci polinomul se divide cu $X - 1$ (0,5 p). Prin schema lui Horner obținem câtul $x^{2} - 4 x + 5$ (1 p), deci ecuația devine $(x - 1) (x^{2} - 4 x + 5) = 0 (0,5 p) .$ Pentru $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ avem $Δ = 16 - 20 = - 4$ , deci $- 4 = 2 i$ și $x_{2, 3} = \frac{4 \pm 2 i}{2} = 2 \pm i$ (0,5 p). Soluțiile sunt $x \in {1, 2 + i, 2 - i} (0,5 p) .$ (Cele două rădăcini nereale sunt conjugate — așa se întâmplă întotdeauna la un polinom cu coeficienți reali. Verificare prin înmulțire înapoi: $(x - 1) (x^{2} - 4 x + 5) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - x^{2} + 4 x - 5 = x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 5$ ✓.) $■$

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Probele sunt independente, dar au probabilități de succes diferite, deci nu se poate folosi schema lui Bernoulli: se aplică schema lui Poisson (1 p). Cu $q_{i} = 1 - p_{i}$ , construim produsul de binoame $Q (x) = (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}) (\frac{3}{4} x + \frac{1}{4}) = \frac{1}{24} (x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (1 p) .$ Desfacem produsul: $(2 x + 1) (3 x + 1) = 6 x^{2} + 5 x + 1$ , apoi $(x + 1) (6 x^{2} + 5 x + 1) = 6 x^{3} + 11 x^{2} + 6 x + 1 (1 p),$ deci $Q (x) = \frac{1}{24} (6 x^{3} + 11 x^{2} + 6 x + 1)$ . Probabilitatea de a avea exact doi nimeriți este coeficientul lui $x^{2}$ , iar cea de a-i avea pe toți trei este coeficientul lui $x^{3}$ (1 p): $P (exact 2) = \frac{11}{24}, P (to ț i trei) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} .$ (Două controale: suma tuturor coeficienților este $\frac{6 + 11 + 6 + 1}{24} = 1$ ✓, iar coeficientul dominant trebuie să fie $p_{1} p_{2} p_{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ ✓.)

b) (4 p) Alegerea urnei formează un sistem complet de evenimente: $P (U_{1}) = P (U_{2}) = \frac{1}{2}$ (1 p). Probabilitățile condiționate de a extrage o bilă albă sunt $P (A ∣ U_{1}) = \frac{3}{5}, P (A ∣ U_{2}) = \frac{1}{5} (1 p) .$ Prin legea probabilității totale (1 p): $P (A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} (1 p) .$ (Observație: rezultatul $\frac{2}{5}$ este media aritmetică a celor două probabilități condiționate — lucru valabil tocmai pentru că urnele au fost alese cu aceeași probabilitate și conțin același număr de bile.) $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) După fiecare interval de $10$ ani masa se înmulțește cu $\frac{1}{2}$ , deci după $t$ ani au trecut $\frac{t}{10}$ astfel de intervale (1 p): $m (t) = 80 \cdot (\frac{1}{2})^{t /10} = 80 \cdot 2^{- t/10} grame (1 p) .$

b) (2 p) $m (30) = 80 \cdot 2^{- 3} = \frac{80}{8} = 10$ grame (2 p). (Control pe pași: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ , adică trei înjumătățiri.)

c) (2 p) Rezolvăm $80 \cdot 2^{- t /10} = 5$ , deci $2^{- t /10} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = 2^{- 4}$ (1 p). Funcția exponențială fiind injectivă, $- \frac{t}{10} = - 4$ , adică $t = 40$ de ani (1 p).

d) (2 p) Din $m = 80 \cdot 2^{- t /10}$ obținem $2^{t /10} = \frac{80}{m}$ , iar prin definiția logaritmului $t = 10 lo g_{2} \frac{80}{m} (1 p) .$ Pentru $m = 20$ : $\frac{80}{20} = 4 = 2^{2}$ , deci $t = 10 \cdot 2 = 20$ de ani (1 p). (Coerent cu punctul b): două înjumătățiri înseamnă exact $20$ de ani.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) O submulțime nu ține cont de ordine, deci $C_{9}^{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126 (2 p) .$

b) (2 p) Cifrele sunt distincte și ordinea contează, iar cifra $0$ nu face parte din $M$ , deci nu există restricții la prima poziție (1 p): $A_{9}^{3} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504 (1 p) .$

c) (2 p) Elementul $9$ este fixat în submulțime, iar $1$ este exclus; rămân de ales $3$ elemente dintre celelalte $7$ (1 p): $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35 (1 p) .$

d) (2 p) O mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi (fiecare element este ori luat, ori lăsat — două variante independente), deci $M$ are $2^{9} = 512$ submulțimi (1 p). Numărul celor cu un număr par de elemente este $C_{9}^{0} + C_{9}^{2} + C_{9}^{4} + C_{9}^{6} + C_{9}^{8} = 1 + 36 + 126 + 84 + 9 = 256 (1 p) .$ (Justificare elegantă, acceptată integral: punând $a = 1$ și $b = - 1$ în binomul lui Newton se obține $(1 - 1)^{9} = k = 0 \sum 9 (- 1)^{k} C_{9}^{k} = 0$ , deci suma combinărilor de rang par este egală cu suma celor de rang impar; cum împreună dau $2^{9} = 512$ , fiecare valorează $256$ .) $■$