Evaluare sumativă — semestrul 1, clasa a X-a

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de la finalul primului semestru pe traseul de trunchi comun al clasei a X-a. Ea acoperă exact cele două capitole parcurse până acum, în părți egale: aplicațiile trigonometriei în geometrie — teorema cosinusului, teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiului, ariile — și metodele de numărare — permutări, aranjamente, combinări, triunghiul lui Pascal și binomul lui Newton. Sunt două lumi diferite ca stil de gândire, iar proba le pune față în față tocmai pentru că elevul trebuie să învețe să comute între ele: în geometrie se caută o relație între mărimi date, în combinatorică se caută o structură a alegerilor. Nu există itemi-capcană; există însă itemi care cer ca alegerea instrumentului să fie făcută conștient, nu prin reflex.

Harta materiei acoperite (fiecare bloc primește exact $45$ de puncte):

• Trigonometria în triunghiul oarecare — sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze, teorema cosinusului în ambele sensuri (aflarea unei laturi și aflarea unui unghi), natura triunghiului dedusă din laturi, teorema sinusurilor și raza cercului circumscris. (Itemii 1a, 2, 3, 5 — 22 de puncte)
• Arii și măsurători indirecte — aria cu formula sinusului, formula lui Heron, descompunerea unei suprafețe poligonale în triunghiuri, aplicații pe teren și în navigație. (Itemii 6, 10, 11 — 23 de puncte)
• Numărare elementară — factorial, permutări, aranjamente, combinări, alegerea metodei potrivite, numărarea prin complement. (Itemii 1b, 1c, 4, 7, 9, 12 — 31 de puncte)
• Combinări, Pascal și binomul lui Newton — combinări complementare, formula de recurență, dezvoltarea unei puteri a unui binom, suma coeficienților binomiali. (Itemii 8, 13 — 14 puncte)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs). Fiind o evaluare sumativă de semestru, ea este gândită să încapă într-o singură oră, cu ritm susținut: aproximativ $12$ minute pentru Partea I, $18$ pentru Partea a II-a și $20$ pentru Partea a III-a.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate unghiurile care apar sunt unghiuri de bază ($30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $120^{\circ }$), iar numerele au fost alese ca laturile și ariile să iasă exacte. Radicalii nu se aproximează, iar fracțiile se lasă ireductibile.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La itemii de numărare, un rezultat corect fără raționamentul de numărare (ce se alege, câte variante are fiecare etapă, de ce se înmulțește sau se adună) primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului.
• La profilul real: teorema cosinusului și teorema sinusurilor s-au studiat în clasa a IX-a, la programa cu mai multe ore de matematică; pentru acești elevi itemii de geometrie sunt, prin urmare, recapitulare, iar proba se dă integral.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut:

• Teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, de unde $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
• Natura triunghiului (cu $a$ cea mai mare latură): dacă $a^2<b^2+c^2$ este ascuțitunghic, dacă $a^2=b^2+c^2$ este dreptunghic, dacă $a^2>b^2+c^2$ este obtuzunghic.
• Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
• Unghiuri obtuze: $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$; în particular $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ și $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Arii: $\mathcal{S}=\frac{bc\sin A}{2}$; formula lui Heron $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, cu $p=\frac{a+b+c}{2}$; $\mathcal{S}=\frac{a\cdot h_a}{2}$.
• Numărare: $P_n=n!$; $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$; $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; $A_n^k=C_n^k\cdot k!$.
• Combinări: $C_n^k=C_n^{n-k}$ (complementare) și $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$ (recurență, adică regula triunghiului lui Pascal).
• Binomul lui Newton: $(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, cu termenul general $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ și $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$.
• Numărarea prin complement: numărul cazurilor „cel puțin unul" $=$ total $-$ numărul cazurilor „niciunul".

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea lui $\cos 120^{\circ }$ este egală cu: A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$; B. $\frac{1}{2}$; C. $-\frac{1}{2}$; D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) Numărul de moduri în care pot fi așezate în rând $4$ cărți diferite este: A. $8$; B. $12$; C. $16$; D. $24$.

c) Valoarea lui $C_6^2$ este egală cu: A. $12$; B. $15$; C. $30$; D. $36$.

Itemul 2 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $AC=8$ și măsura unghiului $A$ egală cu $60^{\circ }$.

a) Calculează lungimea laturii $BC$. (2 p) b) Calculează $\cos B$. (2 p) c) Precizează natura triunghiului $ABC$ (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic), cu justificare. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc măsura unghiului $A$ egală cu $45^{\circ }$, măsura unghiului $B$ egală cu $60^{\circ }$ și $BC=6$.

a) Determină măsura unghiului $C$. (2 p) b) Calculează lungimea laturii $AC$. (2 p) c) Calculează raza $R$ a cercului circumscris triunghiului. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

a) Calculează $\frac{6!}{4!}+P_3$. (2 p) b) Calculează $A_7^2-C_7^2$. (2 p) c) Determină numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^2=10$. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $AC=3$ și măsura unghiului $A$ egală cu $120^{\circ }$.

a) Calculează lungimea laturii $BC$. (2 p) b) Calculează $\cos B$ și $\sin B$. (3 p) c) Calculează aria triunghiului $ABC$ și raza cercului circumscris. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $BC=14$, $CA=15$ și $AB=13$.

a) Calculează aria triunghiului folosind formula lui Heron. (3 p) b) Calculează lungimea înălțimii din $A$. (2 p) c) Calculează $\sin A$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) În câte moduri pot fi așezate $5$ cărți diferite, una lângă alta, pe un raft? (2 p) b) Câte „cuvinte" de câte $3$ litere distincte se pot forma cu literele mulțimii $\{A,B,C,D,E,F\}$? (2 p) c) Într-o clasă sunt $12$ fete și $10$ băieți. Câte echipe de $4$ elevi, formate din exact $2$ fete și $2$ băieți, se pot alcătui? (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Dezvoltă, folosind binomul lui Newton, $(x+2{)}^4$. (3 p) b) Pentru dezvoltarea lui $(a+b{)}^5$, calculează suma coeficienților binomiali și scrie al treilea termen al dezvoltării, $T_3$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte):

a) $C_{10}^3=C_{10}^7$. b) Numărul submulțimilor cu $2$ elemente ale unei mulțimi cu $6$ elemente este egal cu $A_6^2$. c) $C_5^2+C_5^3=C_6^3$.

Partea a III-a – Probleme, aplicații practice și itemi de tip Bacalaureat (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un teren are forma triunghiului $ABC$, în care $AB=80$ m, $AC=50$ m, iar unghiul dintre aceste două laturi are măsura de $60^{\circ }$.

a) Calculează lungimea laturii $BC$. (2 p) b) Calculează aria terenului. (2 p) c) Calculează $\cos B$. (2 p) d) Terenul se împrejmuiește cu gard pe tot conturul. Calculează lungimea gardului și costul lucrării, dacă un metru de gard costă $45$ de lei. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră patrulaterul convex $ABCD$ în care $AB=9$, $BC=12$, unghiul $B$ este drept, iar $CD=13$ și $DA=14$.

a) Calculează lungimea diagonalei $AC$. (2 p) b) Calculează aria triunghiului $ABC$. (2 p) c) Calculează aria triunghiului $ACD$. (2 p) d) Calculează aria patrulaterului $ABCD$ și $\cos D$, unde $D$ este unghiul $ADC$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un cod de acces are $4$ caractere: primele două sunt litere din mulțimea $\{A,B,C,D,E\}$, iar ultimele două sunt cifre din mulțimea $\{0,1,2,\dots ,9\}$.

a) Câte coduri se pot forma, dacă repetarea caracterelor este permisă? (2 p) b) Câte coduri au cele două litere distincte între ele și cele două cifre distincte între ele? (2 p) c) Câte coduri conțin cel puțin o cifră egală cu $0$? (2 p) d) Câte coduri au cele două litere identice? (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$.

a) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $A$. (2 p) b) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $A$ care conțin elementul $1$. (2 p) c) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $A$ formate numai din numere pare. (2 p) d) Arătați că $C_8^3=C_7^2+C_7^3$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Unghiul de $120^{\circ }$ este obtuz, iar $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$, deci $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$. (Varianta B apare dacă se uită schimbarea de semn la unghiurile obtuze.)

b) D. Este vorba de o permutare a celor $4$ cărți: $P_4=4!=24$.

c) B. $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$. (Varianta C, $30$, este $A_6^2$ — ea ar fi răspunsul dacă ordinea ar conta.)

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Aplicăm teorema cosinusului pentru latura $BC=a$, opusă unghiului $A$: $$a^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49,$$ deci $BC=7$ (2 p). (Verificare a existenței triunghiului: $5+7=12>8$ ✓.)

b) (2 p) Unghiul $B$ este opus laturii $AC=8$, iar laturile care îl cuprind sunt $BC=7$ și $AB=5$: $$\cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2\cdot BC\cdot AB}=\frac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\text{(2 p)}.$$

c) (2 p) Cea mai mare latură este $AC=8$, iar $8^2=64$, în timp ce $7^2+5^2=49+25=74$ (1 p). Cum $64<74$, unghiul opus celei mai mari laturi este ascuțit, deci triunghiul este ascuțitunghic (1 p). (Coerent cu punctul b): $\cos B=\frac{1}{7}>0$.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$, deci $$C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }\text{(2 p)}.$$

b) (2 p) Latura $AC=b$ este opusă unghiului $B$, iar $BC=a=6$ este opusă unghiului $A$. Din teorema sinusurilor $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ (1 p) obținem $$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{6}}{2}=3\sqrt{6}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Tot din teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=2R$ (1 p), deci $$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{6}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\text{(1 p)}.$$ (Verificare pe cealaltă latură: $\frac{b}{2\sin B}=\frac{3\sqrt{6}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=3\sqrt{2}$ ✓.)

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) $\frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30$ (1 p) și $P_3=3!=6$, deci suma este $30+6=36$ (1 p). (Simplificarea $\frac{6!}{4!}$ se face fără a calcula factorialele întregi: se taie $4!$.)

b) (2 p) $A_7^2=7\cdot 6=42$ și $C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21$ (1 p), deci diferența este $42-21=21$ (1 p). (Observație: $A_7^2=2\cdot C_7^2$, pentru că $A_n^k=C_n^k\cdot k!$.)

c) (2 p) $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=10$, deci $n(n-1)=20$, adică $n^2-n-20=0$ (1 p). Cu $\Delta =1+80=81$ obținem $n_{1,2}=\frac{1\pm 9}{2}$, adică $n=5$ sau $n=-4$; cum $n$ este natural, $n=5$ (1 p). (Verificare: $C_5^2=10$ ✓.)

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Unghiul $A$ fiind obtuz, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (0,5 p). Din teorema cosinusului: $$B{C}^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=25+9+15=49,$$ deci $BC=7$ (1,5 p). (Semnul plus vine din cosinusul negativ — aici se greșește cel mai des. Triunghiul $3,5,7$ există: $3+5=8>7$ ✓.)

b) (3 p) Unghiul $B$ este opus laturii $AC=3$: $$\cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2\cdot BC\cdot AB}=\frac{49+25-9}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{65}{70}=\frac{13}{14}\text{(1,5 p)}.$$ Din formula fundamentală, ${\sin }^{2}B=1-\frac{169}{196}=\frac{27}{196}$ (1 p), iar $B$ fiind unghi de triunghi are sinusul pozitiv, deci $$\sin B=\frac{\sqrt{27}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\text{(0,5 p)}.$$

c) (3 p) Aria cu formula sinusului, folosind cele două laturi care formează unghiul $A$: $$\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}=\frac{5\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}\text{(1,5 p)}.$$ (Verificare cu Heron: $p=\frac{15}{2}$, iar $\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{5}{2}}=\sqrt{\frac{675}{16}}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$ ✓.) Din teorema sinusurilor, $2R=\frac{BC}{\sin A}$ (0,5 p), deci $$R=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\text{(1 p)}.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Semiperimetrul este $p=\frac{14+15+13}{2}=21$ (1 p). Formula lui Heron dă $$\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot (21-14)\cdot (21-15)\cdot (21-13)}=\sqrt{21\cdot 7\cdot 6\cdot 8}=\sqrt{7056}=84\text{(2 p)}.$$ (Gruparea comodă: $21\cdot 6=126$ și $7\cdot 8=56$, iar $126\cdot 56=7056=84^2$.)

b) (2 p) Din $\mathcal{S}=\frac{BC\cdot h_a}{2}$ (1 p) rezultă $$h_a=\frac{2\mathcal{S}}{BC}=\frac{168}{14}=12\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Unghiul $A$ este cuprins între laturile $AB=13$ și $AC=15$, deci $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$ (1 p), de unde $$\sin A=\frac{2\mathcal{S}}{AB\cdot AC}=\frac{168}{195}=\frac{56}{65}\text{(1 p)}.$$ (Control: $\cos A=\frac{13^2+15^2-14^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{33}{65}$, iar ${\left(\frac{56}{65}\right)}^2+{\left(\frac{33}{65}\right)}^2=\frac{3136+1089}{4225}=1$ ✓.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Toate cele $5$ cărți sunt așezate, iar ordinea contează: este o permutare. $$P_5=5!=120\text{(2 p)}.$$

b) (2 p) Se aleg $3$ litere din $6$, fără repetiție și cu ordine (cuvintele „ABC" și „BAC" sunt diferite), deci sunt aranjamente (1 p): $$A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120\text{(1 p)}.$$

c) (3 p) Echipa nu are ordine internă, deci se folosesc combinări, iar cele două alegeri (fete, băieți) se fac independent, deci se aplică regula produsului (1 p): $$C_{12}^2\cdot C_{10}^2=66\cdot 45=2970\text{(2 p)}.$$ (Detaliu: $C_{12}^2=\frac{12\cdot 11}{2}=66$ și $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Cu $a=x$, $b=2$ și $n=4$: $$(x+2{)}^4=C_4^0{x}^4+C_4^1{x}^3\cdot 2+C_4^2{x}^2\cdot 2^2+C_4^{3}x\cdot 2^3+C_4^4\cdot 2^4\text{(1,5 p)},$$ iar cu $C_4^0=1$, $C_4^1=4$, $C_4^2=6$, $C_4^3=4$, $C_4^4=1$ obținem $$(x+2{)}^4={\mathbf{x}}^4+8{\mathbf{x}}^3+24{\mathbf{x}}^2+32x+16\text{(1,5 p)}.$$ (Verificare rapidă pentru $x=1$: membrul stâng $3^4=81$, membrul drept $1+8+24+32+16=81$ ✓.)

b) (3 p) Suma coeficienților binomiali este $$C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=2^5=32\text{(1,5 p)}.$$ (Se obține și punând $a=b=1$ în binomul lui Newton.) Termenul general este $T_{k+1}=C_5^k{a}^{5-k}{b}^k$; pentru al treilea termen luăm $k=2$ (0,5 p): $$T_3=C_5^2{a}^3{b}^2=10{\mathbf{a}}^3{\mathbf{b}}^2\text{(1 p)}.$$

Itemul 9. (6 p) — câte 2 puncte (1 p pentru A/F, 1 p pentru justificare).

a) Adevărat. Este proprietatea combinărilor complementare, $C_n^k=C_n^{n-k}$, aici cu $n=10$, $k=3$ și $n-k=7$. (Verificare: ambele sunt egale cu $120$. Ideea din spate: a alege $3$ elemente înseamnă a lăsa deoparte $7$.)

b) Fals. O submulțime nu are ordine, deci numărul cerut este $C_6^2=15$, nu $A_6^2=30$. (Relația corectă este $A_6^2=C_6^2\cdot 2!$: fiecare submulțime de $2$ elemente dă $2$ aranjamente.)

c) Adevărat. Este formula de recurență a combinărilor, $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$, cu $n=6$ și $k=3$. (Numeric: $10+10=20=C_6^3$ ✓. Este exact regula după care se construiește triunghiul lui Pascal.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Din teorema cosinusului, cu unghiul $A=60^{\circ }$ cuprins între laturile date: $$B{C}^2=80^2+50^2-2\cdot 80\cdot 50\cdot \frac{1}{2}=6400+2500-4000=4900,$$ deci $BC=70$ m (2 p). (Triunghiul $50,70,80$ există: $50+70=120>80$ ✓.)

b) (2 p) Aria cu formula sinusului: $$\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }}{2}=\frac{80\cdot 50\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=1000\sqrt{3}{\text{m}}^2\approx 1732{\text{m}}^2\text{(2 p)}.$$

c) (2 p) Unghiul $B$ este opus laturii $AC=50$: $$\cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2\cdot BC\cdot AB}=\frac{4900+6400-2500}{2\cdot 70\cdot 80}=\frac{8800}{11200}=\frac{11}{14}\text{(2 p)}.$$

d) (2 p) Perimetrul este $80+50+70=200$ m (1 p), deci costul împrejmuirii este $$200\cdot 45=9000\text{lei}\text{(1 p)}.$$

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$, deci, din teorema lui Pitagora, $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=81+144=225⟹AC=15\text{(2 p)}.$$ (Se poate obține și din teorema cosinusului cu $\cos 90^{\circ }=0$ — teorema lui Pitagora este cazul ei particular.)

b) (2 p) Într-un triunghi dreptunghic aria este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{9\cdot 12}{2}=54\text{(2 p)}.$$

c) (2 p) Triunghiul $ACD$ are laturile $13$, $14$ și $15$, deci $p=21$ (0,5 p) și, cu formula lui Heron, $${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84\text{(1,5 p)}.$$ (Aici $p-CD=21-13=8$, $p-DA=21-14=7$, $p-AC=21-15=6$.)

d) (2 p) Diagonala $AC$ împarte patrulaterul convex în cele două triunghiuri, deci ariile se adună: $${\mathcal{S}}_{ABCD}=54+84=138\text{(1 p)}.$$ Unghiul $D$ este opus laturii $AC=15$ în triunghiul $ACD$, iar laturile care îl cuprind sunt $DA=14$ și $DC=13$: $$\cos D=\frac{14^2+13^2-15^2}{2\cdot 14\cdot 13}=\frac{196+169-225}{364}=\frac{140}{364}=\frac{5}{13}\text{(1 p)}.■$$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Codul se construiește în $4$ etape independente: $5$ variante pentru fiecare literă și $10$ pentru fiecare cifră. Prin regula produsului (1 p): $$5\cdot 5\cdot 10\cdot 10=25\cdot 100=2500\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Literele distincte se aleg cu ordine și fără repetiție: $A_5^2=20$; la fel cifrele: $A_{10}^2=90$ (1 p). Prin regula produsului, $$20\cdot 90=1800\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Se numără prin complement. Codurile fără niciun $0$ au $9$ variante pentru fiecare cifră, deci sunt $5^2\cdot 9^2=25\cdot 81=2025$ (1 p). Prin urmare $$2500-2025=475\text{(1 p)}.$$ (Contrariul lui „cel puțin o cifră $0$" este „nicio cifră $0$" — nu „exact o cifră $0$".)

d) (2 p) Litera se alege o singură dată și se repetă: $5$ variante; cifrele rămân libere, $10\cdot 10=100$ variante (1 p). Deci $$5\cdot 100=500\text{(1 p)}.$$

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) O submulțime nu ține cont de ordine, deci numărul cerut este $$C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=56\text{(2 p)}.$$

b) (2 p) Elementul $1$ este deja fixat în submulțime; rămân de ales $2$ elemente dintre celelalte $7$ (1 p): $$C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Numerele pare din $A$ sunt $2,4,6,8$, deci sunt $4$ (0,5 p); se aleg $3$ dintre ele: $$C_4^3=C_4^1=4\text{(1,5 p)}.$$ (S-a folosit proprietatea combinărilor complementare: a alege $3$ din $4$ înseamnă a lăsa deoparte $1$.)

d) (2 p) Este formula de recurență a combinărilor. Numeric: $C_7^2=21$ și $C_7^3=35$ (1 p), iar $$21+35=56=C_8^3\text{(1 p)}.$$ (Justificarea prin numărare, acceptată integral: submulțimile cu $3$ elemente ale lui $A$ se împart în cele care conțin elementul $8$ — care sunt $C_7^2$, pentru că restul de $2$ elemente se aleg dintre celelalte $7$ — și cele care nu îl conțin, adică $C_7^3$. Cele două categorii nu se suprapun și acoperă tot, deci numerele lor se adună. Este exact regula după care fiecare număr din triunghiul lui Pascal este suma celor două de deasupra lui.) $■$