Evaluare sumativă — semestrul 1, clasa a XI-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de la finalul primului semestru al clasei a XI-a, pe traseul de matematică-informatică. Ea acoperă cele patru capitole parcurse până acum, în părți aproape egale: matricele și puterile lor, permutările, determinanții și inversa unei matrice, sistemele de ecuații liniare și dreptele în planul cartezian. Primele trei capitole formează un lanț: o matrice devine determinant, determinantul decide inversabilitatea, iar inversabilitatea decide dacă un sistem are soluție unică. Al patrulea capitol pare, la prima vedere, altceva — dar exact acolo determinantul își arată fața geometrică: același tablou de trei linii care spunea „sistem de tip Cramer" spune acum „trei puncte coliniare" sau „arie egală cu…". Proba este construită ca elevul să vadă lanțul, nu patru insule.

Harta materiei acoperite:

• Matrice și operații cu matrice — tipuri de matrice, combinații liniare, produsul necomutativ, transpusa, puterea unei matrice cu $A^2=\mathrm{tr}(A)A$, familia $A(a)=I_2+aB$ cu $B^2=O_2$. (Itemii 1a, 2, 5, 13 — 24 de puncte)
• Permutări, determinanți și matrice inversabile — inversiuni și semnul unei permutări, determinantul de ordin 3 pe două căi, ecuații cu determinant, inversa cu matricea adjunctă, ecuații matriceale, ecuația Hamilton-Cayley. (Itemii 1b, 3, 6, 11 — 23 de puncte)
• Sisteme de ecuații liniare — sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice, teorema Kronecker-Capelli, teorema lui Rouché, sisteme compatibile nedeterminate, discuția după un parametru. (Itemii 7, 8, 10 — 21 de puncte)
• Drepte în planul cartezian — panta, cele patru forme ale ecuației dreptei, cazul vertical, coliniaritatea cu determinant, distanța de la un punct la o dreaptă, aria triunghiului, piciorul perpendicularei. (Itemii 1c, 4, 9, 12 — 22 de puncte)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 70 de minute. Este mai mult decât la testele de capitol ale clasei (câte $50$ de minute), pentru că itemii cer aici lanțuri lungi de calcul — un determinant de ordin 3, o inversă cu adjunctă și o discuție după parametru nu se scriu în ritmul unui exercițiu de fixare. Orientativ: $15$ minute pentru Partea I, $27$ pentru Partea a II-a și $28$ pentru Partea a III-a. Dacă ora nu poate fi prelungită, proba se dă în două reprize — Părțile I și a II-a într-o oră ($58$ de puncte), Partea a III-a în ora următoare ($32$ de puncte) —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate numerele au fost alese ca determinanții, inversele și soluțiile să iasă exacte, cu fracții ireductibile și radicali nesimplificați numeric.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. Se depunctează: aplicarea regulii lui Sarrus la un determinant de ordin 4 (ea funcționează numai la ordinul 3), folosirea formulelor lui Cramer fără a verifica întâi $\Delta \ne 0$, „împărțirea" a două matrice, discuția după parametru fără tratarea valorilor care anulează determinantul și, la geometrie, folosirea pantei fără a spune ce se întâmplă când dreapta este verticală.
• Referința de examen: Bacalaureat M1. Itemii $11$, $12$ și $13$ sunt scriși în formatul subiectelor de la BAC M1.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut:

• Produsul a două matrice se poate face doar când numărul de coloane al primei este egal cu numărul de linii al celei de-a doua: $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$ dau $AB\in {\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{C})$. Înmulțirea nu este comutativă.
• Transpusa: ${}^t(AB)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$ (ordinea se inversează). Urma: $\mathrm{tr}(A)$ = suma elementelor de pe diagonala principală.
• Determinantul de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie: $\det A=\sum _{j=1}^3{a}_{ij}{\delta }_{ij}$, cu ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$. Regula lui Sarrus NU se extinde la ordinul 4.
• Inversa cu adjuncta: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, unde $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici; există exact când $\det A\ne 0$.
• Ecuația Hamilton-Cayley pentru $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$: $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det (A)I_2=O_2$.
• Sistem de tip Cramer: $n$ ecuații, $n$ necunoscute, $\Delta =\det A\ne 0$; atunci $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, unde ${\Delta }_k$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi.
• Rangul $\mathrm{rang}A$ = cel mai mare ordin al unui minor nenul. Kronecker-Capelli: sistemul e compatibil $⟺\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$; dacă valoarea comună este $r<n$, sistemul e nedeterminat, cu $n-r$ necunoscute secundare.
• Dreapta: ecuația explicită $y=mx+n$; ecuația generală $ax+by+c=0$; prin punct cu panta dată $y-y_0=m(x-x_0)$; prin două puncte $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$. Dreapta verticală are ecuația $x=a$ și nu are pantă.
• Paralelism și perpendicularitate: $m_1=m_2$, respectiv $m_1{m}_2=-1$ (numai pentru drepte neverticale); general: $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$, respectiv $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$.
• Distanța de la un punct la o dreaptă: $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, cu $h:ax+by+c=0$. Piciorul perpendicularei: $N(x_0-ak,y_0-bk)$, cu $k=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}$.
• Aria unui triunghi: $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|$, ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |$; coliniaritate $⟺\Delta =0$; scurtătura $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$.
• Atenție la simbolul $\Delta$, care apare în această lucrare cu două înțelesuri, amândouă corecte: la itemii $7$ și $10$ el este determinantul sistemului (convenția de la Cramer), iar la itemii $9$ și $12$ este determinantul de coliniaritate și arie al celor trei puncte. Contextul le desparte fără echivoc: unul are pe coloane coeficienții necunoscutelor, celălalt coordonatele vârfurilor și o coloană de $1$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{C})$, atunci produsul $AB$ aparține mulțimii: A. ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$; B. ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$; C. ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$; D. ${\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{C})$.

b) Valoarea determinantului $\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& 1\end{array}\right|$ este egală cu: A. $-5$; B. $5$; C. $11$; D. $-11$.

c) Panta dreptei $d:2x+3y-6=0$ este egală cu: A. $\frac{2}{3}$; B. $-\frac{2}{3}$; C. $\frac{3}{2}$; D. $-\frac{3}{2}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& 0\end{array}\right)$ din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

a) Calculează $2A-3B$. (2 p) b) Calculează $A\cdot B$ și $B\cdot A$ și precizează dacă cele două produse sunt egale. (2 p) c) Verifică, pe acest exemplu, egalitatea ${}^t(AB)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

a) Se consideră permutarea $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 1& 4& 2\end{array}\right)\in S_4$. Determină numărul de inversiuni $m(\sigma )$ și semnul $\epsilon (\sigma )$, precizând dacă permutarea este pară sau impară. (2 p) b) Calculează $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 0& 4& -2\\ 1& 5& 1\end{array}\right)$, folosind regula lui Sarrus, și verifică rezultatul prin dezvoltare după prima linie. (2 p) c) Determină numerele reale $x$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}x& 2& 3\\ 2& x& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-5,4)$ și $B(1,-4)$.

a) Calculează panta dreptei $AB$ și scrie ecuația explicită a acestei drepte. (2 p) b) Scrie ecuația generală a dreptei $AB$ și stabilește, pentru fiecare dintre punctele $E(-2,0)$ și $G(0,1)$, dacă aparține dreptei. (2 p) c) Se consideră punctele $C(3,-1)$ și $D(3,6)$. Scrie ecuația dreptei $CD$ și explică de ce ea nu poate fi scrisă sub forma $y=mx+n$. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

a) Calculează $A^2$ și arată că $A^2=5A$. (2 p) b) Demonstrează prin inducție matematică faptul că $A^n=5^{n-1}A$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (4 p) c) Calculează $A^5$ și $\mathrm{tr}(A^5)$. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

a) Calculează $\det A$ și precizează dacă matricea este inversabilă. (2 p) b) Determină $A^{-1}$, folosind matricea adjunctă. (3 p) c) Rezolvă ecuația matriceală $A\cdot X=B$, unde $B=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 4\end{array}\right)$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații liniare $$\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x-y+3z=12\\ 3x+y+z=10\end{array}$$

a) Scrie matricea $A$ a sistemului, calculează $\Delta =\det A$ și arată că sistemul este de tip Cramer. (2 p) b) Calculează determinanții ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ și ${\Delta }_3$. (3 p) c) Determină soluția sistemului și verific-o în toate cele trei ecuații. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& -1\\ 3& 4& 0\end{array}\right)$.

a) Arată că $\det A=0$ și determină $\mathrm{rang}A$, precizând un minor principal. (2 p) b) Stabilește, folosind teorema Kronecker-Capelli, natura sistemului care are matricea $A$ și coloana termenilor liberi ${}^t(4914)$. (2 p) c) Rezolvă sistemul care are matricea $A$ și coloana termenilor liberi ${}^t(4913)$, scriind soluția generală ca mulțime. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,2)$, $B(3,4)$ și $C(0,8)$.

a) Scrie ecuația generală a dreptei $AB$. (2 p) b) Calculează distanța de la punctul $C$ la dreapta $AB$. (2 p) c) Calculează aria triunghiului $ABC$ pe două căi: cu determinantul de arie și cu formula $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)$. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip Bacalaureat M1 (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real $m$: $$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+my+z=3\\ x+y+m^{2}z=m+2\end{array}$$

a) Calculează determinantul $\Delta$ al sistemului și arată că $\Delta =(m-1{)}^2(m+1)$. (2 p) b) Rezolvă sistemul pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. (3 p) c) Discută natura sistemului în cazurile $m=1$ și $m=-1$, iar acolo unde sistemul este compatibil scrie mulțimea soluțiilor. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

a) Calculează $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$ și verifică prin calcul direct egalitatea $A^2-3A+2I_2=O_2$. (2 p) b) Deduce din relația de la punctul a) că $A$ este inversabilă și determină $A^{-1}$. (2 p) c) Demonstrează prin inducție matematică faptul că $A^n=(2^n-1)A-(2^n-2)I_2$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, și calculează $A^4$. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Planul unui parc este desenat într-un reper cartezian $xOy$, cu unitatea de măsură de $100$ de metri pe fiecare axă. Cele trei intrări ale parcului se află în punctele $A(1,2)$, $B(9,6)$ și $C(3,10)$, iar între $A$ și $B$ există o alee dreaptă.

a) Scrie ecuația generală a dreptei $AB$ și verifică dacă fântâna aflată în punctul $D(5,4)$ se găsește pe alee. (2 p) b) Calculează aria suprafeței triunghiulare $ABC$, exprimată în hectare ($1$ ha $=10000$ m²). (2 p) c) Calculează distanța de la intrarea $C$ la aleea $AB$, exprimată în metri. (2 p) d) Determină coordonatele piciorului $N$ al perpendicularei din $C$ pe dreapta $AB$ și scrie ecuația generală a aleii $CN$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right)$ și, pentru fiecare număr real $a$, matricea $A(a)=I_2+aB$.

a) Arată că $B^2=O_2$, scrie matricea $A(a)$ și calculează $\det A(a)$. (2 p) b) Arată că $A(a)\cdot A(b)=A(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$. (2 p) c) Arată că $A(a)$ este inversabilă pentru orice $a\in \mathbb{R}$ și că $(A(a){)}^{-1}=A(-a)$. (2 p) d) Demonstrează că $(A(a){)}^n=A(na)$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, și calculează $(A(3){)}^{10}$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) A. Produsul se poate efectua pentru că prima matrice are $3$ coloane, iar a doua are $3$ linii; matricea-produs păstrează numărul de linii al primei ($2$) și numărul de coloane al celei de-a doua ($2$), deci $AB\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$. (Varianta B este $BA$, care aici are ordinul $3$ — o ilustrare a necomutativității.)

b) C. $\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& 1\end{array}\right|=3\cdot 1-(-2)\cdot 4=3+8=11$. (Varianta A apare dacă se scade greșit produsul secundar, uitând semnul minus din interiorul determinantului.)

c) B. Se aduce ecuația la forma explicită: $3y=-2x+6$, deci $y=-\frac{2}{3}x+2$, iar panta este coeficientul lui $x$, adică $-\frac{2}{3}$. (Verificare: punctele $(3,0)$ și $(0,2)$ verifică ecuația, iar $\frac{2-0}{0-3}=-\frac{2}{3}$.)

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) $2A=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ -4& 8\end{array}\right)$ și $3B=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 15& 0\end{array}\right)$ (1 p), deci $$2A-3B=\left(\begin{array}{cc}2-6& 6+3\\ -4-15& 8-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 9\\ -19& 8\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Fiecare element se obține înmulțind o linie a primei matrice cu o coloană a celei de-a doua: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+3\cdot 5& 1\cdot (-1)+3\cdot 0\\ -2\cdot 2+4\cdot 5& -2\cdot (-1)+4\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}17& -1\\ 16& 2\end{array}\right)\text{(1 p)},$$ $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+(-1)\cdot (-2)& 2\cdot 3+(-1)\cdot 4\\ 5\cdot 1+0\cdot (-2)& 5\cdot 3+0\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 5& 15\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ Cele două produse nu sunt egale: înmulțirea matricelor nu este comutativă. (Control: $\mathrm{tr}(AB)=17+2=19$ și $\mathrm{tr}(BA)=4+15=19$ — urmele coincid întotdeauna, chiar dacă produsele diferă.)

c) (2 p) ${}^t(AB)=\left(\begin{array}{cc}17& 16\\ -1& 2\end{array}\right)$ (1 p). Pe de altă parte, ${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& 0\end{array}\right)$ și ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 4\end{array}\right)$, deci $${}^{t}B\cdot {}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+5\cdot 3& 2\cdot (-2)+5\cdot 4\\ -1\cdot 1+0\cdot 3& -1\cdot (-2)+0\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}17& 16\\ -1& 2\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ Cele două rezultate coincid. (Atenție la ordine: ${}^t(AB)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$, nu ${}^{t}A\cdot {}^{t}B$ — aici produsul ar fi ieșit $\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& 15\end{array}\right)$, adică ${}^t(BA)$.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Inversiunile sunt perechile $(i,j)$ cu $i<j$ și $\sigma (i)>\sigma (j)$. Le luăm pe rând: $(1,2)$ cu $3>1$ ✓; $(1,3)$ cu $3<4$ ✗; $(1,4)$ cu $3>2$ ✓; $(2,3)$ cu $1<4$ ✗; $(2,4)$ cu $1<2$ ✗; $(3,4)$ cu $4>2$ ✓ (1 p). Deci $m(\sigma )=3$ și $$\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{m(\sigma )}=(-1{)}^3=-1,$$ adică permutarea este impară (1 p).

b) (2 p) Cu regula lui Sarrus (valabilă numai la ordinul 3): $$\det A=3\cdot 4\cdot 1+(-1)\cdot (-2)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 5-(2\cdot 4\cdot 1+3\cdot (-2)\cdot 5+(-1)\cdot 0\cdot 1)=14-(-22)=36\text{(1 p)}.$$ Verificarea prin dezvoltare după prima linie (1 p): $$\det A=3\left|\begin{array}{cc}4& -2\\ 5& 1\end{array}\right|-(-1)\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 1\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 5\end{array}\right|=3\cdot 14+1\cdot 2+2\cdot (-4)=42+2-8=36.$$

c) (2 p) Dezvoltăm determinantul (Sarrus sau dezvoltare după ultima linie): $$\left|\begin{array}{ccc}x& 2& 3\\ 2& x& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=x^2+6+6-(3x+3x+4)=x^2-6x+8\text{(1 p)}.$$ Ecuația $x^2-6x+8=0$ are $\Delta =36-32=4$, deci $x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$, adică $x\in \{2,4\}$ (1 p). (Observație: deși determinantul este de ordin 3, gradul ecuației este $2$, pentru că necunoscuta apare doar pe diagonală, în doi factori. Control: pentru $x=3$ determinantul este $9-18+8=-1\ne 0$.)

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Cum $x_A\ne x_B$, panta există: $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-4-4}{1-(-5)}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}\text{(1 p)}.$$ Din $y-y_A=m(x-x_A)$ obținem $y-4=-\frac{4}{3}(x+5)$, deci ecuația explicită este $$y=-\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Înmulțim cu $3$ și trecem totul într-un membru: $3y=-4x-8$, adică ecuația generală $$4x+3y+8=0\text{(1 p)}.$$ Pentru $E(-2,0)$: $4\cdot (-2)+3\cdot 0+8=0$, deci $E\in AB$. Pentru $G(0,1)$: $4\cdot 0+3\cdot 1+8=11\ne 0$, deci $G\notin AB$ (1 p). (Controlul cu determinantul de coliniaritate dă $\Delta (A,B,E)=0$ și $\Delta (A,B,G)=22\ne 0$.)

c) (2 p) Punctele $C$ și $D$ au aceeași abscisă, $x_C=x_D=3$, deci dreapta $CD$ este verticală, cu ecuația $$x=3\text{(1 p)}.$$ O astfel de dreaptă nu are pantă: unghiul format cu semiaxa pozitivă $Ox$ este de $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Prin urmare ecuația ei nu poate fi scrisă sub forma explicită $y=mx+n$; în forma generală $ax+by+c=0$ ea corespunde cazului $b=0$ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) $$A^2=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9+6& 3+2\\ 18+12& 6+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15& 5\\ 30& 10\end{array}\right)\text{(1,5 p)},$$ iar $5A=\left(\begin{array}{cc}15& 5\\ 30& 10\end{array}\right)$, deci $A^2=5A$ (0,5 p). (Nu e o coincidență: $\mathrm{tr}(A)=5$ și $\det A=3\cdot 2-1\cdot 6=0$, iar ecuația Hamilton-Cayley devine $A^2-5A=O_2$.)

b) (4 p) Verificarea pentru $n=1$: $A^1=5^{0}A=A$, adevărat (0,5 p). Pasul inductiv: presupunem $A^k=5^{k-1}A$ pentru un $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (0,5 p) și calculăm $$A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(5^{k-1}A\right)\cdot A=5^{k-1}{A}^2\text{(1,5 p)}.$$ Folosind punctul a), $A^2=5A$, deci $$A^{k+1}=5^{k-1}\cdot 5A=5^{k}A\text{(1 p)},$$ adică exact formula pentru $k+1$. Conform principiului inducției matematice, $A^n=5^{n-1}A$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (0,5 p).

c) (2 p) Pentru $n=5$ obținem $A^5=5^{4}A=625A$, deci $$A^5=\left(\begin{array}{cc}1875& 625\\ 3750& 1250\end{array}\right)\text{(1,5 p)},$$ iar $\mathrm{tr}(A^5)=1875+1250=3125=5^5$ (0,5 p). (Control rapid: $\mathrm{tr}(A^5)=5^4\mathrm{tr}(A)=5^4\cdot 5$.)

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Prin dezvoltare după prima linie: $$\det A=2\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=2\cdot 2-1\cdot 2+1\cdot (-1)=1\text{(1,5 p)}.$$ Cum $\det A=1\ne 0$, matricea este inversabilă (nesingulară) (0,5 p).

b) (3 p) Calculăm complemenții algebrici ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$ (1,5 p): $${\delta }_{11}=2,{\delta }_{12}=-2,{\delta }_{13}=-1,{\delta }_{21}=-2,{\delta }_{22}=3,{\delta }_{23}=1,{\delta }_{31}=-1,{\delta }_{32}=1,{\delta }_{33}=1.$$ Matricea adjunctă este transpusa matricei complemenților algebrici (0,5 p): $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& -1\\ -2& 3& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& -1\\ -2& 3& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ (Verificare obligatorie: $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_3$.)

c) (2 p) Înmulțim ecuația $AX=B$ la stânga cu $A^{-1}$ și obținem $X=A^{-1}B$ (0,5 p): $$X=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& -1\\ -2& 3& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10-6-4\\ -10+9+4\\ -5+3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\end{array}\right)\text{(1,5 p)}.$$ (Verificare: $2\cdot 0+1\cdot 3+1\cdot 2=5$ ✓, $0+3+0=3$ ✓, $0+0+2\cdot 2=4$ ✓.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& 1\end{array}\right)$ (0,5 p) și $$\Delta =\det A=1\cdot (-1-3)-2\cdot (2-9)+(-1)\cdot (2+3)=-4+14-5=5\text{(1 p)}.$$ Sistemul are $3$ ecuații, $3$ necunoscute și $\Delta \ne 0$, deci este de tip Cramer și are soluție unică (0,5 p).

b) (3 p) Fiecare ${\Delta }_k$ se obține înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi ${}^t(11210)$ — câte 1 p fiecare: $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 12& -1& 3\\ 10& 1& 1\end{array}\right|=10,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 12& 3\\ 3& 10& 1\end{array}\right|=5,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -1& 12\\ 3& 1& 10\end{array}\right|=15.$$

c) (2 p) Formulele lui Cramer dau $$x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }=\frac{10}{5}=2,y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }=\frac{5}{5}=1,z=\frac{{\Delta }_3}{\Delta }=\frac{15}{5}=3\text{(1 p)},$$ deci $S=\{(2,1,3)\}$. Verificarea în toate ecuațiile (1 p): $2+2-3=1$ ✓; $4-1+9=12$ ✓; $6+1+3=10$ ✓.

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Dezvoltând după prima linie, $$\det A=1\cdot (0+4)-1\cdot (0+3)+1\cdot (8-9)=4-3-1=0\text{(1 p)}.$$ Deci $\mathrm{rang}A<3$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\ne 0$ arată că $\mathrm{rang}A=2$, iar el poate fi luat drept minor principal (liniile $1$ și $2$, coloanele $1$ și $2$) (1 p). (Se observă și de ce determinantul se anulează: $L_3=L_1+L_2$.)

b) (2 p) Matricea extinsă este $\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 2& 3& -1& 9\\ 3& 4& 0& 14\end{array}\right)$. Bordăm minorul principal cu linia a treia și cu coloana termenilor liberi (1 p): $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 2& 3& 9\\ 3& 4& 14\end{array}\right|=1\cdot (42-36)-1\cdot (28-27)+4\cdot (8-9)=6-1-4=1\ne 0.$$ Deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2=\mathrm{rang}A$ și, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este incompatibil (1 p). (Același lucru spune teorema lui Rouché: determinantul caracteristic al ecuației secundare este $1\ne 0$. Intuitiv: coeficienții cer $L_3=L_1+L_2$, adică $4+9=13$, dar termenul liber al ecuației a treia este $14$.)

c) (2 p) Acum determinantul caracteristic este $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 2& 3& 9\\ 3& 4& 13\end{array}\right|=0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2=\mathrm{rang}A<3$: sistemul este compatibil simplu nedeterminat ($3-2=1$ necunoscută secundară) (0,5 p). Luăm $z=\alpha$ necunoscută secundară și rezolvăm sistemul principal $\{\begin{array}{l}x+y=4-\alpha \\ 2x+3y=9+\alpha \end{array}$, de unde $y=1+3\alpha$ și $x=3-4\alpha$ (1 p). Mulțimea soluțiilor este $$S=\{(3-4\alpha ,1+3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}\text{(0,5 p)}.$$ (Verificare pentru $\alpha =1$: $(-1,4,1)$ dă $-1+4+1=4$ ✓, $-2+12-1=9$ ✓, $-3+16+0=13$ ✓.)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Panta este $m=\frac{4-2}{3-(-3)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (1 p), iar din $y-2=\frac{1}{3}(x+3)$ obținem $3y-6=x+3$, adică $$AB:x-3y+9=0\text{(1 p)}.$$ (Control: $-3-6+9=0$ pentru $A$ și $3-12+9=0$ pentru $B$. Aceeași ecuație se obține și din forma cu determinant $\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ -3& 2& 1\\ 3& 4& 1\end{array}\right|=0$.)

b) (2 p) Cu $a=1$, $b=-3$, $c=9$ și $C(0,8)$ (0,5 p): $$d(C,AB)=\frac{|1\cdot 0+(-3)\cdot 8+9|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}=\frac{|-15|}{\sqrt{10}}=\frac{15}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}\text{(1,5 p)}.$$

c) (2 p) Calea 1 — determinantul de arie (aici $\Delta$ este determinantul de coliniaritate, nu determinantul unui sistem): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\\ 3& 4& 1\\ 0& 8& 1\end{array}\right|=30\ne 0⟹{\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |=15\text{(1 p)}.$$ Calea 2 — bază și înălțime: $AB=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, deci $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{2}=\frac{3\cdot 10}{2}=15\text{(1 p)}.$$ Cele două căi dau același rezultat, iar din ele se citește și scurtătura $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Dezvoltând după prima linie, $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m^2\end{array}\right|=1\cdot (m\cdot m^2-1)-1\cdot (m^2-1)+1\cdot (1-m)=m^3-m^2-m+1\text{(1 p)}.$$ Grupăm: $m^2(m-1)-(m-1)=(m-1)(m^2-1)=(\mathbf{m}-1{)}^2(\mathbf{m}+1)$ (1 p). Deci $\Delta =0$ exact pentru $m=1$ și $m=-1$.

b) (3 p) Pentru $m\notin \{-1,1\}$ avem $\Delta \ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer (0,5 p). Calculăm, cu coloana termenilor liberi ${}^t(33m+2)$ (1,5 p): $${\Delta }_1=(m-1{)}^2(3m+2),{\Delta }_2=0,{\Delta }_3=(m-1{)}^2.$$ (Pentru ${\Delta }_2$ nu e nevoie de calcul: primele două linii ale determinantului devin identice, $(131)$, iar un determinant cu două linii egale este nul.) Prin urmare (1 p) $$x=\frac{(m-1{)}^2(3m+2)}{(m-1{)}^2(m+1)}=\frac{3m+2}{m+1},y=0,z=\frac{1}{m+1}.$$ (Verificare în prima ecuație: $\frac{3m+2}{m+1}+0+\frac{1}{m+1}=\frac{3m+3}{m+1}=3$ ✓.)

c) (3 p) Cazul $m=1$ (1,5 p): sistemul devine $$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+y+z=3\\ x+y+z=3\end{array}$$ adică o singură ecuație scrisă de trei ori. Atunci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=1$, iar din teorema Kronecker-Capelli sistemul este compatibil dublu nedeterminat ($3-1=2$ necunoscute secundare). Cu $y=\alpha$ și $z=\beta$, $$S=\{(3-\alpha -\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}.$$ Cazul $m=-1$ (1,5 p): sistemul devine $x+y+z=3$, $x-y+z=3$, $x+y+z=1$. Prima și a treia ecuație au aceiași coeficienți, dar termeni liberi diferiți ($3\ne 1$), deci sistemul este incompatibil. Formal: $\mathrm{rang}A=2$ (minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2\ne 0$), în timp ce determinantul caracteristic $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& -1& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=4\ne 0$$ arată că $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2$. $■$

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) $\mathrm{tr}(A)=3+0=3$ și $\det A=3\cdot 0-(-2)\cdot 1=2$ (0,5 p). Calculăm $$A^2=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ 3& -2\end{array}\right)\text{(1 p)},$$ iar $3A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}9& -6\\ 3& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ 3& -2\end{array}\right)$, deci $A^2-3A+2I_2=O_2$ (0,5 p). Este exact ecuația Hamilton-Cayley $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det (A)I_2=O_2$.

b) (2 p) Din relația de mai sus, $A^2-3A=-2I_2$, adică $A(3I_2-A)=2I_2$ (1 p), deci $$A\cdot \frac{1}{2}(3I_2-A)=I_2⟹A^{-1}=\frac{1}{2}(3I_2-A)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ (Verificare: $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_2$. Alternativ, $\det A=2\ne 0$ garanta deja inversabilitatea.)

c) (4 p) Verificarea pentru $n=1$: $(2^1-1)A-(2^1-2)I_2=A$, adevărat (0,5 p). Pasul inductiv: presupunem $A^k=(2^k-1)A-(2^k-2)I_2$ (0,5 p). Atunci $$A^{k+1}=A^k\cdot A=(2^k-1)A^2-(2^k-2)A\text{(0,5 p)}.$$ Înlocuim $A^2=3A-2I_2$ (din punctul a) (1 p): $$A^{k+1}=(2^k-1)(3A-2I_2)-(2^k-2)A=(3\cdot 2^k-3-2^k+2)A-(2^{k+1}-2)I_2=(2^{k+1}-1)A-(2^{k+1}-2)I_2,$$ adică formula pentru $k+1$ (0,5 p). Conform principiului inducției, ea este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (0,5 p). Pentru $n=4$: $$A^4=15A-14I_2=\left(\begin{array}{cc}45& -30\\ 15& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}14& 0\\ 0& 14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}31& -30\\ 15& -14\end{array}\right)\text{(0,5 p)}.$$ (Control: $A^4=(A^2{)}^2={\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ 3& -2\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}31& -30\\ 15& -14\end{array}\right)$ ✓.) $■$

Itemul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Panta aleii este $m=\frac{6-2}{9-1}=\frac{1}{2}$, deci $y-2=\frac{1}{2}(x-1)$, adică $2y-4=x-1$ și $$AB:x-2y+3=0\text{(1 p)}.$$ Pentru $D(5,4)$: $5-8+3=0$, deci fântâna se află pe alee (1 p). (Același răspuns dă determinantul de coliniaritate: $\Delta (A,B,D)=0$.)

b) (2 p) Cu determinantul de arie (1 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 9& 6& 1\\ 3& 10& 1\end{array}\right|=1(6-10)-2(9-3)+1(90-18)=-4-12+72=56,$$ deci ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |=28$ (unități de arie) (0,5 p). O unitate de arie înseamnă $100\text{ m}\times 100\text{ m}=10000$ m² $=1$ ha, deci suprafața este de $28$ hectare (0,5 p).

c) (2 p) Cu $a=1$, $b=-2$, $c=3$ și $C(3,10)$: $$d(C,AB)=\frac{|3-20+3|}{\sqrt{1+4}}=\frac{14}{\sqrt{5}}=\frac{14\sqrt{5}}{5}\text{(1 p)}.$$ În unități de pe hartă aceasta înseamnă $\frac{14\sqrt{5}}{5}\approx 6,26$, adică aproximativ $626$ de metri (1 p). (Control cu punctul b): $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d$, unde $AB=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}$, dă $\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot \frac{14\sqrt{5}}{5}=28$ ✓.)

d) (2 p) Piciorul perpendicularei se obține cu $k=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}=\frac{3-20+3}{5}=-\frac{14}{5}$ (0,5 p), de unde $$N\left(x_0-ak,y_0-bk\right)=N\left(3+\frac{14}{5},10-\frac{28}{5}\right)=\mathbf{N}\left(\frac{29}{5},\frac{22}{5}\right)\text{(1 p)}.$$ (Verificare: $\frac{29}{5}-\frac{44}{5}+3=0$, deci $N\in AB$; iar $CN=\sqrt{{\left(\frac{14}{5}\right)}^2+{\left(\frac{28}{5}\right)}^2}=\frac{14\sqrt{5}}{5}$, adică exact distanța de la punctul c).) Aleea $CN$ este perpendiculară pe $AB$, deci are panta $m^{\prime }=-\frac{1}{m}=-2$, iar din $y-10=-2(x-3)$ obținem $$CN:2x+y-16=0\text{(0,5 p)}.$$ (Control: $N$ verifică ecuația, $\frac{58}{5}+\frac{22}{5}-16=0$, iar $m\cdot m^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$.) $■$

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $$B^2=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-4& -2+2\\ 8-8& -4+4\end{array}\right)=O_2\text{(1 p)}.$$ Atunci $A(a)=I_2+aB=\left(\begin{array}{cc}1+2a& -a\\ 4a& 1-2a\end{array}\right)$ (0,5 p) și $$\det A(a)=(1+2a)(1-2a)+4a^2=1-4a^2+4a^2=1\text{(0,5 p)}.$$

b) (2 p) Folosim distributivitatea înmulțirii matricelor (1 p): $$A(a)A(b)=(I_2+aB)(I_2+bB)=I_2+bB+aB+ab{B}^2.$$ Cum $B^2=O_2$, ultimul termen dispare (0,5 p), deci $$A(a)A(b)=I_2+(a+b)B=A(a+b)\text{(0,5 p)}.$$

c) (2 p) Din $\det A(a)=1\ne 0$ rezultă că $A(a)$ este inversabilă pentru orice $a$ real (0,5 p). Punând $b=-a$ în relația de la punctul b): $$A(a)A(-a)=A(0)=I_2\text{și}A(-a)A(a)=A(0)=I_2\text{(1 p)},$$ deci, prin definiția inversei, $(A(a){)}^{-1}=A(-a)$ (0,5 p). (Se poate verifica și cu adjuncta: $\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}1-2a& a\\ -4a& 1+2a\end{array}\right)=A(-a)$.)

d) (2 p) Inducție după $n$: pentru $n=1$ egalitatea este $A(a)=A(a)$ (0,5 p). Presupunând $(A(a){)}^k=A(ka)$, obținem din punctul b) $$(A(a){)}^{k+1}=A(ka)\cdot A(a)=A(ka+a)=A((k+1)a)\text{(1 p)},$$ deci formula e adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. În particular $$(A(3){)}^{10}=A(30)=\left(\begin{array}{cc}61& -30\\ 120& -59\end{array}\right)\text{(0,5 p)}.$$ (Control: $\det A(30)=61\cdot (-59)+30\cdot 120=-3599+3600=1$ ✓, așa cum trebuie, de vreme ce $\det A(a)=1$ pentru orice $a$.) $■$