Evaluare sumativă — semestrul 1, clasa a XII-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de la finalul primului semestru al clasei a XII-a, pe traseul de matematică-informatică. Ea acoperă cele cinci unități parcurse până acum: legile de compoziție, grupurile, inelele, corpurile și polinoamele peste un corp, asimptotele și reprezentarea grafică a funcțiilor și conicele. Primele trei unități formează un singur fir: o lege de compoziție bine aleasă devine grup, două legi puse pe aceeași mulțime devin inel, iar un inel în care orice element nenul se inversează devine corp — și abia peste un corp se pot împărți polinoame. Unitățile a patra și a cincea închid, la rândul lor, un alt fir: limitele calculate în clasa a XI-a primesc acum nume (asimptote) și devin desen, iar desenul se întâlnește cu geometria analitică în ecuațiile conicelor. Proba este construită ca elevul să vadă cele două fire, nu cinci insule.

Harta materiei acoperite:

• Legi de compoziție — definiție, parte stabilă și lege indusă, tabla operației, forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, element neutru, elemente simetrizabile, clasele de resturi modulo $n$ și ecuațiile din ${\mathbb{Z}}_n$. (Itemii 1a, 5 și, împreună cu grupurile, itemul 10.)
• Grupuri — cei patru pași (0–3) de verificare a structurii de grup, grupul unităților, ordinul unui element, teorema lui Lagrange pentru grupuri finite și consecințele ei, morfisme și izomorfisme, grupuri ciclice. (Itemii 1b, 2a, 6 și itemul 10.)
• Inele, corpuri și polinoame (supliment) — inel, divizori ai lui zero, grupul unităților unui inel, corp, ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim, polinoame peste un corp, rădăcini în ${\mathbb{Z}}_p$, derivata formală, descompunerea în factori ireductibili. (Itemii 2b, 3, 7.)
• Asimptote și reprezentarea grafică — schema asimptotelor în patru pași, cei trei pași ai asimptotei oblice, schema în nouă pași, tabelul de variație complet, trasarea graficului. (Itemii 2c, 4a, 4b, 8 și itemul 11.)
• Conice — ecuațiile canonice, focarele, excentricitatea, asimptotele hiperbolei, razele focale, tangenta prin dedublare, intersecția cu o dreaptă. (Itemii 1c, 4c, 9.)

Despre supliment. Unitatea a treia — inele, corpuri și polinoame peste un corp — este un supliment: aceste conținuturi nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a, dar sunt în programa pe care o dau sesiunile de examen 2027–2029, deci elevul de azi le are de învățat. Itemii 2b, 3 și 7 verifică exact acest supliment; într-o clasă care nu îl parcurge, ei se pot înlocui cu itemi echivalenți din primele două unități, iar oficiul rămâne neschimbat.

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute. Este mai mult decât la testele de unitate ale clasei (câte $50$ de minute), pentru că lucrarea cere aici lanțuri lungi de raționament — o tablă de operație completă, o descompunere în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_5$ și un tabel de variație cu punct exclus nu se scriu în ritmul unui exercițiu de fixare. Orientativ: $18$ minute pentru Partea I, $36$ pentru Partea a II-a și $36$ pentru Partea a III-a. Dacă ora nu poate fi prelungită, proba se dă în două reprize — Părțile I și a II-a într-o oră, Partea a III-a în ora următoare —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate numerele au fost alese ca ordinele, rădăcinile, extremele și coordonatele să iasă exacte.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise, în formatul baremelor oficiale. Se depunctează: săritul pasului 0 (partea stabilă) la verificarea unei structuri de grup; elementul neutru sau simetricul găsite fără verificarea apartenenței la mulțime; izomorfismul verificat numai pe condiția de morfism; simplificarea printr-o clasă neinversabilă în ${\mathbb{Z}}_n$; folosirea criteriului „reductibil dacă și numai dacă are rădăcină în corp" la un polinom de gradul al patrulea; căutarea asimptotei oblice fără verificarea prealabilă a pantei; afirmarea unei asimptote orizontale și a uneia oblice spre același capăt; și, la conice, scrierea tangentei prin dedublare fără a verifica întâi că punctul aparține curbei.
• Referința de examen: Bacalaureat M1. Itemii $10$ și $11$ sunt scriși în formatul subiectelor de la BAC M1 — itemul $10$ în formatul Subiectului al II-lea (problema de algebră), itemul $11$ în formatul Subiectului al III-lea, problema 1 (analiză de clasa a XI-a și asimptote).

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe unități:

• Legi de compoziție. Legea $x\ast y=xy+\alpha (x+y)+\beta$ este asociativă dacă și numai dacă $\beta ={\alpha }^2-\alpha$; atunci, cu $a=-\alpha$, ea se scrie $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, are elementul neutru $e=a+1$ și partea stabilă $(a,+\infty )$. În ${\mathbb{Z}}_n$, clasa $\hat{a}$ este inversabilă dacă și numai dacă $(a,n)=1$, iar ecuația $\hat{a}\hat{x}=\hat{b}$ are soluții dacă și numai dacă $d=(a,n)$ divide $b$, caz în care are exact $d$ soluții.
• Grupuri. Cei patru pași (0–3): parte stabilă, asociativitate, element neutru în mulțime, simetric în mulțime. Criteriul de subgrup: $H\ne \varnothing$, $xy\in H$, $x^{-1}\in H$. Ordin: $\mathrm{ord}(x)$ este cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ cu $x^n=e$; în grupul aditiv al claselor, $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$. Teorema lui Lagrange (grupuri finite): $\mathrm{card}H\mid \mathrm{card}G$; Consecința 1: $\mathrm{ord}(x)\mid \mathrm{card}G$; Consecința 2: $x^{\mathrm{card}G}=e$; Consecința 3: un grup cu un număr prim de elemente este ciclic. Izomorfism = morfism bijectiv, notat $G\simeq G^{\prime }$.
• Inele, corpuri, polinoame. Un element $a\ne 0$ este divizor al lui zero dacă există $b\ne 0$ cu $ab=0$; inelul ${\mathbb{Z}}_n$ este integru — și, totodată, corp — dacă și numai dacă $n$ este prim. Teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$. Derivata formală se calculează termen cu termen; dacă $a$ este rădăcină multiplă a lui $f$, atunci $f(a)=f^{\prime }(a)=0$. Un polinom de gradul al doilea sau al treilea este reductibil peste $K$ dacă și numai dacă are o rădăcină în $K$ — de la gradul al patrulea criteriul nu se mai aplică.
• Asimptote și grafic. Asimptotă orizontală spre $+\infty$: $y=\ell$ cu $\ell =\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\in \mathbb{R}$. Asimptotă oblică spre $+\infty$: $y=mx+n$ cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)\in \mathbb{R}$ — întâi $m$, apoi $n$. Orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc. Asimptotă verticală: $x=a$, dacă măcar una dintre limitele laterale în $a$ este infinită.
• Conice. Cerc: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Elipsă: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ cu $a>b>0$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$, $e=\frac{c}{a}<1$. Hiperbolă: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2+b^2}$, asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$, $e=\frac{c}{a}>1$, razele focale $MF=|ex-a|$ și $M{F}^{\prime }=|ex+a|$. Parabolă: $y^2=2px$, focarul $F\left(\frac{p}{2},0\right)$, directoarea $x=-\frac{p}{2}$, raza focală $MF=x+\frac{p}{2}$. Dedublarea: $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$.

Două atenționări de notație, amândouă cerute de faptul că această lucrare pune algebra și analiza pe aceeași foaie:

• Litera $e$ înseamnă, în itemii de algebră ($1$a, $2$a, $5$, $6$, $10$), elementul neutru al unei legi de compoziție, iar în itemii de conice ($1$c, $4$c) excentricitatea. Numărul lui Euler nu apare nicăieri în această lucrare.
• Simetricul unui element față de o lege se scrie aici $x^{-1}$, în notație multiplicativă, tocmai pentru că semnul prim este rezervat derivatei ($f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$) în itemii de analiză. Atenție: $x^{-1}$ este simetricul față de legea din enunț și nu înseamnă $\frac{1}{x}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Recunoaștere și calcul scurt (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul soluțiilor ecuației $\hat{6}\hat{x}=\hat{9}$ în ${\mathbb{Z}}_{15}$ este: A. $0$; B. $1$; C. $3$; D. $6$.

b) Ordinul elementului $\widehat{10}$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{24},+)$ este: A. $12$; B. $2$; C. $10$; D. $24$.

c) Excentricitatea elipsei $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{576}=1$ este: A. $\frac{24}{25}$; B. $\frac{25}{7}$; C. $\frac{7}{24}$; D. $\frac{7}{25}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică răspunsul (câte 2 puncte):

a) Dacă $(G,\cdot )$ este un grup în care $x^2=e$ pentru orice $x\in G$, atunci $G$ este comutativ.

b) Inelul ${\mathbb{Z}}_9$ este corp.

c) Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$, atunci graficul funcției $f$ are asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Itemul 3 (6 puncte)

a) Determină elementele inversabile ale inelului ${\mathbb{Z}}_{12}$ și precizează câți divizori ai lui zero are acest inel. (2 p) b) Arată că ${\mathbb{Z}}_{11}$ este corp și rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{11}$ ecuația $\hat{7}\hat{x}=\hat{3}$. (2 p) c) Determină restul împărțirii polinomului $g=X^4+\hat{3}X+\hat{2}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$ la $X-\hat{3}$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2-5x+1}{x-3}$.

a) Calculează limitele laterale ale lui $f$ în $x=3$ și scrie ecuația asimptotei verticale, precizând dacă este la stânga, la dreapta sau bilaterală. (2 p) b) Determină asimptota oblică la graficul lui $f$ spre $+\infty$ și spre $-\infty$. (2 p) c) Scrie ecuațiile asimptotelor hiperbolei $\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{144}=1$ și calculează excentricitatea ei. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (36 de puncte)

Itemul 5 (7 puncte)

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy+22x+22y+462$.

a) Arată că $x\ast y=(x+22)(y+22)-22$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ și determină elementul neutru al legii. (2 p) b) Arată că mulțimea $M=(-22,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\ast$ și determină simetricul lui $-20$ în raport cu această lege. (3 p) c) Calculează $(-20)\ast (-20)\ast (-20)$ și rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x\ast x=-6$. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră mulțimea $G=\{\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{8}\}\subset {\mathbb{Z}}_{10}$, împreună cu înmulțirea claselor de resturi.

a) Arată că $G$ este parte stabilă a lui ${\mathbb{Z}}_{10}$ în raport cu înmulțirea și scrie tabla legii induse. (2 p) b) Arată că $(G,\cdot )$ este grup comutativ, precizând elementul neutru și simetricul fiecărui element. (3 p) c) Determină ordinul fiecărui element al lui $G$ și arată că $(G,\cdot )\simeq ({\mathbb{Z}}_4,+)$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

În inelul ${\mathbb{Z}}_5[X]$ se consideră polinomul $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}$.

a) Determină toate rădăcinile lui $f$ în ${\mathbb{Z}}_5$. (2 p) b) Descompune polinomul $f$ în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_5$, justificând ireductibilitatea fiecărui factor. (3 p) c) Calculează derivata formală $f^{\prime }$ și arată că $f$ nu are rădăcini multiple în ${\mathbb{Z}}_5$. (2 p)

Itemul 8 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2-24x+8$.

a) Determină intersecția graficului cu axa $Oy$, calculează limitele lui $f$ la $-\infty$ și la $+\infty$ și justifică faptul că graficul nu are asimptote. (2 p) b) Calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ și alcătuiește tabelul de variație complet al funcției. (4 p) c) Trasează graficul funcției și determină numărul soluțiilor reale ale ecuației $f(x)=8$. (2 p)

Itemul 9 (7 puncte)

Se consideră parabola de ecuație $y^2=80x$ și punctul $M(5,20)$.

a) Determină parametrul parabolei, coordonatele focarului și ecuația directoarei, apoi verifică faptul că punctul $M$ aparține parabolei. (2 p) b) Scrie ecuația tangentei la parabolă în punctul $M$, folosind formula de dedublare, și confirmă rezultatul arătând că sistemul format din ecuația dreptei și ecuația parabolei are discriminantul nul. (3 p) c) Calculează distanța $MF$ pe două căi — cu raza focală și cu formula distanței dintre două puncte — și explică de ce dreapta $y=20$ intersectează parabola într-un singur punct fără a fi tangentă la ea. (2 p)

Partea a III-a – Itemi de tip Bacalaureat M1 (30 de puncte)

Itemul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea.) Pe mulțimea $M=(19,+\infty )$ se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy-19x-19y+380$.

a) Arătați că $x\ast y=(x-19)(y-19)+19$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ și că $M$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\ast$. (5 p) b) Arătați că $(M,\ast )$ este grup comutativ și că funcția $\phi :M\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $\phi (x)=x-19$, este izomorfism de la $(M,\ast )$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$. (5 p) c) Rezolvați în $M$ ecuația $x\ast x\ast x\ast x\ast x=51$. (5 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{5\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2x+10}{x-5}$.

a) Determinați domeniul de definiție, calculați limitele laterale ale lui $f$ în $x=5$ și scrieți ecuațiile tuturor asimptotelor la graficul funcției $f$. (5 p) b) Calculați $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, alcătuiți tabelul de variație complet și precizați punctele de extrem local ale funcției $f$. (5 p) c) Trasați graficul funcției $f$ și discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $f(x)=m$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 36 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 30 p (itemii 10–11).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Notăm $d=(6,15)=3$. Ecuația $\hat{6}\hat{x}=\hat{9}$ are soluții dacă și numai dacă $d$ divide $9$, ceea ce este adevărat, iar atunci numărul soluțiilor este exact $d$, adică trei. Explicit, din $6x\equiv 9$ modulo $15$ obținem $2x\equiv 3$ modulo $5$, deci $x\equiv 4$ modulo $5$, adică $\hat{x}\in \{\hat{4},\hat{9},\widehat{14}\}$. (Verificare: $\hat{6}\hat{4}=\widehat{24}=\hat{9}$, $\hat{6}\hat{9}=\widehat{54}=\hat{9}$, $\hat{6}\widehat{14}=\widehat{84}=\hat{9}$.) Varianta B este greșeala clasică: se dă o singură soluție acolo unde sunt mai multe, pentru că $\hat{6}$ nu este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{15}$.

b) A. În grupul aditiv al claselor de resturi, $\mathrm{ord}\left(\hat{a}\right)=\frac{n}{(a,n)}$. Aici $(10,24)=2$, deci $\mathrm{ord}\left(\widehat{10}\right)=\frac{24}{2}=12$. (Control: $12\cdot 10=120=5\cdot 24$, deci $\widehat{120}=\hat{0}$, iar niciun multiplu mai mic al lui $10$ nu este multiplu de $24$.)

c) D. Din $a^2=625$ și $b^2=576$ rezultă $a=25$, $b=24$ și $c=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$, deci excentricitatea este $e=\frac{c}{a}=\frac{7}{25}$. (Varianta B inversează raportul, iar varianta C folosește semiaxa mică la numitor.)

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Adevărat. Din $x^2=e$ pentru orice $x$ rezultă că fiecare element este propriul său simetric, adică $x^{-1}=x$. Atunci, pentru orice $x,y\in G$, $$xy=(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}=yx,$$ unde a doua egalitate este regula simetricului unui produs. Deci legea este comutativă. (Exemplul-model este grupul lui Klein.)

b) Fals. Inelul ${\mathbb{Z}}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este prim, iar $9=3^2$ nu este prim. Concret, $\hat{3}\ne \hat{0}$, dar $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{0}$, deci $\hat{3}$ este divizor al lui zero și nu poate fi inversabil. (Divizorii lui zero din ${\mathbb{Z}}_9$ sunt $\hat{3}$ și $\hat{6}$.)

c) Fals. O pantă nulă la un capăt înseamnă doar că nu există asimptotă oblică acolo, nu că există una orizontală. Contraexemplu: pentru $f(x)=\ln x$ avem $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$, dar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$, deci graficul nu are asimptotă orizontală spre $+\infty$. (Al doilea contraexemplu, la fel de bun: $f(x)=\sqrt{x}$.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Clasa $\hat{a}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{12}$ dacă și numai dacă $(a,12)=1$, deci $$U({\mathbb{Z}}_{12},\cdot )=\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}\}$$ (1 p). Rămân $12-1-4=7$ clase nenule și neinversabile, iar fiecare dintre ele este divizor al lui zero: $\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{6},\hat{8},\hat{9},\widehat{10}$ — de pildă $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{0}$. Deci inelul are șapte divizori ai lui zero (1 p).

b) (2 p) Numărul $11$ este prim, deci orice clasă nenulă din ${\mathbb{Z}}_{11}$ este inversabilă și ${\mathbb{Z}}_{11}$ este corp (0,5 p). Cum $\hat{7}\cdot \hat{8}=\widehat{56}=\hat{1}$, inversul lui $\hat{7}$ este $\hat{8}$ (0,75 p). Înmulțind ecuația cu $\hat{8}$ obținem $$\hat{x}=\hat{8}\cdot \hat{3}=\widehat{24}=\hat{2},$$ soluție unică (0,75 p). (Verificare: $\hat{7}\cdot \hat{2}=\widehat{14}=\hat{3}$.)

c) (2 p) Restul împărțirii unui polinom la $X-a$ este valoarea polinomului în $a$ (teorema restului), deci restul căutat este $g\left(\hat{3}\right)$ (0,5 p). Reducem modulo $5$ pas cu pas: ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{4}$, ${\hat{3}}^4={\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{1}$ (1 p), prin urmare $$g\left(\hat{3}\right)=\hat{1}+\hat{3}\cdot \hat{3}+\hat{2}=\hat{1}+\hat{9}+\hat{2}=\hat{1}+\hat{4}+\hat{2}=\hat{7}=\hat{2}.$$ Restul este $\hat{2}$ (0,5 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Numărătorul în $x=3$ valorează $2\cdot 9-15+1=4\ne 0$, iar numitorul se anulează, deci limitele laterale sunt infinite (0,5 p). La stânga lui $3$ numitorul este negativ, la dreapta pozitiv: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$$ (1 p). Dreapta $x=3$ este asimptotă verticală bilaterală la graficul funcției $f$ (0,5 p).

b) (2 p) Aplicăm cei trei pași ai asimptotei oblice. Panta: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-5x+1}{x^2-3x}=2\in {\mathbb{R}}^{\ast }$$ (0,75 p). Ordonata la origine: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-2x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-5x+1-2x^2+6x}{x-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-3}=1$$ (0,75 p). Ambele limite sunt aceleași spre $-\infty$, deci dreapta $y=2x+1$ este asimptotă oblică la graficul lui $f$ la ambele capete (0,5 p). (Control: împărțind, $f(x)=2x+1+\frac{4}{x-3}$, iar termenul rămas tinde la zero.)

c) (2 p) Aici $a^2=81$ și $b^2=144$, deci $a=9$ și $b=12$; asimptotele hiperbolei sunt dreptele $$y=\frac{b}{a}x=\frac{4}{3}x\text{și}y=-\frac{4}{3}x$$ (1 p). Din $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ rezultă $e=\frac{c}{a}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}>1$ (1 p). (Scurtătura asimptotelor: se înlocuiește $1$ cu $0$ în ecuația canonică și se factorizează.)

Itemul 5. (7 p)

a) (2 p) Desfacem paranteza: $$(x+22)(y+22)-22=xy+22x+22y+484-22=xy+22x+22y+462=x\ast y,$$ egalitate valabilă pentru orice numere reale (1 p). Legea are forma $(x-a)(y-a)+a$ cu $a=-22$, deci elementul neutru este $e=a+1=-21$ (0,5 p); verificare directă: $(-21)\ast x=(-21+22)(x+22)-22=x+22-22=x$ (0,5 p).

b) (3 p) Fie $x,y\in M$, adică $x+22>0$ și $y+22>0$. Atunci $(x+22)(y+22)>0$, deci $$x\ast y=(x+22)(y+22)-22>-22,$$ adică $x\ast y\in M$; mulțimea $M$ este parte stabilă (1,5 p). Simetricul lui $-20$ se caută din $(-20)\ast x^{-1}=-21$, adică $(-20+22)(x^{-1}+22)=1$, deci $2(x^{-1}+22)=1$ și $x^{-1}=-\frac{43}{2}$ (1 p). (Verificare: $(-20)\ast \left(-\frac{43}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-22=-21=e$.) (0,5 p) Aici $x^{-1}$ este simetricul față de legea $\ast$, nu inversul aritmetic al lui $-20$.

c) (2 p) Cu forma factorizată, $(-20)\ast (-20)=2\cdot 2-22=-18$, apoi $(-18)\ast (-20)=4\cdot 2-22=-14$; așadar $(-20)\ast (-20)\ast (-20)=-14$ (1 p). (Control prin izomorfismul $x\mapsto x+22$: lui $-20$ îi corespunde $2$, iar $2^3=8$ se întoarce în $8-22=-14$.) Ecuația $x\ast x=-6$ devine $(x+22{)}^2-22=-6$, adică $(x+22{)}^2=16$, cu soluțiile $x=-18$ și $x=-26$ (1 p). (Dintre ele, numai $-18$ aparține mulțimii $M$.)

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Produsul a două clase pare este o clasă pară, iar clasa $\hat{0}$ nu apare, pentru că niciun produs dintre numerele $2,4,6,8$ nu este multiplu de $10$; deci $G$ este parte stabilă (0,5 p). Tabla legii induse (1,5 p):

b) (3 p) Parcurgem cei patru pași (0–3). Pasul 0 este făcut la punctul a). Asociativitatea și comutativitatea se moștenesc de la înmulțirea din ${\mathbb{Z}}_{10}$; pe tablă, comutativitatea se citește ca simetrie față de diagonala principală (0,75 p). Elementul neutru este $\hat{6}$: linia și coloana lui reproduc antetele tablei, iar $\hat{6}\cdot \hat{2}=\widehat{12}=\hat{2}$, $\hat{6}\cdot \hat{4}=\widehat{24}=\hat{4}$, $\hat{6}\cdot \hat{6}=\widehat{36}=\hat{6}$, $\hat{6}\cdot \hat{8}=\widehat{48}=\hat{8}$ (1,25 p). Atenție: elementul neutru al unei legi induse nu trebuie să fie unitatea structurii de plecare — aici $\hat{1}$ nici nu aparține lui $G$. Simetricele se citesc din pozițiile lui $\hat{6}$ în tablă: ${\hat{2}}^{-1}=\hat{8}$, ${\hat{8}}^{-1}=\hat{2}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$, ${\hat{6}}^{-1}=\hat{6}$ (0,75 p). ⚠️ Toate puterile și toate simetricele din acest item se calculează în grupul $(G,\cdot )$, al cărui element neutru este $\hat{6}$; criteriul $(a,n)=1$ din formularul de mai sus privește inversabilitatea față de unitatea $\hat{1}$ a monoidului $({\mathbb{Z}}_{10},\cdot )$, iar acolo $\hat{2}$ chiar nu este inversabilă. Nu este nicio contradicție: sunt două structuri diferite, cu două elemente neutre diferite. Toate cele patru elemente sunt simetrizabile, deci $(G,\cdot )$ este grup comutativ (0,25 p).

c) (2 p) Puterile lui $\hat{2}$, calculate în $(G,\cdot )$, sunt $\hat{2}$, $\hat{4}$, $\hat{8}$, $\widehat{16}=\hat{6}=e$, deci $\mathrm{ord}\left(\hat{2}\right)=4$; analog $\mathrm{ord}\left(\hat{8}\right)=4$, $\mathrm{ord}\left(\hat{4}\right)=2$ (căci ${\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{6}$) și $\mathrm{ord}\left(\hat{6}\right)=1$ (1,25 p). Grupul are patru elemente și conține un element de ordinul $4$, deci este ciclic, generat de $\hat{2}$: profilul ordinelor este același ca la $({\mathbb{Z}}_4,+)$ (0,5 p). Definim $\psi :{\mathbb{Z}}_4\to G$ prin $\psi \left(\hat{k}\right)={\hat{2}}^k$, unde puterea se ia în grupul $(G,\cdot )$, deci ${\hat{2}}^0=e=\hat{6}$, nu $\hat{1}$: $$\psi \left(\hat{0}\right)=\hat{6},\psi \left(\hat{1}\right)=\hat{2},\psi \left(\hat{2}\right)=\hat{4},\psi \left(\hat{3}\right)=\hat{8}.$$ Funcția este bine definită (dacă $\hat{k}=\hat{j}$ în ${\mathbb{Z}}_4$, atunci $4\mid k-j$ și, cum $\mathrm{ord}\left(\hat{2}\right)=4$, rezultă ${\hat{2}}^k={\hat{2}}^j$), este bijectivă și verifică $\psi (\hat{k}+\hat{j})={\hat{2}}^{k+j}={\hat{2}}^k{\hat{2}}^j=\psi \left(\hat{k}\right)\psi \left(\hat{j}\right)$, deci este izomorfism (0,25 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Verificăm toate cele cinci clase din ${\mathbb{Z}}_5$ (1 p): $$f\left(\hat{0}\right)=\hat{1},f\left(\hat{1}\right)=\hat{8}=\hat{3},f\left(\hat{2}\right)=\widehat{25}=\hat{0},f\left(\hat{3}\right)=\widehat{58}=\hat{3},f\left(\hat{4}\right)=\widehat{113}=\hat{3}.$$ Singura rădăcină este $\hat{2}$ (1 p).

b) (3 p) Din teorema lui Bézout, $X-\hat{2}=X+\hat{3}$ divide pe $f$; împărțind cu schema lui Horner (coeficienții $\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{1}$ și rădăcina $\hat{2}$) obținem câtul $X^2+\hat{4}X+\hat{2}$ și restul $\hat{0}$ (1,5 p), deci $$f=(X+\hat{3})(X^2+\hat{4}X+\hat{2}).$$ Primul factor are gradul întâi, deci este ireductibil (0,25 p). Al doilea are gradul al doilea, iar un polinom de gradul al doilea este reductibil peste un corp dacă și numai dacă are o rădăcină în corp; valorile lui în cele cinci clase sunt $\hat{2},\hat{2},\hat{4},\hat{3},\hat{4}$, deci nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$ și este ireductibil (1 p). (Control: desfăcând produsul se regăsește $X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}$.) (0,25 p)

c) (2 p) Derivata formală se calculează termen cu termen, fără limite: $$f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{4}X+\hat{4}$$ (1 p). Dacă o clasă $\hat{a}$ ar fi rădăcină multiplă a lui $f$, atunci $f\left(\hat{a}\right)=f^{\prime }\left(\hat{a}\right)=\hat{0}$. Singura rădăcină a lui $f$ este $\hat{2}$, iar $f^{\prime }\left(\hat{2}\right)=\widehat{12}+\hat{8}+\hat{4}=\widehat{24}=\hat{4}\ne \hat{0}$, deci $\hat{2}$ este rădăcină simplă și $f$ nu are rădăcini multiple în ${\mathbb{Z}}_5$ (1 p).

Itemul 8. (8 p)

a) (2 p) Din $f(0)=8$, graficul taie axa $Oy$ în punctul $(0,8)$ (0,5 p). Termenul dominant decide limitele: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$ (0,75 p). Funcția fiind polinomială, este continuă pe $\mathbb{R}$, deci nu există asimptote verticale; iar $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=+\infty$, adică panta nu este finită la niciunul dintre capete, deci nu există nici asimptote orizontale, nici oblice — situația a doua dintre cele patru în care asimptota oblică nu există (0,75 p).

b) (4 p) Derivatele: $$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-24=3(x+4)(x-2),f^{\prime \prime }(x)=6x+6=6(x+1)$$ (1,5 p). Zerourile lui $f^{\prime }$ sunt $-4$ și $2$, zeroul lui $f^{\prime \prime }$ este $-1$; valorile marcate sunt $f(-4)=88$, $f(-1)=34$, $f(2)=-20$, iar $f^{\prime }(-1)=-27$, $f^{\prime \prime }(-4)=-18$, $f^{\prime \prime }(2)=18$ (1 p). Tabelul de variație complet (1,5 p):

Citirea tabelului: funcția crește pe $(-\infty ,-4]$, scade pe $[-4,2]$ și crește pe $[2,+\infty )$; are un maxim local egal cu $88$ în $x=-4$ și un minim local egal cu $-20$ în $x=2$; este concavă pe $(-\infty ,-1]$ și convexă pe $[-1,+\infty )$, cu punct de inflexiune în $(-1,34)$. (Control de simetrie: $88+(-20)=68=2\cdot 34$, ceea ce confirmă că punctul de inflexiune este centrul de simetrie al graficului.)

c) (2 p) Graficul se trasează respectând săgețile și simbolurile din tabel, cu cele trei puncte marcate și cu intersecția $(0,8)$ (1 p). Ecuația $f(x)=8$ se scrie $x^3+3x^2-24x=0$, adică $x(x^2+3x-24)=0$; trinomul are discriminantul $9+96=105>0$, deci ecuația are trei soluții reale distincte (1 p). (Același răspuns se citește pe grafic: valoarea $8$ este cuprinsă între minimul local $-20$ și maximul local $88$, deci orizontala $y=8$ taie graficul de trei ori.)

Itemul 9. (7 p)

a) (2 p) Comparând $y^2=80x$ cu forma canonică $y^2=2px$ obținem $p=40$ (0,5 p), deci focarul este $F\left(\frac{p}{2},0\right)=F(20,0)$, iar directoarea este dreapta $x=-\frac{p}{2}$, adică $x=-20$ (1 p). Verificare: $20^2=400=80\cdot 5$, deci $M(5,20)$ aparține parabolei (0,5 p).

b) (3 p) Formula de dedublare la parabolă este $y{y}_0=p(x+x_0)$; cu $x_0=5$, $y_0=20$ și $p=40$ obținem $20y=40(x+5)$, adică $$y=2x+10,\text{sau, sub forma˘ generala˘},2x-y+10=0$$ (1,5 p). Confirmare prin sistem: înlocuind $y=2x+10$ în ecuația parabolei rezultă $(2x+10{)}^2=80x$, adică $4x^2-40x+100=0$, echivalent cu $x^2-10x+25=0$ (1 p). Discriminantul este $100-100=0$, deci dreapta este tangentă, iar punctul de contact are abscisa dublă $x=5$ — chiar punctul $M$ (0,5 p). (Control cu tabelul condițiilor de tangență: $2mn=p$ dă $2\cdot 2\cdot 10=40$.)

c) (2 p) Cu raza focală, $MF=x_0+\frac{p}{2}=5+20=25$ (0,5 p). Cu formula distanței, $$MF=\sqrt{(5-20{)}^2+(20-0{)}^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25,$$ deci cele două căi coincid (0,75 p). Dreapta $y=20$ este paralelă cu axa de simetrie $Ox$ a parabolei; înlocuind în ecuație obținem $400=80x$, deci $x=5$: o singură soluție, dar de multiplicitate unu, pentru că ecuația obținută este de gradul întâi, nu de gradul al doilea cu rădăcină dublă. O dreaptă paralelă cu axa taie parabola într-un singur punct fără a fi tangentă (0,75 p).

Itemul 10. (15 p)

a) (5 p) Desfacem paranteza: $$(x-19)(y-19)+19=xy-19x-19y+361+19=xy-19x-19y+380=x\ast y,$$ egalitate valabilă pentru orice numere reale (2 p). Fie acum $x,y\in M$, adică $x-19>0$ și $y-19>0$. Atunci $(x-19)(y-19)>0$ (2 p), deci $$x\ast y=(x-19)(y-19)+19>19,$$ adică $x\ast y\in M$: mulțimea $M$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\ast$ (1 p).

b) (5 p) Parcurgem cei patru pași (0–3). Pasul 0 este demonstrat la punctul a). Asociativitatea: pentru orice $x,y,z\in M$, $$(x\ast y)\ast z=(x-19)(y-19)(z-19)+19=x\ast (y\ast z),$$ expresie simetrică în cele trei variabile, care dă totodată și comutativitatea (1,5 p). Elementul neutru: din $x\ast e=x$ obținem $(x-19)(e-19)=x-19$, iar cum $x\ne 19$ rezultă $e-19=1$, deci $e=20\in M$ (1 p). Simetricul: din $(x-19)(x^{-1}-19)=1$ obținem $x^{-1}=19+\frac{1}{x-19}>19$, deci $x^{-1}\in M$ pentru orice $x\in M$ (1 p). Așadar $(M,\ast )$ este grup comutativ. Izomorfismul: funcția $\phi (x)=x-19$ duce $M$ bijectiv în ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, cu inversa ${\phi }^{-1}(t)=t+19$ (0,75 p), și verifică $$\phi (x\ast y)=(x-19)(y-19)=\phi (x)\cdot \phi (y),$$ deci este morfism; fiind și bijectivă, este izomorfism de la $(M,\ast )$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$ (0,75 p).

c) (5 p) Aplicăm izomorfismul de la punctul b): el transformă cinci compuneri succesive cu legea $\ast$ într-o putere a cincea obișnuită (1,5 p). Notând $t=\phi (x)=x-19>0$, ecuația devine $$t^5=\phi (51)=51-19=32$$ (1,5 p). Cum $32=2^5$ și funcția $t\mapsto t^5$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, ecuația $t^5=32$ are soluția unică $t=2$ (1 p), de unde $x=t+19=21\in M$ (0,5 p). (Verificare pas cu pas: $21\ast 21=2\cdot 2+19=23$, $23\ast 21=4\cdot 2+19=27$, $27\ast 21=8\cdot 2+19=35$, $35\ast 21=16\cdot 2+19=51$.) (0,5 p)

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Numitorul se anulează numai în $x=5$, deci domeniul maxim de definiție este $\mathbb{R}\setminus \{5\}$ (0,5 p). Împărțind, $f(x)=x+3+\frac{25}{x-5}$ — o formă utilă în tot restul rezolvării (0,75 p). În $x=5$ numărătorul valorează $25-10+10=25\ne 0$, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 5\\ x<5\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 5\\ x>5\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$$ (1,5 p), iar dreapta $x=5$ este asimptotă verticală bilaterală (0,5 p). Spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3+\frac{25}{x-5}\right)=3$ (1,25 p); aceleași valori se obțin spre $-\infty$, deci $y=x+3$ este asimptotă oblică la ambele capete (0,5 p). Neexistând asimptotă orizontală, lista completă este: $x=5$ și $y=x+3$.

b) (5 p) Derivăm forma descompusă: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{25}{(x-5{)}^2}=\frac{(x-5{)}^2-25}{(x-5{)}^2}=\frac{x(x-10)}{(x-5{)}^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{50}{(x-5{)}^3}$$ (2 p). Zerourile lui $f^{\prime }$ sunt $0$ și $10$, iar $f^{\prime \prime }$ nu se anulează niciodată (0,5 p). Valorile marcate: $f(0)=\frac{10}{-5}=-2$, $f(10)=\frac{100-20+10}{5}=18$, $f^{\prime \prime }(0)=-\frac{2}{5}$, $f^{\prime \prime }(10)=\frac{2}{5}$ (0,75 p). Tabelul de variație complet, cu punctul exclus marcat (1,25 p):

Citirea tabelului: funcția are un maxim local egal cu $-2$ în punctul $x=0$ și un minim local egal cu $18$ în punctul $x=10$; este concavă pe $(-\infty ,5)$ și convexă pe $(5,+\infty )$, fără puncte de inflexiune, pentru că $5$ nu aparține domeniului (0,5 p).

c) (5 p) Graficul are două ramuri, despărțite de asimptota verticală $x=5$, ambele apropiindu-se de dreapta $y=x+3$ la capetele infinite (1 p). Discuția se face după valorile-prag $-2$ și $18$, adică după cele două extreme locale (1 p). Pe intervalul $(-\infty ,5)$ funcția urcă de la $-\infty$ până la $-2$ și coboară înapoi la $-\infty$, deci ia fiecare valoare mai mică decât $-2$ de exact două ori, valoarea $-2$ o singură dată și nicio valoare mai mare (1 p). Pe intervalul $(5,+\infty )$ funcția coboară de la $+\infty$ până la $18$ și urcă înapoi la $+\infty$, deci ia fiecare valoare mai mare decât $18$ de exact două ori, valoarea $18$ o singură dată și nicio valoare mai mică (1 p). Rezultatul, în tabelul cu două coloane (1 p):

(Control: pentru $m=0$ ecuația $f(x)=0$ ar cere $x^2-2x+10=0$, trinom cu discriminant negativ — deci, într-adevăr, nicio soluție.)