Acasă · Teste · clasa a X-a · Evaluare sumativă mate-info — semestrul 1, clasa a X-a

Evaluare sumativă mate-info — semestrul 1, clasa a X-a

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de la finalul primului semestru pe traseul de matematică-informatică al clasei a X-a. Ea acoperă cele trei capitole parcurse până acum, aproape în părți egale: puterile cu exponent real, funcția exponențială și funcția logaritmică (cu ecuațiile și inecuațiile lor), metodele de numărare și numerele complexe în formă algebrică. Este o probă de profil real, deci exigența nu se oprește la rezultat: la ecuațiile logaritmice se cer condițiile de existență scrise înainte de rezolvare și verificarea soluțiilor față de ele, iar la numărare se cere raționamentul, nu doar formula aplicată. Numerele complexe apar aici doar în forma lor algebrică, $z = a + bi$ — forma trigonometrică și formula lui Moivre urmează în semestrul al doilea și nu fac obiectul acestei evaluări.

Harta materiei acoperite:

Puteri cu exponent rațional și real — trecerea de la radicali la exponenți, regulile de calcul, compararea puterilor cu aceeași bază. (Itemii 1a, 2 — 8 puncte)
Logaritmi și funcția logaritmică — definiția, proprietățile produsului, câtului și puterii, formula de schimbare a bazei, logaritmi zecimali și naturali, ecuații logaritmice cu condiții de existență. (Itemul 5 — 8 puncte)
Ecuații, inecuații și sisteme — ecuații exponențiale elementare și prin substituție, inecuații exponențiale și logaritmice (cu atenție la monotonia bazei), sisteme mixte. (Itemii 6, 10 — 15 puncte)
Metode de numărare — factorial, permutări, aranjamente, combinări, formula de recurență, binomul lui Newton și termenul general, numărarea prin complement, probleme cu restricții. (Itemii 1b, 3, 7, 9, 12 — 29 de puncte)
Numere complexe în formă algebrică — operații, conjugat, modul, împărțire, puterile lui $i$ , planul complex, ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ, relațiile lui Viète în $C$ . (Itemii 1c, 4, 8, 11, 13 — 30 de puncte)

Cum se aplică:

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs). Fiind o evaluare sumativă de semestru, ea este gândită să încapă într-o singură oră, cu ritm susținut: aproximativ $12$ minute pentru Partea I, $18$ pentru Partea a II-a și $20$ pentru Partea a III-a.
Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toți logaritmii care apar sunt logaritmi ai unor puteri exacte, iar numerele complexe au fost alese astfel încât împărțirile și modulele să dea rezultate curate. Fracțiile se lasă ireductibile, iar radicalii nu se aproximează.
Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La orice ecuație sau inecuație logaritmică, lipsa condițiilor de existență se depunctează chiar dacă rezultatul final este corect.
Referința de examen: Bacalaureat M1.

Interpretarea rezultatului:

Punctaj	Nivel	Ce înseamnă
90–100 p	foarte bine	Cele trei capitole sunt stăpânite; se poate intra în semestrul al doilea fără recuperări.
75–89 p	bine	Baza e solidă. De reluat doar tipul de item la care s-au pierdut cele mai multe puncte.
60–74 p	satisfăcător	Exercițiile standard ies, cele cu doi pași sau cu discuție de caz încă nu.
45–59 p	insuficient	Lipsesc automatismele. Recomandat: reluarea proprietăților logaritmilor și a operațiilor cu numere complexe.
sub 45 p	de reluat	Se reia capitol cu capitol, cu câte un test scurt după fiecare unitate.

Formule de reținut, pe capitole:

Puteri: $a^{m / n} = n a^{m}$ (pentru $a > 0$ ); $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ , $\frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}$ , $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ , $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$ .
Monotonie: pentru $a > 1$ , funcția $f (x) = a^{x}$ este strict crescătoare, deci $a^{u} < a^{v} ⟺ u < v$ ; pentru $0 < a < 1$ este strict descrescătoare, deci inegalitatea își schimbă sensul. Aceeași regulă la logaritmi.
Logaritmi: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ; $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ ; $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ ; $lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$ ; schimbarea bazei $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ ; $l g$ pentru baza $10$ , $ln$ pentru baza $e$ .
Numărare: $P_{n} = n!$ ; $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ ; $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ ; $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ; $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}$ ; $(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , cu $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .
Numere complexe: $i^{2} = - 1$ ; $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ ; $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ ; $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ ; $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ ; împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului; pentru $Δ < 0$ , $x_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ , iar rădăcinile sunt conjugate.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea expresiei $lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{3}$ este egală cu: A. $1$ ; B. $2$ ; C. $3$ ; D. $4$ .

b) Valoarea lui $A_{5}^{3}$ este egală cu: A. $10$ ; B. $15$ ; C. $60$ ; D. $120$ .

c) Valoarea lui $i^{2026}$ este egală cu: A. $1$ ; B. $- 1$ ; C. $i$ ; D. $- i$ .

Itemul 2 (6 puncte)

a) Scrie sub formă de radical și calculează $8^{2/3}$ . (2 p) b) Calculează $(\frac{16}{81})^{- 3/4}$ . (2 p) c) Compară numerele $2^{2}$ și $2^{1, 5}$ , justificând răspunsul. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

a) Calculează $\frac{8 !}{6 ! \cdot 2 !}$ . (2 p) b) Calculează $A_{9}^{2} + C_{9}^{2}$ . (2 p) c) Determină numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $A_{n}^{2} = 42$ . (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_{1} = 3 + 2 i$ și $z_{2} = 1 - 4 i$ .

a) Calculează $z_{1} + z_{2}$ și $z_{1} - z_{2}$ . (2 p) b) Calculează $z_{1} \cdot z_{2}$ . (2 p) c) Calculează $∣ z_{1} ∣$ și scrie conjugatul lui $z_{2}$ . (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

a) Calculează $lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3$ . (2 p) b) Calculează $lo g_{5} 125$ și $l g 1000$ . (2 p) c) Folosind formula de schimbare a bazei, arată că $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ . (2 p) d) Rezolvă în $R$ ecuația $lo g_{3} (2 x - 1) = 2$ , scriind mai întâi condiția de existență. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Rezolvă în $R$ ecuația $3^{2 x - 1} = 27$ . (3 p) b) Rezolvă în $R$ ecuația $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ . (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Verifică egalitatea $C_{8}^{3} = C_{7}^{2} + C_{7}^{3}$ și precizează ce proprietate a combinărilor exprimă ea. (2 p) b) Dezvoltă $(x + 1)^{5}$ folosind binomul lui Newton. (2 p) c) Determină termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea $(x + \frac{1}{x})^{10}$ , $x \neq = 0$ . (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Calculează $\frac{2 + 3 i}{1 - i}$ și scrie rezultatul în formă algebrică. (2 p) b) Calculează $i^{2025} + i^{2026} + i^{2027} + i^{2028}$ . (2 p) c) Rezolvă în $C$ ecuația $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ . (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Într-o clasă sunt $18$ elevi, dintre care $10$ fete și $8$ băieți. În câte moduri se poate alege un comitet de $3$ elevi? (2 p) b) Câte dintre comitetele de la punctul a) conțin cel puțin o fată? (2 p) c) Cinci elevi se așază pe un rând de cinci scaune. În câte moduri se pot așeza, astfel încât Ana și Bogdan să stea unul lângă altul? (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip Bacalaureat M1 (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Rezolvă în $R$ inecuația $2^{x^{2} - 3 x} < 16$ . (3 p) b) Rezolvă în $R$ inecuația $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq - 2$ , scriind mai întâi condiția de existență. (3 p) c) Rezolvă sistemul ${x + y = 10 l g x + l g y = l g 21$ , cu $x > 0$ și $y > 0$ . (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Se consideră numărul complex $z = 3 + 4 i$ . Calculează $∣ z ∣$ și precizează coordonatele imaginii geometrice a lui $z$ în planul complex. (2 p) b) Calculează distanța dintre punctele din planul complex de afixe $z_{1} = 1 + 2 i$ și $z_{2} = 4 + 6 i$ . (2 p)

✏️Ilustrație: planul complex cu axa reală orizontală și axa imaginară verticală; punctele de afixe 3+4i, 1+2i și 4+6i marcate cu buline și etichetate; segmentul dintre punctele de afixe 1+2i și 4+6i desenat continuu, cu triunghiul dreptunghic de catete 3 și 4 trasat punctat sub el.

c) Determină ecuația de gradul al doilea cu coeficienți reali care are rădăcinile $2 + i$ și $2 - i$ . (2 p) d) Rezolvă în $C$ ecuația $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ și verifică relațiile lui Viète pentru rădăcinile obținute. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) O bibliotecă are $12$ cărți diferite: $5$ de matematică, $4$ de fizică și $3$ de chimie.

a) În câte moduri se pot alege $4$ cărți? (2 p) b) În câte moduri se pot alege $4$ cărți, dintre care exact $2$ de matematică? (2 p) c) În câte moduri se pot alege $4$ cărți, astfel încât cel puțin una să fie de chimie? (2 p) d) În câte moduri se pot așeza pe un raft cele $5$ cărți de matematică, una lângă alta? (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numărul complex $z = 1 + i$ .

a) Calculați $z^{2}$ și $∣ z ∣$ . (2 p) b) Calculați $z + \overset{z}{ˉ}$ și $z \cdot \overset{z}{ˉ}$ . (2 p) c) Arătați că $z^{4} = - 4$ . (2 p) d) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $z = 1 + i$ este soluție a ecuației $x^{2} + a x + b = 0$ . (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. $lo g_{2} 8 = 3$ , deoarece $2^{3} = 8$ , iar $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ , deoarece $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ ; suma este $3 + (- 1) = 2$ .

b) C. $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . (Varianta A, $10$ , este $C_{5}^{3}$ — ea ar fi răspunsul dacă ordinea nu ar conta.)

c) B. Puterile lui $i$ se repetă din $4$ în $4$ : $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ . Cum $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , restul împărțirii la $4$ este $2$ , deci $i^{2026} = i^{2} = - 1$ .

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Prin definiție, $a^{m / n} = n a^{m}$ (1 p), deci $8^{2/3} = 3 8^{2} = 364 = 4 (1 p) .$ (Mai comod: $8 = 2^{3}$ , deci $8^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4$ .)

b) (2 p) Exponentul negativ înseamnă răsturnarea fracției (0,5 p): $(\frac{16}{81})^{- 3/4} = (\frac{81}{16})^{3/4} = (4 \frac{81}{16})^{3} = (\frac{3}{2})^{3} = \frac{27}{8} (1,5 p) .$ (S-a folosit $81 = 3^{4}$ și $16 = 2^{4}$ .)

c) (2 p) Baza este $2 > 1$ , deci funcția exponențială de bază $2$ este strict crescătoare: puterea mai mare corespunde exponentului mai mare (1 p). Cum $2 \approx 1, 41 < 1, 5$ , rezultă $2^{2} < 2^{1, 5} (1 p) .$ (Comparația exponenților se poate justifica riguros: $(2)^{2} = 2 < 2, 25 = 1, 5^{2}$ , iar ambele numere sunt pozitive.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Simplificăm fără a calcula factorialele întregi (1 p): $\frac{8 !}{6 ! \cdot 2 !} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 (1 p) .$ (Se recunoaște $C_{8}^{2} = 28$ .)

b) (2 p) $A_{9}^{2} = 9 \cdot 8 = 72$ și $C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ (1 p), deci suma este $72 + 36 = 108$ (1 p).

c) (2 p) $A_{n}^{2} = n (n - 1) = 42$ , deci $n^{2} - n - 42 = 0$ (1 p); cu $Δ = 1 + 168 = 169$ obținem $n = \frac{1 + 13}{2} = 7$ (soluția $- 6$ se respinge) (1 p). (Verificare: $7 \cdot 6 = 42$ ✓.)

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Adunarea și scăderea se fac pe componente (0,5 p): $z_{1} + z_{2} = (3 + 1) + (2 - 4) i = 4 - 2i, z_{1} - z_{2} = (3 - 1) + (2 + 4) i = 2 + 6i (1,5 p) .$

b) (2 p) Se înmulțește ca la binoame, folosind $i^{2} = - 1$ (0,5 p): $z_{1} z_{2} = (3 + 2 i) (1 - 4 i) = 3 - 12 i + 2 i - 8 i^{2} = 3 - 10 i + 8 = 11 - 10i (1,5 p) .$

c) (2 p) $∣ z_{1} ∣ = 3^{2} + 2^{2} = 13$ (1 p); conjugatul se obține schimbând semnul părții imaginare: $\overline{z_{2}} = 1 + 4i$ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Diferența logaritmilor cu aceeași bază este logaritmul câtului (1 p): $lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{48}{3} = lo g_{2} 16 = 4 (1 p) .$

b) (2 p) $125 = 12 5^{1/2} = (5^{3})^{1/2} = 5^{3/2}$ , deci $lo g_{5} 125 = \frac{3}{2}$ (1 p). Logaritmul zecimal: $l g 1000 = lo g_{10} 1 0^{3} = 3$ (1 p).

c) (2 p) Cu formula de schimbare a bazei, trecând în baza $2$ (1 p): $lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2} (1 p) .$ (Control prin definiție: $4^{3/2} = (4)^{3} = 2^{3} = 8$ ✓.)

d) (2 p) Condiția de existență: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, $2 x - 1 > 0$ , adică $x > \frac{1}{2}$ (0,5 p). Din definiția logaritmului, $lo g_{3} (2 x - 1) = 2 ⟺ 2 x - 1 = 3^{2} = 9 (1 p),$ deci $2 x = 10$ și $x = 5$ (0,5 p). Cum $5 > \frac{1}{2}$ , soluția convine.

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Scriem ambii membri ca puteri ale lui $3$ : $27 = 3^{3}$ (1 p). Funcția exponențială de bază $3$ fiind strict crescătoare, ea este injectivă, deci exponenții sunt egali (1 p): $2 x - 1 = 3 ⟹ x = 2 (1 p) .$ (Verificare: $3^{2 \cdot 2 - 1} = 3^{3} = 27$ ✓.)

b) (4 p) Observăm că $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ (1 p). Notăm $t = 2^{x}$ , cu condiția $t > 0$ (funcția exponențială ia doar valori strict pozitive) (0,5 p). Ecuația devine $t^{2} - 5 t + 4 = 0 (0,5 p),$ cu $Δ = 25 - 16 = 9$ , deci $t_{1, 2} = \frac{5 \pm 3}{2}$ , adică $t_{1} = 1$ și $t_{2} = 4$ ; ambele sunt pozitive, deci ambele convin (1 p). Revenim la substituție: $2^{x} = 1 \Rightarrow x = 0, 2^{x} = 4 = 2^{2} \Rightarrow x = 2 (1 p) .$ Soluțiile sunt $x \in {0, 2}$ . (Verificare: pentru $x = 0$ , $1 - 5 + 4 = 0$ ✓; pentru $x = 2$ , $16 - 20 + 4 = 0$ ✓.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) $C_{7}^{2} = 21$ și $C_{7}^{3} = 35$ , iar $21 + 35 = 56 = C_{8}^{3}$ (1 p). Egalitatea exprimă formula de recurență a combinărilor, $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}$ , adică exact regula după care fiecare număr din triunghiul lui Pascal este suma celor două de deasupra lui (1 p).

b) (2 p) Coeficienții binomiali de ordinul $5$ sunt $1, 5, 10, 10, 5, 1$ (1 p), deci $(x + 1)^{5} = x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5x + 1 (1 p) .$ (Verificare pentru $x = 1$ : $2^{5} = 32 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1$ ✓.)

c) (3 p) Termenul general al dezvoltării este $T_{k + 1} = C_{10}^{k} x^{10 - k} (\frac{1}{x})^{k} = C_{10}^{k} x^{10 - 2 k} (1,5 p) .$ Termenul nu îl conține pe $x$ atunci când exponentul este nul: $10 - 2 k = 0$ , deci $k = 5$ (1 p). Prin urmare termenul căutat este $T_{6} = C_{10}^{5} = 252 (0,5 p) .$

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Amplificăm cu conjugatul numitorului (1 p): $\frac{2 + 3 i}{1 - i} = \frac{( 2 + 3 i ) ( 1 + i )}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{2 + 2 i + 3 i + 3 i ^{2}}{1 - i ^{2}} = \frac{- 1 + 5 i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i (1 p) .$ (Verificare, înmulțind înapoi: $(- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i) (1 - i) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i + \frac{5}{2} i + \frac{5}{2} = 2 + 3 i$ ✓.)

b) (2 p) Împărțim exponenții la $4$ : $2025 = 4 \cdot 506 + 1$ , deci $i^{2025} = i$ ; apoi $i^{2026} = - 1$ , $i^{2027} = - i$ , $i^{2028} = 1$ (1,5 p). Suma este $i + (- 1) + (- i) + 1 = 0 (0,5 p) .$ (Regula generală: suma a patru puteri consecutive ale lui $i$ este întotdeauna $0$ .)

c) (2 p) $Δ = 16 - 52 = - 36 < 0$ (0,5 p). Cum $- 36 = 6 i$ (0,5 p), $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 6 i}{2} = 2 \pm 3i (1 p) .$ (Verificare pentru $x = 2 + 3 i$ : $(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i - 9 = - 5 + 12 i$ , iar $- 5 + 12 i - 8 - 12 i + 13 = 0$ ✓. Rădăcinile sunt conjugate, cum se întâmplă mereu la coeficienți reali și $Δ < 0$ .)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Comitetul nu are ordine internă, deci se folosesc combinări (0,5 p): $C_{18}^{3} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 816 (1,5 p) .$

b) (2 p) Prin complement: contrarul evenimentului „cel puțin o fată" este „niciun ales nu e fată", adică toți trei sunt băieți — $C_{8}^{3} = 56$ moduri (1 p). Deci $816 - 56 = 760 (1 p) .$

c) (2 p) Tratăm perechea Ana–Bogdan ca pe un bloc unic; avem atunci $4$ obiecte de permutat (blocul și ceilalți trei elevi), adică $4! = 24$ moduri (1 p). În interiorul blocului, cei doi se pot așeza în $2! = 2$ moduri (0,5 p), deci $2 \cdot 4! = 48 (0,5 p) .$ (Control: din cele $5! = 120$ de așezări posibile, $48$ îi au alăturați, adică exact $\frac{2}{5}$ dintre ele.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Scriem $16 = 2^{4}$ (0,5 p). Baza $2$ fiind mai mare decât $1$ , funcția exponențială este strict crescătoare, deci inecuația își păstrează sensul la trecerea la exponenți (1 p): $x^{2} - 3 x < 4 ⟺ x^{2} - 3 x - 4 < 0 (0,5 p) .$ Rădăcinile trinomului sunt $- 1$ și $4$ , iar coeficientul dominant este pozitiv, deci expresia este negativă între rădăcini (0,5 p): $x \in (- 1, 4) (0,5 p) .$ (Verificare: pentru $x = 0$ , $0 - 0 - 4 = - 4 < 0$ ✓; pentru $x = 5$ , $25 - 15 - 4 = 6 > 0$ ✓.)

b) (3 p) Condiția de existență: $x - 1 > 0$ , adică $x > 1$ (0,5 p). Scriem membrul drept ca logaritm în aceeași bază: $- 2 = lo g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{- 2} = lo g_{\frac{1}{2}} 4$ (0,5 p). Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci funcția logaritmică este strict descrescătoare și inecuația își schimbă sensul (1 p): $x - 1 \leq 4 ⟹ x \leq 5 (0,5 p) .$ Intersectând cu condiția de existență, obținem $x \in (1, 5]$ (0,5 p). (Verificare la capăt: pentru $x = 5$ , $lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 2 \geq - 2$ ✓; pentru $x = 6$ , $lo g_{\frac{1}{2}} 5 < - 2$ , deci nu convine.)

c) (2 p) Din a doua ecuație, folosind proprietatea produsului, $l g (x y) = l g 21$ , iar funcția logaritmică fiind injectivă rezultă $x y = 21$ (1 p). Cu $x + y = 10$ și $x y = 21$ , numerele $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^{2} - 10 t + 21 = 0$ , adică $t_{1} = 3$ și $t_{2} = 7$ (0,5 p). Ambele sunt strict pozitive, deci convin: $(x, y) \in {(3, 7), (7, 3)} (0,5 p) . ■$

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) $∣ z ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ (1 p). Imaginea geometrică a lui $z = a + bi$ este punctul de coordonate $(a, b)$ , deci aici $M (3, 4)$ (1 p).

b) (2 p) Distanța dintre două puncte din planul complex este modulul diferenței afixelor (1 p): $∣ z_{2} - z_{1} ∣ = ∣ (4 - 1) + (6 - 2) i ∣ = ∣3 + 4 i ∣ = 9 + 16 = 5 (1 p) .$

c) (2 p) Suma și produsul rădăcinilor sunt $S = (2 + i) + (2 - i) = 4, P = (2 + i) (2 - i) = 4 - i^{2} = 5 (1 p),$ deci ecuația este $x^{2} - S x + P = 0$ , adică $x^{2} - 4x + 5 = 0 (1 p) .$ (Ambele mărimi au ieșit reale — semn că rădăcinile conjugate dau întotdeauna coeficienți reali.)

d) (2 p) $Δ = 4 - 20 = - 16$ , deci $- 16 = 4 i$ și $x_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 4 i}{2} = - 1 \pm 2i (1 p) .$ Relațiile lui Viète: $x_{1} + x_{2} = (- 1 + 2 i) + (- 1 - 2 i) = - 2 = - \frac{b}{a}$ ✓, iar $x_{1} x_{2} = (- 1)^{2} - (2 i)^{2} = 1 + 4 = 5 = \frac{c}{a}$ ✓ (1 p). $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Ordinea nu contează, deci $C_{12}^{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 495 (2 p) .$

b) (2 p) Se aleg $2$ cărți dintre cele $5$ de matematică și $2$ dintre celelalte $7$ (fizică sau chimie), iar cele două alegeri se combină prin regula produsului (1 p): $C_{5}^{2} \cdot C_{7}^{2} = 10 \cdot 21 = 210 (1 p) .$

c) (2 p) Prin complement: alegerile fără nicio carte de chimie se fac dintre cele $9$ cărți rămase, adică $C_{9}^{4} = 126$ (1 p). Deci $495 - 126 = 369 (1 p) .$

d) (2 p) Cele $5$ cărți se așază toate, iar ordinea contează: este o permutare (1 p): $P_{5} = 5! = 120 (1 p) .$

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $z^{2} = (1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2i (1 p), ∣ z ∣ = 1^{2} + 1^{2} = 2 (1 p) .$

b) (2 p) Cu $\overset{z}{ˉ} = 1 - i$ : $z + \overset{z}{ˉ} = (1 + i) + (1 - i) = 2 (1 p), z \cdot \overset{z}{ˉ} = 1 - i^{2} = 2 (1 p) .$ (Ambele rezultate sunt reale, cum trebuie: $z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re z$ și $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ .)

c) (2 p) Folosim rezultatul de la punctul a) (1 p): $z^{4} = (z^{2})^{2} = (2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4 (1 p) .$

d) (2 p) Înlocuim $x = 1 + i$ în ecuație și folosim $z^{2} = 2 i$ : $2 i + a (1 + i) + b = 0 ⟺ (a + b) + (2 + a) i = 0 (1 p) .$ Un număr complex este nul dacă și numai dacă partea reală și partea imaginară sunt simultan nule, deci $a + b = 0$ și $2 + a = 0$ , de unde $a = - 2, b = 2 (1 p) .$ (Verificare: $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ are $Δ = 4 - 8 = - 4$ și rădăcinile $1 \pm i$ ✓ — coeficienții fiind reali, cealaltă rădăcină este obligatoriu conjugata lui $1 + i$ .) $■$