Evaluare sumativă — semestrul 2, clasa a XI-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de la finalul semestrului al doilea al clasei a XI-a, pe traseul de matematică-informatică. Ea acoperă întreaga analiză matematică a anului, în patru capitole aproape egale ca pondere: șirurile și limitele de șiruri, limitele de funcții și continuitatea, funcțiile derivabile și studiul variației cu derivate. Spre deosebire de semestrul întâi, unde fiecare capitol avea un algoritm al lui, aici totul se construiește pe o singură idee — apropierea — și fiecare capitol nou o folosește pe cea anterioară ca unealtă: limita definește continuitatea, continuitatea și limita definesc derivata, iar derivata citește monotonia și forma graficului. De aceea un elev care pierde puncte constant la un capitol le va pierde, aproape sigur, și la următorul: la această probă recuperarea se face în ordine, nu pe sărite.

Harta materiei acoperite:

• Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri — nedeterminările $\frac{\infty }{\infty }$ și $\infty -\infty$, șirul $(q^n{)}_n$, monotonia și mărginirea, teorema lui Weierstrass, șiruri definite prin recurență, numărul $e$. (Itemii 1a, 2, 5, 13 — 24 de puncte)
• Limite de funcții și continuitate — nedeterminarea $\frac{0}{0}$, limitele laterale și criteriul de existență a limitei, limitele la $+\infty$, limitele fundamentale, nedeterminarea $1^{\infty }$, continuitatea cu parametru, proprietatea valorilor intermediare. (Itemii 1b, 3, 6, 7 — 22 de puncte)
• Funcții derivabile — regulile de derivare (produs, cât, funcții compuse), ecuația tangentei, derivatele laterale și punctul unghiular, teorema lui Lagrange, șirul lui Rolle. (Itemii 1c, 4, 8, 11 — 22 de puncte)
• Studiul variației funcțiilor cu derivate — monotonia din semnul derivatei, extremele locale, tabelul de variație simplu și complet, convexitatea și punctele de inflexiune, imaginea funcției, optimizarea în economie. (Itemii 9, 10, 12 — 22 de puncte)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 70 de minute. Este mai mult decât la testele de capitol ale clasei (câte $50$ de minute), pentru că doi dintre itemi cer tabele de variație complete, iar unul cere o demonstrație prin inducție — sarcini care nu încap în ritmul unui exercițiu de fixare. Orientativ: $15$ minute pentru Partea I, $27$ pentru Partea a II-a și $28$ pentru Partea a III-a. Dacă ora nu poate fi prelungită, proba se dă în două reprize — Părțile I și a II-a într-o oră ($58$ de puncte), Partea a III-a în ora următoare ($32$ de puncte) —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — limitele au valori exacte ($3$, $\frac{3}{2}$, $e^6$, $\ln 3$), iar rădăcinile derivatelor sunt numere întregi.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. Se depunctează: aplicarea regulilor lui L'Hôpital fără a verifica întâi că este caz de nedeterminare $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$; folosirea limitelor fundamentale fără substituția scrisă; formularea monotoniei sau a convexității pe o reuniune de intervale în loc de fiecare interval separat; confuzia dintre punctul de extrem $x_0$ și valoarea extremă $f(x_0)$; enunțarea unei teoreme fără ipotezele ei complete; și, la tabelele de variație, lăsarea goală a coloanelor de la capete sau marcarea pe axă numai a rădăcinilor lui $f^{\prime }$.
• Referința de examen: Bacalaureat M1. Itemii $11$, $12$ și $13$ sunt scriși în formatul subiectelor de la BAC M1.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut:

• Șirul $(q^n{)}_n$: limita este $0$ pentru $|q|<1$; $1$ pentru $q=1$; $+\infty$ pentru $q>1$; iar pentru $q\le -1$ limita nu există. (Atenție la distincție: o limită infinită există — în $\overline{\mathbb{R}}$ —, dar șirul nu e convergent.)
• Teorema lui Weierstrass (se admite fără demonstrație): orice șir monoton și mărginit este convergent. La șirurile recurente, limita se află trecând la limită în relația de recurență.
• Cele șapte nedeterminări, în ordinea canonică: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$.
• Cele cinci limite fundamentale: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$; $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$; $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ ($a>0$); $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$; $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r$. Corolare: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.
• Criteriul de existență a limitei: $f$ are limită în $x_0$ dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale.
• Continuitate: $f$ e continuă în $x_0$ dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Proprietatea valorilor intermediare (Darboux) și consecința ei de semn (teorema lui Bolzano): dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$ și $f(a)f(b)<0$, atunci ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$.
• Derivata: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$; tangenta: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Punct unghiular: derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una e finită.
• Regulile de derivare: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$; ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$; $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$.
• Teorema lui Lagrange: dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$, există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Consecința 2: $f^{\prime }>0$ pe un interval $\Rightarrow$ $f$ strict crescătoare acolo.
• Regulile lui L'Hôpital (se admit fără demonstrație): se aplică numai în cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$, derivând separat numărătorul și numitorul.
• Șirul lui Rolle: se calculează $f$ în rădăcinile lui $f^{\prime }$ și limitele la capete; fiecare schimbare de semn dă exact o soluție a ecuației $f(x)=0$.
• Tabelul de variație: rândurile $x$ (antet), $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ (în tabelul complet), $f(x)$; cu $k$ puncte marcate are $2k+4$ coloane; simbolurile $\nearrow$, $\searrow$, $\cup$ (convexă, „ține apa"), $\cap$ (concavă, „varsă apa"), $\text{M}$, $\text{m}$, $\text{I}$.
• Optimizare în economie: $V(q)$ venitul, $C(q)$ costul, $P(q)=V(q)-C(q)$ profitul; Regula profitului: profitul este maxim acolo unde $V^{\prime }(q)=C^{\prime }(q)$, cu derivata trecând de la $+$ la $-$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Despre șirul $a_n=(-2{)}^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, se poate spune că: A. are limita $0$; B. are limita $+\infty$; C. nu are limită; D. are limita $-\infty$.

b) Valoarea limitei $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3^x-1}{x}$ este egală cu: A. $0$; B. $1$; C. $\ln 3$; D. $3$.

c) Pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, valoarea lui $f^{\prime }(4)$ este egală cu: A. $\frac{1}{4}$; B. $\frac{1}{2}$; C. $2$; D. $4$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează limitele următoare (câte 2 puncte), precizând de fiecare dată cazul de nedeterminare: a) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2-2n+1}{n^2+5n}$; b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$; c) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n+3\cdot 3^n}{3^n+2\cdot 2^n}$.

Itemul 3 (6 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}$. (2 p) b) Pentru $f:\mathbb{R}\setminus \{5\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x+2}{x-5}$, calculează cele două limite laterale în punctul $5$ și precizează dacă funcția are limită în acest punct. (2 p) c) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2-4x}\right)$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Determină derivata fiecărei funcții și calculează valoarea cerută (câte 2 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2x-1)(x^2+3)$; calculează $f^{\prime }(2)$; b) $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x+2}{x^2+1}$; calculează $g^{\prime }(1)$; c) $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\ln (x^2+6)$; calculează $h^{\prime }(1)$.

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_1=1$ și $a_{n+1}=\sqrt{3a_n+10}$, pentru orice $n\ge 1$.

a) Calculează $a_2$ și $a_3$ și demonstrează prin inducție matematică faptul că $0<a_n<5$, pentru orice $n\ge 1$. (3 p) b) Arată că șirul este strict crescător. (3 p) c) Justifică faptul că șirul este convergent și calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Se consideră funcția $f:\left[-\frac{7}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x+7}-3}{x-1},& x\ne 1\\ a,& x=1\end{array}$, unde $a$ este un număr real. Determină valoarea lui $a$ pentru care funcția este continuă în punctul $x_0=1$. (3 p) b) Arată că ecuația $x^3+2x-6=0$ are cel puțin o soluție reală în intervalul $(1,2)$. (2 p) c) Arată că această soluție se află, de fapt, în intervalul $(1,4;1,5)$ și justifică faptul că ea este unică în $\mathbb{R}$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Calculează limitele următoare, precizând la fiecare metoda folosită: a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{\mathrm{tg}5x}$. (2 p) b) $\underset{x\to 0}{\lim }(1+2x{)}^{\frac{3}{x}}$. (2 p) c) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}$, folosind regulile lui L'Hôpital. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x^2+3x$. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$. (3 p) b) Se consideră funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=|x^2-9|$. Calculează derivatele laterale $g_s^{\prime }(3)$ și $g_d^{\prime }(3)$ și precizează natura punctului $x_0=3$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-9x^2+12x-4$.

a) Calculează $f^{\prime }(x)$ și determină rădăcinile ei. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație al funcției (fără rândul lui $f^{\prime \prime }$) și precizează intervalele de monotonie. (2 p) c) Determină punctele de extrem local și valorile extreme, apoi precizează imaginea funcției. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip Bacalaureat M1 (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x^3+5$.

a) Calculează $f^{\prime }(x)$ și $f^{\prime \prime }(x)$, determină punctele care se marchează pe axă și numărul de coloane al tabelului de variație complet. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație complet al funcției. (4 p) c) Citește din tabel: intervalele de monotonie, extremele, intervalele de convexitate, punctele de inflexiune și imaginea funcției. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-6x+1$.

a) Verifică ipotezele teoremei lui Lagrange pe intervalul $[0,2]$ și determină valoarea $c\in (0,2)$ dată de teoremă. (3 p) b) Alcătuiește șirul lui Rolle pentru funcția $f$ și determină numărul soluțiilor reale ale ecuației $2x^3-6x+1=0$. (3 p) c) Arată că una dintre soluții se află în intervalul $(0,1)$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) O firmă produce $q$ tone dintr-un material pe lună. Venitul obținut este $V(q)=80q-q^2$ lei, iar costul total de producție este $C(q)=10q+1000$ lei, unde $q\in (0,80)$.

a) Scrie funcția profit $P(q)$ și precizează domeniul real al problemei. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație al funcției $P$ și determină producția lunară pentru care profitul este maxim, precum și valoarea profitului maxim. (4 p) c) Verifică prin calcul Regula profitului în punctul găsit și determină producțiile pentru care firma nu are nici profit, nici pierdere. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$, $a_n=\frac{3n+4}{n+6}$.

a) Arată că șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este strict crescător. (2 p) b) Arată că $1\le a_n<3$, pentru orice $n\ge 1$, și deduce că șirul este convergent. (2 p) c) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$. (2 p) d) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{3n+4}{3n+10}\right)}^n$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Aici $q=-2\le -1$, iar termenii sar de o parte și de alta: subșirul termenilor de rang par tinde la $+\infty$, cel al termenilor de rang impar tinde la $-\infty$. Cum două subșiruri au limite diferite, șirul nu are limită. (Varianta B ar fi corectă pentru $a_n=2^n$; atenție că „$\lim a_n=+\infty$" ar fi fost o limită care există, dar aici nici măcar atât.)

b) C. Este a treia limită fundamentală, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$, cu $a=3$. (Varianta B este greșeala clasică: valoarea $1$ se obține numai pentru $a=e$.)

c) A. Din tabelul derivatelor, $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$, deci $f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Caz $\frac{\infty }{\infty }$. Scoatem termenul dominant, $n^2$, din numărător și din numitor (1 p): $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2\left(3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac{5}{n}\right)}=\frac{3-0+0}{1+0}=3\text{(1 p)}.$$

b) Caz $\infty -\infty$. Amplificăm cu conjugata (1 p): $$\sqrt{n^2+3n}-n=\frac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}⟶\frac{3}{2}\text{(1 p)}.$$

c) Caz $\frac{\infty }{\infty }$. Împărțim numărătorul și numitorul la $3^n$, puterea cu baza cea mai mare (1 p): $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+3}{1+2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}=\frac{0+3}{1+0}=3\text{(1 p)},$$ pentru că ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$, având rația în modul mai mică decât $1$.

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Caz $\frac{0}{0}$ (ambii termeni se anulează în $2$). Factorizăm și simplificăm (1 p): $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=\frac{4}{1}=4\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Numărătorul tinde la $3\cdot 5+2=17>0$, iar numitorul tinde la $0$, cu semn dat de partea din care se face apropierea (1 p): $$\underset{\begin{array}{c}x\to 5\\ x<5\end{array}}{\lim }\frac{3x+2}{x-5}=\frac{17}{0^{-}}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 5\\ x>5\end{array}}{\lim }\frac{3x+2}{x-5}=\frac{17}{0^{+}}=+\infty \text{(0,5 p)}.$$ Cele două limite laterale există, dar nu sunt egale, deci funcția nu are limită în $x_0=5$ (0,5 p).

c) (2 p) Caz $\infty -\infty$; amplificăm cu conjugata (1 p): $$x-\sqrt{x^2-4x}=\frac{x^2-(x^2-4x)}{x+\sqrt{x^2-4x}}=\frac{4x}{x+\sqrt{x^2-4x}}=\frac{4}{1+\sqrt{1-\frac{4}{x}}}⟶\frac{4}{2}=2\text{(1 p)}.$$ (La ultimul pas s-a folosit $\sqrt{x^2}=x$, corect pentru că $x\to +\infty$, deci $x>0$.)

Itemul 4. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Regula produsului, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ (1 p): $$f^{\prime }(x)=2(x^2+3)+(2x-1)\cdot 2x=2x^2+6+4x^2-2x=6{\mathbf{x}}^2-2x+6,$$ iar $f^{\prime }(2)=24-4+6=26$ (1 p).

b) Regula câtului, ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ (1 p): $$g^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-(x+2)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-{\mathbf{x}}^2-4x+1}{({\mathbf{x}}^2+1{)}^2},$$ iar $g^{\prime }(1)=\frac{-1-4+1}{(1+1{)}^2}=\frac{-4}{4}=-1$ (1 p).

c) Derivarea funcției compuse, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ (1 p): $$h^{\prime }(x)=\frac{2x}{{\mathbf{x}}^2+6},h^{\prime }(1)=\frac{2}{7}\text{(1 p)}.$$

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) $a_2=\sqrt{3\cdot 1+10}=\sqrt{13}\approx 3,61$ și $a_3=\sqrt{3\sqrt{13}+10}\approx 4,56$ (0,5 p). Verificarea pentru $n=1$: $0<a_1=1<5$ (0,5 p). Pasul inductiv: presupunem $0<a_k<5$ (0,5 p). Atunci $10<3a_k+10<25$, iar funcția radical fiind strict crescătoare (1 p), $$\sqrt{10}<a_{k+1}=\sqrt{3a_k+10}<\sqrt{25}=5,$$ deci $0<a_{k+1}<5$ (0,5 p). Conform principiului inducției, $0<a_n<5$ pentru orice $n\ge 1$.

b) (3 p) Comparăm $a_{n+1}$ cu $a_n$. Cum ambii sunt pozitivi, inegalitatea $a_{n+1}>a_n$ este echivalentă cu $3a_n+10>a_n^2$ (1 p), adică $$a_n^2-3a_n-10<0⟺(a_n-5)(a_n+2)<0⟺-2<a_n<5\text{(1,5 p)}.$$ Din punctul a) știm că $0<a_n<5$, deci inegalitatea este adevărată pentru orice $n$, iar șirul este strict crescător (0,5 p).

c) (2 p) Șirul este monoton (crescător) și mărginit (superior de $5$, inferior de $0$), deci, conform teoremei lui Weierstrass, este convergent (1 p). Fie $\ell =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$. Trecem la limită în relația de recurență: $\ell =\sqrt{3\ell +10}$, deci ${\ell }^2=3\ell +10$, adică ${\ell }^2-3\ell -10=0$, cu soluțiile $\ell \in \{5,-2\}$. Cum toți termenii sunt pozitivi, $\ell \ge 0$, deci $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=5\text{(1 p)}.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Funcția este continuă în $x_0=1$ dacă și numai dacă $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=a$ (0,5 p). Limita este un caz $\frac{0}{0}$; amplificăm cu conjugata (1,5 p): $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{2x+7}-3}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(2x+7)-9}{(x-1)\left(\sqrt{2x+7}+3\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2(x-1)}{(x-1)\left(\sqrt{2x+7}+3\right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$ Prin urmare $a=\frac{1}{3}$ (1 p).

b) (2 p) Funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^3+2x-6$, este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind funcție polinomială (0,5 p). Calculăm $g(1)=1+2-6=-3<0$ și $g(2)=8+4-6=6>0$ (1 p). Cum $g(1)\cdot g(2)<0$, din consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano) rezultă că ecuația are cel puțin o soluție în $(1,2)$ (0,5 p).

c) (2 p) $g(1,4)=2,744+2,8-6=-0,456<0$ și $g(1,5)=3,375+3-6=0,375>0$, deci soluția se află în $(1,4;1,5)$ (1 p). Unicitatea: $g^{\prime }(x)=3x^2+2>0$ pentru orice $x$ real, deci $g$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (consecința teoremei lui Lagrange) și nu poate lua valoarea $0$ de două ori (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Folosim prima limită fundamentală și corolarul ei, cu substituțiile scrise explicit: notăm $t=3x$ și $s=5x$; cum $x\to 0$, avem $t\to 0$ și $s\to 0$ (1 p). Atunci $$\frac{\sin 3x}{\mathrm{tg}5x}=\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{5x}{\mathrm{tg}5x}\cdot \frac{3x}{5x}⟶1\cdot 1\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Caz $1^{\infty }$. Scriem exponentul astfel încât să apară a doua limită fundamentală, cu $u(x)=2x\to 0$ (1 p): $$(1+2x{)}^{\frac{3}{x}}={\left[(1+2x{)}^{\frac{1}{2x}}\right]}^6⟶e^6\text{(1 p)}.$$

c) (3 p) Verificăm întâi că este caz de nedeterminare: numărătorul $x-\ln (1+x)\to 0$ și numitorul $x^2\to 0$, deci avem $\frac{0}{0}$ (0,5 p). Derivăm separat numărătorul și numitorul (1 p): $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\frac{1}{1+x}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2x(1+x)}\text{(1 p)},$$ iar după simplificarea cu $x$ obținem $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2(1+x)}=\frac{1}{2}$ (0,5 p). (Se putea aplica a doua oară regula lui L'Hôpital, tot cu rezultatul $\frac{1}{2}$; simplificarea e mai scurtă.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) $f(2)=8-16+6=-2$ (0,5 p); $f^{\prime }(x)=3x^2-8x+3$, deci $f^{\prime }(2)=12-16+3=-1$ (1,5 p). Ecuația tangentei în punctul $(2,-2)$ este $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$, adică $y+2=-(x-2)$ (0,5 p), deci $$y=-\mathbf{x}\text{(0,5 p)}.$$ (Panta tangentei este $-1$, deci tangenta face un unghi de $135^{\circ }$ cu semiaxa pozitivă $Ox$.)

b) (3 p) Pe o vecinătate a lui $3$, expresia de sub modul își schimbă semnul: $g(x)=9-x^2$ pentru $x\in (-3,3)$ și $g(x)=x^2-9$ pentru $x>3$ (0,5 p). Funcția este continuă în $3$, cu $g(3)=0$. Derivatele laterale (1,5 p): $$g_s^{\prime }(3)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }\frac{9-x^2-0}{x-3}=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }(-(x+3))=-6,g_d^{\prime }(3)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=6.$$ Cele două derivate laterale există, sunt finite și diferite, deci $g$ nu este derivabilă în $3$, iar $x_0=3$ este punct unghiular (1 p). (Graficul are acolo două semitangente, de pante $-6$ și $6$.)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) $f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(\mathbf{x}-1)(\mathbf{x}-2)$ (1,5 p), cu rădăcinile $x_1=1$ și $x_2=2$ (0,5 p).

b) (2 p) Semnul lui $f^{\prime }$ este cel al trinomului: pozitiv în afara rădăcinilor, negativ între ele. Valorile: $f(1)=2-9+12-4=1$ și $f(2)=16-36+24-4=0$; la capete, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (1 p). Cu $k=2$ puncte marcate, tabelul are $2\cdot 2+4=8$ coloane:

Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,1]$ și pe $[2,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[1,2]$ (1 p). (Monotonia se enunță pe fiecare interval separat, niciodată pe reuniunea lor.)

c) (2 p) $x_1=1$ este punct de maxim local, iar valoarea maximă locală este $f(1)=1$; $x_2=2$ este punct de minim local, cu valoarea minimă locală $f(2)=0$ (1 p). Cum limitele la $\pm \infty$ sunt $-\infty$ și $+\infty$, iar funcția este continuă, imaginea este $$\mathrm{Im}f=\mathbb{R}\text{(1 p)},$$ deci extremele găsite sunt doar locale, nu globale.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4{\mathbf{x}}^2(\mathbf{x}-3)$, cu rădăcinile $0$ (dublă) și $3$; $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(\mathbf{x}-2)$, cu rădăcinile $0$ și $2$ (1 p). Punctele marcate pe axă sunt reuniunea rădăcinilor celor două derivate: $\{0,2,3\}$, deci $k=3$ și tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane (1 p).

b) (4 p) Valorile necesare: $f(0)=5$, $f(2)=16-32+5=-11$, $f(3)=81-108+5=-22$; $f^{\prime }(2)=32-48=-16$; $f^{\prime \prime }(3)=108-72=36$; iar $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (1,5 p). Semnele: $f^{\prime }(x)=4x^2(x-3)$ are semnul lui $x-3$, pentru că $4x^2\ge 0$ — deci $f^{\prime }<0$ atât pe $(-\infty ,0)$, cât și pe $(0,3)$, și $f^{\prime }>0$ pe $(3,+\infty )$; $f^{\prime \prime }$ este pozitivă pe $(-\infty ,0)$, negativă pe $(0,2)$ și pozitivă pe $(2,+\infty )$ (1 p).

(1,5 p) pentru completarea corectă a tuturor celulelor.

c) (2 p) Citirea tabelului: funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,3]$ și strict crescătoare pe $[3,+\infty )$; are un singur extrem, minimul $f(3)=-22$, atins în punctul de minim $x=3$ (și este minim global) (1 p). Este convexă pe $(-\infty ,0]$ și pe $[2,+\infty )$ și concavă pe $[0,2]$, cu două puncte de inflexiune ale graficului, $(0,5)$ și $(2,-11)$; imaginea funcției este $\mathrm{Im}f=[-22,+\infty )$ (1 p). (De reținut: în $x=0$ derivata se anulează, dar punctul nu este de extrem — derivata nu-și schimbă semnul acolo; este un punct de inflexiune cu tangentă orizontală.) $■$

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Funcția $f$ este polinomială, deci este continuă pe $[0,2]$ și derivabilă pe $(0,2)$: ipotezele teoremei lui Lagrange sunt îndeplinite (1 p). Avem $f(0)=1$ și $f(2)=16-12+1=5$, deci $$\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{5-1}{2}=2\text{(0,5 p)}.$$ Rezolvăm $f^{\prime }(c)=2$, adică $6c^2-6=2$, deci $c^2=\frac{4}{3}$ (1 p), de unde $c=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Cum trebuie ca $c\in (0,2)$, reținem $$c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,15\text{(0,5 p)}.$$

b) (3 p) $f^{\prime }(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)$, cu rădăcinile $-1$ și $1$ (0,5 p). Calculăm valorile și limitele la capete: $f(-1)=-2+6+1=5$, $f(1)=2-6+1=-3$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (1 p).

(1 p) Sunt trei schimbări de semn, deci ecuația are exact 3 soluții reale, câte una în fiecare dintre intervalele $(-\infty ,-1)$, $(-1,1)$ și $(1,+\infty )$ (0,5 p).

c) (2 p) $f$ este continuă pe $[0,1]$, iar $f(0)=1>0$ și $f(1)=-3<0$ (1 p). Din consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, ecuația are cel puțin o soluție în $(0,1)$; cum din punctul b) știm că în $(-1,1)$ există exact una, ea este chiar aceasta (1 p). (Verificare prin înjumătățiri repetate: soluția este aproximativ $0,168$.)

Itemul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Profitul este diferența dintre venit și cost (1 p): $$P(q)=V(q)-C(q)=80q-q^2-10q-1000=-{\mathbf{q}}^2+70q-1000.$$ Domeniul real al problemei este $q\in (0,80)$: producția este strict pozitivă, iar peste $80$ de tone venitul ar deveni negativ (1 p).

b) (4 p) $P^{\prime }(q)=-2q+70$, care se anulează pentru $q=35$ (1 p). Semnul: $P^{\prime }>0$ pe $(0,35)$ și $P^{\prime }<0$ pe $(35,80)$ (0,5 p). Valorile de la capete (limite laterale, capetele fiind excluse din domeniu): $P(0^{+})=-1000$ și $P(80^{-})=-6400+5600-1000=-1800$; iar $P(35)=-1225+2450-1000=225$ (1 p). Cu $k=1$ punct marcat, tabelul are $2\cdot 1+4=6$ coloane:

(1 p) (La capetele finite excluse din domeniu, rândul derivatei primește bara $|$, iar rândul funcției limita laterală.) Profitul este maxim pentru o producție de $35$ de tone pe lună, iar profitul maxim este de $225$ de lei (0,5 p).

c) (2 p) Regula profitului spune că maximul se atinge acolo unde venitul marginal este egal cu costul marginal: $V^{\prime }(q)=80-2q$ și $C^{\prime }(q)=10$, iar $V^{\prime }(35)=80-70=10=C^{\prime }(35)$ ✓ (1 p). Firma nu are nici profit, nici pierdere când $P(q)=0$, adică $q^2-70q+1000=0$, cu $\Delta =4900-4000=900$ și $$q_{1,2}=\frac{70\pm 30}{2}⟹q\in \{20,50\}\text{tone}\text{(1 p)}.$$ (Între $20$ și $50$ de tone firma este pe profit; în afara acestui interval, pe pierdere.) $■$

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Calculăm diferența a doi termeni consecutivi. Scriem întâi $a_n=\frac{3(n+6)-14}{n+6}=3-\frac{14}{n+6}$ (1 p), de unde $$a_{n+1}-a_n=\frac{14}{n+6}-\frac{14}{n+7}=\frac{14}{(n+6)(n+7)}>0\text{(1 p)},$$ deci șirul este strict crescător. (Control: $a_1=1$, $a_2=\frac{10}{8}=1,25$.)

b) (2 p) Din forma $a_n=3-\frac{14}{n+6}$ se citește imediat că $a_n<3$ pentru orice $n$ (0,5 p); iar cum șirul este crescător, $a_n\ge a_1=\frac{7}{7}=1$ (0,5 p). Deci $1\le a_n<3$: șirul este mărginit. Fiind și monoton, din teorema lui Weierstrass rezultă că este convergent (1 p).

c) (2 p) Caz $\frac{\infty }{\infty }$; scoatem factor forțat pe $n$ (1 p): $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+4}{n+6}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3+\frac{4}{n}}{1+\frac{6}{n}}=3\text{(1 p)}.$$ (Se putea folosi direct forma $a_n=3-\frac{14}{n+6}$, în care al doilea termen tinde la $0$.)

d) (2 p) Caz $1^{\infty }$, pentru că baza tinde la $1$, iar exponentul la $+\infty$. Scriem baza sub forma $1+u_n$, cu $u_n=\frac{3n+4}{3n+10}-1=-\frac{6}{3n+10}\to 0$ (1 p): $${\left(\frac{3n+4}{3n+10}\right)}^n={\left[{\left(1-\frac{6}{3n+10}\right)}^{-\frac{3n+10}{6}}\right]}^{-\frac{6n}{3n+10}}⟶e^{-2}=\frac{1}{{\mathbf{e}}^2}\text{(1 p)},$$ pentru că paranteza dreaptă tinde la $e$, iar exponentul $-\frac{6n}{3n+10}$ tinde la $-2$. $■$