Evaluare sumativă — semestrul 2, clasa a XII-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de la finalul celui de-al doilea semestru al clasei a XII-a, pe traseul de matematică-informatică. Ea acoperă cele trei unități de calcul integral: primitivele, integrala definită și aplicațiile integralei definite. Cele trei formează o singură poveste, iar lucrarea o urmărește în ordine. Întâi se caută funcția a cărei derivată este cea dată — asta înseamnă o primitivă, și tot ce urmează depinde de ea. Apoi se arată că un număr complet diferit ca origine, limita sumelor Riemann, se calculează cu aceeași primitivă: aceasta este formula Leibniz–Newton, cea mai bine plătită formulă a anului. În fine, acel număr capătă înțeles: arie, volum, centru de greutate, lucru mecanic. Cine stăpânește primul pas are deja jumătate din al treilea.

Harta materiei acoperite:

• Primitive — noțiunea de primitivă pe un interval, integrala nedefinită, tabelul primitivelor funcțiilor uzuale, funcțiile care admit primitive și teorema lui Darboux, integrarea prin părți, schimbarea de variabilă, fracțiile simple, alegerea metodei. (Itemii 1a, 2, 5 și itemul 8 — 35 de puncte.)
• Integrala definită — sume Riemann și integrabilitate, formula Leibniz–Newton, proprietățile integralei, integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul, teorema de medie, funcția integrală, metodele de calcul pe interval închis, limite de șiruri cu sume Riemann, funcții pare, impare și periodice. (Itemii 1b, 3, 6 și subpunctele a) și b) ale itemului 9 — 30 de puncte.)
• Aplicații ale integralei definite — aria subgraficului, aria dintre două grafice, ariile mărginite de conice (discul, elipsa, parabola tăiată de o coardă), volumul corpului de rotație, centrul de greutate al unei plăci omogene. (Itemii 1c, 4, 7 și subpunctul c) al itemului 9 — 25 de puncte.)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute. Este mai mult decât la testele de unitate ale clasei (câte $50$ de minute), pentru că lucrarea cere aici lanțuri lungi de calcul — o integrală pe ramuri, o descompunere în fracții simple și un volum de rotație nu se scriu în ritmul unui exercițiu de fixare. Orientativ: $18$ minute pentru Partea I, $36$ pentru Partea a II-a și $36$ pentru Partea a III-a. Dacă ora nu poate fi prelungită, proba se dă în două reprize — Părțile I și a II-a într-o oră, Partea a III-a în ora următoare —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate rezultatele au fost alese să iasă exacte, sub formă de fracții ireductibile sau de expresii cu $\ln$, $e$ și $\pi$.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise, în formatul baremelor oficiale. Se depunctează: rezultatul unei integrale nedefinite lăsat fără $\mathcal{C}$; primitiva unei funcții raționale scrisă fără modulul de la logaritm; folosirea unei formule de primitivă în afara intervalului pe care funcția este continuă; calculul unei arii ca $\int f$ acolo unde funcția își schimbă semnul; revenirea la variabila veche după o schimbare de variabilă la integrala definită; și, la limitele cu sume Riemann, lipsa justificării integrabilității funcției.
• Referința de examen: Bacalaureat M1. Itemii $8$ și $9$ sunt scriși în formatul Subiectului al III-lea, problema 2, de la BAC M1 — primul pe primitive, al doilea pe integrală, arie și volum.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe unități:

• Primitive. Funcția $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$; se scrie $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$. Rânduri des folosite din tabel: $\int x^{r}dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+\mathcal{C}$ pentru $r\ne -1$, $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+\mathcal{C}$, $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$, $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+\mathcal{C}$. Integrarea prin părți: $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$. Schimbarea de variabilă: $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C}$. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive; o funcție cu discontinuitate de speța I sau cu imagine care nu este interval nu admite primitive.
• Integrala definită. Formula Leibniz–Newton: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$. Proprietăți: liniaritatea, aditivitatea în raport cu intervalul, monotonia, mărginirea, ereditatea, stabilitatea; inegalitatea modulului $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$. Teorema de medie: dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$. Funcția integrală: $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este derivabilă cu $F^{\prime }=f$ atunci când $f$ este continuă. Părți și schimbare de variabilă pe interval închis: ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$ și ${\int }_a^{b}f(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt$, fără revenire la $x$. Sume Riemann: $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\to {\int }_0^{1}f(x)dx$ pentru $f$ integrabilă pe $[0,1]$.
• Aplicații. Aria subgraficului funcției continue și pozitive $f$ pe $[a,b]$: $\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_a^{b}f(x)dx$. Aria dintre două grafice: $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$, calculată fără modul după stabilirea funcției de deasupra pe fiecare interval. Formula de buzunar: ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}$; aria discului de rază $r$ este $\pi r^2$, iar aria interiorului elipsei de semiaxe $a$ și $b$ este $\pi ab$. Volumul corpului de rotație: $\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Centrul de greutate al plăcii omogene mărginite de subgraficul lui $f\ge 0$: $x_G=\frac{1}{\mathcal{S}}{\int }_a^{b}xf(x)dx$ și $y_G=\frac{1}{2\mathcal{S}}{\int }_a^b{f}^2(x)dx$.

Trei atenționări de notație:

• $\mathcal{C}$ este, în toată lucrarea, mulțimea funcțiilor constante pe intervalul de lucru: scrierea $F(x)+\mathcal{C}$ înseamnă mulțimea $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$. La integrala definită, constanta nu mai apare — se simplifică între cele două capete.
• $\mathcal{S}$ este aria, $\mathcal{V}$ este volumul, iar ${\Gamma }_f$ este subgraficul funcției $f$, definit numai pentru $f\ge 0$.
• Litera $e$ înseamnă peste tot numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această lucrare nu apar legi de compoziție, deci nu există niciun element neutru care să poarte aceeași literă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Recunoaștere și calcul scurt (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) O primitivă pe $\mathbb{R}$ a funcției $f(x)=\frac{1}{x^2+64}$ este: A. $\frac{1}{8}\mathrm{arctg}\frac{x}{8}$; B. $\mathrm{arctg}\frac{x}{8}$; C. $\frac{1}{64}\mathrm{arctg}\frac{x}{8}$; D. $\frac{1}{8}\ln (x^2+64)$.

b) Valoarea integralei ${\int }_0^{\pi /3}\sin xdx$ este egală cu: A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$; B. $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$; C. $\frac{1}{2}$; D. $\frac{3}{2}$.

c) Aria subgraficului funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2$, este egală cu: A. $4$; B. $8$; C. $12$; D. $24$.

Itemul 2 (6 puncte)

a) Calculează $\int \left(3x^2-\frac{2}{x}+5\sqrt{x}\right)dx$ pe intervalul $(0,+\infty )$. (2 p) b) Calculează $\int \frac{2x-1}{x^2+16}dx$ pe $\mathbb{R}$. (2 p) c) Determină numărul real $a$ pentru care funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(ax+1)e^{2x}$, este primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(4x+4)e^{2x}$. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

a) Calculează ${\int }_1^2(3x^2-4x+1)dx$. (2 p) b) Calculează ${\int }_{-3}^3{x}^3\sqrt{x^2+1}dx$, justificând răspunsul printr-o proprietate de simetrie. (2 p) c) Se consideră funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_1^x(t^2-3t+2)dt$. Calculează $F^{\prime }(x)$ și $F^{\prime }(3)$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

a) Calculează aria subgraficului funcției $f:[2,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$. (2 p) b) Calculează aria interiorului elipsei de ecuație $\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{16}=1$. (2 p) c) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+6}$. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (36 de puncte)

Itemul 5 (12 puncte)

a) Calculează $\int (3x+1)\sin xdx$ pe $\mathbb{R}$, folosind integrarea prin părți. (3 p) b) Calculează $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}dx$ pe intervalul $(-2,+\infty )$, folosind o schimbare de variabilă. (3 p) c) Calculează $\int \frac{2x+1}{x^2-5x+4}dx$ pe intervalul $(4,+\infty )$, folosind descompunerea în fracții simple. (3 p) d) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1,& x\le 2\\ x+4,& x>2\end{array}$, nu admite primitive pe $\mathbb{R}$. (3 p)

Itemul 6 (12 puncte)

a) Calculează ${\int }_0^2(x+4)e^{x}dx$. (3 p) b) Calculează ${\int }_0^4\left|x^2+x-6\right|dx$. (3 p) c) Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-2$. Determină, folosind teorema de medie, un număr $c\in [0,2]$ pentru care ${\int }_0^{2}f(x)dx=f(c)(2-0)$. (3 p) d) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n(n+k)}$, folosind sumele Riemann. (3 p)

Itemul 7 (12 puncte)

a) Calculează aria suprafeței plane mărginite de graficele funcțiilor $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4-x^2$ și $g(x)=x^2-2x$. (3 p)

b) Calculează aria suprafeței plane mărginite de parabola de ecuație $x^2=18y$ și de dreapta de ecuație $y=2$. (3 p) c) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$. (3 p) d) Determină coordonatele centrului de greutate al plăcii omogene mărginite de graficul funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3-x$, de axa $Ox$ și de axa $Oy$, apoi verifică rezultatul folosind poziția cunoscută a centrului de greutate al unui triunghi. (3 p)

Partea a III-a – Itemi de tip Bacalaureat M1 (30 de puncte)

Itemul 8 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+3)e^x$.

a) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(x^2-2x+5)e^x$, este o primitivă a funcției $f$ pe $\mathbb{R}$. (5 p) b) Determinați primitiva $G$ a funcției $f$ care verifică $G(0)=2$. (5 p) c) Arătați că funcția $G$ de la punctul b) este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și că ecuația $G(x)=0$ are exact o soluție reală, situată în intervalul $(-1,0)$. (5 p)

Itemul 9 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$.

a) Calculați ${\int }_0^{3}f(x)dx$ și precizați aria subgraficului funcției $f$. (5 p) b) Arătați că $\frac{3}{2}\le {\int }_0^{3}f(x)dx\le 3$. (5 p) c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 36 p (itemii 5–7) · Partea a III-a – 30 p (itemii 8–9).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) A. Este rândul $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$, cu $a=8$. (Verificare prin derivare: ${\left(\frac{1}{8}\mathrm{arctg}\frac{x}{8}\right)}^{\prime }=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{64}}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{x^2+64}$.) Varianta B uită factorul din față, iar varianta D confundă rândul cu cel al fracției care are numărătorul proporțional cu derivata numitorului.

b) C. ${\int }_0^{\pi /3}\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\pi /3}=-\cos \frac{\pi }{3}+\cos 0=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. (Varianta B apare dacă se ia primitiva $\cos x$ în loc de $-\cos x$ și se schimbă ordinea capetelor.)

c) B. Funcția este continuă și pozitivă, deci aria subgraficului este ${\int }_0^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_0^2=8$. (Varianta D apare dacă se uită împărțirea la exponentul mărit.)

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Aplicăm liniaritatea și tabelul, pe intervalul $(0,+\infty )$, unde toate cele trei funcții sunt continue (0,5 p). Al treilea termen se rescrie $5\sqrt{x}=5x^{1/2}$, cu primitiva $5\cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{10}{3}x\sqrt{x}$ (0,75 p), deci $$\int \left(3x^2-\frac{2}{x}+5\sqrt{x}\right)dx=x^3-2\ln |x|+\frac{10}{3}x\sqrt{x}+\mathcal{C}$$ (0,75 p). (Control prin derivare: $3x^2-\frac{2}{x}+\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{2}\sqrt{x}=3x^2-\frac{2}{x}+5\sqrt{x}$.)

b) (2 p) Spargem fracția în două: numărătorul $2x$ este exact derivata numitorului, iar restul este rândul cu arctangenta (0,5 p). Prima parte dă $\int \frac{2x}{x^2+16}dx=\ln (x^2+16)+\mathcal{C}$ — fără modul, pentru că $x^2+16>0$ (0,75 p); a doua parte dă $\int \frac{1}{x^2+16}dx=\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\frac{x}{4}+\mathcal{C}$. Prin urmare $$\int \frac{2x-1}{x^2+16}dx=\ln (x^2+16)-\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\frac{x}{4}+\mathcal{C}$$ (0,75 p).

c) (2 p) Derivăm produsul: $F^{\prime }(x)=a{e}^{2x}+2(ax+1)e^{2x}=(2ax+a+2)e^{2x}$ (1 p). Condiția $F^{\prime }=f$ pe $\mathbb{R}$ înseamnă $2ax+a+2=4x+4$ pentru orice $x$ real, deci $2a=4$ și $a+2=4$; ambele dau $a=2$ (1 p). (Verificare: pentru $a=2$, $F(x)=(2x+1)e^{2x}$ și $F^{\prime }(x)=2e^{2x}+2(2x+1)e^{2x}=(4x+4)e^{2x}$.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) O primitivă a integrandului este $x^3-2x^2+x$ (1 p), deci, cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2(3x^2-4x+1)dx=(x^3-2x^2+x){|}_1^2=(8-8+2)-(1-2+1)=2$$ (1 p).

b) (2 p) Funcția $h(x)=x^3\sqrt{x^2+1}$ este impară: $h(-x)=-x^3\sqrt{x^2+1}=-h(x)$; în plus, este continuă pe $[-3,3]$, iar intervalul de integrare este simetric față de origine (1,25 p). Prin urmare integrala unei funcții impare pe un interval simetric este nulă: $${\int }_{-3}^3{x}^3\sqrt{x^2+1}dx=0$$ (0,75 p).

c) (2 p) Integrandul $t\mapsto t^2-3t+2$ este continuu pe $\mathbb{R}$, deci funcția integrală $F$ este derivabilă și derivata ei se obține înlocuind $t$ cu capătul de sus (1 p): $$F^{\prime }(x)=x^2-3x+2,F^{\prime }(3)=9-9+2=2$$ (1 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Funcția este continuă și strict pozitivă pe $[2,6]$, deci aria subgraficului este integrala ei (0,5 p): $$\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_2^6\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_2^6=\ln 6-\ln 2=\ln 3$$ (1,5 p).

b) (2 p) Din ecuația canonică citim semiaxele $a=9$ și $b=4$ (0,75 p). Aria interiorului elipsei este $\pi ab=36\pi$ (1,25 p). (Reamintire a demonstrației: elipsa este reuniunea graficelor funcțiilor $\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, iar aria se obține din formula de buzunar ${\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{2}$.)

c) (2 p) Funcția este continuă și pozitivă pe $[0,3]$, iar $f^2(x)=x^2+6$ (0,5 p), deci $$\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_0^3(x^2+6)dx=\pi \left(\frac{x^3}{3}+6x\right){|}_0^3=\pi (9+18)=27\pi$$ (1,5 p).

Itemul 5. (12 p)

a) (3 p) Alegem, după regula descreșterii, să derivăm polinomul și să integrăm sinusul: $u(x)=3x+1$ și $g^{\prime }(x)=\sin x$, deci $g(x)=-\cos x$ (1 p). Formula integrării prin părți dă $$\int (3x+1)\sin xdx=-(3x+1)\cos x+3\int \cos xdx=-(3x+1)\cos x+3\sin x+\mathcal{C}$$ (1,5 p). (Control prin derivare: $-3\cos x+(3x+1)\sin x+3\cos x=(3x+1)\sin x$.) (0,5 p)

b) (3 p) Numărătorul este, până la un factor constant, derivata expresiei de sub radical: $(x^3+8{)}^{\prime }=3x^2$ (0,75 p). Notăm $t=x^3+8$, cu $dt=3x^{2}dx$; pe intervalul $(-2,+\infty )$ avem $t>0$ (0,75 p), deci $$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}dx=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{2}{3}\sqrt{t}+\mathcal{C}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3+8}+\mathcal{C}$$ (1,25 p), cu revenirea obligatorie la variabila $x$ (0,25 p).

c) (3 p) Gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, deci nu se face nicio împărțire; descompunem numitorul: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ (0,5 p). Căutăm $A$ și $B$ cu $\frac{2x+1}{(x-1)(x-4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-4}$; metoda valorilor particulare dă, pentru $x=1$, $A=\frac{3}{-3}=-1$, iar pentru $x=4$, $B=\frac{9}{3}=3$ (1,25 p). (Control: $-(x-4)+3(x-1)=2x+1$.) Prin urmare, pe intervalul $(4,+\infty )$, $$\int \frac{2x+1}{x^2-5x+4}dx=-\ln |x-1|+3\ln |x-4|+\mathcal{C}$$ (1,25 p).

d) (3 p) Studiem funcția în punctul de racordare $x=2$: limita la stânga este $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(2x-1)=3$, care este chiar $f(2)$, iar limita la dreapta este $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }(x+4)=6$ (1,5 p). Cele două limite laterale sunt finite și diferite, deci $x=2$ este punct de discontinuitate de speța I (1 p). Conform Consecinței 1 a teoremei lui Darboux, o funcție care are o discontinuitate de speța I pe un interval nu admite primitive pe acel interval; așadar $f$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$ (0,5 p).

Itemul 6. (12 p)

a) (3 p) Integrăm prin părți, derivând polinomul și integrând exponențiala: $g(x)=e^x$ (0,75 p), deci $${\int }_0^2(x+4)e^{x}dx=(x+4)e^x{|}_0^2-{\int }_0^2{e}^{x}dx=(6e^2-4)-e^x{|}_0^2$$ (1,25 p). Cum $e^x{|}_0^2=e^2-1$, obținem $${\int }_0^2(x+4)e^{x}dx=6e^2-4-e^2+1=5e^2-3$$ (1 p). (Control: o primitivă a integrandului este $(x+3)e^x$, iar $(x+3)e^x{|}_0^2=5e^2-3$.)

b) (3 p) Pasul preliminar — tabelul de semn. Rădăcinile trinomului $x^2+x-6$ sunt $-3$ și $2$, deci pe intervalul $[0,2]$ trinomul este negativ, iar pe $[2,4]$ este pozitiv (1 p). Tăiem integrala cu aditivitatea și scoatem modulul pe fiecare bucată (0,5 p): $${\int }_0^4\left|x^2+x-6\right|dx={\int }_0^2(6-x-x^2)dx+{\int }_2^4(x^2+x-6)dx.$$ Prima integrală: $\left(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^2=12-2-\frac{8}{3}=\frac{22}{3}$ (0,75 p). A doua: $\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x\right){|}_2^4=\left(\frac{64}{3}+8-24\right)-\left(\frac{8}{3}+2-12\right)=\frac{16}{3}+\frac{22}{3}=\frac{38}{3}$ (0,5 p). Adunând, $${\int }_0^4\left|x^2+x-6\right|dx=\frac{22}{3}+\frac{38}{3}=20$$ (0,25 p).

c) (3 p) Funcția este continuă pe $[0,2]$, deci teorema de medie se aplică (0,5 p). Calculăm integrala: ${\int }_0^2(3x^2-2)dx=(x^3-2x){|}_0^2=8-4=4$ (1 p). Din $4=f(c)\cdot 2$ rezultă $f(c)=2$, adică $3c^2-2=2$, deci $c^2=\frac{4}{3}$ (1 p). Cum $c\in [0,2]$, reținem $c=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,15$, care aparține intervalului (0,5 p).

d) (3 p) Parcurgem cei patru pași ai sumei Riemann. Pasul 1 — factorul $\frac{1}{n}$; pasul 2 — funcția de $\frac{k}{n}$ (1 p): $$\sum _{k=1}^n\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k/n}{1+k/n}.$$ Pasul 3 — diviziunea și integrabilitatea: recunoaștem funcția $h:[0,1]\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{x}{1+x}$, și diviziunea echidistantă a intervalului $[0,1]$ cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ (0,75 p). Funcția $h$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă — justificare fără de care exercițiul este incomplet (0,5 p). Pasul 4 — integrala: limita este $${\int }_0^1\frac{x}{1+x}dx={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx=(x-\ln |1+x|){|}_0^1=1-\ln 2$$ (0,75 p).

Itemul 7. (12 p)

a) (3 p) Prima etapă — intersecțiile: din $4-x^2=x^2-2x$ obținem $2x^2-2x-4=0$, adică $x^2-x-2=0$, cu soluțiile $-1$ și $2$ (1 p). A doua etapă — cine este deasupra: pe intervalul $(-1,2)$ diferența $f(x)-g(x)=-2(x^2-x-2)$ este pozitivă, deci graficul lui $f$ este deasupra (0,75 p). A treia etapă — integrala (1,25 p): $$\mathcal{S}={\int }_{-1}^2(4+2x-2x^2)dx=\left(4x+x^2-\frac{2x^3}{3}\right){|}_{-1}^2=\left(12-\frac{16}{3}\right)-\left(-3+\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{3}+\frac{7}{3}=9.$$

b) (3 p) Parabola are axa de simetrie $Oy$, deci, după criteriul „după $x$ vs. după $y$", se integrează după $x$: curba este graficul funcției $y=\frac{x^2}{18}$, iar coarda $y=2$ o taie în punctele de abscise $x=\pm 6$ (1 p). Regiunea este cuprinsă între dreaptă și curbă, deci (1,25 p) $$\mathcal{S}={\int }_{-6}^6\left(2-\frac{x^2}{18}\right)dx=2\left(2x-\frac{x^3}{54}\right){|}_0^6=2(12-4)=16.$$ Control cu proprietatea lui Arhimede: aria segmentului parabolic este $\frac{2}{3}$ din aria dreptunghiului circumscris, aici $\frac{2}{3}\cdot 12\cdot 2=16$ (0,75 p).

c) (3 p) Funcția este continuă și pozitivă pe $[0,1]$, iar $f^2(x)=x^4+2x^2+1$ (1 p), deci (2 p) $$\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_0^1(x^4+2x^2+1)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right){|}_0^1=\pi \left(\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right)=\frac{28\pi }{15}.$$

d) (3 p) Aria plăcii este $\mathcal{S}={\int }_0^3(3-x)dx=\left(3x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^3=\frac{9}{2}$ (0,75 p). Abscisa centrului de greutate (0,75 p): $$x_G=\frac{1}{\mathcal{S}}{\int }_0^{3}x(3-x)dx=\frac{2}{9}\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^3=\frac{2}{9}\left(\frac{27}{2}-9\right)=1.$$ Ordonata (0,75 p): $$y_G=\frac{1}{2\mathcal{S}}{\int }_0^3(3-x{)}^{2}dx=\frac{1}{9}\left(-\frac{(3-x{)}^3}{3}\right){|}_0^3=\frac{1}{9}\cdot 9=1.$$ Deci $G(1,1)$. Verificare: placa este triunghiul cu vârfurile $O(0,0)$, $A(3,0)$ și $B(0,3)$, iar centrul de greutate al unui triunghi are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor vârfurilor: $\left(\frac{0+3+0}{3},\frac{0+0+3}{3}\right)=(1,1)$ (0,75 p).

Itemul 8. (15 p)

a) (5 p) Funcția $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, ca produs de funcții derivabile (1 p). Derivăm produsul (2,5 p): $$F^{\prime }(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x+5)e^x=(x^2-2x+5+2x-2)e^x=(x^2+3)e^x.$$ Așadar $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, iar $\mathbb{R}$ este interval (1 p); prin urmare $F$ este primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$ (0,5 p).

b) (5 p) Funcția $f$ este continuă pe intervalul $\mathbb{R}$, deci admite primitive, iar oricare două primitive ale sale diferă printr-o constantă (1,5 p). Prin urmare $G(x)=(x^2-2x+5)e^x+c$, cu $c\in \mathbb{R}$ (1,5 p). Din condiția $G(0)=2$ obținem $5\cdot 1+c=2$, deci $c=-3$ (1,5 p), iar primitiva căutată este $$G(x)=(x^2-2x+5)e^x-3$$ (0,5 p).

c) (5 p) Monotonia: $G^{\prime }(x)=f(x)=(x^2+3)e^x>0$ pentru orice $x$ real, pentru că ambii factori sunt strict pozitivi; deci $G$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și, în consecință, injectivă — ecuația $G(x)=0$ are cel mult o soluție (2 p). Existența: funcția $G$ este continuă pe $[-1,0]$, iar $$G(-1)=(1+2+5)e^{-1}-3=\frac{8}{e}-3<0,G(0)=2>0,$$ prima inegalitate fiind adevărată pentru că $8<3e$ (din $e>2,7$ rezultă $3e>8,1$) (2 p). Din teorema lui Bolzano — proprietatea valorilor intermediare pentru funcții continue — există o soluție în intervalul $(-1,0)$; împreună cu injectivitatea, ea este unica soluție reală a ecuației (1 p).

Itemul 9. (15 p)

a) (5 p) Integrandul se scrie $(x+1{)}^{-1/2}$, iar primitiva se obține din rândul puterii, compus cu $u(x)=x+1$, a cărei derivată este $1$: o primitivă pe $[0,3]$ este $2\sqrt{x+1}$ (2 p). Cu formula Leibniz–Newton (2 p): $${\int }_0^3\frac{dx}{\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x+1}{|}_0^3=4-2=2.$$ Funcția $f$ este continuă și strict pozitivă pe $[0,3]$, deci aria subgraficului este chiar această valoare: $\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)=2$ (1 p).

b) (5 p) Funcția $f$ este strict descrescătoare pe $[0,3]$, pentru că numitorul crește; prin urmare, pentru orice $x\in [0,3]$ (2 p), $$\frac{1}{2}=f(3)\le f(x)\le f(0)=1.$$ Integrăm inegalitatea pe $[0,3]$, folosind monotonia integralei (2 p): $$\frac{1}{2}\cdot 3\le {\int }_0^{3}f(x)dx\le 1\cdot 3,\text{adica˘}\frac{3}{2}\le {\int }_0^{3}f(x)dx\le 3.$$ (Control: valoarea exactă este $2$, cuprinsă într-adevăr între cele două margini.) (1 p)

c) (5 p) Funcția este continuă și pozitivă pe $[0,3]$, deci se aplică formula volumului corpului de rotație, cu $f^2(x)=\frac{1}{x+1}$ (1,5 p). O primitivă a acestei funcții pe $[0,3]$ este $\ln |x+1|$ (1,5 p), prin urmare (2 p) $$\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_0^3\frac{dx}{x+1}=\pi \ln |x+1|{|}_0^3=\pi \ln 4=2\pi \ln 2.$$