Simulare Bacalaureat M1 — varianta 1

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta este prima dintre cele patru simulări complete ale clasei a XII-a și este scrisă în formatul oficial al probei scrise de matematică M1: trei subiecte, zece cerințe, 90 de puncte din itemi plus 10 puncte din oficiu, cu barem pe pași. Nu este un test de capitol și nici o recapitulare pe unități: este o lucrare de examen, cu aceeași repartiție a materiei ca subiectele reale.

Structura probei, așa cum se regăsește în această variantă:

Harta materiei acoperite, pe subpuncte:

• Numere reale, radicali, expresii conjugate — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Progresii aritmetice: rația și termenul general, cu determinarea rangului unui termen dat — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: forma canonică și valoarea minimă — clasa a IX-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: formula combinărilor și formula de recurență a combinărilor — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: distanța dintre două puncte, panta, ecuația dreptei — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului într-un triunghi oarecare — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme: determinantul de ordinul al doilea, matricea nilpotentă, ridicarea la putere prin inducție, sistemul de tip Cramer cu parametru — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție și grupuri: forma factorizată, partea stabilă, grupul comutativ, izomorfismul cu $(\mathbb{R},+)$ — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Asimptote, monotonie, tangentă: schema asimptotelor, semnul derivatei, extremele locale, ecuația tangentei — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive și arii: descompunerea în fracții simple, tabelul primitivelor, formula Leibniz–Newton, aria subgraficului — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce accentuează varianta 1. Fiecare dintre cele patru simulări are un profil propriu, ca să acopere împreună toată materia de examen. Varianta aceasta insistă pe legile de compoziție și structura de grup (Subiectul al II-lea, problema a doua) și pe funcțiile raționale, care apar de două ori: o dată studiate cu derivata (Subiectul al III-lea, problema întâi) și o dată integrate prin descompunere în fracții simple (problema a doua). Celelalte trei variante mută accentul pe grupuri finite și șiruri de integrale, pe inele și polinoame, respectiv pe clasele de resturi și integrarea prin părți.

Cum se aplică, ca simulare:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire și pentru cerințele lăsate deoparte.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — exact ca la proba reală. Toate rezultatele sunt numere „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln 3+\frac{\pi }{20}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectul I, răspunsul dat fără niciun calcul intermediar nu primește punctajul întreg; la Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Se depunctează, ca la examen: aplicarea formulelor lui Cramer fără verificarea condiției $\Delta \ne 0$; verificarea unei singure axiome dintre cele patru cerute de structura de grup; afirmarea bijectivității fără argument; enunțarea unei asimptote fără precizarea capătului; calculul lui $n$ înaintea pantei $m$; aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției; primitiva scrisă fără $+\mathcal{C}$ și logaritmul scris fără modul.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $\frac{1}{a-\sqrt{b}}=\frac{a+\sqrt{b}}{a^2-b}$ (amplificare cu expresia conjugată). Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$, deci $a_p-a_q=(p-q)r$. Gradul al doilea: $a{x}^2+bx+c=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}$. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; formula de recurență $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$. Geometrie analitică: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, $y-y_A=m(x-x_A)$. Teorema cosinusului: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$, cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; o matrice $J$ cu $J^2=O_2$ se numește nilpotentă și dă $(I_2+xJ{)}^n=I_2+nxJ$; sistem de tip Cramer când $\Delta =\det A\ne 0$, cu $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$.
• Grupuri: $(G,\ast )$ este grup dacă legea este asociativă, are element neutru $e$ și orice element este simetrizabil; rețeta legilor deghizate: $x\ast y=\lambda (x-a)(y-a)+a$ are elementul neutru $e=a+\frac{1}{\lambda }$ și simetricul $x^{-1}=a+\frac{1}{{\lambda }^2(x-a)}$; izomorfism = morfism bijectiv, iar $(M,\ast )\simeq (\mathbb{R},+)$ se arată cu o funcție logaritmică.
• Asimptote: verticala $x=a$ dacă o limită laterală în $a$ este infinită; oblica spre $+\infty$: întâi $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)\in \mathbb{R}$. Derivate: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; tangenta în $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Primitive și arii: $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+\mathcal{C}$, $\int \frac{1}{x^2+9}dx=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+\mathcal{C}$ (rândul 12 al tabelului canonic); Leibniz–Newton: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că această lucrare adună algebră și analiză pe aceeași foaie:

• La itemul $8$, litera $e$ înseamnă elementul neutru al legii $\ast$, conform convenției din algebră; numărul lui Euler nu apare nicăieri în această variantă, nici măcar în subiectul cu logaritm.
• Tot la itemul $8$, simetricul unui element se notează $x^{-1}$, cu notație multiplicativă, și nu $x^{\prime }$ — pentru că în aceeași lucrare, la itemul $9$, semnul prim înseamnă derivată. Este exact grija pe care o cere și examenul: fiecare simbol cu un singur înțeles pe toată lucrarea.
• Simbolul $\Delta$ apare cu două înțelesuri, amândouă corecte și amândouă din programă: la itemul $3$ este discriminantul unei ecuații de gradul al doilea, iar la itemul $7$ este determinantul unui sistem (convenția de la Cramer, cu $\Delta$, ${\Delta }_u$, ${\Delta }_v$). Se recunosc după context: un trinom, respectiv o matrice de coeficienți.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $N=\frac{1}{3-\sqrt{7}}+\frac{1}{3+\sqrt{7}}$ este natural.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ în care $a_1=5$ și $a_4=17$. Determinați rația progresiei și numărul natural $n$ pentru care $a_n=101$.

Itemul 3 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8x+21$. Arătați că $f(x)\ge 5$, pentru orice număr real $x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Arătați că $C_8^2+C_8^3=C_9^3$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$ și $B(5,5)$. Calculați lungimea segmentului $[AB]$ și determinați ecuația dreptei $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, în care $AB=8$, $AC=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculați lungimea laturii $BC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$J=\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)\text{și}A(x)=\left(\begin{array}{cc}1+3x& -9x\\ x& 1-3x\end{array}\right),x\in \mathbb{R}.$$

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(x))=1$, pentru orice număr real $x$.

b) (5 puncte) Arătați că $J^2=O_2$ și demonstrați, prin inducție matematică, că $A(x{)}^n=A(nx)$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Arătați că, pentru orice număr real $m$, sistemul $\{\begin{array}{l}(1+3m)u-9mv=1\\ mu+(1-3m)v=2\end{array}$ este de tip Cramer și rezolvați-l.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=(17,+\infty )$ se consideră legea de compoziție $$x\ast y=5xy-85(x+y)+1462.$$

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=5(x-17)(y-17)+17$, pentru orice $x,y\in M$, și că $M$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\ast$.

b) (5 puncte) Arătați că $(M,\ast )$ este grup comutativ.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f:M\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (5(x-17))$, este izomorfism de grupuri de la $(M,\ast )$ la $(\mathbb{R},+)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+x+7}{x-1}$.

a) (5 puncte) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$.

b) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1{)}^2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$, și determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2+3x+50}{x(x^2+25)}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2+25}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați primitivele funcției $f$ pe intervalul $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Calculați aria suprafeței plane cuprinse între graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=5$ și $x=5\sqrt{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași.

Itemul 1. (5 p) — radicali și expresii conjugate.

Se aduc fracțiile la același numitor, folosind că numitorii sunt expresii conjugate: $$N=\frac{(3+\sqrt{7})+(3-\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}\text{(2 p)}.$$ La numărător radicalii se reduc, iar la numitor se aplică formula diferenței de pătrate: $(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})=9-7=2$. Prin urmare $$N=\frac{6}{2}=3\in \mathbb{N}\text{(3 p)}.$$ (Control: $3-\sqrt{7}\approx 0,354$ și $3+\sqrt{7}\approx 5,646$, iar $\frac{1}{0,354}+\frac{1}{5,646}\approx 2,823+0,177=3$.)

Itemul 2. (5 p) — progresie aritmetică.

Din formula termenului general, $a_4=a_1+3r$, adică $17=5+3r$, de unde rația este $\mathbf{r}=4$ (2 p).

Condiția $a_n=101$ devine $a_1+(n-1)r=101$, adică $$5+4(n-1)=101⟹n-1=24⟹\mathbf{n}=25\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $a_{25}=5+24\cdot 4=101$. Numărul găsit este natural, deci soluția este acceptabilă; dacă ar fi ieșit fracționar, ar fi însemnat că $101$ nu este termen al progresiei.)

Itemul 3. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Se scrie forma canonică, prin gruparea primilor doi termeni într-un pătrat perfect: $$f(x)=x^2-8x+16+5=(x-4{)}^2+5\text{(3 p)}.$$ Cum $(x-4{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, rezultă $f(x)\ge 5$, cu egalitate exact în $x=4$ (2 p).

(Același rezultat se obține din vârful parabolei: $x_V=-\frac{b}{2a}=4$ și $y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{64-84}{4}=5$; coeficientul dominant fiind pozitiv, $y_V$ este valoarea minimă a funcției.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică.

Se calculează cei doi termeni din membrul stâng cu formula combinărilor: $$C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28,C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56,\text{deci}{C}_8^2+C_8^3=84\text{(3 p)}.$$ Membrul drept este $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{6}=84$, deci cele două numere sunt egale (2 p).

(Egalitatea este un caz particular al formulei de recurență a combinărilor, $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$, aici pentru $n=8$ și $k=2$; ea este exact regula de formare a triunghiului lui Pascal.)

Itemul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Distanța dintre două puncte: $$AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{(2 p)}.$$ Panta dreptei $AB$ este $m=\frac{5-2}{5-1}=\frac{3}{4}$ (dreapta nu este verticală, pentru că $x_A\ne x_B$), iar ecuația dreptei prin punctul $A$ cu această pantă este $y-2=\frac{3}{4}(x-1)$, adică $$AB:3x-4y+5=0\text{(3 p)}.$$ (Control: $3\cdot 1-4\cdot 2+5=0$ pentru $A$ și $3\cdot 5-4\cdot 5+5=0$ pentru $B$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul oarecare.

Se aplică teorema cosinusului pentru latura opusă unghiului cunoscut, ținând cont că $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Așadar $B{C}^2=89-40=49$, de unde $BC=7$ (lungimea fiind pozitivă) (2 p).

(Greșeala clasică este scăderea termenului $2\cdot AB\cdot AC$ fără factorul $\cos A$; controlul rapid este inegalitatea triunghiului: $8-5<7<8+5$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice, putere prin inducție și sistem de tip Cramer.

a) (5 p) Determinantul de ordinul al doilea al matricei $A(x)$ este $$\det (A(x))=(1+3x)(1-3x)-(-9x)\cdot x=1-9x^2+9x^2\text{(3 p)},$$ deci $\det (A(x))=1$, oricare ar fi numărul real $x$; în particular, $A(x)$ este inversabilă pentru orice $x$ (2 p).

b) (5 p) Prin înmulțirea celor două matrice, $$J^2=\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9-9& -27+27\\ 3-3& -9+9\end{array}\right)=O_2\text{(1 p)}.$$ Se observă că $A(x)=I_2+xJ$, pentru orice $x$ real (1 p).

Verificarea pentru $n=1$: egalitatea $A(x{)}^1=A(1\cdot x)$ este evidentă (1 p).

Pasul inductiv: presupunem $A(x{)}^n=A(nx)=I_2+nxJ$ pentru un $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ fixat. Atunci, folosind $J^2=O_2$, $$A(x{)}^{n+1}=(I_2+nxJ)(I_2+xJ)=I_2+xJ+nxJ+n{x}^2{J}^2=I_2+(n+1)xJ=A((n+1)x)\text{(2 p)}.$$ Conform principiului inducției matematice, $A(x{)}^n=A(nx)$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(Control numeric: $A(1{)}^{10}=A(10)=\left(\begin{array}{cc}31& -90\\ 10& -29\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $-899+900=1$, ca la subpunctul a).)

c) (5 p) Matricea sistemului este chiar $A(m)$, iar determinantul ei este $\Delta =\det (A(m))=1\ne 0$, conform subpunctului a); prin urmare, sistemul are două ecuații, două necunoscute și determinant nenul, deci este de tip Cramer pentru orice valoare a parametrului $m$ (1 p).

Se înlocuiește pe rând câte o coloană cu coloana termenilor liberi: $${\Delta }_u=\left|\begin{array}{cc}1& -9m\\ 2& 1-3m\end{array}\right|=1-3m+18m=1+15m\text{(1,5 p)},$$ $${\Delta }_v=\left|\begin{array}{cc}1+3m& 1\\ m& 2\end{array}\right|=2+6m-m=2+5m\text{(1,5 p)}.$$ Formulele lui Cramer dau $u=\frac{{\Delta }_u}{\Delta }=1+15m$ și $v=\frac{{\Delta }_v}{\Delta }=2+5m$, deci soluția este $S=\{(1+15m,2+5m)\}$ (1 p).

(Verificare în ambele ecuații: $(1+3m)(1+15m)-9m(2+5m)=1+18m+45m^2-18m-45m^2=1$ și $m(1+15m)+(1-3m)(2+5m)=m+15m^2+2-m-15m^2=2$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție, grup comutativ și izomorfism.

a) (5 p) Se desface produsul din membrul drept: $$5(x-17)(y-17)+17=5(xy-17x-17y+289)+17=5xy-85x-85y+1445+17=5xy-85(x+y)+1462\text{(3 p)},$$ adică exact $x\ast y$; forma factorizată este deci corectă.

Partea stabilă: dacă $x,y\in M$, atunci $x-17>0$ și $y-17>0$, deci $5(x-17)(y-17)>0$, de unde $x\ast y=5(x-17)(y-17)+17>17$, adică $x\ast y\in M$ (2 p).

b) (5 p) Asociativitatea. Notând $u=x-17$, $v=y-17$, $w=z-17$, avem $x\ast y-17=5uv$ și, mai departe, $$(x\ast y)\ast z=5\cdot (5uv)\cdot w+17=25uvw+17,x\ast (y\ast z)=5\cdot u\cdot (5vw)+17=25uvw+17,$$ deci $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$, oricare ar fi $x,y,z\in M$ (2 p).

Comutativitatea. Forma factorizată este simetrică în $x$ și $y$, deci $x\ast y=y\ast x$ (1 p).

Elementul neutru. Căutăm $e\in M$ cu $x\ast e=x$ pentru orice $x\in M$, adică $5(x-17)(e-17)=x-17$; cum $x-17\ne 0$, rezultă $e-17=\frac{1}{5}$, deci $e=\frac{86}{5}=17,2\in M$ (1 p).

Simetricul. Pentru $x\in M$ căutăm $x^{-1}\in M$ cu $x\ast x^{-1}=e$, adică $5(x-17)(x^{-1}-17)=\frac{1}{5}$, de unde $$x^{-1}=17+\frac{1}{25(x-17)};$$ cum $x-17>0$, avem $x^{-1}>17$, deci $x^{-1}\in M$, iar legea fiind comutativă și $x^{-1}\ast x=e$ (1 p). Așadar $(M,\ast )$ este grup comutativ.

(Notație: simetricul se scrie $x^{-1}$, multiplicativ, pentru că în această lucrare semnul prim înseamnă derivată. Control: pentru $x=18$, $x^{-1}=17+\frac{1}{25}=17,04$, iar $18\ast 17,04=5\cdot 1\cdot 0,04+17=17,2=e$.)

c) (5 p) Morfismul. Pentru $x,y\in M$, folosind forma factorizată de la a), $$f(x\ast y)=\ln \left(5\right(5(x-17)(y-17)\left)\right)=\ln \left(\right(5(x-17))\cdot (5(y-17)\left)\right)=\ln (5(x-17))+\ln (5(y-17)),$$ adică $f(x\ast y)=f(x)+f(y)$, oricare ar fi $x,y\in M$ (3 p).

Bijectivitatea. Funcția $f$ este compunerea a două funcții bijective: $u:M\to (0,+\infty )$, $u(x)=5(x-17)$, care este bijectivă fiind funcție de gradul întâi strict crescătoare, cu imaginea exact $(0,+\infty )$, și funcția logaritmică $\ln :(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, bijectivă. Prin urmare $f=\ln \circ u$ este bijectivă (2 p).

Fiind morfism bijectiv, $f$ este izomorfism de grupuri, deci $(M,\ast )\simeq (\mathbb{R},+)$.

(Control: $f(e)=\ln \left(5\cdot \frac{1}{5}\right)=\ln 1=0$, adică neutrul lui $M$ se duce în neutrul lui $\mathbb{R}$, așa cum cere orice morfism de grupuri.)

Itemul 9. (15 p) — asimptote, monotonie și tangentă.

a) (5 p) Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, iar singurul candidat la asimptotă verticală este capătul finit exclus $x=1$. Cum numărătorul are în $1$ valoarea $9>0$, iar numitorul își schimbă semnul, $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,$$ deci dreapta $x=1$ este asimptotă verticală bilaterală (2 p).

Spre $+\infty$ și spre $-\infty$ funcția are limita infinită, deci nu există asimptotă orizontală; se caută oblica, în ordinea obligatorie. Panta: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+x+7}{x^2-x}=1\in {\mathbb{R}}^{\ast }\text{(1,5 p)}.$$ Termenul liber: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+x+7-x^2+x}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+7}{x-1}=2\in \mathbb{R},$$ deci $y=x+2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$; aceleași două limite spre $-\infty$ dau aceeași dreaptă, deci $y=x+2$ este asimptotă oblică și spre $-\infty$ (1,5 p).

(Verificare rapidă prin împărțire: $f(x)=x+2+\frac{9}{x-1}$, iar restul $\frac{9}{x-1}$ tinde la zero la ambele capete.)

b) (5 p) Cu regula de derivare a câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x+7)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-x-1-x^2-x-7}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-8}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Numitorul este strict pozitiv pe tot domeniul, deci semnul derivatei este semnul trinomului $(x-4)(x+2)$ (2 p):

Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$ și pe $[4,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-2,1)$ și pe $(1,4]$. Punctul $x=-2$ este punct de maxim local, cu $f(-2)=\frac{9}{-3}=-3$, iar $x=4$ este punct de minim local, cu $f(4)=\frac{27}{3}=9$ (1 p).

(Atenție: monotonia se scrie pe fiecare interval separat, niciodată pe reuniunea $(-\infty ,-2]\cup [4,+\infty )$. Observați și că maximul local $-3$ este mai mic decât minimul local $9$ — situație normală la o funcție cu asimptotă verticală între ele.)

c) (5 p) Valoarea funcției în punctul de tangență: $$f(2)=\frac{4+2+7}{2-1}=13\text{(1,5 p)}.$$ Panta tangentei este valoarea derivatei în același punct: $$f^{\prime }(2)=\frac{(2-4)(2+2)}{(2-1{)}^2}=\frac{-8}{1}=-8\text{(1,5 p)}.$$ Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=2$ este $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$, adică $y-13=-8(x-2)$, de unde $$y=-8x+29\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $x=2$ dreapta dă $-16+29=13=f(2)$; panta negativă se potrivește cu tabelul, unde $x=2$ este în intervalul de descreștere $(1,4]$.)

Itemul 10. (15 p) — primitive raționale și arie.

a) (5 p) Numitorul este deja descompus în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$: $x$, de gradul întâi, și $x^2+25$, de gradul al doilea cu discriminant negativ. Se caută descompunerea în fracții simple sub forma $$\frac{2x^2+3x+50}{x(x^2+25)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+25}\text{(2 p)},$$ adică $2x^2+3x+50=A(x^2+25)+(Bx+C)x$.

Prin metoda valorilor particulare, pentru $x=0$ se obține $50=25A$, deci $A=2$; înlocuind și reducând, $2x^2+3x+50-2(x^2+25)=3x$, adică $(Bx+C)x=3x$, de unde $B=0$ și $C=3$. Prin urmare $$f(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2+25},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control pe o valoare: în $x=5$, membrul stâng este $\frac{50+15+50}{5\cdot 50}=\frac{115}{250}=\frac{23}{50}$, iar membrul drept $\frac{2}{5}+\frac{3}{50}=\frac{20+3}{50}=\frac{23}{50}$.)

b) (5 p) Funcția $f$ este continuă pe intervalul $(0,+\infty )$, deci admite primitive acolo. Din liniaritatea integralei nedefinite și din rândul al treilea al tabelului canonic, $$\int \frac{2}{x}dx=2\ln |x|+\mathcal{C}\text{(2 p)},$$ iar din rândul al doisprezecelea, scris pentru $x^2+5^2$, $$\int \frac{3}{x^2+25}dx=\frac{3}{5}\mathrm{arctg}\frac{x}{5}+\mathcal{C}\text{(2 p)}.$$ Prin urmare, primitivele lui $f$ pe $(0,+\infty )$ sunt funcțiile $$F(x)=2\ln |x|+\frac{3}{5}\mathrm{arctg}\frac{x}{5}+\mathcal{C}\text{(1 p)}.$$ (Verificare prin derivare: $F^{\prime }(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{5}\cdot \frac{\frac{1}{5}}{1+\frac{x^2}{25}}=\frac{2}{x}+\frac{3}{25+x^2}=f(x)$.)

c) (5 p) Pe intervalul $[5,5\sqrt{3}]$ funcția $f$ este continuă și strict pozitivă (ambii termeni ai descompunerii de la a) sunt pozitivi pentru $x>0$), deci aria cerută este chiar integrala funcției, fără modul: $$\mathcal{S}={\int }_5^{5\sqrt{3}}f(x)dx\text{(1 p)}.$$ Se aplică formula Leibniz–Newton cu primitiva găsită la b), luată cu constanta nulă (1 p): $$\mathcal{S}=\left(2\ln |x|+\frac{3}{5}\mathrm{arctg}\frac{x}{5}\right){|}_5^{5\sqrt{3}}.$$ Partea logaritmică: $$2\ln \left(5\sqrt{3}\right)-2\ln 5=2\ln \frac{5\sqrt{3}}{5}=2\ln \sqrt{3}=\ln 3\text{(1,5 p)}.$$ Partea cu arctangentă, folosind $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$ și $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$: $$\frac{3}{5}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3}{5}\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{20}\text{(1,5 p)}.$$ Așadar aria suprafeței este $$\mathcal{S}=\ln 3+\frac{\pi }{20}.$$ (Control numeric: $\ln 3+\frac{\pi }{20}\approx 1,0986+0,1571=1,2557$, valoare confirmată de calculul aproximativ al integralei.)