Simulare Bacalaureat M1 — varianta 2

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta este a doua dintre cele patru simulări complete de Bacalaureat M1 ale clasei a XII-a. Ea nu este un test de capitol, ci o lucrare de examen în formatul oficial: trei subiecte, zece cerințe, aceeași repartiție a punctelor și aceeași ordine a temelor pe care le are proba scrisă de matematică, programa M1 (matematică-informatică). Materia acoperită este a claselor a IX-a – a XII-a, exact ca la examen: Subiectul I ia noțiuni din clasele a IX-a și a X-a (plus un element de geometrie analitică din a XI-a), Subiectul al II-lea ia algebra claselor a XI-a și a XII-a, iar Subiectul al III-lea ia analiza matematică a acelorași doi ani.

Ce verifică această variantă, cerință cu cerință:

• Subiectul I (6 cerințe independente, 30 de puncte) — numere complexe și conjugatul (itemul 1), ecuații logaritmice cu condiții de existență (itemul 2), funcția de gradul I și o sumă de tip progresie aritmetică (itemul 3), probabilitatea unui eveniment cu definiția clasică (itemul 4), aria unui triunghi calculată cu determinant (itemul 5), o ecuație trigonometrică reductibilă la o ecuație de gradul al doilea (itemul 6).
• Subiectul al II-lea (2 probleme × 3 subpuncte, 30 de puncte) — problema 1 (itemul 7): determinant cu parametru, matrice inversabilă, sistem liniar rezolvat cu matricea inversă și discuția compatibilității cu rangul, teorema Kronecker-Capelli și teorema lui Rouché (clasa a XI-a); problema 2 (itemul 8): un grup finit de clase de resturi inversabile — ordinul unui element, criteriul de subgrup, teorema lui Lagrange pentru grupuri finite și profilul ordinelor ca invariant de izomorfism (clasa a XII-a).
• Subiectul al III-lea (2 probleme × 3 subpuncte, 30 de puncte) — problema 1 (itemul 9): o funcție cu exponențială, cu limite la capete, asimptotă oblică, tabel de variație, o inegalitate demonstrată cu derivate și o aplicație a teoremei lui Lagrange (clasa a XI-a plus asimptotele, predate la clasa a XII-a); problema 2 (itemul 10): un șir de integrale — monotonie, mărginire, recurență, limită — și o limită de șir calculată cu sume Riemann (clasa a XII-a).

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte, adică 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu. Repartiția pe subiecte este cea oficială: $6\times 5=30$ la Subiectul I, $2\times 15=30$ la Subiectul al II-lea, $2\times 15=30$ la Subiectul al III-lea. Fiecare subpunct al problemelor valorează $5$ puncte.
• Timp de lucru: 3 ore, exact ca la proba scrisă. Reper de ritm: circa $45$ de minute pentru Subiectul I, $60$ pentru Subiectul al II-lea și $70$ pentru Subiectul al III-lea, cu ultimele minute păstrate pentru recitire. Simularea se dă într-o singură ședință, fără pauze — antrenamentul de rezistență face parte din probă.
• Materiale: foaie de examen, riglă, creion. Fără calculator și fără formulare — la BAC nu se primește niciunul. Numerele au fost alese ca rezultatele să fie exacte: determinanți întregi, soluția sistemului $(1,1,2)$, aria $22$, valorile $\ln \frac{4}{3}$, $\frac{\pi \sqrt{3}}{18}$.
• Redactare. La Subiectul I se cere doar rezultatul, cu calculul care îl susține; la Subiectele al II-lea și al III-lea se cere rezolvare completă, cu ipoteze scrise și justificări. Se depunctează, ca la examen: aplicarea formulelor lui Cramer fără verificarea condiției $\Delta \ne 0$; rezolvarea unei ecuații logaritmice fără condițiile de existență; folosirea teoremei lui Lagrange fără enunțarea ipotezelor (continuitate pe intervalul închis, derivabilitate pe cel deschis); afirmarea unei asimptote oblice fără cele două limite, în ordinea $m$, apoi $n$; calculul unei limite cu sume Riemann fără invocarea integrabilității funcției continue.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Subiectul I: $z=a+bi$, $\bar{z}=a-bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$; ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$, cu condițiile $x>0$, $y>0$; suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice; $P(A)=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$; aria triunghiului $ABC$: $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|$ și ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |$; ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.
• Subiectul al II-lea: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, cu $A^{\ast }$ transpusa matricei complemenților algebrici; Kronecker-Capelli: sistemul e compatibil $⟺\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$; teorema lui Rouché: sistemul e compatibil $⟺$ toți determinanții caracteristici sunt nuli; $\hat{a}$ e inversabilă în $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )⟺(a,n)=1$; criteriul de subgrup: $H\ne \varnothing$, $H\subseteq G$, $x,y\in H\Rightarrow xy\in H$ și $x\in H\Rightarrow x^{-1}\in H$; teorema lui Lagrange (grupuri finite): $\mathrm{card}H$ divide $\mathrm{card}G$; un izomorfism păstrează ordinele elementelor.
• Subiectul al III-lea: asimptota oblică spre un capăt infinit: întâi $m=\lim \frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, apoi $n=\lim (f(x)-mx)\in \mathbb{R}$; $(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$; teorema lui Lagrange (creșterile finite): $f$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$ $\Rightarrow$ există $c\in (a,b)$ cu $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$; $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; suma Riemann: $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\to {\int }_0^{1}f(x)dx$ pentru $f$ continuă pe $[0,1]$.

Patru dezambiguizări de notație, valabile în toată lucrarea (la examen se întâlnesc, ca aici, în aceeași lucrare):

• Cele două teoreme ale lui Lagrange. La itemul $8$ apare teorema lui Lagrange pentru grupuri finite (ordinul unui subgrup divide ordinul grupului), iar la itemul $9$ apare teorema lui Lagrange a creșterilor finite (teorema de medie a calculului diferențial). Sunt teoreme diferite, ale aceluiași matematician; se recunosc după obiectul lor — un grup, respectiv o funcție derivabilă.
• Simetricul și derivata. În itemul $8$, grupul este notat multiplicativ, iar simetricul unui element se scrie $x^{-1}$, niciodată $x^{\prime }$; semnul prim este rezervat în această lucrare derivatei, la itemii $9$ și $10$.
• Litera $\Delta$ are în această lucrare un singur înțeles: determinantul unui sistem (itemul 7). La itemul $6$ ecuația de gradul al doilea se rezolvă prin factorizare, tocmai ca litera să nu-și schimbe rolul.
• Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler (itemii 9 și 10). Elementul neutru al grupului din itemul $8$ se scrie $\hat{1}$, nu $e$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul". La examen, cerințele Subiectului I se numesc pur și simplu „subiectul I, punctul 1", iar subpunctele problemelor, „a)", „b)", „c)".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Șase cerințe independente, fiecare de $5$ puncte. Se scrie numai rezolvarea, pe scurt, și rezultatul.

Itemul 1 (5 puncte)

Determină numărul complex $z$ care verifică egalitatea $z+2\bar{z}=9-3i$.

Itemul 2 (5 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x+1)+{\log }_3(x+3)=1$.

Itemul 3 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-4$. Calculează suma $f(1)+f(2)+\cdots +f(10)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculează probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea $M=\{10,11,12,\dots ,30\}$, acesta să fie divizibil cu $3$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(4,3)$ și $C(2,-5)$. Calculează aria triunghiului $ABC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Rezolvă ecuația $2{\sin }^{2}x-3\cos x=0$, unde $x\in [0,\pi ]$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Două probleme, fiecare de $15$ puncte, cu câte trei subpuncte de $5$ puncte. Se cere rezolvare completă.

Itemul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $$A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& m\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$ și sistemul de ecuații liniare $$\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x-y+3z=7\\ 3x+y+mz=6\end{array}$$ cu necunoscutele $x,y,z\in \mathbb{R}$, a cărui matrice este $A(m)$.

a) Calculează $\det A(m)$ și determină valorile lui $m$ pentru care sistemul este de tip Cramer. (5 p) b) Pentru $m=1$, determină $A(1{)}^{-1}$ și rezolvă sistemul folosind matricea inversă. (5 p) c) Pentru $m=2$, determină $\mathrm{rang}A(2)$ și stabilește, folosind teorema lui Rouché, dacă sistemul este compatibil. (5 p)

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră mulțimea $G=U({\mathbb{Z}}_{24},\cdot )$ a claselor inversabile din ${\mathbb{Z}}_{24}$, împreună cu înmulțirea claselor de resturi. Se știe că $(G,\cdot )$ este grup, cu elementul neutru $\hat{1}$.

a) Determină elementele mulțimii $G$ și calculează $\mathrm{card}G$. (5 p) b) Arată că $H=\left\{\hat{1},\hat{5},\widehat{19},\widehat{23}\right\}$ este subgrup al grupului $(G,\cdot )$ și verifică pe acest exemplu teorema lui Lagrange. (5 p) c) Determină ordinul fiecărui element al grupului $(G,\cdot )$ și arată că $(G,\cdot )$ nu este izomorf cu grupul $({\mathbb{Z}}_8,+)$. (5 p)

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Două probleme, fiecare de $15$ puncte, cu câte trei subpuncte de $5$ puncte. Se cere rezolvare completă.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{2x}-2x$.

a) Calculează limitele funcției $f$ la $-\infty$ și la $+\infty$ și determină asimptotele la graficul funcției $f$. (5 p) b) Calculează $f^{\prime }(x)$, alcătuiește tabelul de variație al funcției $f$ și demonstrează inegalitatea $e^{2x}\ge 2x+1$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$. (5 p) c) Fie $a$ și $b$ numere reale cu $0\le a<b$. Arată, folosind teorema lui Lagrange aplicată funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=e^{2x}$, că există $c\in (a,b)$ pentru care $e^{2b}-e^{2a}=2e^{2c}(b-a)$ și deduce inegalitatea $e^{2b}-e^{2a}>2(b-a)$. (5 p)

Itemul 10 (15 puncte)

Pentru fiecare $n\in \mathbb{N}$ se consideră numărul $$I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x^2+3}dx.$$

a) Calculează $I_0$ și $I_1$. (5 p) b) Arată că șirul $(I_n{)}_{n\ge 0}$ este descrescător, demonstrează încadrarea $\frac{1}{4(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{3(n+1)}$, pentru orice $n\in \mathbb{N}$, și calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$. (5 p) c) Demonstrează că $I_{n+2}+3I_n=\frac{1}{n+1}$, pentru orice $n\in \mathbb{N}$, și calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{k^2+3n^2}$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, fiecare de 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La problemele Subiectelor al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează 5 p, iar punctele se acordă pe pași, ca la examen.

Itemul 1. (5 p)

Scriem $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$; atunci $\bar{z}=a-bi$ și $$z+2\bar{z}=(a+bi)+2(a-bi)=3a-bi\text{(2 p)}.$$ Din egalitatea a două numere complexe rezultă sistemul $3a=9$ și $-b=-3$, deci $a=3$ și $b=3$, adică $\mathbf{z}=3+3i$ (3 p).

(Control: $z+2\bar{z}=(3+3i)+2(3-3i)=3+3i+6-6i=9-3i$.)

Itemul 2. (5 p)

Condițiile de existență: $x+1>0$ și $x+3>0$, deci $x>-1$ (2 p). Cu proprietatea sumei logaritmilor și cu $1={\log }_{3}3$, ecuația devine $${\log }_3((x+1)(x+3))={\log }_{3}3⟺(x+1)(x+3)=3⟺x^2+4x=0⟺x(x+4)=0\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt $x=0$ și $x=-4$; a doua nu verifică $x>-1$, deci soluția ecuației este $\mathbf{x}=0$ (1 p).

(Greșeala tipică: acceptarea lui $x=-4$, pentru care nici $x+1$, nici $x+3$ nu sunt strict pozitive.)

Itemul 3. (5 p)

Termenii $f(1),f(2),\dots ,f(10)$ formează o progresie aritmetică de rație $3$; suma lor se poate calcula desfăcând suma (2 p): $$\sum _{k=1}^{10}f(k)=\sum _{k=1}^{10}(3k-4)=3\sum _{k=1}^{10}k-4\cdot 10=3\cdot \frac{10\cdot 11}{2}-40.$$ Așadar suma este $3\cdot 55-40=125$ (3 p).

(Aceeași valoare se obține cu formula sumei unei progresii aritmetice: $\frac{f(1)+f(10)}{2}\cdot 10=\frac{-1+26}{2}\cdot 10=125$.)

Itemul 4. (5 p)

Mulțimea $M$ are $30-10+1=21$ de elemente, deci numărul cazurilor posibile este $21$ (2 p). Multiplii lui $3$ din $M$ sunt $12,15,18,21,24,27,30$, adică $7$ numere — numărul cazurilor favorabile (2 p). Cu definiția clasică a probabilității, $$P=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$

Itemul 5. (5 p)

Determinantul format cu coordonatele celor trei vârfuri și cu o coloană de $1$ este (3 p) $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 4& 3& 1\\ 2& -5& 1\end{array}\right|=-2(3+5)-1(4-2)+1(-20-6)=-16-2-26=-44.$$ Cum $\Delta \ne 0$, punctele nu sunt coliniare, iar aria triunghiului este $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |=\frac{44}{2}=22\text{(2 p)}.$$

Itemul 6. (5 p)

Folosim ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ și notăm $t=\cos x$, cu $t\in [-1,1]$ (2 p): $$2(1-t^2)-3t=0⟺2t^2+3t-2=0⟺(2t-1)(t+2)=0\text{(2 p)}.$$ Obținem $t=\frac{1}{2}$ sau $t=-2$; a doua valoare se respinge, pentru că $\cos x\in [-1,1]$. Din $\cos x=\frac{1}{2}$ și $x\in [0,\pi ]$ rezultă $\mathbf{x}=\frac{\pi }{3}$ (1 p).

Itemul 7. (15 p)

a) (5 p) Dezvoltăm determinantul după prima linie (sau cu regula lui Sarrus, valabilă la ordinul $3$) (3 p): $$\det A(m)=1\cdot (-m-3)-2\cdot (2m-9)+(-1)\cdot (2+3)=-m-3-4m+18-5=10-5m.$$ Sistemul are $3$ ecuații și $3$ necunoscute, deci este de tip Cramer exact când $\Delta =\det A(m)\ne 0$, adică pentru $\mathbf{m}\ne 2$ (2 p).

b) (5 p) Pentru $m=1$ avem $\det A(1)=5\ne 0$, deci matricea este inversabilă. Complemenții algebrici sunt ${\delta }_{11}=-4$, ${\delta }_{12}=7$, ${\delta }_{13}=5$, ${\delta }_{21}=-3$, ${\delta }_{22}=4$, ${\delta }_{23}=5$, ${\delta }_{31}=5$, ${\delta }_{32}=-5$, ${\delta }_{33}=-5$, iar $A^{\ast }$ este transpusa matricei lor (2 p): $$A(1{)}^{-1}=\frac{1}{\det A(1)}{A}^{\ast }=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}-4& -3& 5\\ 7& 4& -5\\ 5& 5& -5\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Cu $B={}^t(176)$, soluția este $X=A(1{)}^{-1}B$, adică $$X=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}-4+(-21)+30\\ 7+28-30\\ 5+35-30\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right),(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})=(1,1,2)\text{(1 p)}.$$ (Verificare în toate ecuațiile: $1+2-2=1$; $2-1+6=7$; $3+1+2=6$. Aceeași soluție se obține cu formulele lui Cramer, din ${\Delta }_1=5$, ${\Delta }_2=5$, ${\Delta }_3=10$ și $\Delta =5$.)

c) (5 p) Pentru $m=2$ avem $\det A(2)=0$, deci $\mathrm{rang}A(2)<3$; minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-5\ne 0$ arată că $\mathrm{rang}A(2)=2$, iar acest minor se ia drept minor principal (2 p). Necunoscutele principale sunt $x$ și $y$, ecuațiile principale sunt primele două, iar a treia este ecuație secundară. Determinantul caracteristic se obține bordând minorul principal cu coeficienții ecuației secundare și cu coloana termenilor liberi (2 p): $${\Delta }_{\text{car}}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -1& 7\\ 3& 1& 6\end{array}\right|=1(-6-7)-2(12-21)+1(2+3)=-13+18+5=10\ne 0.$$ Prin teorema lui Rouché, sistemul este incompatibil (1 p). (Același răspuns prin teorema Kronecker-Capelli: minorul caracteristic nenul este un minor de ordin $3$ al matricei extinse, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2=\mathrm{rang}A$. Geometric: la $m=2$ a treia ecuație are aceiași coeficienți ca suma primelor două, dar alt termen liber — cele trei plane nu au niciun punct comun.)

Itemul 8. (15 p)

a) (5 p) O clasă $\hat{a}$ este inversabilă în $({\mathbb{Z}}_{24},\cdot )$ dacă și numai dacă $(a,24)=1$. Cum $24=2^3\cdot 3$, sunt prime cu $24$ exact numerele impare care nu se divid cu $3$ (3 p), deci $$G=U({\mathbb{Z}}_{24},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17},\widehat{19},\widehat{23}\right\},\mathrm{card}G=8\text{(2 p)}.$$

b) (5 p) Evident $H\ne \varnothing$ și $H\subseteq G$. Pentru partea stabilă calculăm produsele distincte (2 p): $$\hat{5}\cdot \widehat{19}=\widehat{95}=\widehat{23},\hat{5}\cdot \widehat{23}=\widehat{115}=\widehat{19},\widehat{19}\cdot \widehat{23}=\widehat{437}=\hat{5},$$ iar ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\widehat{19}}^2=\widehat{361}=\hat{1}$, ${\widehat{23}}^2=\widehat{529}=\hat{1}$; toate rezultatele sunt în $H$. Pentru simetrice, ultimele trei egalități arată că fiecare element al lui $H$ este propriul său invers: ${\hat{5}}^{-1}=\hat{5}$, ${\widehat{19}}^{-1}=\widehat{19}$, ${\widehat{23}}^{-1}=\widehat{23}$, iar ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$ (2 p). Cele două condiții ale criteriului de subgrup fiind îndeplinite, $H$ este subgrup al lui $(G,\cdot )$. Teorema lui Lagrange pentru grupuri finite se verifică: $\mathrm{card}H=4$ divide $\mathrm{card}G=8$, câtul fiind $2$ (1 p).

c) (5 p) Ridicăm la pătrat fiecare element (3 p): ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$, ${\widehat{11}}^2=\widehat{121}=\hat{1}$, ${\widehat{13}}^2=\widehat{169}=\hat{1}$, ${\widehat{17}}^2=\widehat{289}=\hat{1}$, ${\widehat{19}}^2=\widehat{361}=\hat{1}$, ${\widehat{23}}^2=\widehat{529}=\hat{1}$ (fiecare dintre numerele $24,48,120,168,288,360,528$ se divide cu $24$). Cum niciunul dintre aceste elemente nu este $\hat{1}$, ordinul fiecăruia este $2$, iar $\mathrm{ord}(\hat{1})=1$. Profilul ordinelor lui $(G,\cdot )$ este:

În grupul $({\mathbb{Z}}_8,+)$, clasa $\hat{1}$ are ordinul $8$, iar profilul ordinelor este cu totul altul (2 p):

Un izomorfism de grupuri păstrează ordinele elementelor, deci grupurile izomorfe au același profil al ordinelor. Cele două profiluri sunt diferite (de pildă, $({\mathbb{Z}}_8,+)$ are un element de ordinul $8$, iar $(G,\cdot )$ nu are niciunul), prin urmare $(G,\cdot )$ nu este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_8,+)$. (Echivalent: $({\mathbb{Z}}_8,+)$ este ciclic, iar $(G,\cdot )$ nu, pentru că subgrupul generat de orice element al său are cel mult două elemente. Consecința 1 a teoremei lui Lagrange se verifică oricum: $1$ și $2$ divid amândouă pe $8$.)

Itemul 9. (15 p)

a) (5 p) La $-\infty$ avem $e^{2x}\to 0$ și $-2x\to +\infty$, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$; la $+\infty$ ambii termeni conduc la $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$. Cum niciuna dintre cele două limite nu este finită, graficul nu are asimptotă orizontală spre niciunul dintre capete (2 p). Căutăm asimptota oblică spre $-\infty$, în ordinea obligatorie — întâi panta, apoi ordonata (2 p): $$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{e^{2x}}{x}-2\right)=-2\in {\mathbb{R}}^{\ast },n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)+2x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{2x}=0\in \mathbb{R}.$$ Prin urmare dreapta $y=-2x$ este asimptotă oblică la graficul funcției $f$ spre $-\infty$. Spre $+\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=+\infty$, adică panta este infinită — a doua dintre situațiile în care asimptota oblică nu există —, deci graficul nu are asimptotă spre $+\infty$. Domeniul fiind $\mathbb{R}$, iar $f$ continuă, nu există asimptote verticale. Lista completă: o singură dreaptă, $y=-2x$, spre $-\infty$ (1 p).

b) (5 p) Funcția este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $f^{\prime }(x)=2e^{2x}-2=2(e^{2x}-1)$ (2 p). Cum $e^{2x}-1<0$ pentru $x<0$ și $e^{2x}-1>0$ pentru $x>0$, singurul punct critic este $x=0$, cu $f(0)=e^0-0=1$. Tabelul de variație (2 p):

Citirea tabelului: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,+\infty )$, deci $x=0$ este punct de minim global, iar valoarea minimă este $1$. Așadar $f(x)\ge f(0)=1$ pentru orice $x$ real, adică $e^{2x}-2x\ge 1$, echivalent cu ${\mathbf{e}}^{2x}\ge 2x+1$, cu egalitate doar pentru $x=0$ (1 p).

c) (5 p) Funcția $g(x)=e^{2x}$ este continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$, cu $g^{\prime }(x)=2e^{2x}$ — ipotezele teoremei lui Lagrange (teorema creșterilor finite) sunt îndeplinite (2 p). Prin urmare există $c\in (a,b)$ cu $g(b)-g(a)=g^{\prime }(c)(b-a)$, adică $$e^{2b}-e^{2a}=2e^{2c}(b-a)\text{(2 p)}.$$ Cum $c>a\ge 0$, avem $2c>0$, deci $e^{2c}>e^0=1$; înmulțind cu $b-a>0$ obținem $2e^{2c}(b-a)>2(b-a)$, adică ${\mathbf{e}}^{2b}-{\mathbf{e}}^{2a}>2(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ (1 p). (Exemplu de control: pentru $a=0$ și $b=1$ inegalitatea spune $e^2-1>2$, adevărat.)

Itemul 10. (15 p)

a) (5 p) Funcțiile de sub integrală sunt continue pe $[0,1]$, deci integrabile. Pentru $I_0$ folosim rândul din tabelul primitivelor cu numitorul $x^2+a^2$, cu $a=\sqrt{3}$ (3 p): $$I_0={\int }_0^1\frac{dx}{x^2+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}{|}_0^1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}-\mathrm{arctg}0\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi \sqrt{3}}{18}.$$ Pentru $I_1$ recunoaștem forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u(x)=x^2+3>0$ (2 p): $$I_1={\int }_0^1\frac{x}{x^2+3}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+3){|}_0^1=\frac{1}{2}(\ln 4-\ln 3)=\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}.$$ (Numitorul are discriminantul negativ, deci este strict pozitiv; logaritmul se scrie fără modul.)

b) (5 p) Întrebarea 1 — monotonia. Pentru $x\in [0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$, iar $x^2+3>0$, deci $\frac{x^{n+1}}{x^2+3}\le \frac{x^n}{x^2+3}$; integrând pe $[0,1]$ și folosind monotonia integralei, $I_{n+1}\le I_n$, adică șirul este descrescător (2 p). Întrebarea 2 — mărginirea. Pentru $x\in [0,1]$ avem $3\le x^2+3\le 4$, deci $\frac{x^n}{4}\le \frac{x^n}{x^2+3}\le \frac{x^n}{3}$; integrând aceste inegalități și folosind ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$, obținem (2 p) $$\frac{1}{4(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{3(n+1)}.$$ Întrebarea 3 — limita. Ambele margini tind la $0$, deci, prin criteriul cleștelui, $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=0$ (1 p).

c) (5 p) Adunăm potrivit cele două integrale și simplificăm numitorul (2 p): $$I_{n+2}+3I_n={\int }_0^1\frac{x^{n+2}+3x^n}{x^2+3}dx={\int }_0^1\frac{x^n(x^2+3)}{x^2+3}dx={\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{1}{n+1}.$$ Pentru limită parcurgem cei patru pași ai sumei Riemann (3 p). Scoatem factorul $\frac{1}{n}$, împărțind numărătorul și numitorul prin $n^2$: $$\sum _{k=1}^n\frac{n}{k^2+3n^2}=\sum _{k=1}^n\frac{\frac{1}{n}}{{\left(\frac{k}{n}\right)}^2+3}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}h\left(\frac{k}{n}\right),h(x)=\frac{1}{x^2+3}.$$ Recunoaștem diviziunea echidistantă a intervalului $[0,1]$, cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. Funcția $h$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, prin urmare suma Riemann tinde la integrala ei: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{k^2+3n^2}={\int }_0^1\frac{dx}{x^2+3}=I_0=\frac{\pi \sqrt{3}}{18}.$$ (Fără precizarea că $h$ este continuă, deci integrabilă, rezolvarea este incompletă. Rezultatul închide problema: limita cerută este chiar primul termen al șirului, calculat la punctul a).)