Simulare Bacalaureat M1 — varianta 3

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta este a treia dintre cele patru simulări complete ale clasei a XII-a și respectă formatul oficial al probei scrise de matematică M1: trei subiecte, zece cerințe, $90$ de puncte din itemi plus $10$ puncte din oficiu, adică $100$ de puncte în total. Ca la examenul real, lucrarea acoperă materia claselor a IX-a – a XII-a, de la progresii, funcții și trigonometrie până la structuri algebrice și integrala definită. Elevul primește subiectele pe o singură foaie și lucrează fără calculator și fără formulare; toate rezultatele sunt numere exacte, iar acolo unde apar $\ln 2$ sau $\pi$ ele rămân în răspuns, nu se aproximează.

Timp: 3 ore — exact durata probei reale. Simularea se dă dintr-o singură bucată, cronometrat, pentru că una dintre competențele examinate este chiar gestionarea timpului: reperul de lucru este $45$ de minute pentru Subiectul I, $60$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $65$ de minute pentru Subiectul al III-lea și $10$ minute pentru recitire. Dacă orarul nu permite trei ore la rând, proba se poate sparge în două reprize ($45+60$ de minute, apoi $65$ de minute), iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.

Varianta este scrisă pe programa veche, cea după care se dau sesiunile 2027–2029 de examen. Concret: Subiectul al II-lea, problema a doua, verifică inele, corpuri și polinoame, adică materia din suplimentul clasei a XII-a — capitol care nu mai apare în programa nouă, dar care este în programa de examen a acestor sesiuni. Cine învață după programa nouă (prima sesiune afectată: 2030) tratează itemul $8$ ca antrenament de structuri algebrice și îl înlocuiește, la nevoie, cu o problemă de legi de compoziție și grupuri.

Harta subiectelor (materia acoperită, cu punctajul ei):

Trei dezambiguizări de notație, valabile pe toată lucrarea. Simularea adună capitole care în lecții stăteau separat, deci trei simboluri apar cu mai multe înțelesuri și trebuie citite după context:

• $\Delta$ înseamnă discriminantul trinomului la itemul $3$ și determinantul sistemului la itemul $7$c). Se recunosc după ce stă sub simbol: coeficienții unui trinom, respectiv un tablou de coeficienți ai necunoscutelor.
• Semnul prim înseamnă derivata formală a unui polinom la itemul $8$c) — definită algebric, termen cu termen, fără nicio limită, pentru că peste ${\mathbb{Z}}_5$ nu există limite — și derivata obișnuită a unei funcții la itemii $9$ și $10$. Ca să nu se ciocnească de ea, simetricele din itemul $8$ nu se notează cu prim: elementul nul și unitatea structurii se numesc pe litere, iar simetricul față de $\otimes$ se scrie multiplicativ, $x^{-1}$.
• $p$ este parametrul parabolei la itemul $10$b), din ecuația canonică $y^2=2px$, nu o probabilitate și nu un număr prim.

Cum se aplică și ce se depunctează. La Subiectul I se cere doar rezultatul justificat pe scurt; la Subiectele al II-lea și al III-lea se cere rezolvare completă, cu ipotezele scrise. Se depunctează, ca la examen: afirmarea structurii de corp fără verificarea celor trei condiții de morfism (inclusiv $f(1)=1^{\prime }$); reverificarea axiomelor după ce transportul de structură a fost stabilit; folosirea derivatelor succesive pentru ordinul exact al unei rădăcini peste ${\mathbb{Z}}_p$ (criteriul acesta este valabil numai peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$); afirmarea unei asimptote oblice fără verificarea celor doi pași ($m$ finit și nenul, apoi $n$ finit); monotonia sau convexitatea formulate pe o reuniune de intervale; aria dată ca integrală dintr-o funcție care schimbă semnul; și, la volum, uitarea factorului $\pi$ sau a pătratului din $f^2$.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali și logaritmi: ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$; $(\sqrt{u}-\sqrt{v})(\sqrt{u}+\sqrt{v})=u-v$.
• Progresii geometrice: $b_n=b_1{q}^{n-1}$, $b_{n+k}=b_n{q}^k$, $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$ pentru $q\ne 1$.
• Funcția de gradul al doilea: $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$; pentru $a<0$, $\mathrm{Im}f=\left(-\infty ,-\frac{\Delta }{4a}\right]$.
• Binomul lui Newton: $T_{k+1}=C_n^k{x}^{n-k}{y}^k$, $k=0,1,\dots ,n$.
• Geometrie analitică: $d_1\perp d_2⟺a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$ (și $m_1{m}_2=-1$ la drepte neverticale); $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
• Trigonometrie: identitatea fundamentală ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$; formulele de reducere $\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\cos t$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\sin t$.
• Matrice: $\mathrm{tr}(A)$ = suma elementelor de pe diagonala principală; Hamilton-Cayley pentru $n=2$: $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det (A)I_2=O_2$. Un sistem liniar omogen are și soluții nenule dacă și numai dacă determinantul lui este nul.
• Transportul de structură: pentru $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, funcția $f(x)=x-a$ este izomorfism de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$; elementul nul este $a$, unitatea este $a+1$, iar $x^{-1}=a+\frac{1}{x-a}$ pentru $x\ne a$. Morfism de inele: $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$ și $f(1)=1^{\prime }$.
• Polinoame peste un corp: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; $X-a\mid f⟺f(a)=0$; derivata formală $(c{X}^n{)}^{\prime }=nc{X}^{n-1}$; dacă $f(a)=f^{\prime }(a)=0$, atunci $a$ este rădăcină multiplă (ordinul exact se află prin împărțiri repetate la $X-a$).
• Asimptote: verticala $x=a$ cere o limită laterală infinită; oblica $y=mx+n$ cere $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și abia apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)\in \mathbb{R}$; orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc.
• Aplicațiile integralei: $\mathcal{S}={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ când $f\ge g$ pe $[a,b]$; când marginea este o parabolă cu axa orizontală, se integrează după $y$; $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$.

Referința de examen: Bacalaureat M1. Toți cei zece itemi sunt scriși exact în formatul subiectelor de la BAC, cu subpunctele a), b), c) a câte $5$ puncte la itemii $7$–$10$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Itemul 1 (5 puncte)

Arată că numărul $a={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8+\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)$ este natural.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră progresia geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$, cu toți termenii pozitivi, în care $b_2=6$ și $b_5=48$. Calculează suma $b_1+b_2+b_3+b_4$.

Itemul 3 (5 puncte)

Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x^2+8x+1$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determină termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^9$, unde $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d:3x-4y+2=0$ și punctul $A(2,-1)$. Determină ecuația dreptei $h$ care trece prin $A$ și este perpendiculară pe $d$, apoi calculează distanța de la $A$ la dreapta $d$.

Itemul 6 (5 puncte)

Arată că numărul $E={\sin }^2\frac{\pi }{12}+{\sin }^2\frac{5\pi }{12}$ este natural.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

a) Calculează $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$, apoi verifică egalitatea $A^2-6A+9I_2=O_2$. (5 p)

b) Demonstrează prin inducție matematică faptul că, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $A^n=\left(\begin{array}{cc}{3}^n-n\cdot 3^{n-1}& n\cdot 3^{n-1}\\ -n\cdot 3^{n-1}& 3^n+n\cdot 3^{n-1}\end{array}\right)$. (5 p)

c) Determină numerele reale $m$ pentru care sistemul omogen $\{\begin{array}{l}(2-m)x+y=0\\ -x+(4-m)y=0\end{array}$ admite și soluții diferite de $(0,0)$, apoi rezolvă sistemul pentru valoarea găsită. (5 p)

Itemul 8 (15 puncte)

Problema acoperă ambele jumătăți ale suplimentului de algebră: structurile de inel și de corp la primele două subpuncte, polinoamele peste un corp finit la al treilea.

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se consideră legile de compoziție $x\oplus y=x+y+12$ și $x\otimes y=xy+12x+12y+132$, iar în ${\mathbb{Z}}_5[X]$ se consideră polinomul $g=X^3+\hat{a}{X}^2+X+\hat{3}$, unde $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_5$.

a) Arată că $x\otimes y=(x+12)(y+12)-12$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$, apoi determină elementul neutru al legii $\oplus$ și elementul neutru al legii $\otimes$. (5 p)

b) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+12$, este izomorfism de inele de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$ și deduce de aici că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp comutativ. (5 p)

c) Determină $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_5$ pentru care $\hat{2}$ este rădăcină a polinomului $g$ și, pentru valoarea găsită, descompune $g$ în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_5$. (5 p)

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}-\ln x$.

a) Calculează limitele funcției $f$ la capetele domeniului de definiție și determină asimptotele la graficul funcției $f$. (5 p)

b) Studiază monotonia funcției $f$ și determină valoarea minimă a funcției. (5 p)

c) Studiază convexitatea funcției $f$, determină abscisa punctului de inflexiune și arată că $\ln x<\sqrt{x}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$. (5 p)

Itemul 10 (15 puncte)

Cele trei subpuncte parcurg cele trei aplicații ale integralei definite cerute la Bacalaureat M1: aria dintre două grafice, aria unei regiuni mărginite de o conică și de o dreaptă, volumul unui corp de rotație.

a) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$ și $g(x)=3-x^2$. Calculează aria regiunii plane mărginite de graficele celor două funcții. (5 p)

b) În reperul cartezian $xOy$ se consideră parabola de ecuație $y^2=6x$ și dreapta de ecuație $y=3x-4$. Calculează aria regiunii plane mărginite de parabolă și de dreaptă. (5 p)

c) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $h:[0,1]\to \mathbb{R}$, $h(x)=x^3+1$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: $90$ de puncte din cei zece itemi $+10$ puncte din oficiu $=100$ de puncte. La Subiectul I se acordă punctajul întreg pentru rezultatul corect obținut pe orice cale corectă; la Subiectele al II-lea și al III-lea, pașii de mai jos se punctează separat.

Itemul 1. (5 p)

Cu formula schimbării bazei, ${\log }_{3}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}3}=\frac{3}{{\log }_{2}3}$ (2 p), deci $${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8={\log }_{2}3\cdot \frac{3}{{\log }_{2}3}=3\text{(1 p)}.$$ Al doilea termen este o diferență de pătrate: $\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)=5-4=1$ (1 p). Prin urmare $a=3+1=4\in \mathbb{N}$ (1 p).

(Se putea folosi direct ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8={\log }_{2}8=3$.)

Itemul 2. (5 p)

Într-o progresie geometrică, $b_5=b_2\cdot q^3$ (1 p), deci $q^3=\frac{48}{6}=8$, iar cum termenii sunt pozitivi, $q=2$ (2 p). Din $b_2=b_{1}q$ rezultă $b_1=\frac{6}{2}=3$ (1 p). Termenii sunt $3$, $6$, $12$, $24$, iar suma lor este $$b_1+b_2+b_3+b_4=3\cdot \frac{2^4-1}{2-1}=3\cdot 15=45\text{(1 p)}.$$

Itemul 3. (5 p)

Coeficientul dominant este $a=-2<0$, deci parabola are ramurile în jos și funcția își atinge maximul în vârf (1 p). Abscisa vârfului este $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{-4}=2$ (1 p), iar ordonata lui, cu $\Delta =64+8=72$ (aici $\Delta$ este discriminantul trinomului), este $$y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{72}{-8}=9\text{(2 p)}$$ (control: $f(2)=-8+16+1=9$). Prin urmare $\mathrm{Im}f=(-\infty ,9]$ (1 p).

Itemul 4. (5 p)

Termenul general al dezvoltării este $$T_{k+1}=C_9^k{\left(x^2\right)}^{9-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^k=C_9^k{x}^{18-2k-k}=C_9^k{x}^{18-3k},k=0,1,\dots ,9\text{(2 p)}.$$ Termenul care nu îl conține pe $x$ are exponentul nul: $18-3k=0$, deci $k=6$ (1 p). Atunci $$T_7=C_9^6=C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3}=84\text{(2 p)}.$$

Itemul 5. (5 p)

Dreapta $d$ are panta $m_d=\frac{3}{4}$, deci o dreaptă perpendiculară pe ea are panta $m_h=-\frac{4}{3}$ (1 p). Ecuația dreptei prin $A(2,-1)$ cu această pantă este $y+1=-\frac{4}{3}(x-2)$, adică $$h:4x+3y-5=0\text{(2 p)}.$$ (Control cu criteriul general: $3\cdot 4+(-4)\cdot 3=0$, deci $h\perp d$.) Cu formula distanței de la un punct la o dreaptă, scrisă în forma generală (1 p), $$d(A,d)=\frac{|3\cdot 2-4\cdot (-1)+2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{12}{5}\text{(1 p)}.$$ (Control: piciorul perpendicularei este $P\left(\frac{14}{25},\frac{23}{25}\right)$, iar $A{P}^2=\frac{144}{25}$.)

Itemul 6. (5 p)

Cele două unghiuri sunt complementare: $\frac{5\pi }{12}=\frac{6\pi -\pi }{12}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12}$ (1 p). Cu formula de reducere $\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\cos t$, aplicată pentru $t=\frac{\pi }{12}$, obținem $\sin \frac{5\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{12}$ (2 p). Atunci, cu identitatea fundamentală (1 p), $$E={\sin }^2\frac{\pi }{12}+{\cos }^2\frac{\pi }{12}=1,$$ deci $E=1\in \mathbb{N}$ (1 p).

(Calculul direct al valorilor $\sin \frac{\pi }{12}$ și $\sin \frac{5\pi }{12}$ nu este necesar: complementaritatea unghiurilor rezolvă exercițiul.)

Itemul 7. (15 p)

a) (5 p) Urma este suma elementelor de pe diagonala principală, iar determinantul se calculează direct: $\mathrm{tr}(A)=2+4=6$ și $\det A=2\cdot 4-1\cdot (-1)=9$ (1 p). Apoi $$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-1& 2+4\\ -2-4& -1+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ -6& 15\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Cum $6A=\left(\begin{array}{cc}12& 6\\ -6& 24\end{array}\right)$ și $9I_2=\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$ (1 p), obținem $$A^2-6A+9I_2=\left(\begin{array}{cc}3-12+9& 6-6+0\\ -6+6+0& 15-24+9\end{array}\right)=O_2\text{(1 p)}.$$ (Este chiar ecuația Hamilton-Cayley, cu $\mathrm{tr}(A)=6$ și $\det A=9$.)

b) (5 p) Pentru $n=1$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}3-1& 1\\ -1& 3+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)=A$, deci egalitatea este adevărată (1 p). Presupunem egalitatea adevărată pentru un $n$ fixat și calculăm $A^{n+1}=A^n\cdot A$ (1 p). Notând $N=A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$, ipoteza se scrie $A^n=3^n{I}_2+n\cdot 3^{n-1}N$, iar $N^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-1& -1+1\\ 1-1& -1+1\end{array}\right)=O_2$, de unde $$A^{n+1}=\left(3^n{I}_2+n\cdot 3^{n-1}N\right)\left(3I_2+N\right)=3^{n+1}{I}_2+3^{n}N+n\cdot 3^{n}N=3^{n+1}{I}_2+(n+1)\cdot 3^{n}N\text{(2 p)},$$ adică exact formula pentru $n+1$. Conform principiului inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (1 p).

(Control pentru $n=2$: formula dă $\left(\begin{array}{cc}9-6& 6\\ -6& 9+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ -6& 15\end{array}\right)$, adică matricea calculată la a).)

c) (5 p) Determinantul sistemului este (2 p) $$\Delta =\left|\begin{array}{cc}2-m& 1\\ -1& 4-m\end{array}\right|=(2-m)(4-m)+1=m^2-6m+9=(m-3{)}^2.$$ Un sistem liniar omogen are totdeauna soluția nulă; el admite și soluții nenule dacă și numai dacă $\Delta =0$ (1 p). Din $(m-3{)}^2=0$ rezultă $m=3$ (1 p). Pentru $m=3$, ambele ecuații devin $-x+y=0$, deci soluțiile sunt $$S=\{(\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}\text{(1 p)}.$$ (Aici $\Delta$ este determinantul sistemului, nu discriminantul de la itemul $3$; polinomul $(m-3{)}^2$ este chiar cel din ecuația Hamilton-Cayley de la a).)

Itemul 8. (15 p)

a) (5 p) Se dezvoltă membrul drept (2 p): $$(x+12)(y+12)-12=xy+12x+12y+144-12=xy+12x+12y+132=x\otimes y.$$ Pentru $\oplus$: din $x\oplus u=x+u+12=x$ rezultă $u=-12$, iar legea este comutativă, deci elementul neutru al legii $\oplus$ (elementul nul al structurii) este $-12$ (1,5 p). Pentru $\otimes$, folosind forma factorizată, $x\otimes v=(x+12)(v+12)-12=x$ pentru orice $x$ înseamnă $v+12=1$, deci elementul neutru al legii $\otimes$ (unitatea structurii) este $-11$ (1,5 p).

b) (5 p) Funcția $f(x)=x+12$ este bijectivă, cu inversa $y\mapsto y-12$ (1 p). Verificăm cele trei condiții din definiția morfismului de inele: $$f(x\oplus y)=x+y+12+12=(x+12)+(y+12)=f(x)+f(y)\text{(1 p)};$$ $$f(x\otimes y)=(x+12)(y+12)-12+12=(x+12)(y+12)=f(x)f(y)\text{(1 p)};$$ $$f(-11)=-11+12=1\text{(1 p)}.$$ Fiind morfism bijectiv, $f$ este izomorfism, deci transportă structura: pentru că $(\mathbb{R},+,\cdot )$ este corp comutativ, iar toate axiomele se citesc prin $f$, rezultă că și $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp comutativ, cu nulul $-12$ și unitatea $-11$; axiomele nu se mai verifică una câte una (1 p).

(Observație de redactare: simetricul lui $x\ne -12$ față de $\otimes$ se scrie multiplicativ, $x^{-1}=-12+\frac{1}{x+12}$, și nu are nicio legătură cu $\frac{1}{x}$.)

c) (5 p) Impunem $g(\hat{2})=\hat{0}$, calculând în ${\mathbb{Z}}_5$: ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{3}$ și ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, deci $$g(\hat{2})=\hat{3}+\hat{4}\hat{a}+\hat{2}+\hat{3}=\hat{4}\hat{a}+\hat{3}=\hat{0}⟹\hat{4}\hat{a}=\hat{2}⟹\hat{a}=\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{3}\text{(2 p)},$$ pentru că ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_5$ (din $\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{1}$). Polinomul devine $g=X^3+\hat{3}{X}^2+X+\hat{3}$.

Derivata formală a lui $g$ este $g^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{6}X+\hat{1}=\hat{3}{X}^2+X+\hat{1}$, iar $g^{\prime }(\hat{2})=\hat{3}\cdot \hat{4}+\hat{2}+\hat{1}=\widehat{12}+\hat{3}=\hat{2}+\hat{3}=\hat{0}$; din $g(\hat{2})=g^{\prime }(\hat{2})=\hat{0}$ rezultă că $\hat{2}$ este rădăcină multiplă a lui $g$ (1 p). (Peste ${\mathbb{Z}}_5$ criteriul spune doar atât; ordinul exact se citește din împărțiri repetate la $X-\hat{2}$, nu din derivate succesive.)

Împărțind de două ori la $X-\hat{2}$ obținem restul $\hat{0}$ de fiecare dată, iar al doilea cât este $X-\hat{3}$; a treia împărțire dă restul $\hat{4}\ne \hat{0}$, deci $\hat{2}$ este rădăcină exact dublă, iar cealaltă rădăcină este $\hat{3}$ (1 p). Prin urmare $$g={\left(X-\hat{2}\right)}^2\left(X-\hat{3}\right)={\left(X+\hat{3}\right)}^2\left(X+\hat{2}\right)\text{(1 p)},$$ descompunere în factori de gradul întâi, deci ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_5$.

(Verificare prin înmulțire înapoi: ${\left(X-\hat{2}\right)}^2=X^2-\hat{4}X+\hat{4}=X^2+X+\hat{4}$, iar $\left(X^2+X+\hat{4}\right)\left(X+\hat{2}\right)=X^3+\hat{3}{X}^2+\hat{6}X+\hat{8}=X^3+\hat{3}{X}^2+X+\hat{3}=g$.)

Itemul 9. (15 p)

a) (5 p) Domeniul de definiție este $(0,+\infty )$, unde ambii termeni sunt definiți, iar $f$ este continuă (1 p). La capătul din stânga, $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\left(\sqrt{x}-\ln x\right)=0-(-\infty )=+\infty \text{(1 p)},$$ deci dreapta $x=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$, la dreapta (1 p). La celălalt capăt, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, pentru că $\sqrt{x}$ crește mai repede decât $\ln x$: scriem $f(x)=\sqrt{x}\left(1-\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right)$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0$ se obține cu regulile lui L'Hôpital, în cazul $\frac{\infty }{\infty }$, raportul derivatelor fiind $\frac{2}{\sqrt{x}}\to 0$ (1 p). Limita fiind infinită, nu există asimptotă orizontală spre $+\infty$; pentru cea oblică se calculează întâi panta, $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\ln x}{x}\right)=0,$$ iar panta fiind nulă nu există nici asimptotă oblică. Așadar singura asimptotă este $x=0$ (1 p).

b) (5 p) Funcția este derivabilă pe $(0,+\infty )$ și (2 p) $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}.$$ Numitorul este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $\sqrt{x}-2$: negativ pe $(0,4)$, nul în $x=4$, pozitiv pe $(4,+\infty )$ (1 p).

Citirea tabelului: $f$ este strict descrescătoare pe $(0,4]$ și strict crescătoare pe $[4,+\infty )$ (1 p), deci $x=4$ este punct de minim, iar valoarea minimă a funcției este $$f(4)=\sqrt{4}-\ln 4=2-2\ln 2\text{(1 p)}.$$

c) (5 p) Derivata a doua este (2 p) $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{x^2}=\frac{4-\sqrt{x}}{4x^2}.$$ Numitorul fiind pozitiv, semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $4-\sqrt{x}$ (1 p):

Prin urmare $f$ este convexă pe $(0,16]$ și concavă pe $[16,+\infty )$; derivata a doua se anulează în $x=16$ și își schimbă semnul acolo, iar $f$ este derivabilă în $16$, deci abscisa punctului de inflexiune este $x=16$, cu $f(16)=4-4\ln 2$ (1 p).

În sfârșit, din punctul b) rezultă $f(x)\ge f(4)=2-2\ln 2=2\left(1-\ln 2\right)>0$, pentru că $2<e$, deci $\ln 2<\ln e=1$; așadar $\sqrt{x}-\ln x>0$, adică $\ln x<\sqrt{x}$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (1 p).

Itemul 10. (15 p)

a) (5 p) Abscisele punctelor de intersecție se obțin din $x^2+1=3-x^2$, adică $2x^2=2$, deci $x\in \{-1,1\}$ (1 p). Pe intervalul $[-1,1]$ avem $g(x)-f(x)=2-2x^2\ge 0$, deci graficul lui $g$ este cel de deasupra (1 p). Atunci (2 p) $$\mathcal{S}={\int }_{-1}^1(g(x)-f(x))dx={\int }_{-1}^1\left(2-2x^2\right)dx=\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right){|}_{-1}^1=\left(2-\frac{2}{3}\right)-\left(-2+\frac{2}{3}\right),$$ adică $\mathcal{S}=\frac{8}{3}$ (1 p).

b) (5 p) Parabola $y^2=6x$ are axa de simetrie orizontală, deci ramurile ei nu formează graficul unei singure funcții de $x$; regiunea se descrie însă comod prin $x$ ca funcție de $y$, așa că se integrează după $y$ (1 p). Din ecuațiile date, $x=\frac{y^2}{6}$ pe parabolă și $x=\frac{y+4}{3}$ pe dreaptă; egalându-le, $y^2=2y+8$, adică $y^2-2y-8=0$, cu $y\in \{-2,4\}$, corespunzând punctelor $\left(\frac{2}{3},-2\right)$ și $\left(\frac{8}{3},4\right)$ (1 p). Pe $[-2,4]$ dreapta este la dreapta parabolei, deci (2 p) $$\mathcal{S}={\int }_{-2}^4\left(\frac{y+4}{3}-\frac{y^2}{6}\right)dy=\left(\frac{y^2}{6}+\frac{4y}{3}-\frac{y^3}{18}\right){|}_{-2}^4=\frac{40}{9}-\left(-\frac{14}{9}\right),$$ adică $\mathcal{S}=6$ (1 p).

(Control cu formula parabolei tăiate de o coardă: comparând $y^2=6x$ cu forma canonică $y^2=2px$ obținem $p=3$, iar $\mathcal{S}=\frac{(y_2-y_1{)}^3}{12\cdot p}=\frac{6^3}{12\cdot 3}=6$.)

c) (5 p) Funcția $h$ este continuă și pozitivă pe $[0,1]$, deci volumul corpului de rotație este $\mathcal{V}(C_h)=\pi {\int }_0^1{h}^2(x)dx$ (1 p). Se dezvoltă pătratul: ${\left(x^3+1\right)}^2=x^6+2x^3+1$ (1 p), apoi (2 p) $$\mathcal{V}(C_h)=\pi {\int }_0^1\left(x^6+2x^3+1\right)dx=\pi \left(\frac{x^7}{7}+\frac{x^4}{2}+x\right){|}_0^1=\pi \left(\frac{1}{7}+\frac{1}{2}+1\right),$$ adică $\mathcal{V}(C_h)=\frac{23\pi }{14}$ (1 p).