Simulare Bacalaureat M1 — varianta 4

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta este a patra și ultima simulare completă de Bacalaureat M1 a clasei a XII-a. Ea respectă formatul oficial al probei: trei subiecte, șase cerințe independente la Subiectul I și câte două probleme cu trei subpuncte la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea. Nu este un test de capitol reformatat, ci o probă de examen: enunțurile sunt scrise în limbajul subiectelor reale, iar baremul acordă puncte pe pași, exact ca baremele oficiale.

Cum se aplică:

• Timp de lucru: 3 ore. Este durata reală a probei scrise. Cronometrul pornește o singură dată, iar lucrarea nu se întrerupe: ritmul de lucru face parte din ceea ce se antrenează. Orientativ: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, plus un sfert de oră de recitire.
• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Fiecare subiect valorează $30$ de puncte; la Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează $5$ puncte.
• Materiale: foaie de examen, riglă, creion. Fără calculator și fără formulare — la BAC nu sunt permise. Rezultatele au fost alese astfel încât toate calculele intermediare să se facă mintal sau pe hârtie.
• Redactare: la Subiectele al II-lea și al III-lea se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. Se depunctează: aplicarea formulelor lui Cramer fără verificarea condiției $\Delta \ne 0$; afirmarea derivabilității fără verificarea prealabilă a continuității; folosirea „înmulțirii cu inversul" într-un ${\mathbb{Z}}_n$ în care coeficientul nu este inversabil; schimbarea de variabilă la integrala definită fără schimbarea limitelor; și răspunsul dat fără concluzie scrisă.

Harta materiei — clasele a IX-a – a XII-a:

Interpretarea rezultatului (pragurile sunt cele ale examenului: nota se obține împărțind punctajul la $10$):

⚠️ Trei dezambiguizări de notație, valabile pe toată lucrarea. Fiind o probă care traversează patru ani de matematică, aici se întâlnesc simboluri care în lecții stăteau separat.

• $\Delta$ apare o singură dată, la itemul $3$, unde înseamnă discriminantul unei ecuații de gradul al doilea. Determinantul care decide compatibilitatea sistemului de la itemul $7$ este scris peste tot $\det A$ (sau desfășurat, între bare verticale), niciodată $\Delta$ — tocmai ca cele două noțiuni să nu se amestece într-o lucrare care le conține pe amândouă.
• $e$ apare o singură dată ca literă, la itemul $10$, unde este numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Elementul neutru al legii de compoziție de la itemul $8$ nu se notează cu $e$, ci se scrie explicit ca fiind clasa $\hat{7}$.
• Semnul prim înseamnă peste tot derivată ($f^{\prime }$, $f_s^{\prime }$, $f_d^{\prime }$). Simetricul unui element față de o lege de compoziție nu apare în această lucrare cu notația $x^{\prime }$; inversul unei clase de resturi se scrie multiplicativ, ${\hat{a}}^{-1}$.

Formule de reținut, pe subiecte:

• Modul: $|u|\le a⟺-a\le u\le a$ (pentru $a\ge 0$); $|u|\ge a⟺u\le -a$ sau $u\ge a$.
• Progresie aritmetică: $a_n=a_1+(n-1)r$; $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}$; $a_p-a_q=(p-q)r$.
• Gradul al doilea: $a{x}^2+bx+c>0$ pentru orice $x$ real $⟺a>0$ și $\Delta <0$; $\Delta =b^2-4ac$.
• Combinatorică: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, $A_n^2=n(n-1)$; $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Geometrie analitică: mijlocul $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; trei puncte sunt coliniare $⟺$ determinantul format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$ este nul.
• Trigonometrie: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$.
• Matrice și sisteme: ecuația $AX=B$ are soluție unică $⟺\det A\ne 0$, și atunci $X=A^{-1}B$; Kronecker-Capelli: sistemul este compatibil $⟺\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$, iar compatibil nedeterminat când această valoare comună este mai mică decât numărul necunoscutelor.
• Clase de resturi: $\hat{a}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_n$ $⟺(a,n)=1$; ecuația $\hat{a}\hat{x}=\hat{b}$ are soluții $⟺d\mid b$, unde $d=(a,n)$, și atunci are exact $d$ soluții; Consecința 2 a teoremei lui Lagrange: într-un grup finit $G$, $x^{\mathrm{card}G}=e$ pentru orice element $x$.
• Legi de tip $(x-a)(y-a)+a$: elementul neutru este $a+1$, iar puterile se calculează cu $x^{\ast k}=(x-a{)}^k+a$.
• Derivabilitate pe ramuri: funcția este derivabilă în punctul de racord $⟺$ este continuă acolo și $f_s^{\prime }(x_0)=f_d^{\prime }(x_0)\in \mathbb{R}$; tangenta: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Asimptote: orizontală spre $+\infty$ dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\in \mathbb{R}$; oblică $y=mx+n$ numai dacă $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)\in \mathbb{R}$.
• Integrale: părți ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$; schimbare de variabilă ${\int }_a^{b}f(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt$ (cu schimbarea limitelor, fără revenire la $x$); monotonia $f\le g\Rightarrow {\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$; teorema de medie: $f$ continuă pe $[a,b]$ $\Rightarrow$ există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Cele șase cerințe sunt independente și valorează câte $5$ puncte fiecare. Se cere rezultatul, obținut prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determină numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid |2x-5|\le 3\}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ în care $a_2=7$ și $a_5=16$. Determină numărul natural $n$ pentru care $a_n=100$.

Itemul 3 (5 puncte)

Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care $x^2-2mx+m+6>0$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determină numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $A_n^2-C_n^2=15$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(6,5)$ și $N(4,k)$, unde $k$ este un număr real, iar $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$. Determină $k$ astfel încât punctele $O$, $M$ și $N$ să fie coliniare.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculează $E=\sin \frac{5\pi }{6}+\cos \frac{2\pi }{3}+\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează $5$ puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări scrise.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& m\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ și $B(m)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ m+3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, unde $m$ este un număr real, precum și ecuația matriceală $A(m)\cdot X=B(m)$, cu $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

a) Calculează $\det (A(m))$ și determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația matriceală are soluție unică. (5 p)

b) Rezolvă ecuația matriceală pentru $m=2$. (5 p)

c) Pentru $m=4$, determină $\mathrm{rang}A(4)$ și rangul matricei extinse $\overline{A}$, arată că sistemul de ecuații liniare asociat este compatibil nedeterminat și scrie mulțimea soluțiilor lui. (5 p)

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea ${\mathbb{Z}}_{13}$ a claselor de resturi modulo $13$ se consideră legea de compoziție $\hat{x}\ast \hat{y}=\hat{x}\hat{y}-\hat{6}\hat{x}-\hat{6}\hat{y}+\hat{m}$, unde $\hat{m}$ este o clasă fixată din ${\mathbb{Z}}_{13}$.

a) Determină clasa $\hat{m}$ pentru care $\hat{x}\ast \hat{y}=(\hat{x}-\hat{6})(\hat{y}-\hat{6})+\hat{6}$, oricare ar fi $\hat{x},\hat{y}\in {\mathbb{Z}}_{13}$, și calculează $\hat{2}\ast \hat{5}$ pentru această valoare a lui $\hat{m}$. (5 p)

b) Pentru $\hat{m}=\hat{3}$, arată că $\hat{7}$ este elementul neutru al legii $\ast$ și rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{13}$ ecuația $\hat{8}\ast \hat{x}=\hat{3}$. (5 p)

c) Pentru $\hat{m}=\hat{3}$ se știe că mulțimea $H={\mathbb{Z}}_{13}\setminus \{\hat{6}\}$, împreună cu legea $\ast$, este grup cu $12$ elemente. Calculează ${\hat{8}}^{\ast 2026}$, unde ${\hat{x}}^{\ast k}$ notează compusul a $k$ factori egali cu $\hat{x}$. (5 p)

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează $5$ puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări scrise.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-3x+1,& x\le 1,\\ a\sqrt{x}+b,& x>1,\end{array}$$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcția $f$ este derivabilă în punctul $x_0=1$. (5 p)

b) Pentru $a=2$ și $b=-2$, determină intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției $f$. (5 p)

c) Pentru $a=2$ și $b=-2$, scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=4$ și arată că graficul funcției $f$ nu admite asimptotă spre $+\infty$. (5 p)

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (2x+1)$, și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{e^{2x}}{e^x+1}$.

a) Arată că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{3}{2}\ln 3-1$. (5 p)

b) Calculează ${\int }_0^{\ln 2}g(x)dx$, folosind schimbarea de variabilă $t=e^x$. (5 p)

c) Arată că $0\le {\int }_0^{1}f(x)dx\le \ln 3$ și că există un unic număr $c\in [0,1]$ pentru care $f(c)=\frac{3}{2}\ln 3-1$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La Subiectele al II-lea și al III-lea, orice subpunct rezolvat prin altă metodă corectă, complet justificată, primește punctajul integral.

Itemul 1. (5 p)

Inecuația cu modul se desface în dubla inegalitate (2 p): $$|2x-5|\le 3⟺-3\le 2x-5\le 3.$$ Adunând $5$ și împărțind la $2$ obținem $1\le x\le 4$, deci $x\in [1,4]$ (2 p). Numerele întregi din acest interval sunt $1$, $2$, $3$ și $4$, prin urmare $A$ are $4$ elemente (1 p).

(Control: pentru $x=0$ avem $|-5|=5>3$, iar pentru $x=5$ avem $|5|=5>3$ — capetele sunt exact cele găsite.)

Itemul 2. (5 p)

Din $a_5-a_2=(5-2)r$ rezultă $3r=16-7=9$, deci rația este $r=3$ (2 p). Atunci $a_1=a_2-r=7-3=4$ (1 p). Din formula termenului general (2 p): $$a_n=a_1+(n-1)r⟹4+3(n-1)=100⟹3(n-1)=96⟹n=33.$$

(Verificare: $a_{33}=4+32\cdot 3=100$.)

Itemul 3. (5 p)

Funcția de gradul al doilea are coeficientul dominant $1>0$, deci ia numai valori strict pozitive exact atunci când discriminantul este strict negativ (1 p). Calculăm discriminantul (2 p): $$\Delta =(-2m{)}^2-4(m+6)=4m^2-4m-24.$$ Condiția $\Delta <0$ devine $m^2-m-6<0$, adică $(m+2)(m-3)<0$, cu soluția $m\in (-2,3)$ (2 p).

(Control: pentru $m=3$ se obține $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$, care se anulează în $x=3$ — capătul este exclus, așa cum trebuie.)

Itemul 4. (5 p)

Din formulele aranjamentelor și ale combinărilor (2 p): $$A_n^2=\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1),C_n^2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.$$ Ecuația devine $n(n-1)-\frac{n(n-1)}{2}=15$, adică $\frac{n(n-1)}{2}=15$, deci $n^2-n-30=0$ (1 p). Rădăcinile sunt $n_1=6$ și $n_2=-5$; cum $n$ este număr natural, $n\ge 2$, rămâne $n=6$ (2 p).

(Verificare: $A_6^2=30$, $C_6^2=15$, iar $30-15=15$.)

Itemul 5. (5 p)

Mijlocul segmentului $[AB]$ este (2 p): $$M\left(\frac{-2+6}{2},\frac{1+5}{2}\right)=M(2,3).$$ Punctele $O(0,0)$, $M(2,3)$ și $N(4,k)$ sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul format cu coordonatele lor este nul (2 p): $$\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 2& 3& 1\\ 4& k& 1\end{array}\right|=2k-12=0.$$ Rezultă $k=6$ (1 p).

(Control: dreapta $OM$ are panta $\frac{3}{2}$, iar pentru $x=4$ dă $y=6$.)

Itemul 6. (5 p)

Reducem fiecare valoare la primul cadran, cu formulele pentru $\pi -x$: $$\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\text{(1 p)},$$ $$\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\text{(1 p)},$$ $$\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}=\mathrm{tg}\left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=-1\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $E=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1=-1$ (1 p).

Itemul 7. (15 p)

a) (5 p) Dezvoltăm determinantul după prima linie (3 p): $$\det (A(m))=1\cdot (2m-9)-1\cdot (m-6)+1\cdot (3-4)=2m-9-m+6-1=\mathbf{m}-4.$$ Ecuația matriceală $A(m)\cdot X=B(m)$ are soluție unică, $X=A(m{)}^{-1}B(m)$, exact când matricea $A(m)$ este inversabilă, adică $\det (A(m))\ne 0$; prin urmare $m\in \mathbb{R}\setminus \{4\}$ (2 p).

b) (5 p) Pentru $m=2$ avem $\det (A(2))=-2\ne 0$, deci sistemul asociat este de tip Cramer (1 p): $$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+2y+3z=5\\ 2x+3y+2z=5\end{array}$$ Scăzând prima ecuație din a doua obținem $y+2z=3$, iar scăzând dublul primei ecuații din a treia obținem $y=1$ (2 p). Atunci $2z=2$, deci $z=1$, iar din prima ecuație $x=2-1-1=0$ (1 p): $$X=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$ Verificarea în toate cele trei ecuații (1 p): $0+1+1=2$ ✓; $0+2+3=5$ ✓; $0+3+2=5$ ✓.

c) (5 p) Pentru $m=4$ avem $\det (A(4))=0$, deci $\mathrm{rang}A(4)<3$; minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ arată că $\mathrm{rang}A(4)=2$ (2 p). Matricea extinsă este $\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 1& 2& 3& 5\\ 2& 3& 4& 7\end{array}\right)$, iar a treia linie este suma primelor două, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2$ (1 p). Cum $\mathrm{rang}A(4)=\mathrm{rang}\overline{A}=2$, sistemul este compatibil (teorema Kronecker-Capelli), iar valoarea comună a rangurilor este mai mică decât numărul necunoscutelor, deci sistemul este compatibil nedeterminat, cu o necunoscută secundară (1 p). Luând $z=\alpha$ ca necunoscută secundară, din primele două ecuații rezultă $y=3-2\alpha$ și $x=\alpha -1$ (1 p): $$S=\{(\alpha -1,3-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ (Control: a treia ecuație devine $2(\alpha -1)+3(3-2\alpha )+4\alpha =7$ pentru orice $\alpha$ real.)

Itemul 8. (15 p)

a) (5 p) Dezvoltăm membrul drept al identității cerute (2 p): $$(\hat{x}-\hat{6})(\hat{y}-\hat{6})+\hat{6}=\hat{x}\hat{y}-\hat{6}\hat{x}-\hat{6}\hat{y}+\widehat{36}+\hat{6}=\hat{x}\hat{y}-\hat{6}\hat{x}-\hat{6}\hat{y}+\widehat{42}.$$ Comparând cu definiția legii, egalitatea are loc pentru orice $\hat{x},\hat{y}\in {\mathbb{Z}}_{13}$ exact când $\hat{m}=\widehat{42}=\hat{3}$, fiindcă $42=3\cdot 13+3$ (2 p). Pentru această valoare, folosind forma factorizată și reducând fiecare paranteză, $\hat{2}-\hat{6}=\widehat{-4}=\hat{9}$ și $\hat{5}-\hat{6}=\widehat{-1}=\widehat{12}$ (1 p): $$\hat{2}\ast \hat{5}=(\hat{2}-\hat{6})(\hat{5}-\hat{6})+\hat{6}=\hat{9}\cdot \widehat{12}+\hat{6}=\widehat{108}+\hat{6}=\hat{4}+\hat{6}=\widehat{10},$$ pentru că $108=8\cdot 13+4$.

b) (5 p) Folosind forma factorizată, pentru orice $\hat{x}\in {\mathbb{Z}}_{13}$ (2 p): $$\hat{x}\ast \hat{7}=(\hat{x}-\hat{6})(\hat{7}-\hat{6})+\hat{6}=(\hat{x}-\hat{6})\cdot \hat{1}+\hat{6}=\hat{x},$$ iar legea este comutativă, deci și $\hat{7}\ast \hat{x}=\hat{x}$; prin urmare $\hat{7}$ este elementul neutru. Ecuația devine (1 p): $$\hat{8}\ast \hat{x}=\hat{3}⟺\hat{2}(\hat{x}-\hat{6})+\hat{6}=\hat{3}⟺\hat{2}(\hat{x}-\hat{6})=\hat{3}-\hat{6}=\widehat{-3}=\widehat{10}.$$ Cum $(2,13)=1$, clasa $\hat{2}$ este inversabilă, cu ${\hat{2}}^{-1}=\hat{7}$, pentru că $2\cdot 7=14=13+1$ (1 p). Înmulțind cu $\hat{7}$ obținem $\hat{x}-\hat{6}=\hat{7}\cdot \widehat{10}=\widehat{70}=\hat{5}$, deoarece $70=5\cdot 13+5$, deci $\hat{x}=\widehat{11}$ (1 p). (Verificare: $\hat{8}\ast \widehat{11}=\hat{2}\cdot \hat{5}+\hat{6}=\widehat{10}+\hat{6}=\widehat{16}=\hat{3}$ ✓.)

c) (5 p) Grupul $(H,\ast )$ are $\mathrm{card}H=12$ elemente, iar $\hat{8}\in H$. Din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, ${\hat{x}}^{\ast \mathrm{card}H}$ este elementul neutru pentru orice $\hat{x}\in H$, deci ${\hat{8}}^{\ast 12}=\hat{7}$ (2 p). Cum $2026=12\cdot 168+10$, rezultă ${\hat{8}}^{\ast 2026}={\hat{8}}^{\ast 10}$ (1 p). Prin inducție după $k$, forma factorizată dă ${\hat{x}}^{\ast k}=(\hat{x}-\hat{6}{)}^k+\hat{6}$, deci ${\hat{8}}^{\ast k}={\hat{2}}^k+\hat{6}$ (1 p). Calculăm puterea reducând la fiecare pas: ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{2}}^4=\widehat{16}=\hat{3}$, ${\hat{2}}^8=({\hat{2}}^4{)}^2=\hat{9}$, deci ${\hat{2}}^{10}={\hat{2}}^8\cdot {\hat{2}}^2=\hat{9}\cdot \hat{4}=\widehat{36}=\widehat{10}$. Prin urmare (1 p): $${\hat{8}}^{\ast 2026}=\widehat{10}+\hat{6}=\widehat{16}=\hat{3}.$$

Itemul 9. (15 p)

a) (5 p) O funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct, deci punem întâi condiția de continuitate în $x_0=1$, unde $f(1)=2-3+1=0$ (2 p): $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(2x^2-3x+1)=0,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(a\sqrt{x}+b)=a+b⟹a+b=0.$$ Derivata la stânga (1 p): $$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{2x^2-3x+1-0}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{(2x-1)(x-1)}{x-1}=1.$$ Derivata la dreapta, folosind $b=-a$ și amplificarea cu conjugata (1 p): $$f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{a(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{a}{2}.$$ Condiția $f_s^{\prime }(1)=f_d^{\prime }(1)$ dă $\frac{a}{2}=1$, deci $a=2$ și $b=-2$ (1 p).

b) (5 p) Pentru $a=2$ și $b=-2$, derivata este $f^{\prime }(x)=4x-3$ pe $(-\infty ,1)$ și $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ pe $(1,+\infty )$, iar $f^{\prime }(1)=1$ din punctul a) (2 p). Pe prima ramură $4x-3<0⟺x<\frac{3}{4}$, iar pe a doua ramură $f^{\prime }>0$ (1 p). Tabelul de variație (1 p):

Așadar $f$ este strict descrescătoare pe $\left(-\infty ,\frac{3}{4}\right]$ și strict crescătoare pe $\left[\frac{3}{4},+\infty \right)$, iar $x=\frac{3}{4}$ este punct de minim local (și global), cu $f\left(\frac{3}{4}\right)=2\cdot \frac{9}{16}-\frac{9}{4}+1=-\frac{1}{8}$ (1 p).

c) (5 p) Punctul de abscisă $x_0=4$ este pe a doua ramură, deci $f(4)=2\sqrt{4}-2=2$ și $f^{\prime }(4)=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$ (2 p). Ecuația tangentei (1 p): $$y-f(4)=f^{\prime }(4)(x-4)⟹y-2=\frac{1}{2}(x-4)⟹\mathbf{y}=\frac{\mathbf{x}}{2}.$$ Spre $+\infty$ avem $\underset{x\to +\infty }{\lim }(2\sqrt{x}-2)=+\infty$, limita nu este finită, deci graficul nu are asimptotă orizontală spre $+\infty$ (1 p). Panta unei eventuale asimptote oblice ar fi (1 p): $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\sqrt{x}-2}{x}=0,$$ însă o asimptotă oblică cere $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$; panta fiind nulă, nu există nici asimptotă oblică. Graficul funcției $f$ nu admite deci asimptotă spre $+\infty$.

Itemul 10. (15 p)

a) (5 p) Aplicăm cei trei pași ai integrării prin părți. După regula descreșterii, factorul care se derivează este cel care se simplifică prin derivare — aici logaritmul, adică însăși funcția $f$, cu $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+1}$ —, iar factorul care se integrează este constanta $1$, cu primitiva $x$; de aceea scriem integrandul sub forma $f(x)\cdot (x{)}^{\prime }$ (1 p): $${\int }_0^1\ln (2x+1)dx=x\ln (2x+1){|}_0^1-{\int }_0^1\frac{2}{2x+1}\cdot xdx=\ln 3-{\int }_0^1\frac{2x}{2x+1}dx\text{(2 p)}.$$ Împărțind, $\frac{2x}{2x+1}=1-\frac{1}{2x+1}$, deci (1 p): $${\int }_0^1\frac{2x}{2x+1}dx=\left(x-\frac{1}{2}\ln (2x+1)\right){|}_0^1=1-\frac{1}{2}\ln 3.$$ Prin urmare integrala cerută este $\ln 3-\left(1-\frac{1}{2}\ln 3\right)=\frac{3}{2}\ln 3-1$ (1 p).

b) (5 p) Folosim cei trei pași ai schimbării de variabilă la integrala definită. Pasul 1 — substituția: notăm $t=e^x$, deci $dt=e^{x}dx$ și $dx=\frac{dt}{t}$; integrandul se rescrie complet în $t$ (2 p): $$\frac{e^{2x}}{e^x+1}dx=\frac{t^2}{t+1}\cdot \frac{dt}{t}=\frac{t}{t+1}dt.$$ Pasul 2 — noile limite: când $x=0$, $t=1$; când $x=\ln 2$, $t=2$ (1 p). Pasul 3 — calculul în $t$, fără revenire la $x$ (2 p): $${\int }_1^2\frac{t}{t+1}dt={\int }_1^2\left(1-\frac{1}{t+1}\right)dt=(t-\ln (t+1)){|}_1^2=(2-\ln 3)-(1-\ln 2)=1-\ln \frac{3}{2}.$$

c) (5 p) Parcurgem cele trei etape ale încadrării integralei. Etapa 1 — mărginirea integrandului: funcția $f$ este derivabilă, cu $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+1}>0$ pe $[0,1]$, deci $f$ este strict crescătoare acolo; atunci $f(0)=0\le f(x)\le \ln 3=f(1)$ pentru orice $x\in [0,1]$ (2 p). Etapa 2 — monotonia integralei, aplicată acestei duble inegalități pe intervalul $[0,1]$ de lungime $1$, și Etapa 3 — calculul capetelor (1 p): $$0={\int }_0^{1}0dx\le {\int }_0^{1}f(x)dx\le {\int }_0^1\ln 3dx=\ln 3.$$ Funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci, prin teorema de medie, există $c\in [0,1]$ cu ${\int }_0^{1}f(x)dx=f(c)(1-0)=f(c)$; folosind punctul a), $f(c)=\frac{3}{2}\ln 3-1$ (1 p). Cum $f$ este strict crescătoare pe $[0,1]$, ea este injectivă acolo, deci un asemenea $c$ este unic (1 p).

(Control numeric: $\frac{3}{2}\ln 3-1\approx 0,648$, valoare cuprinsă între $0$ și $\ln 3\approx 1,099$, iar $c\approx 0,456$.)