Test: abaterea standard și compararea seturilor de date

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Statistică matematică

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică indicatorul de împrăștiere care folosește toate datele, nu doar câteva poziții: abaterea standard. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: de ce se ridică la pătrat — suma abaterilor față de medie este întotdeauna $0$, deci abaterile nu se pot aduna direct. Al doilea, decisiv pentru corectitudinea răspunsului: cele două formule și cele două simboluri, $\sigma$ pentru populație (împărțire la $n$) și $s$ pentru eșantion (împărțire la $n-1$); ele nu se amestecă niciodată, iar în fiecare enunț al testului se precizează explicit dacă datele sunt privite ca populație sau ca eșantion. Al treilea: proprietățile — $\sigma \ge 0$, $\sigma =0$ exact când toate valorile sunt egale, translația nu schimbă $\sigma$, iar înmulțirea tuturor datelor cu $k>0$ o înmulțește cu $k$. Al patrulea: protocolul de comparare a două seturi — centru, împrăștiere, formă, context — cu regula că seturile de volume diferite nu se compară niciodată prin sume, ci prin medii, mediane și frecvențe relative.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii de calcul se cere tabelul abaterilor, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească un calculator de buzunar. Convenția de scriere, aceeași peste tot în test: rezultatele se dau în formă exactă (întreg sau radical simplificat), iar aproximarea zecimală se adaugă, cu semnul $\approx$, rotunjită la două zecimale. Fiecare enunț care cere abaterea standard precizează explicit dacă datele se consideră întreaga populație (se folosește $\sigma$) sau un eșantion (se folosește $s$).
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe deosebirea dintre $\sigma$ și $s$ și pe interpretarea rezultatului.
• Formule de reținut: cele două abateri standard, care nu se amestecă niciodată: $$\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}\text{(POPULAȚIE)},s=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}\text{(EȘANTION)}.$$ $\sigma$ se folosește când setul este toată populația studiată (toți elevii clasei, toate zilele lunii); $s$ se folosește când setul este un eșantion extras dintr-o populație mai mare. Pe aceleași date, $s>\sigma$, pentru că numitorul este mai mic. Proprietăți: $\sum (x_i-\bar{x})=0$; $\sigma \ge 0$, cu $\sigma =0$ dacă și numai dacă toate valorile sunt egale; $\sigma$ se exprimă în unitatea de măsură a datelor; dacă $y_i=x_i+c$, atunci ${\sigma }_y={\sigma }_x$; dacă $y_i=k{x}_i$ cu $k>0$, atunci ${\sigma }_y=k{\sigma }_x$. Comparare: $\sigma$ mai mic înseamnă grup mai omogen, deci rezultate mai previzibile; nu înseamnă automat „mai bun" — asta o decide contextul. În foaia de calcul, STDEV.P este $\sigma$, iar STDEV.S este $s$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Abaterile, formula și proprietățile

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Abaterea standard a setului $5,5,5,5$, considerat întreaga populație, este: A. $0$; B. $1$; C. $2,5$; D. $5$.

b) Un set de $5$ valori are $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=20$. Considerând datele drept întreaga populație, abaterea standard este: A. $2$; B. $4$; C. $\sqrt{5}$; D. $20$.

c) Într-o foaie de calcul, funcția care împarte suma pătratelor abaterilor la $n-1$ este: A. AVERAGE; B. MEDIAN; C. STDEV.P; D. STDEV.S.

Itemul 2 (6 puncte)

Se dă setul de date $2,4,5,6,8$, considerat întreaga populație studiată. a) Calculează media. (1 p) b) Alcătuiește tabelul abaterilor $x_i-\bar{x}$ și al pătratelor lor, apoi verifică faptul că suma abaterilor este $0$. (3 p) c) Calculează abaterea standard $\sigma$. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Abaterea standard a unui set de date poate fi un număr negativ." b) „Dacă toate valorile unui set sunt egale, atunci abaterea standard este $0$." c) „Pe aceleași date, abaterea standard a eșantionului este mai mare decât cea a populației." d) „Două seturi de date cu aceeași medie au obligatoriu aceeași abatere standard."

Itemul 4 (6 puncte)

Pornind de la setul $2,4,5,6,8$ de la itemul 2, pentru care $\sigma =2$, și considerând peste tot datele drept întreaga populație: a) Calculează abaterea standard a setului $5,7,8,9,11$ și explică rezultatul. (3 p) b) Calculează abaterea standard a setului $4,8,10,12,16$ și explică rezultatul. (3 p)

Partea a II-a – Populație sau eșantion, comparații și valori extreme

Itemul 5 (8 puncte)

Aceleași cinci valori, $2,4,5,6,8$, provin de această dată dintr-un eșantion extras dintr-o populație mult mai mare. a) Calculează abaterea standard a eșantionului, $s$, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (4 p) b) Compară rezultatul cu $\sigma =2$ și explică de ce, pe aceleași date, $s>\sigma$. (2 p) c) Dă câte un exemplu concret de situație în care se folosește $\sigma$ și de situație în care se folosește $s$. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Doi elevi au obținut, la $8$ lucrări, notele: $$\text{Ana: }5,6,7,7,7,8,8,8;\text{Bogdan: }4,4,6,7,8,9,9,9.$$ Se consideră fiecare set drept întreaga populație a notelor elevului respectiv. a) Calculează media fiecărui elev. (1 p) b) Calculează abaterea standard $\sigma$ pentru fiecare elev. (4 p) c) Scrie o concluzie în cuvinte despre cei doi elevi. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Grupa X are $5$ elevi, cu punctajele $4,6,7,8,10$, iar grupa Y are $10$ elevi, cu punctajele $5,6,6,7,7,7,8,8,8,8$. Se consideră fiecare grupă drept întreaga populație studiată. a) Un elev afirmă: „grupa Y este mai bună, pentru că suma punctajelor ei este $70$, față de $35$." Explică de ce raționamentul este greșit. (2 p) b) Compară cele două grupe după centru și după împrăștiere, calculând media și $\sigma$ pentru fiecare. (4 p) c) Scrie concluzia comparării, precizând ce înseamnă concret diferența dintre cele două valori ale lui $\sigma$. (1 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se dau seturile $P:3,5,5,6,8,9$ și $Q:3,3,3,9,9,9$, considerate întreaga populație. a) Arată că cele două seturi au aceeași medie și aceeași amplitudine. (2 p) b) Calculează $\sigma$ pentru fiecare set. (3 p) c) Explică ce câștigăm folosind $\sigma$ în locul amplitudinii. (1 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Numărul de clienți intrați într-un magazin în cinci ore consecutive a fost $10,12,13,14,16$. Se consideră datele drept întreaga populație. a) Calculează media, mediana și abaterea standard $\sigma$. (3 p) b) Din cauza unei promoții, ultima valoare devine $26$. Recalculează media, mediana și $\sigma$, apoi precizează ce indicator a fost afectat cel mai mult. (3 p)

Partea a III-a – Necunoscute, demonstrații și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

a) Setul $3,3,a,a$ are media $6$. Determină $a$ și calculează $\sigma$, considerând datele drept întreaga populație. (3 p) b) Un set de $5$ numere are media $7$ și $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=20$. Calculează $\sigma$ și $s$ pentru acest set. (3 p) c) Despre un set de date se știe doar că $\sigma =0$. Ce poți spune, cu certitudine, despre valorile lui? (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră setul de date $4,6,7,8,10$, privit drept întreaga populație studiată. a) Calculați media aritmetică a datelor. (2 p) b) Alcătuiți tabelul abaterilor față de medie și al pătratelor lor și calculați $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$. (3 p) c) Calculați abaterea standard și precizați ce înseamnă rezultatul obținut, în cuvinte și cu unitatea de măsură a datelor. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Demonstrează că ${\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0$ pentru orice set de date și explică de ce această egalitate face necesară ridicarea la pătrat. (3 p) b) Demonstrează că $\sigma =0$ dacă și numai dacă toate valorile setului sunt egale. (3 p) c) Un elev obține, la un exercițiu, $\sigma =-1,5$. Fără să refaci calculul, explică de ce rezultatul este sigur greșit. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Două magazine au înregistrat, în cinci zile, numărul de comenzi online: $$\text{Magazinul A: }12,14,15,16,18;\text{Magazinul B: }9,13,15,17,21.$$ Se consideră fiecare set drept întreaga populație a zilelor studiate. a) Calculați media fiecărui magazin. (2 p) b) Calculați abaterea standard $\sigma$ pentru fiecare magazin. (4 p) c) Un furnizor vrea să livreze zilnic aceeași cantitate de marfă, fără stocuri și fără lipsuri. Precizați cu care magazin îi este mai ușor să lucreze și justificați. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A (2 p). Toate valorile fiind egale, media este tot $5$, deci fiecare abatere este $0$; suma pătratelor este $0$ și $\sigma =0$. O abatere standard nulă înseamnă „împrăștiere zero". b) A (2 p). Pentru populație se împarte la $n=5$: $\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2$. Varianta C este $s$ (împărțire la $n-1=4$), iar varianta D este suma pătratelor, nu abaterea. c) D (2 p). STDEV.S este formula pentru eșantion (împarte la $n-1$), iar STDEV.P este cea pentru populație (împarte la $n$).

Itemul 2. (6 p)

a) (1 p) $\bar{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=\frac{25}{5}=5$.

b) (3 p) Tabelul abaterilor (2 p):

Suma abaterilor este $(-3)+(-1)+0+1+3=0$ ✓, așa cum se întâmplă la orice set de date (1 p).

c) (2 p) Datele fiind întreaga populație, se împarte la $n=5$ (1 p): $$\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2$$ (1 p).

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F (1,5 p). Sub radical stă o sumă de pătrate împărțită la un număr pozitiv, deci o cantitate nenegativă; prin definiție se ia rădăcina pătrată aritmetică, care este $\ge 0$. Deci $\sigma \ge 0$ întotdeauna. b) A (1,5 p). Dacă $x_1=x_2=\cdots =x_n=c$, atunci $\bar{x}=c$, toate abaterile sunt $0$, suma pătratelor este $0$ și $\sigma =0$. c) A (1,5 p). Cele două formule au același numărător, dar numitori diferiți: $n-1<n$, deci $\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}>\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}$ (când suma nu este nulă), de unde $s>\sigma$. d) F (1,5 p). Seturile $3,5,5,6,8,9$ și $3,3,3,9,9,9$ au amândouă media $6$, dar abaterile standard $2$, respectiv $3$. Media dă centrul, nu împrăștierea.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Setul $5,7,8,9,11$ se obține adunând $3$ la fiecare valoare a setului inițial (1 p). Media devine $8$, iar abaterile rămân aceleași: $-3,-1,0,1,3$, deci $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=20$ și $$\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=2$$ (1 p). Explicația: o translație mută tot setul, dar nu îl întinde și nu îl strânge; distanțele dintre valori — deci și împrăștierea — rămân neschimbate (1 p).

b) (3 p) Setul $4,8,10,12,16$ se obține înmulțind cu $2$ fiecare valoare a setului inițial (1 p). Media devine $10$, abaterile se dublează ($-6,-2,0,2,6$), iar pătratele lor se înmulțesc cu $4$: $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=80$, deci $$\sigma =\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$$ (1 p). Explicația: înmulțind toate datele cu $k=2$, toate distanțele se dublează, deci și abaterea standard se dublează — regula generală este ${\sigma }_y=k{\sigma }_x$ pentru $k>0$ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (4 p) Suma pătratelor abaterilor este aceeași ca la itemul 2, adică $20$; se schimbă doar numitorul (1 p). Fiind vorba despre un eșantion, se împarte la $n-1=4$ (1 p): $$s=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}\approx 2,24$$ (2 p).

b) (2 p) Avem $s=\sqrt{5}\approx 2,24>2=\sigma$ (1 p). Numărătorul este identic, dar numitorul $n-1=4$ este mai mic decât $n=5$, deci fracția — și odată cu ea radicalul — este mai mare. Intuitiv: pe un eșantion, valorile sunt strânse în jurul propriei lor medii, care este mai „potrivită" pentru ele decât media populației; împărțirea la $n-1$ corectează această subestimare (1 p).

c) (2 p) Se folosește $\sigma$ atunci când setul este toată populația studiată — de exemplu notele tuturor celor $28$ de elevi ai clasei la o teză, sau temperaturile din toate zilele lunii martie (1 p). Se folosește $s$ atunci când setul este un eșantion dintr-o populație mai mare — de exemplu $50$ de becuri testate dintr-un lot de $10000$, sau $200$ de persoane chestionate dintr-un oraș (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (1 p) Ana: $\frac{5+6+7+7+7+8+8+8}{8}=\frac{56}{8}=7$. Bogdan: $\frac{4+4+6+7+8+9+9+9}{8}=\frac{56}{8}=7$. Mediile sunt egale.

b) (4 p) Ana — abaterile sunt $-2,-1,0,0,0,1,1,1$, iar pătratele lor $4,1,0,0,0,1,1,1$, cu suma $8$ (1,5 p), deci $${\sigma }_{\text{Ana}}=\sqrt{\frac{8}{8}}=\sqrt{1}=1$$ (0,5 p). Bogdan — abaterile sunt $-3,-3,-1,0,1,2,2,2$, iar pătratele lor $9,9,1,0,1,4,4,4$, cu suma $32$ (1,5 p), deci $${\sigma }_{\text{Bogdan}}=\sqrt{\frac{32}{8}}=\sqrt{4}=2$$ (0,5 p).

c) (2 p) Cei doi elevi au exact aceeași medie, $7$, deci pe hârtie stau la fel (1 p). Diferența o face împrăștierea: ${\sigma }_{\text{Ana}}=1$, iar ${\sigma }_{\text{Bogdan}}=2$, adică dublu. Ana este constantă — notele ei se abat, în medie, cu o unitate de la $7$; Bogdan este neregulat: are și note mai mari decât cele mai mari ale Anei ($9$ față de $8$), dar și note mult mai slabe ($4$ față de $5$). La aceeași medie, $\sigma$ mai mic înseamnă rezultate mai previzibile (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Raționamentul compară sume pe grupe de volume diferite ($5$ elevi față de $10$) (1 p). Grupa Y are suma mai mare pur și simplu pentru că are de două ori mai mulți elevi; dacă grupa X ar avea și ea $10$ elevi cu aceleași rezultate, suma ei ar fi tot $70$. Seturile de volume diferite se compară prin medii, mediane, cuartile, $\sigma$ și frecvențe relative — niciodată prin sume sau numere brute (1 p).

b) (4 p) Centru. Grupa X: $\bar{x}=\frac{35}{5}=7$. Grupa Y: $\bar{y}=\frac{70}{10}=7$. Mediile sunt egale (1 p). Împrăștiere. Grupa X — abaterile sunt $-3,-1,0,1,3$, cu suma pătratelor $9+1+0+1+9=20$, deci $${\sigma }_X=\sqrt{\frac{20}{5}}=2$$ (1,5 p). Grupa Y — abaterile sunt $-2,-1,-1,0,0,0,1,1,1,1$, cu suma pătratelor $4+1+1+0+0+0+1+1+1+1=10$, deci $${\sigma }_Y=\sqrt{\frac{10}{10}}=1$$ (1,5 p).

c) (1 p) La același nivel mediu ($7$ puncte), grupa Y este de două ori mai omogenă: punctajele ei se abat, în medie, cu $1$ punct de la medie, față de $2$ puncte la grupa X. Concret, într-o grupă cu $\sigma$ mai mic elevii lucrează la un nivel apropiat unii de alții, deci profesorul poate preda unitar; în grupa X coexistă un elev cu $4$ și unul cu $10$.

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Mediile: $\frac{3+5+5+6+8+9}{6}=\frac{36}{6}=6$ și $\frac{3+3+3+9+9+9}{6}=\frac{36}{6}=6$ (1 p). Amplitudinile: $A_P=9-3=6$ și $A_Q=9-3=6$ (1 p).

b) (3 p) Setul $P$ — abaterile sunt $-3,-1,-1,0,2,3$, cu suma pătratelor $9+1+1+0+4+9=24$, deci $${\sigma }_P=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2$$ (1,5 p). Setul $Q$ — abaterile sunt $-3,-3,-3,3,3,3$, cu suma pătratelor $9\cdot 6=54$, deci $${\sigma }_Q=\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt{9}=3$$ (1,5 p).

c) (1 p) Amplitudinea folosește numai cele două valori extreme, deci nu deosebește cele două seturi. Abaterea standard folosește toate valorile: în $P$ multe valori stau aproape de $6$, pe când în $Q$ fiecare valoare este la distanța $3$ de medie, adică setul este împins complet spre capete. De aceea ${\sigma }_Q>{\sigma }_P$, deși $A_P=A_Q$.

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $\bar{x}=\frac{10+12+13+14+16}{5}=\frac{65}{5}=13$ clienți (1 p). Datele sunt ordonate și $n=5$ este impar, deci mediana este valoarea de pe poziția $3$, adică $Q_2=13$ (1 p). Abaterile sunt $-3,-1,0,1,3$, cu suma pătratelor $20$, deci $\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=2$ clienți (1 p).

b) (3 p) Noul set este $10,12,13,14,26$, cu $\bar{x}=\frac{75}{5}=15$ clienți, iar mediana rămâne $Q_2=13$ (1 p). Abaterile devin $-5,-3,-2,-1,11$, cu suma pătratelor $25+9+4+1+121=160$, deci $$\sigma =\sqrt{\frac{160}{5}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5,66\text{clienți}$$ (1 p). Cel mai afectat este $\sigma$: a crescut de aproape trei ori, pentru că o singură valoare depărtată intră în formulă ridicată la pătrat ($11^2=121$ înseamnă singură peste $75\%$ din toată suma). Media a crescut și ea, de la $13$ la $15$, pe când mediana nu s-a mișcat deloc — ea depinde de poziția valorilor, nu de mărimea lor (1 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (3 p) Din $\frac{3+3+a+a}{4}=6$ rezultă $6+2a=24$, deci $a=9$ (1 p). Setul este $3,3,9,9$, cu abaterile $-3,-3,3,3$ și suma pătratelor $9\cdot 4=36$ (1 p), deci $$\sigma =\sqrt{\frac{36}{4}}=\sqrt{9}=3$$ (1 p).

b) (3 p) Pentru populație se împarte la $n=5$: $\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2$ (1,5 p). Pentru eșantion se împarte la $n-1=4$: $s=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}\approx 2,24$ (1,5 p). (Media $7$ nu intervine în calcul: ea a fost deja folosită la obținerea sumei pătratelor.)

c) (2 p) Din $\sigma =0$ rezultă $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=0$; fiind o sumă de pătrate, fiecare termen trebuie să fie nul, deci $x_i=\bar{x}$ pentru orice $i$ (1 p). Prin urmare toate valorile setului sunt egale (și egale cu media). Nu putem însă spune care este acea valoare comună: $\sigma =0$ vorbește doar despre împrăștiere, nu despre poziție (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $\bar{x}=\frac{4+6+7+8+10}{5}=\frac{35}{5}=7$.

b) (3 p) Tabelul (2 p):

Deci $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=20$, iar verificarea $\sum (x_i-\bar{x})=0$ este îndeplinită (1 p).

c) (3 p) Datele fiind întreaga populație, se împarte la $n=5$ (1 p): $$\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2$$ (1 p). Interpretare: valorile setului se abat, în medie, cu aproximativ $2$ unități de la media $7$ — practic, ele se întind într-un interval de forma $7\pm 2$, adică între $5$ și $9$, cu două valori care ies puțin în afara lui. Abaterea standard se exprimă în aceeași unitate de măsură ca datele, deci răspunsul nu este „$2$" pur și simplu, ci „$2$ unități de măsură ale caracteristicii studiate" (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Desfacem suma (1 p): $$\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})=\sum _{i=1}^n{x}_i-n\bar{x}=n\bar{x}-n\bar{x}=0,$$ unde am folosit $\sum x_i=n\bar{x}$, adică chiar definiția mediei (1 p). Consecința: dacă am încerca să măsurăm împrăștierea prin media abaterilor, am obține $\frac{0}{n}=0$ pentru orice set de date, deci un indicator complet nefolositor. Abaterile negative le anulează pe cele pozitive; ridicarea la pătrat face toți termenii nenegativi și păstrează informația despre depărtare (1 p).

b) (3 p) „$\Leftarrow$" Dacă toate valorile sunt egale cu $c$, atunci $\bar{x}=c$, fiecare abatere este $0$, suma pătratelor este $0$ și $\sigma =0$ (1 p). „$\Rightarrow$" Dacă $\sigma =0$, atunci $\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=0$, deci $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=0$ (1 p). O sumă de numere nenegative este nulă numai dacă fiecare termen este nul, deci $(x_i-\bar{x}{)}^2=0$, adică $x_i=\bar{x}$ pentru orice $i$: toate valorile sunt egale (1 p). $■$

c) (2 p) Rezultatul este imposibil, indiferent de date (1 p). Sub radical stă $\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}$, o sumă de pătrate împărțită la un număr pozitiv, deci o cantitate $\ge 0$; iar rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ este, prin definiție, tot nenegativă. Deci $\sigma \ge 0$ întotdeauna, iar un semn minus arată o greșeală de calcul — cel mai probabil, abaterile au fost adunate fără a fi ridicate la pătrat (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Magazinul A: ${\bar{x}}_A=\frac{12+14+15+16+18}{5}=\frac{75}{5}=15$ comenzi (1 p). Magazinul B: ${\bar{x}}_B=\frac{9+13+15+17+21}{5}=\frac{75}{5}=15$ comenzi (1 p). Mediile sunt egale.

b) (4 p) Magazinul A — abaterile sunt $-3,-1,0,1,3$, iar pătratele lor $9,1,0,1,9$, cu suma $20$ (1,5 p), deci $${\sigma }_A=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2\text{comenzi}$$ (0,5 p). Magazinul B — abaterile sunt $-6,-2,0,2,6$, iar pătratele lor $36,4,0,4,36$, cu suma $80$ (1,5 p), deci $${\sigma }_B=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4\text{comenzi}$$ (0,5 p).

c) (2 p) Îi este mai ușor cu magazinul A (1 p). Ambele magazine au aceeași medie, $15$ comenzi pe zi, deci pe termen lung furnizorul livrează aceeași cantitate totală. Diferența este previzibilitatea: la A abaterea standard este $2$ comenzi, deci zilele se țin strâns în jurul lui $15$ (între $12$ și $18$); la B abaterea standard este $4$ comenzi, dublă, iar zilele merg de la $9$ la $21$. O livrare fixă de $15$ unități ar lăsa magazinul B fie cu stocuri mari, fie cu lipsuri, în mai multe zile decât la A. $\sigma$ mai mic înseamnă grup mai omogen, deci mai previzibil — nu automat „mai bun", dar aici contextul cere exact previzibilitate (1 p).