Test: aplicații ale numerelor complexe în geometrie

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Numere complexe

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea și verifică partea ei cea mai spectaculoasă: geometria făcută cu numere. Fiecărui punct din plan îi atașăm afixul lui, iar problemele de geometrie devin calcule cu numere complexe. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: distanțele — lungimea unui segment este modulul diferenței afixelor, de unde se obțin imediat natura unui triunghi, egalitatea unor segmente sau apartenența la un cerc. Al doilea: punctele remarcabile — afixul mijlocului unui segment, afixul centrului de greutate al unui triunghi și, cazul general din care se obțin amândouă, afixul punctului care împarte un segment într-un raport dat. Al treilea, cel mai util la examen: criteriile de poziție — trei puncte sunt coliniare exact când raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ este real, iar două drepte sunt paralele sau perpendiculare după cum raportul dintre „vectorii" lor, scriși cu afixe, este real, respectiv pur imaginar. Al patrulea: unghiurile — măsura unghiului $\angle BAC$ este argumentul aceluiași raport, ceea ce dă o metodă de calcul uniformă, fără construcții auxiliare. Toate problemele se rezolvă numai cu afixe, așa cum cere programa: fără pante, fără ecuații de drepte.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Distanțele se lasă în formă exactă (de exemplu $2\sqrt{10}$), iar afixele se scriu sub forma algebrică $a+bi$. Justificările de coliniaritate, paralelism sau perpendicularitate trebuie să conțină raportul calculat efectiv și concluzia despre natura lui (real / pur imaginar), nu doar afirmația finală. Se depunctează inversarea convenției raportului la punctul care împarte un segment: în tot testul, „$M$ împarte $[AB]$ în raportul $\frac{AM}{MB}=k$" înseamnă că bucata dinspre $A$ este de $k$ ori mai lungă decât bucata dinspre $B$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe cele două criterii (real / pur imaginar) și pe formula punctului care împarte un segment.
• Formule de reținut: dacă punctele $A$, $B$, $C$ au afixele $z_A$, $z_B$, $z_C$, atunci: $$AB=|z_B-z_A|,z_{\text{mijloc}[AB]}=\frac{z_A+z_B}{2},z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3},$$ unde $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. Punctul care împarte un segment într-un raport dat: dacă $M\in [AB]$ și $\frac{AM}{MB}=k>0$, atunci $$z_M=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k};$$ pentru $k=1$ se obține mijlocul, iar aplicând formula pe mediană, cu $k=2$, se obține centrul de greutate. Criterii de poziție (pentru $A\ne B$ și $C\ne D$): $$A,B,C\text{coliniare}⟺\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in {\mathbb{R}}^{\ast };AB\parallel CD⟺\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in {\mathbb{R}}^{\ast };$$ $$AB\perp CD⟺\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\text{este pur imaginar}.$$ Ordinea în care scrii raportul nu contează: dacă un număr nenul este real, și inversul lui este real, iar dacă este pur imaginar, și inversul lui este pur imaginar. Unghiuri: măsura unghiului $\angle BAC$ este argumentul numărului $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$. Paralelogram: $ABCD$ este paralelogram $⟺z_B-z_A=z_C-z_D⟺$ diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ au același mijloc.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Distanțe, mijloc, centru de greutate

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Afixul mijlocului segmentului determinat de punctele de afixe $2+3i$ și $6-i$ este: A. $4+i$; B. $8+2i$; C. $4+2i$; D. $2-i$.

b) Distanța dintre punctele de afixe $1-2i$ și $4+2i$ este: A. $3$; B. $4$; C. $5$; D. $\sqrt{5}$.

c) Afixul centrului de greutate al triunghiului cu vârfurile de afixe $1+i$, $4-2i$ și $1+4i$ este: A. $2+i$; B. $6+3i$; C. $3+i$; D. $2-i$.

Itemul 2 (6 puncte)

În planul complex se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $z_A=1+2i$, $z_B=5-i$ și $z_C=3+5i$. Calculează (câte 1,5 puncte): a) lungimea $AB$; b) lungimea $BC$; c) afixul mijlocului segmentului $[AC]$; d) afixul centrului de greutate $G$ al triunghiului $ABC$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Distanța dintre punctele de afixe $z_1$ și $z_2$ este $|z_1-z_2|$." b) „Dacă $A\ne B$ și numărul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ este real, atunci punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare." c) „Dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare dacă și numai dacă numărul $\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}$ este real." d) „Afixul centrului de greutate al unui triunghi este media aritmetică a afixelor vârfurilor."

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră punctele $A$ și $B$ de afixe $z_A=1+i$ și $z_B=7-5i$. a) Determină afixul punctului $M$ de pe segmentul $[AB]$ pentru care $\frac{AM}{MB}=2$ (adică bucata dinspre $A$ este dublul bucății dinspre $B$). (3 p) b) Verifică rezultatul calculând efectiv lungimile $AM$ și $MB$. (3 p)

Partea a II-a – Coliniaritate, paralelism, perpendicularitate și unghiuri

Itemul 5 (8 puncte)

În planul complex se consideră punctele $A(1+i)$, $B(4+3i)$, $C(7+5i)$, $E(2-i)$, $F(8+3i)$, $P(1-2i)$ și $Q(-1+i)$ (în paranteză este trecut afixul fiecăruia). a) Arată că punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare. (3 p) b) Arată că dreptele $EF$ și $AB$ sunt paralele. (3 p) c) Arată că dreptele $PQ$ și $AB$ sunt perpendiculare. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $z_A=1-i$, $z_B=5+i$ și $z_C=3+5i$. a) Arată, folosind criteriul de perpendicularitate cu afixe, că unghiul din $B$ este drept, și calculează lungimile $AB$ și $BC$. (4 p) b) Determină afixul mijlocului $M$ al segmentului $[AC]$ și arată că $MA=MB=MC$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $z_A=1+i$, $z_B=3+i$ și $z_C=2+\left(1+\sqrt{3}\right)i$. a) Calculează numărul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ și deduce măsura unghiului $\angle BAC$, precum și lungimile $AB$ și $AC$. (4 p) b) Arată că triunghiul $ABC$ este echilateral și calculează aria $\mathcal{S}$ a acestuia. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră punctele $A$ și $B$ de afixe $z_A=-2+i$ și $z_B=4+7i$. a) Determină afixul punctului $N$ de pe segmentul $[AB]$ pentru care $\frac{AN}{NB}=\frac{1}{2}$ și verifică rezultatul prin calculul distanțelor. (3 p) b) Determină afixul punctului $C$ știind că centrul de greutate al triunghiului $ABC$ este punctul $G$ de afix $2+3i$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră punctele $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(6+6i)$ și $D(2+5i)$. a) Arată că $ABCD$ este paralelogram și că diagonalele lui au același mijloc. (3 p) b) Arată că diagonalele sunt perpendiculare și că $AB=AD$, deci $ABCD$ este romb. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, aplicații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că afixul punctului $M\in [AB]$ pentru care $\frac{AM}{MB}=k$, cu $k>0$, este $$z_M=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k}.$$ (4 p) b) Deduce, ca un caz particular, formula afixului mijlocului unui segment. (2 p) c) Aplicând formula pe mediana din $A$ a triunghiului $ABC$ și folosind faptul că centrul de greutate $G$ o împarte astfel încât $\frac{AG}{GM}=2$ (unde $M$ este mijlocul laturii $[BC]$), deduce formula $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) În planul complex se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $z_A=3+i$, $z_B=-1+4i$ și $z_C=4+i$. a) Arătați că $AB=5$. (2 p) b) Determinați afixul mijlocului $M$ al segmentului $[BC]$. (3 p) c) Determinați afixul centrului de greutate $G$ al triunghiului $ABC$ și arătați că $AG=\frac{2}{3}AM$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Pe planul de situație al unui șantier, fiecare punct este dat prin afixul lui, în metri. O conductă principală rectilinie leagă căminul $A$, de afix $10+10i$, de căminul $B$, de afix $40+50i$.

a) Calculează lungimea conductei $AB$ și determină afixul căminului de vizitare $P$, situat pe $[AB]$ astfel încât $\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}$. (3 p) b) Din $P$ pleacă o ramificație către punctul $Q$, de afix $6+38i$. Arată că ramificația este perpendiculară pe conducta principală și calculează lungimea $PQ$. (3 p) c) Verifică dacă punctul $R$, de afix $31+38i$, se află pe conducta $AB$, între $A$ și $B$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) În planul complex se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $z_A=1+i$, $z_B=3+5i$ și $z_C=4+7i$. a) Arătați că punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare. (2 p) b) Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $E$, de afix $m+3i$, aparține dreptei $AB$. (3 p) c) Arătați că dreapta determinată de punctele $P(2-i)$ și $Q(6-3i)$ este perpendiculară pe dreapta $AB$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. $\frac{(2+3i)+(6-i)}{2}=\frac{8+2i}{2}=4+i$. Varianta B este suma afixelor, nu media lor. b) C. $|(4+2i)-(1-2i)|=|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$. c) A. $\frac{(1+i)+(4-2i)+(1+4i)}{3}=\frac{6+3i}{3}=2+i$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) $AB=|z_B-z_A|=|4-3i|=\sqrt{16+9}=5$. b) $BC=|z_C-z_B|=|-2+6i|=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. c) Mijlocul lui $[AC]$ are afixul $\frac{(1+2i)+(3+5i)}{2}=\frac{4+7i}{2}=2+\frac{7}{2}i$, adică $2+3,5i$. d) $z_G=\frac{(1+2i)+(5-i)+(3+5i)}{3}=\frac{9+6i}{3}=3+2i$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Dacă $z_1=x_1+y_{1}i$ și $z_2=x_2+y_{2}i$, atunci $$|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2},$$ adică exact distanța dintre punctele $(x_1,y_1)$ și $(x_2,y_2)$. Ordinea scăderii nu contează, pentru că $|z|=|-z|$. b) A. Raportul fiind un număr real $t$, avem $z_C-z_A=t(z_B-z_A)$: „deplasarea" de la $A$ la $C$ este un multiplu real al deplasării de la $A$ la $B$, deci $C$ se află pe dreapta $AB$. (Pentru $t=0$ obținem $C=A$, caz în care cele trei puncte sunt tot coliniare, banal.) c) F. Condiția de perpendicularitate cere ca raportul să fie pur imaginar; raportul real este condiția de paralelism. Exemplu: pentru $A(0)$, $B(1)$, $C(0)$, $D(i)$, raportul este $i$, iar dreptele sunt perpendiculare. d) A. Chiar aceasta este formula $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$ (demonstrată la itemul 10).

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Aplicăm formula cu $k=2$ (1 p): $$z_M=\frac{z_A+2z_B}{1+2}=\frac{(1+i)+2(7-5i)}{3}=\frac{1+i+14-10i}{3}=\frac{15-9i}{3}=5-3i$$ (2 p).

b) (3 p) $AM=|z_A-z_M|=|-4+4i|=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ (1,5 p); $MB=|z_B-z_M|=|2-2i|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ (1 p). Raportul este $\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$ ✓ (0,5 p). (În plus, $AM+MB=6\sqrt{2}=AB$, deci $M$ se află într-adevăr între $A$ și $B$.)

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Calculăm raportul (1,5 p): $$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{(7+5i)-(1+i)}{(4+3i)-(1+i)}=\frac{6+4i}{3+2i}=\frac{2(3+2i)}{3+2i}=2.$$ Raportul este un număr real nenul, deci punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare (1,5 p). (Valoarea $2$ spune mai mult: $B$ este mijlocul segmentului $[AC]$.)

b) (3 p) $z_F-z_E=(8+3i)-(2-i)=6+4i$ și $z_B-z_A=3+2i$ (1 p), deci $$\frac{z_F-z_E}{z_B-z_A}=\frac{6+4i}{3+2i}=2\in {\mathbb{R}}^{\ast },$$ adică dreptele sunt paralele (1,5 p). Ele sunt distincte, pentru că $E$ nu aparține dreptei $AB$: $\frac{z_E-z_A}{z_B-z_A}=\frac{1-2i}{3+2i}=\frac{(1-2i)(3-2i)}{13}=\frac{-1-8i}{13}$, care nu este real (0,5 p).

c) (2 p) $z_Q-z_P=(-1+i)-(1-2i)=-2+3i$ (0,5 p), deci $$\frac{z_Q-z_P}{z_B-z_A}=\frac{-2+3i}{3+2i}=\frac{(-2+3i)(3-2i)}{9+4}=\frac{-6+4i+9i+6}{13}=\frac{13i}{13}=i$$ (1 p). Raportul este pur imaginar, deci $PQ\perp AB$ (0,5 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Calculăm raportul direcțiilor care pleacă din $B$ (1 p): $$\frac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\frac{(3+5i)-(5+i)}{(1-i)-(5+i)}=\frac{-2+4i}{-4-2i}=\frac{(-2+4i)(-4+2i)}{16+4}=\frac{8-4i-16i-8}{20}=\frac{-20i}{20}=-i$$ (2 p). Numărul $-i$ este pur imaginar, deci $BA\perp BC$: unghiul din $B$ este drept (0,5 p). Lungimile: $$AB=|4+2i|=\sqrt{20}=2\sqrt{5},BC=|-2+4i|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$ (0,5 p). Triunghiul este deci dreptunghic isoscel în $B$. (Control cu reciproca teoremei lui Pitagora: $A{C}^2=|2+6i{|}^2=40=20+20$ ✓.)

b) (3 p) $z_M=\frac{(1-i)+(3+5i)}{2}=\frac{4+4i}{2}=2+2i$ (1 p). Atunci (1,5 p) $$MA=|(1-i)-(2+2i)|=|-1-3i|=\sqrt{10},MB=|(5+i)-(2+2i)|=|3-i|=\sqrt{10},$$ $$MC=|(3+5i)-(2+2i)|=|1+3i|=\sqrt{10}.$$ Cele trei distanțe sunt egale (0,5 p). (Este proprietatea generală: mijlocul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este centrul cercului circumscris, deci egal depărtat de toate vârfurile.)

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) $z_B-z_A=2$ și $z_C-z_A=1+\sqrt{3}i$ (1 p), deci $$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$$ (1,5 p). Măsura unghiului $\angle BAC$ este argumentul acestui număr, adică $\frac{\pi }{3}$ (echivalent, $60^{\circ }$) (1 p). Lungimile: $$AB=|2|=2,AC=\left|1+\sqrt{3}i\right|=\sqrt{1+3}=2$$ (0,5 p). (Modulul raportului fiind $1$, egalitatea $AB=AC$ se putea citi direct: $\frac{AC}{AB}=1$.)

b) (3 p) Triunghiul are $AB=AC=2$ și unghiul dintre aceste laturi de $\frac{\pi }{3}$, deci este echilateral (1 p). Verificare directă a celei de-a treia laturi: $$BC=\left|z_C-z_B\right|=\left|-1+\sqrt{3}i\right|=\sqrt{1+3}=2$$ (1 p). Aria unui triunghi echilateral de latură $\ell =2$ este $$\mathcal{S}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$ (1 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Cu $k=\frac{1}{2}$ (0,5 p): $$z_N=\frac{z_A+\frac{1}{2}{z}_B}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2z_A+z_B}{3}=\frac{(-4+2i)+(4+7i)}{3}=\frac{9i}{3}=3i$$ (1,5 p). Verificare: $AN=|(-2+i)-3i|=|-2-2i|=2\sqrt{2}$ și $NB=|(4+7i)-3i|=|4+4i|=4\sqrt{2}$, deci $\frac{AN}{NB}=\frac{1}{2}$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Din $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$ rezultă $z_C=3z_G-z_A-z_B$ (1,5 p): $$z_C=(6+9i)-(-2+i)-(4+7i)=6+9i+2-i-4-7i=4+i$$ (1 p). Verificare: $\frac{(-2+i)+(4+7i)+(4+i)}{3}=\frac{6+9i}{3}=2+3i$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $z_B-z_A=4+i$ și $z_C-z_D=(6+6i)-(2+5i)=4+i$ (1,5 p). Cele două „deplasări" fiind egale, laturile $[AB]$ și $[DC]$ sunt paralele și de aceeași lungime, deci $ABCD$ este paralelogram (0,5 p). Mijloacele diagonalelor (1 p): $$\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{7+7i}{2},\frac{z_B+z_D}{2}=\frac{7+7i}{2}\text{— același punct.}$$

b) (3 p) Direcțiile diagonalelor sunt $z_C-z_A=5+5i$ și $z_D-z_B=-3+3i$ (0,5 p), deci $$\frac{z_D-z_B}{z_C-z_A}=\frac{-3+3i}{5+5i}=\frac{(-3+3i)(5-5i)}{50}=\frac{-15+15i+15i+15}{50}=\frac{30i}{50}=\frac{3}{5}i$$ (1,5 p), număr pur imaginar: diagonalele sunt perpendiculare (0,5 p). În plus, $$AB=|4+i|=\sqrt{17},AD=|z_D-z_A|=|1+4i|=\sqrt{17},$$ deci două laturi consecutive sunt egale; un paralelogram cu laturile consecutive egale este romb (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Punctul $M$ se află pe segmentul $[AB]$ și verifică $AM=k\cdot MB$. Fiind între $A$ și $B$, „deplasarea" de la $A$ la $M$ și cea de la $M$ la $B$ au același sens, deci raportul lor este un număr real pozitiv (1 p): $$z_M-z_A=k\left(z_B-z_M\right)$$ (1 p). (Într-adevăr, $\left|z_M-z_A\right|=AM$ și $\left|z_B-z_M\right|=MB$, iar raportul lor este $k$.) Grupăm termenii care conțin $z_M$ (1 p): $$z_M+k{z}_M=z_A+k{z}_B⟺z_M(1+k)=z_A+k{z}_B.$$ Cum $k>0$, avem $1+k\ne 0$, deci (1 p) $$z_M=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k}.■$$ (Control: $z_M-z_A=\frac{k(z_B-z_A)}{1+k}$ și $z_B-z_M=\frac{z_B-z_A}{1+k}$, deci $\frac{AM}{MB}=k$ ✓.)

b) (2 p) Mijlocul segmentului este punctul egal depărtat de capete, adică $\frac{AM}{MB}=1$, deci $k=1$: $$z_M=\frac{z_A+1\cdot z_B}{1+1}=\frac{z_A+z_B}{2}.$$

c) (2 p) Fie $M$ mijlocul laturii $[BC]$, deci $z_M=\frac{z_B+z_C}{2}$ (0,5 p). Centrul de greutate $G$ se află pe mediana $[AM]$, cu $\frac{AG}{GM}=2$, deci aplicăm formula de la a) segmentului $[AM]$, cu $k=2$ (0,5 p): $$z_G=\frac{z_A+2z_M}{1+2}=\frac{z_A+2\cdot \frac{z_B+z_C}{2}}{3}=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $z_B-z_A=(-1+4i)-(3+i)=-4+3i$ (1 p), deci $$AB=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$ (1 p).

b) (3 p) $z_M=\frac{z_B+z_C}{2}=\frac{(-1+4i)+(4+i)}{2}=\frac{3+5i}{2}=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$.

c) (3 p) $z_G=\frac{(3+i)+(-1+4i)+(4+i)}{3}=\frac{6+6i}{3}=2+2i$ (1,5 p). Atunci $$AG=|z_G-z_A|=|-1+i|=\sqrt{2},AM=|z_M-z_A|=\left|-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i\right|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ (1 p), deci $\frac{AG}{AM}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{3}$, adică $AG=\frac{2}{3}AM$ ✓ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) $z_B-z_A=30+40i$, deci $AB=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50$ m (1 p). Cu $k=\frac{2}{3}$ (0,5 p): $$z_P=\frac{z_A+\frac{2}{3}{z}_B}{1+\frac{2}{3}}=\frac{3z_A+2z_B}{5}=\frac{(30+30i)+(80+100i)}{5}=\frac{110+130i}{5}=22+26i$$ (1,5 p). (Control: $AP=|-12-16i|=20$ m și $PB=|18+24i|=30$ m, cu $\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$ ✓.)

b) (3 p) $z_Q-z_P=(6+38i)-(22+26i)=-16+12i$ (0,5 p), deci $$\frac{z_Q-z_P}{z_B-z_A}=\frac{-16+12i}{30+40i}=\frac{(-16+12i)(30-40i)}{900+1600}=\frac{-480+640i+360i+480}{2500}=\frac{1000i}{2500}=\frac{2}{5}i$$ (1,5 p). Raportul este pur imaginar, deci ramificația este perpendiculară pe conducta principală (0,5 p). Lungimea: $$PQ=|-16+12i|=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20\text{m}$$ (0,5 p).

c) (2 p) $z_R-z_A=21+28i$, iar $$\frac{z_R-z_A}{z_B-z_A}=\frac{21+28i}{30+40i}=\frac{7(3+4i)}{10(3+4i)}=\frac{7}{10}=0,7$$ (1 p). Raportul este real, deci $R$ este pe dreapta $AB$; fiind cuprins între $0$ și $1$, punctul se află între $A$ și $B$, la $0,7\cdot 50=35$ m de $A$ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $z_B-z_A=2+4i$ și $z_C-z_A=3+6i$ (1 p), deci $$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{3+6i}{2+4i}=\frac{3(1+2i)}{2(1+2i)}=\frac{3}{2}\in {\mathbb{R}}^{\ast },$$ prin urmare punctele sunt coliniare (1 p).

b) (3 p) $z_E-z_A=(m-1)+2i$ (0,5 p). Punem condiția ca raportul să fie real (1 p): $$\frac{(m-1)+2i}{2+4i}=\frac{\left[(m-1)+2i\right](2-4i)}{20}=\frac{2(m-1)+8+i\left[4-4(m-1)\right]}{20}.$$ Partea imaginară trebuie să fie nulă: $4-4(m-1)=0$, deci $m-1=1$ și $m=2$ (1 p). Verificare: pentru $m=2$, $z_E-z_A=1+2i=\frac{1}{2}(2+4i)$, raport real ✓ — de fapt $E$ este chiar mijlocul segmentului $[AB]$ (0,5 p).

c) (3 p) $z_Q-z_P=(6-3i)-(2-i)=4-2i$ (1 p), deci $$\frac{z_Q-z_P}{z_B-z_A}=\frac{4-2i}{2+4i}=\frac{(4-2i)(2-4i)}{4+16}=\frac{8-16i-4i-8}{20}=\frac{-20i}{20}=-i$$ (1,5 p). Raportul este pur imaginar, deci dreptele $PQ$ și $AB$ sunt perpendiculare (0,5 p).