Test: arii de triunghiuri și suprafețe poligonale

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea și verifică ceea ce, în viața de zi cu zi, se folosește cel mai des din toată trigonometria: calculul ariilor. Elevul trebuie să stăpânească trei formule și, mai ales, să știe când se folosește fiecare. Formula clasică $\mathcal{S}=\frac{b\cdot h}{2}$ cere o înălțime, care pe teren aproape niciodată nu se poate măsura. Formula sinusului, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin A$, cere două laturi și unghiul dintre ele — exact ce se măsoară ușor cu ruleta și cu teodolitul. Formula lui Heron cere doar cele trei laturi, deci niciun unghi. A doua competență evaluată este descompunerea unei suprafețe poligonale în triunghiuri: orice teren, oricât de neregulat, se împarte cu diagonale în triunghiuri, iar aria totală este suma ariilor. A treia, discretă, dar prezentă în aproape fiecare item, este verificarea rezultatului prin a doua metodă — obiceiul care prinde erorile de calcul înainte ca ele să ajungă pe hârtie.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii marcați se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească tabelul de valori trigonometrice sau un calculator, așa cum prevede programa. Convenția de rotunjire, aceeași peste tot în test: valorile trigonometrice se iau cu 4 zecimale, lungimile și ariile se rotunjesc la 2 zecimale, iar unghiurile la o zecimală de grad. Acolo unde rezultatul este exact (radical sau număr întreg), se cere forma exactă, iar aproximarea se dă doar dacă enunțul o cere.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe alegerea formulei potrivite datelor și pe descompunerea poligoanelor.
• Formule de reținut: aria cu o înălțime: $\mathcal{S}=\frac{b\cdot h_b}{2}$, de unde $h_b=\frac{2\mathcal{S}}{b}$. Aria cu sinusul unghiului dintre două laturi: $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C.$$ Formula lui Heron, cu $p=\frac{a+b+c}{2}$ semiperimetrul: $$\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$ Consecință utilă: din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin A$ se scoate $\sin A=\frac{2\mathcal{S}}{bc}$, deci aria calculată cu Heron dă imediat sinusurile tuturor unghiurilor. Paralelogram: $\mathcal{S}=ab\sin \theta$, unde $\theta$ este unghiul dintre laturile $a$ și $b$. Suprafețe poligonale: se trasează diagonale dintr-un același vârf, se calculează aria fiecărui triunghi și se adună. Atenție: aria maximă a unui triunghi cu două laturi date $b$ și $c$ este $\frac{bc}{2}$ și se atinge când unghiul dintre ele este drept.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Cele trei formule de arie

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Aria triunghiului cu $b=8$, $c=9$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$ este: A. $18$; B. $36$; C. $72$; D. $18\sqrt{3}$.

b) Semiperimetrul triunghiului cu laturile $9$, $10$ și $17$ este: A. $9$; B. $13$; C. $18$; D. $36$.

c) Aria triunghiului echilateral cu latura $6$ este: A. $9$; B. $9\sqrt{3}$; C. $18\sqrt{3}$; D. $36\sqrt{3}$.

Itemul 2 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=16$, $AC=6$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$.

a) Calculează aria triunghiului cu formula $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$. (2 p) b) Calculează $BC$. (2 p) c) Verifică rezultatul de la a) recalculând aria cu formula lui Heron. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ are laturile $9$, $10$ și $17$. a) Calculează semiperimetrul și aria, folosind formula lui Heron. (3 p) b) Calculează lungimea înălțimii duse pe latura de $17$, rotunjită la două zecimale. (2 p) c) Calculează sinusul unghiului format de laturile de $9$ și $10$. (1 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Două triunghiuri cu baze de aceeași lungime și înălțimi corespunzătoare egale au arii egale." b) „Formula lui Heron se poate aplica oricăror trei numere strict pozitive $a$, $b$, $c$." c) „Dacă două laturi ale unui triunghi rămân fixe, iar unghiul dintre ele crește de la $30^{\circ }$ la $60^{\circ }$, aria crește." d) „Un triunghi cu două laturi de $6$ și $8$ poate avea aria $25$."

Partea a II-a – Heron, înălțimi și suprafețe poligonale

Itemul 5 (8 puncte)

Triunghiul $ABC$ are laturile $a=13$, $b=20$, $c=21$. a) Calculează semiperimetrul și aria, folosind formula lui Heron. (3 p) b) Calculează lungimile celor trei înălțimi. (3 p) c) Calculează sinusul unghiului format de laturile de $13$ și $20$. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

(Problemă aplicată.) Un teren are forma patrulaterului $ABCD$, cu $AB=8$ m, $BC=15$ m, $m(\angle ABC)=90^{\circ }$, $CD=10$ m și $DA=21$ m.

a) Calculează diagonala $AC$. (2 p) b) Calculează aria triunghiului $ABC$. (1,5 p) c) Calculează aria triunghiului $ACD$, folosind formula lui Heron. (2,5 p) d) Calculează aria terenului. (1 p)

Itemul 7 (7 puncte)

(Problemă aplicată.) O parcelă triunghiulară are două laturi de $45$ m și $62$ m, iar unghiul dintre ele are $78^{\circ }$. Din tabel: $\sin 78^{\circ }\approx 0,9781$, $\cos 78^{\circ }\approx 0,2079$. a) Calculează aria parcelei, rotunjită la două zecimale. (3 p) b) Calculează lungimea celei de-a treia laturi, rotunjită la două zecimale. (2,5 p) c) Recalculează aria cu formula lui Heron și explică de ce cele două rezultate diferă foarte puțin. (1,5 p)

Itemul 8 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) O placă de pavaj are forma unui hexagon regulat cu latura de $10$ cm.

a) Arată că cele șase segmente duse din centru împart hexagonul în șase triunghiuri echilaterale. (2 p) b) Calculează aria unuia dintre aceste triunghiuri. (2 p) c) Calculează aria plăcii, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Un romb are latura de $12$ cm, iar unul dintre unghiurile lui are $60^{\circ }$. a) Arată că o diagonală împarte rombul în două triunghiuri de arii egale. (1,5 p) b) Calculează aria rombului, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (2,5 p) c) Calculează lungimile celor două diagonale. (2 p)

Partea a III-a – Probleme practice și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Punctele $A$ și $B$ se află pe malurile opuse ale unui lac, deci distanța dintre ele nu poate fi măsurată direct. Un topograf alege un al treilea punct $C$, de unde amândouă sunt vizibile, și măsoară $CA=180$ m, $CB=250$ m și $m(\angle ACB)=65^{\circ }$. Din tabel: $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$, $\cos 65^{\circ }\approx 0,4226$.

a) Calculează distanța $AB$, rotunjită la două zecimale. (3 p) b) Calculează aria triunghiului $ABC$. (3 p) c) Exprimă aria în hectare, știind că $1$ ha $=10000$ m². (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=11$, $BC=13$ și $CA=20$. a) Arătați că aria triunghiului este egală cu $66$. (3 p) b) Calculați $\sin B$ și $\cos B$. (3 p) c) Calculați lungimea înălțimii duse din $B$ pe latura $AC$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un teren are forma patrulaterului $ABCD$, cu $AB=25$ m, $BC=25$ m, $CD=25$ m, $DA=11$ m și diagonala $AC=30$ m.

a) Calculează aria triunghiului $ABC$, folosind formula lui Heron. (3 p) b) Calculează aria triunghiului $ACD$, folosind formula lui Heron. (3 p) c) Calculează aria terenului și lungimea gardului necesar pentru a-l împrejmui. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=5$, $AC=8$ și aria egală cu $10\sqrt{3}$. a) Arătați că $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și determinați ambele valori posibile pentru $m(\angle A)$. (3 p) b) Calculați $BC$ în cazul $m(\angle A)=60^{\circ }$. (2,5 p) c) Calculați $BC$ în cazul $m(\angle A)=120^{\circ }$. (2,5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9\cdot \sin 30^{\circ }=36\cdot \frac{1}{2}=18$. Varianta B provine din uitarea factorului $\frac{1}{2}$, iar C din uitarea ambelor înjumătățiri. b) C. $p=\frac{9+10+17}{2}=\frac{36}{2}=18$. Varianta D este perimetrul, nu semiperimetrul. c) B. Într-un triunghi echilateral cu latura $\ell$, unghiul dintre două laturi are $60^{\circ }$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}{\ell }^2\sin 60^{\circ }=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$. Pentru $\ell =6$: $\mathcal{S}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\approx 15,59$.

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 6\cdot \sin 60^{\circ }=48\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\approx 41,57$.

b) (2 p) Din teorema cosinusului, cu $b=AC=6$, $c=AB=16$: $$B{C}^2=6^2+16^2-2\cdot 6\cdot 16\cdot \frac{1}{2}=36+256-96=196,$$ deci $BC=14$. (Inegalitatea triunghiului: $6+14=20>16$ ✓.)

c) (2 p) Semiperimetrul: $p=\frac{14+6+16}{2}=18$ (0,5 p). Atunci $$\mathcal{S}=\sqrt{18\cdot (18-14)(18-6)(18-16)}=\sqrt{18\cdot 4\cdot 12\cdot 2}=\sqrt{1728}=24\sqrt{3}$$ (1,5 p), adică exact rezultatul de la a) ✓.

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Triunghiul există: $9+10=19>17$ ✓ (0,5 p). Semiperimetrul este $p=\frac{9+10+17}{2}=18$ (0,5 p), iar aria $$\mathcal{S}=\sqrt{18\cdot (18-9)(18-10)(18-17)}=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=\sqrt{1296}=36$$ (2 p).

b) (2 p) Din $\mathcal{S}=\frac{17\cdot h}{2}$ rezultă $h=\frac{2\mathcal{S}}{17}=\frac{72}{17}\approx 4,24$.

c) (1 p) Unghiul dintre laturile de $9$ și $10$ se opune laturii de $17$; din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10\cdot \sin C$ obținem $\sin C=\frac{2\cdot 36}{90}=\frac{72}{90}=0,8$. (Observație: triunghiul este obtuzunghic — $17^2=289>81+100=181$ — deci unghiul respectiv are aproximativ $126,9^{\circ }$, nu $53,1^{\circ }$. Sinusul singur nu ar fi putut decide.)

Itemul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Aria depinde doar de produsul bază × înălțime: $\mathcal{S}=\frac{b\cdot h}{2}$. Dacă ambii factori coincid, ariile coincid, oricât de diferite ar fi formele triunghiurilor. b) F. Este nevoie ca numerele să respecte inegalitatea triunghiului. Altfel, unul dintre factorii $p-a$, $p-b$, $p-c$ devine negativ și radicalul nu are sens. De exemplu, pentru $2$, $3$, $9$ avem $p=7$ și $p-c=-2<0$. c) A. Aria este $\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin \theta$, iar sinusul este strict crescător pe intervalul $(0^{\circ },90^{\circ })$: din $\sin 30^{\circ }=0,5<\sin 60^{\circ }\approx 0,866$ rezultă că aria crește. d) F. Aria maximă este $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin \theta \le \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$, atinsă doar când unghiul dintre laturi este drept. Valoarea $25$ este imposibilă.

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Triunghiul există: $13+20=33>21$ ✓ (0,5 p). Semiperimetrul: $p=\frac{13+20+21}{2}=27$ (0,5 p). Aria: $$\mathcal{S}=\sqrt{27\cdot (27-13)(27-20)(27-21)}=\sqrt{27\cdot 14\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{15876}=126$$ (2 p).

b) (3 p) Din $h_x=\frac{2\mathcal{S}}{x}=\frac{252}{x}$: $$h_{13}=\frac{252}{13}\approx 19,38,h_{20}=\frac{252}{20}=12,6,h_{21}=\frac{252}{21}=12$$ (câte 1 p). (Control: cea mai lungă latură are cea mai scurtă înălțime — produsul lor este constant.)

c) (2 p) Unghiul dintre laturile de $13$ și $20$ se opune laturii de $21$; din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 20\cdot \sin C$ rezultă $$\sin C=\frac{2\cdot 126}{260}=\frac{252}{260}=\frac{63}{65}\approx 0,9692.$$ (Cum $21^2=441<13^2+20^2=569$, unghiul este ascuțit: $C\approx 75,7^{\circ }$.)

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$, deci $A{C}^2=8^2+15^2=64+225=289$, adică $AC=17$ m.

b) (1,5 p) Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt bază și înălțime una pentru cealaltă: ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{8\cdot 15}{2}=60$ m².

c) (2,5 p) În triunghiul $ACD$ avem laturile $17$, $10$ și $21$; el există, pentru că $10+17=27>21$ ✓ (0,5 p). Semiperimetrul este $p=\frac{17+10+21}{2}=24$ (0,5 p), deci $${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{24\cdot (24-17)(24-10)(24-21)}=\sqrt{24\cdot 7\cdot 14\cdot 3}=\sqrt{7056}=84{\text{ m}}^2$$ (1,5 p).

d) (1 p) ${\mathcal{S}}_{ABCD}={\mathcal{S}}_{ABC}+{\mathcal{S}}_{ACD}=60+84=144$ m². (Verificare independentă: așezând $B(0;0)$, $A(0;8)$ și $C(15;0)$, condițiile $CD=10$ și $DA=21$ dau $D(21;8)$; aria calculată direct din coordonatele celor patru vârfuri este tot $144$ m².)

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 45\cdot 62\cdot \sin 78^{\circ }$ (1 p), adică $$\mathcal{S}\approx 1395\cdot 0,9781=1364,45{\text{ m}}^2$$ (2 p).

b) (2,5 p) Notând cu $t$ a treia latură, din teorema cosinusului (0,5 p): $$t^2\approx 45^2+62^2-2\cdot 45\cdot 62\cdot 0,2079=2025+3844-1160,08=4708,92$$ (1,5 p), deci $t\approx \sqrt{4708,92}\approx 68,62$ m (0,5 p). (Inegalitatea triunghiului: $45+62=107>68,62$ ✓.)

c) (1,5 p) Semiperimetrul: $p\approx \frac{45+62+68,62}{2}=87,81$, iar $$\mathcal{S}\approx \sqrt{87,81\cdot 42,81\cdot 25,81\cdot 19,19}\approx 1364,51{\text{ m}}^2$$ (1 p). Diferența față de a) este de circa $0,06$ m², adică sub $0,01\%$: ea provine exclusiv din rotunjiri — valorile $\sin 78^{\circ }$ și $\cos 78^{\circ }$ au fost luate cu patru zecimale, iar latura $t$ a fost rotunjită înainte de a intra în a doua formulă (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Cele șase segmente duse din centru sunt raze ale cercului circumscris hexagonului, deci au aceeași lungime, iar cele șase unghiuri din centru sunt egale, fiecare de $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$ (1 p). Fiecare triunghi este așadar isoscel cu un unghi de $60^{\circ }$, deci echilateral; latura lui este chiar latura hexagonului, adică $10$ cm (1 p).

b) (2 p) ${\mathcal{S}}_{△}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\cdot \sin 60^{\circ }=50\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}\approx 43,30$ cm².

c) (2 p) ${\mathcal{S}}_{\text{hexagon}}=6\cdot 25\sqrt{3}=150\sqrt{3}\approx 259,81$ cm².

Itemul 9. (6 p)

a) (1,5 p) Rombul are toate laturile egale, deci o diagonală îl împarte în două triunghiuri cu laturile respectiv egale (latura, latura și diagonala comună). Triunghiurile fiind congruente, ariile lor sunt egale.

b) (2,5 p) Unghiul dintre două laturi alăturate are $60^{\circ }$, deci aria unui triunghi este $\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot \sin 60^{\circ }=36\sqrt{3}$ (1,5 p), iar aria rombului $$\mathcal{S}=2\cdot 36\sqrt{3}=72\sqrt{3}\approx 124,71{\text{ cm}}^2$$ (1 p).

c) (2 p) Diagonala opusă unghiului de $60^{\circ }$: $d^2=12^2+12^2-2\cdot 144\cdot \frac{1}{2}=144$, deci $d=12$ cm (1 p). Diagonala opusă unghiului de $120^{\circ }$: $D^2=144+144+144=432$, deci $D=12\sqrt{3}\approx 20,78$ cm (1 p). (Verificare prin a doua metodă: aria unui romb este și jumătate din produsul diagonalelor, $\frac{12\cdot 12\sqrt{3}}{2}=72\sqrt{3}$ ✓ — același rezultat ca la b).)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) În triunghiul $ABC$ cunoaștem două laturi și unghiul dintre ele, deci se aplică teorema cosinusului (1 p): $$A{B}^2\approx 180^2+250^2-2\cdot 180\cdot 250\cdot 0,4226=32400+62500-38034=56866$$ (1,5 p), de unde $AB\approx \sqrt{56866}\approx 238,47$ m (0,5 p). (Inegalitatea triunghiului: $180+250=430>238,47$ ✓.)

b) (3 p) Aici formula sinusului este cea potrivită, pentru că avem exact două laturi și unghiul dintre ele (1 p): $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 250\cdot \sin 65^{\circ }\approx 22500\cdot 0,9063=20391,75{\text{ m}}^2$$ (2 p). (Verificare cu formula lui Heron, folosind $AB\approx 238,47$: $p\approx 334,24$ și $\mathcal{S}\approx 20393,96$ m² — o diferență de circa $2$ m², adică sub $0,02\%$, datorată exclusiv rotunjirilor.)

c) (2 p) $\mathcal{S}\approx \frac{20391,75}{10000}\approx 2,04$ ha.

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Triunghiul există: $11+13=24>20$ ✓ (0,5 p). Semiperimetrul: $p=\frac{11+13+20}{2}=22$ (0,5 p). Aria: $$\mathcal{S}=\sqrt{22\cdot (22-11)(22-13)(22-20)}=\sqrt{22\cdot 11\cdot 9\cdot 2}=\sqrt{4356}=66$$ (2 p).

b) (3 p) Unghiul $B$ este cuprins între laturile $BA=11$ și $BC=13$, deci din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 13\cdot \sin B$ (0,5 p) rezultă $$\sin B=\frac{2\cdot 66}{143}=\frac{132}{143}=\frac{12}{13}$$ (1,5 p). Pentru cosinus folosim teorema cosinusului, cu latura opusă $AC=20$: $$\cos B=\frac{11^2+13^2-20^2}{2\cdot 11\cdot 13}=\frac{121+169-400}{286}=\frac{-110}{286}=-\frac{5}{13}$$ (1 p), deci unghiul $B$ este obtuz. (Control: ${\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{144+25}{169}=1$ ✓.)

c) (2 p) Din $\mathcal{S}=\frac{AC\cdot h_B}{2}$ rezultă $$h_B=\frac{2\mathcal{S}}{AC}=\frac{132}{20}=6,6.$$

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Triunghiul $ABC$ are laturile $25$, $25$ și $30$; el există, pentru că $25+25=50>30$ ✓ (0,5 p). Semiperimetrul: $p=\frac{25+25+30}{2}=40$ (0,5 p), deci $${\mathcal{S}}_{ABC}=\sqrt{40\cdot 15\cdot 15\cdot 10}=\sqrt{90000}=300{\text{ m}}^2$$ (2 p). (Control: triunghiul fiind isoscel, înălțimea pe baza de $30$ este $\sqrt{25^2-15^2}=20$, iar $\frac{30\cdot 20}{2}=300$ ✓.)

b) (3 p) Triunghiul $ACD$ are laturile $30$, $25$ și $11$; el există, pentru că $11+25=36>30$ ✓ (0,5 p). Semiperimetrul: $p=\frac{30+25+11}{2}=33$ (0,5 p), deci $${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{33\cdot 3\cdot 8\cdot 22}=\sqrt{17424}=132{\text{ m}}^2$$ (2 p).

c) (2 p) Aria terenului: $\mathcal{S}=300+132=432$ m² (1 p). Gardul se pune pe laturile patrulaterului, nu pe diagonală: $P=25+25+25+11=86$ m (1 p). (Verificare independentă a ariei: cu $A(0;0)$, $C(30;0)$, $B(15;20)$ și $D(6,6;-8,8)$ — puncte care respectă toate distanțele din enunț — aria calculată direct din coordonatele celor patru vârfuri este tot $432$ m².)

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Din formula ariei cu sinus, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin A=20\sin A$ (1 p). Egalând cu $10\sqrt{3}$: $$20\sin A=10\sqrt{3}⟹\sin A=\frac{10\sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (1 p). Sinusul nu determină unic unghiul, deci $m(\angle A)=60^{\circ }$ sau $m(\angle A)=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ (1 p). Ambele sunt posibile: aria nu „vede" diferența dintre un unghi și suplementul lui.

b) (2,5 p) Pentru $m(\angle A)=60^{\circ }$, din teorema cosinusului (0,5 p): $$B{C}^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=25+64-40=49$$ (1,5 p), deci $BC=7$ (0,5 p). (Inegalitatea triunghiului: $5+7=12>8$ ✓. Control cu Heron: $p=10$ și $\mathcal{S}=\sqrt{10\cdot 5\cdot 2\cdot 3}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$ ✓ — exact aria din enunț.)

c) (2,5 p) Pentru $m(\angle A)=120^{\circ }$, cu $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (0,5 p): $$B{C}^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=25+64+40=129$$ (1,5 p), deci $BC=\sqrt{129}\approx 11,36$ (0,5 p). (Inegalitatea triunghiului: $5+8=13>11,36$ ✓. Aria rămâne $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ ✓, aceeași ca în cazul precedent, deși triunghiurile sunt diferite.)