Test: arii delimitate de grafice

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Aplicații ale integralei definite

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă prima parte a unității — ariile mărginite de grafice de funcții — și verifică cinci lucruri. Primul: notațiile, cu tot ce ține de ele — simbolul ${\Gamma }_f$ este rezervat funcțiilor pozitive, iar când graficul coboară sub axă regiunea se numește în cuvinte, „regiunea mărginită de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$". Al doilea: formula ariei subgraficului, aplicată numai după ce s-a scris de ce funcția este pozitivă pe intervalul dat, plus cazul $f\le 0$, în care aria este opusul integralei. Al treilea: aria dintre două grafice, cu „cele trei etape ale ariei dintre grafice" — intersecțiile, cine este deasupra, integrala — și cu „cele trei feluri de enunțuri", care se rezolvă altfel: intervalul dedus din ecuația de intersecție, intervalul dat prin drepte verticale, marginea formată dintr-o axă. Al patrulea: schimbarea de semn, cu „cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn" — zerourile, tabelul de semn, suma de integrale — și cu deosebirea dintre aria totală și integrală. Al cincilea: integrarea după $y$, atunci când regiunea este mărginită la stânga de axa $Oy$.

Testul cere de la elev un tip anume de redactare, pe care baremele examenului îl punctează literal: semnul funcției (sau al diferenței) stabilit în scris → limitele de integrare justificate → integrala → controlul. Controlul cel mai des punctat al unității este acesta: fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă. Un răspuns care sare peste tabelul de semn nu primește punctajul întreg, chiar dacă numărul final este corect.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare arie se cere justificarea semnului, nu doar rezultatul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice problemă de arie începe cu semnul funcției pe intervalul dat sau cu ecuația de intersecție. Se depunctează: folosirea simbolului ${\Gamma }_f$ pentru o funcție care nu este pozitivă, scrierea ariei ca ${\int }_a^{b}f(x)dx$ atunci când funcția își schimbă semnul, ruperea intervalului într-o rădăcină din afara lui, confuzia dintre capetele date de enunț și zerourile funcției, folosirea ordonatelor punctelor de intersecție în locul absciselor și lăsarea unui termen negativ în suma de integrale.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe tabelul de semn și pe deosebirea dintre arie și integrală.
• Formule de reținut: Subgraficul: ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$, definit numai pentru $f$ continuă și pozitivă, cu $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f(x)dx$. Funcție negativă pe tot intervalul: $\mathcal{S}=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. Cazul general: $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$, iar modulul nu se lasă în scriere. Aria dintre două grafice: $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$, egală cu ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ acolo unde $f\ge g$. Cele trei etape ale ariei dintre grafice: limitele de integrare (din enunț sau din ecuația $f(x)=g(x)$) $\to$ cine este deasupra (tabelul de semn al diferenței) $\to$ integrala, cu controlul. Cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn: zerourile din interval $\to$ tabelul de semn al lui $f$ $\to$ suma de integrale, cu $f$ acolo unde funcția e pozitivă și $-f$ acolo unde e negativă. Controlul unității: fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă. Inegalitatea de modul: $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$, cu egalitate exact când $f$ nu își schimbă semnul. Integrarea după $y$: dacă regiunea este mărginită la stânga de axa $Oy$, la dreapta de curba $x=g(y)\ge 0$ și de dreptele orizontale $y=c$, $y=d$, atunci $\mathcal{S}={\int }_c^{d}g(y)dy$. Formula Leibniz–Newton: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Subgraficul, formula ariei și cazul funcției negative

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Simbolul ${\Gamma }_f$ pentru mulțimea $\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$ se folosește: A. pentru orice funcție continuă; B. numai pentru funcții continue și pozitive; C. numai pentru funcții monotone; D. numai pentru funcții polinomiale.

b) Dacă $f$ este continuă și $f(x)\le 0$ pentru orice $x\in [a,b]$, aria regiunii mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$ este: A. ${\int }_a^{b}f(x)dx$; B. $-{\int }_a^{b}f(x)dx$; C. ${\int }_b^a|f(x)|dx$; D. ${\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)}^2$.

c) Într-un enunț de tipul „aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f$ și $g$", limitele de integrare sunt: A. capetele domeniului comun; B. ordonatele punctelor de intersecție; C. absciselor punctelor de intersecție; D. zerourile funcției $f$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Aria regiunii mărginite de graficul unei funcții continue $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$ este întotdeauna egală cu ${\int }_a^{b}f(x)dx$." b) „Dacă ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$, atunci graficul lui $f$ nu mărginește nicio suprafață cu axa $Ox$ pe intervalul $[a,b]$." c) „O rădăcină a ecuației $f(x)=0$ aflată în afara intervalului de integrare nu produce niciun punct de rupere." d) „Aria dintre graficele funcțiilor $f$ și $g$ pe $[a,b]$ este întotdeauna ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$."

Itemul 3 (6 puncte)

Justifică pozitivitatea funcției pe intervalul dat, apoi calculează aria subgraficului ${\Gamma }_f$ (câte 2 puncte): a) $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^2+1$; b) $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x$; c) $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x$.

a) Arată că $f(x)<0$ pentru orice $x\in [1,4]$ și explică de ce nu are sens să scrii ${\Gamma }_f$. (2 p) b) Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=1$ și $x=4$. (3 p) c) Calculează ${\int }_1^{4}f(x)dx$ și compară rezultatul cu aria obținută la subpunctul b). (2 p)

Partea a II-a – Aria suprafeței dintre două grafice

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+4$ și $g(x)=x^2$. Parcurge cele trei etape ale ariei dintre grafice.

a) Etapa 1: determină abscisele punctelor de intersecție a celor două grafice. (2 p) b) Etapa 2: alcătuiește tabelul de semn al diferenței $f-g$ și precizează care grafic este deasupra. (3 p) c) Etapa 3: calculează aria suprafeței mărginite de cele două grafice. (3 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x$ și $g(x)=x^3$.

a) Rezolvă ecuația $f(x)=g(x)$ și precizează care dintre soluții este interioară intervalului $[-3,3]$. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de semn al diferenței $f-g$ pe $[-3,3]$ și scrie aria ca sumă de integrale, fără modul. (3 p) c) Calculează aria suprafeței mărginite de cele două grafice și verifică faptul că fiecare integrală din sumă a ieșit pozitivă. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$ și $g(x)=3x-1$, iar regiunea studiată este mărginită de graficele lor și de dreptele $x=0$ și $x=3$.

a) Arată că graficele se intersectează în două puncte, ambele interioare intervalului $[0,3]$. (2 p) b) Precizează, dintre cele trei surse de rupturi, care este cea care apare aici și scrie subintervalele de integrare. (2 p) c) Calculează aria regiunii. (3 p)

Itemul 8 (7 puncte)

(Problemă aplicată.) Două mobile pornesc în același moment din același punct și se deplasează în același sens pe o dreaptă. Vitezele lor sunt $v_1(t)=20-2t$ și $v_2(t)=8+t$, măsurate în metri pe secundă, iar timpul $t$ în secunde, pentru $t\in [0,4]$.

a) Arată că $v_1(t)\ge v_2(t)$ pentru orice $t\in [0,4]$ și că egalitatea are loc numai la $t=4$ s. (2 p) b) Calculează aria suprafeței cuprinse între graficele celor două viteze pe intervalul $[0,4]$ și precizează unitatea de măsură a rezultatului. (3 p) c) Explică ce reprezintă numărul obținut și de ce, după momentul $t=4$ s, distanța dintre mobile nu ar mai crește dacă modelul ar rămâne valabil. (2 p)

Partea a III-a – Schimbarea de semn, integrarea după $y$ și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+4$. Parcurge cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn pe intervalul $[0,5]$.

a) Etapele 1 și 2: determină zerourile funcției aflate în $[0,5]$ și alcătuiește tabelul de semn al lui $f$ pe acest interval. (3 p) b) Calculează ${\int }_0^{5}f(x)dx$. (3 p) c) Etapa 3: calculează aria regiunii mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=5$, apoi verifică inegalitatea de modul pe acest exemplu. (4 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Se consideră curba $y=x^3$, pentru $x\ge 0$.

a) Calculează aria regiunii mărginite de această curbă, de axa $Oy$ și de dreapta $y=8$, integrând după $y$. (4 p) b) Verifică rezultatul prin complement, scăzând aria subgraficului funcției $x\mapsto x^3$ pe $[0,2]$ din aria unui dreptunghi potrivit. (3 p) c) Determină numărul real $b>0$ pentru care aria subgraficului funcției $h:[0,b]\to \mathbb{R}$, $h(x)=x^3$, este egală cu $\frac{81}{4}$. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2-x)e^x$.

a) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(3-x)e^x$, este o primitivă a funcției $f$. (5 p) b) Calculați ${\int }_0^{2}f(x)dx$. (5 p) c) Determinați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=3$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Definiția cere condiția $0\le y\le f(x)$; pentru o funcție care ia valori negative mulțimea ar fi vidă în dreptul acelor abscise, deci simbolul nu descrie nimic. Când graficul coboară sub axă, suprafața se numește în cuvinte: „regiunea mărginită de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$".

b) B. Graficul funcției $-f$ este simetricul graficului lui $f$ față de axa $Ox$, iar simetria păstrează ariile; prin liniaritate, $\mathcal{S}={\int }_a^b(-f(x))dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$, adică opusul unui număr negativ. Varianta A ar da un rezultat negativ, iar C inversează limitele.

c) C. Punctele de intersecție au două coordonate, dar în integrală intră numai abscisele lor; ordonatele servesc doar la desen și la controlul rezultatului. Este primul dintre „cele trei feluri de enunțuri": intervalul nu este dat, ci se deduce din ecuația $f(x)=g(x)$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Egalitatea are loc numai dacă $f\ge 0$ pe tot intervalul. Contraexemplu: $f(x)=x^2-5x+4$ pe $[0,5]$ are integrala $-\frac{5}{6}$, deci nici măcar semnul nu se potrivește cu al unei arii. Formula generală este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$.

b) F. Integrala nulă înseamnă doar că bucata de deasupra axei și cea de dedesubt au arii egale și se compensează în bilanțul cu semn. Contraexemplu: $f(x)=9x-x^3$ pe $[-3,3]$ are integrala $0$, iar regiunea dintre grafic și axă are aria $\frac{81}{2}$.

c) A. Se rețin numai zerourile aflate în interiorul intervalului de integrare; o rădăcină din afara lui nu separă intervalul în nimic, iar un zerou care cade chiar într-un capăt nu produce nici el o ruptură.

d) F. Formula fără modul cere $f\ge g$ pe tot intervalul. Dacă ordinea se schimbă, bucățile se compensează, iar rezultatul iese mai mic decât aria reală. Contraexemplu: $f(x)=9x$ și $g(x)=x^3$ pe $[-3,3]$, unde diferența dă $0$, iar aria este $\frac{81}{2}$.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Pe $[0,2]$ avem $4x^2\ge 0$, deci $f(x)\ge 1>0$: funcția este continuă și strict pozitivă, iar ${\Gamma }_f$ are sens. $$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^2(4x^2+1)dx=\left(\frac{4x^3}{3}+x\right){|}_0^2=\frac{32}{3}+2=\frac{38}{3}.$$

b) Funcția exponențială cu baza $2$ este strict pozitivă pe $\mathbb{R}$, deci și pe $[0,2]$. Din rândul $4$ al tabelului primitivelor, o primitivă a lui $2^x$ este $\frac{2^x}{\ln 2}$: $$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^2{2}^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}{|}_0^2=\frac{4-1}{\ln 2}=\frac{3}{\ln 2}\approx 4,328.$$

c) Radicalul este definit și pozitiv pe $[1,4]$, iar $\sqrt{x}\ge 1>0$ acolo: $$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_1^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}{|}_1^4=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}.$$

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Scriem $f(x)=x(x-6)$. Pe $[1,4]$ avem $x>0$ și $x-6\le -2<0$, deci produsul este strict negativ (1 p). Prin urmare condiția $0\le y\le f(x)$ din definiția subgraficului nu poate fi îndeplinită de niciun punct, iar simbolul ${\Gamma }_f$ nu are sens; regiunea se numește în cuvinte (1 p).

b) (3 p) Funcția fiind negativă pe tot intervalul, aria este opusul integralei (1 p): $$\mathcal{S}=-{\int }_1^4(x^2-6x)dx={\int }_1^4(6x-x^2)dx=\left(3x^2-\frac{x^3}{3}\right){|}_1^4$$ (1 p) $$=\left(48-\frac{64}{3}\right)-\left(3-\frac{1}{3}\right)=\frac{80}{3}-\frac{8}{3}=24.$$ (1 p)

c) (2 p) Aceeași primitivă, cu semnul schimbat, dă ${\int }_1^4(x^2-6x)dx=-24$ (1 p). Cele două numere sunt opuse, ceea ce era de așteptat: funcția păstrează același semn pe tot intervalul, deci inegalitatea de modul devine egalitate, $\left|{\int }_1^{4}f\right|={\int }_1^4|f|=24$ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Ecuația $3x+4=x^2$ se scrie $x^2-3x-4=0$, cu $\Delta =9+16=25$ (1 p), deci $x_1=-1$ și $x_2=4$. Verificare în ambele expresii: pentru $x=-1$, $3(-1)+4=1=(-1{)}^2$; pentru $x=4$, $3\cdot 4+4=16=4^2$ (1 p).

b) (3 p) Diferența este $f(x)-g(x)=-x^2+3x+4=-(x+1)(x-4)$ (1 p), un trinom cu coeficientul dominant negativ și cu rădăcinile $-1$ și $4$, deci pozitiv între ele (1 p):

Pe tot intervalul $(-1,4)$ dreapta este deasupra parabolei (1 p).

c) (3 p) Modulul dispare cu diferența scrisă în ordinea „de sus minus de jos" (1 p): $$\mathcal{S}={\int }_{-1}^4(3x+4-x^2)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+4x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^4$$ (1 p) $$=\left(24+16-\frac{64}{3}\right)-\left(\frac{3}{2}-4+\frac{1}{3}\right)=\frac{56}{3}+\frac{13}{6}=\frac{125}{6}.$$ Rezultatul, $\frac{125}{6}\approx 20,833$, este pozitiv, deci ordinea a fost citită corect (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (2 p) Din $9x=x^3$ obținem $x\left(x^2-9\right)=0$, adică $x(x-3)(x+3)=0$, cu soluțiile $-3$, $0$ și $3$ (1 p). Capetele intervalului $[-3,3]$ sunt chiar $-3$ și $3$, deci singura soluție interioară este $x=0$ (1 p).

b) (3 p) Diferența este $f(x)-g(x)=9x-x^3=-x(x-3)(x+3)$ (1 p):

Pe $[-3,0]$ este deasupra $x^3$, iar pe $[0,3]$ este deasupra $9x$ (1 p). Prin urmare $$\mathcal{S}={\int }_{-3}^0(x^3-9x)dx+{\int }_0^3(9x-x^3)dx.$$ (1 p)

c) (3 p) Primitiva primului integrand este $\frac{x^4}{4}-\frac{9x^2}{2}$, iar a celui de-al doilea este opusa ei (1 p). Rezultă $${\int }_{-3}^0(x^3-9x)dx=0-\left(\frac{81}{4}-\frac{81}{2}\right)=\frac{81}{4},{\int }_0^3(9x-x^3)dx=\frac{81}{2}-\frac{81}{4}=\frac{81}{4}$$ (1 p) și $\mathcal{S}=\frac{81}{4}+\frac{81}{4}=\frac{81}{2}$. Ambii termeni au ieșit pozitivi, deci ordinea a fost citită corect din tabel; scrisă dintr-o singură bucată, integrala ${\int }_{-3}^3(9x-x^3)dx$ ar fi dat $0$, pentru că integrandul este o funcție impară (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Din $x^2+1=3x-1$ obținem $x^2-3x+2=0$, cu soluțiile $x_1=1$ și $x_2=2$ (1 p). Amândouă se află strict între $0$ și $3$, deci sunt interioare intervalului dat (1 p).

b) (2 p) Dintre „cele trei surse de rupturi" — un zerou al funcției, un punct în care se schimbă marginea regiunii, un punct în care se schimbă formula funcției — aici apare prima: diferența $f-g$ se anulează și își schimbă semnul în punctele interioare $1$ și $2$ (1 p). Subintervalele de integrare sunt așadar $[0,1]$, $[1,2]$ și $[2,3]$ (1 p).

c) (3 p) Diferența este $f(x)-g(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, pozitivă pe $[0,1]$ și pe $[2,3]$, negativă pe $[1,2]$ (1 p). Cu primitiva $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x$ obținem, pe rând, $\frac{5}{6}$, $-\frac{1}{6}$ și $\frac{5}{6}$ (1 p), deci $$\mathcal{S}=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}.$$ Toți cei trei termeni ai sumei sunt pozitivi (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Diferența vitezelor este $v_1(t)-v_2(t)=(20-2t)-(8+t)=12-3t=3(4-t)$ (1 p), expresie pozitivă pentru $t<4$ și nulă exact la $t=4$; prin urmare $v_1\ge v_2$ pe tot intervalul, cu egalitate numai în capătul din dreapta (1 p).

b) (3 p) Graficul lui $v_1$ este deasupra pe tot intervalul, deci modulul dispare (1 p): $$\mathcal{S}={\int }_0^4(12-3t)dt=\left(12t-\frac{3t^2}{2}\right){|}_0^4=48-24=24.$$ (1 p) Pe axe stau metri pe secundă și secunde, deci unitatea produsului este metrul: rezultatul este $24$ metri (1 p).

c) (2 p) Aria dintre cele două grafice de viteză este diferența distanțelor parcurse, adică distanța dintre mobile la momentul $t=4$ s: primul a parcurs ${\int }_0^4{v}_1=64$ m, al doilea ${\int }_0^4{v}_2=40$ m, iar $64-40=24$ m (1 p). La $t=4$ s vitezele devin egale, deci diferența lor se anulează; de acolo încolo integrandul $v_1-v_2$ ar fi negativ, adică al doilea mobil ar începe să recupereze, iar distanța dintre ele nu ar mai crește (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Din $x^2-5x+4=0$ obținem $\Delta =25-16=9$, deci $x_1=1$ și $x_2=4$ (1 p); ambele se află în $[0,5]$ și sunt interioare acestui interval (1 p). Coeficientul dominant fiind pozitiv, trinomul este negativ între rădăcini și pozitiv în afara lor (1 p):

b) (3 p) O primitivă a lui $f$ este $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+4x$ (1 p). Atunci $${\int }_0^5(x^2-5x+4)dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+4x\right){|}_0^5=\frac{125}{3}-\frac{125}{2}+20$$ (1 p) $$=\frac{250-375+120}{6}=-\frac{5}{6}.$$ (1 p)

c) (4 p) Aria se scrie ca sumă de trei integrale, cu $f$ acolo unde funcția este pozitivă și $-f$ acolo unde este negativă (1 p): $$\mathcal{S}={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^4(-f(x))dx+{\int }_4^{5}f(x)dx.$$ Cu aceeași primitivă: $F(1)-F(0)=\frac{11}{6}$, $-(F(4)-F(1))=\frac{9}{2}$ și $F(5)-F(4)=\frac{11}{6}$ (1 p), deci $$\mathcal{S}=\frac{11}{6}+\frac{9}{2}+\frac{11}{6}=\frac{11+27+11}{6}=\frac{49}{6}\approx 8,167.$$ Toți cei trei termeni sunt pozitivi, deci semnele au fost citite corect din tabel (1 p). Inegalitatea de modul se verifică: $\left|-\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6}<\frac{49}{6}$, iar inegalitatea este strictă tocmai pentru că funcția își schimbă semnul pe interval (1 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (4 p) Regiunea este mărginită la stânga de axa $Oy$, la dreapta de curbă și de sus de dreapta orizontală $y=8$, deci fâșiile care o compun sunt orizontale și se integrează după $y$ (1 p). Din $y=x^3$ cu $x\ge 0$ rezultă $x=\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$, funcție continuă și pozitivă pe $[0,8]$ (1 p). Atunci $$\mathcal{S}={\int }_0^8{y}^{1/3}dy=\frac{3}{4}{y}^{4/3}{|}_0^8$$ (1 p) $$=\frac{3}{4}\cdot 16=12.$$ (1 p)

b) (3 p) Curba trece prin punctul $(2,8)$, deci regiunea studiată este ce rămâne din dreptunghiul $[0,2]\times [0,8]$, de arie $16$, după ce scoatem subgraficul funcției $x\mapsto x^3$ pe $[0,2]$ (1 p). Acesta din urmă are aria $${\int }_0^2{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_0^2=4$$ (1 p), iar diferența este $16-4=12$, adică exact rezultatul de la subpunctul a) (1 p).

c) (3 p) Funcția $h$ este continuă și pozitivă pe $[0,b]$, deci aria subgraficului ei este (1 p) $$\mathcal{S}({\Gamma }_h)={\int }_0^b{x}^{3}dx=\frac{b^4}{4}.$$ Ecuația $\frac{b^4}{4}=\frac{81}{4}$ devine $b^4=81$ (1 p), cu singura soluție pozitivă $b=3$ (1 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Funcția $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, fiind produsul dintre o funcție polinomială și exponențială (1 p). Derivăm produsul: $$F^{\prime }(x)=(3-x{)}^{\prime }{e}^x+(3-x)(e^x{)}^{\prime }=-e^x+(3-x)e^x$$ (2 p) $$=e^x(-1+3-x)=(2-x)e^x=f(x)$$ (1,5 p) pentru orice $x$ real. Cum $F$ este derivabilă pe intervalul $\mathbb{R}$ și $F^{\prime }=f$ acolo, $F$ este o primitivă a lui $f$ (0,5 p).

b) (5 p) Funcția $f$ este continuă pe $[0,2]$, deci integrabilă, și admite primitiva $F$ de la subpunctul a); se aplică formula Leibniz–Newton (1 p): $${\int }_0^2(2-x)e^{x}dx=(3-x)e^x{|}_0^2$$ (2 p) $$=(3-2)e^2-(3-0)e^0=e^2-3.$$ (2 p) (Numeric, $e^2-3\approx 4,389$.)

c) (5 p) Semnul lui $f$ este dat de factorul $2-x$, pentru că $e^x>0$ pentru orice $x$ (1 p):

Zeroul $x=2$ este interior intervalului $[0,3]$, deci aria se scrie ca sumă de două integrale (1 p): $$\mathcal{S}={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^3(-f(x))dx.$$ Primul termen este $e^2-3$, calculat la subpunctul b) (0,5 p). Pentru al doilea, $${\int }_2^{3}f(x)dx=(3-x)e^x{|}_2^3=0-e^2=-e^2,$$ deci ${\int }_2^3(-f(x))dx=e^2$ (1,5 p). Prin urmare $$\mathcal{S}=(e^2-3)+e^2=2e^2-3\approx 11,778.$$ Ambii termeni ai sumei sunt pozitivi, iar aria este mai mare decât integrala ${\int }_0^{3}f(x)dx=-3$, cum cere inegalitatea de modul (1 p).