Test: asimptotele funcțiilor

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă prima jumătate a unității — lecțiile despre asimptote — și verifică cinci lucruri. Primul: definițiile, cu tot ce ține de ele — condiția $m\ne 0$ din definiția asimptotei oblice, faptul că „se apropie" nu înseamnă „nu atinge" și lista completă a locurilor în care se caută asimptote (capetele domeniului și punctele de discontinuitate, nicăieri altundeva). Al doilea: asimptota orizontală, cu studiul separat al celor două capete și cu regula gradelor la funcțiile raționale, citită ca o consecință a împărțirii, nu ca o formulă memorată. Al treilea: asimptota oblică, cu „procedura în trei pași" — $m$ finit și nenul, apoi $n$ finit, apoi concluzia —, cu „Propoziția de excludere reciprocă" dintre orizontală și oblică spre același capăt și cu „cele patru situații în care asimptota oblică nu există". Al patrulea: asimptota verticală, cu deosebirea dintre o valoare interzisă care dă o gaură și una care dă într-adevăr o dreaptă, cu precizarea obligatorie „la stânga", „la dreapta" sau „bilaterală". Al cincilea: „schema asimptotelor în patru pași", aplicată întreagă, cu rezultatul scris ca listă de drepte cu ecuațiile lor.

Testul cere de la elev un tip anume de redactare, pe care baremele examenului îl punctează literal: limita scrisă → valoarea ei → ecuația dreptei → capătul precizat. Un răspuns care spune doar „funcția are asimptotă orizontală" nu primește punctaj, oricât de corect ar fi calculul din spate.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare asimptotă se cere limita scrisă, nu doar rezultatul ei.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice studiu începe cu domeniul scris ca reuniune de intervale. Se depunctează: capătul nemenționat („asimptotă orizontală $y=2$", fără „spre $+\infty$"), răspunsul dat ca valoare a limitei în loc de ecuație de dreaptă, calculul lui $n$ înaintea lui $m$, declararea unei asimptote verticale într-o valoare interzisă fără calculul limitelor laterale, uitarea modulului $\sqrt{x^2}=|x|$ la capătul $-\infty$ și listarea, spre același capăt, și a unei orizontale, și a unei oblice.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe procedura în trei pași a oblicei și pe lista candidaților la asimptotă verticală.
• Formule de reținut: Asimptotă orizontală spre $+\infty$: dreapta $y=\ell$, unde $\ell =\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\in \mathbb{R}$; analog spre $-\infty$, iar cele două capete se studiază separat. Asimptotă oblică spre $+\infty$: dreapta $y=mx+n$, unde $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)\in \mathbb{R}$ — întâi $m$, apoi $n$. Asimptotă verticală: dreapta $x=a$, dacă cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită; se precizează la stânga, la dreapta sau bilaterală. Candidații la verticală: capetele finite și deschise ale domeniului și punctele de discontinuitate — niciodată un punct interior în care $f$ este continuă. Propoziția de excludere reciprocă: spre același capăt, graficul nu poate avea și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică. Cele patru situații în care oblica nu există: panta nu există; panta este infinită; panta este nulă; termenul liber nu este finit sau nu există. Regula gradelor la $f=\frac{P}{Q}$: $\mathrm{grad}P<\mathrm{grad}Q$ dă $y=0$; grade egale dau $y=\frac{a}{b}$ (raportul coeficienților dominanți); $\mathrm{grad}P=\mathrm{grad}Q+1$ dă oblica $y=$ câtul împărțirii; diferență de grade cel puțin $2$ nu dă nicio asimptotă la infinit. Capcana radicalilor: $\sqrt{x^2}=|x|$, deci spre $-\infty$ panta își schimbă semnul. Schema asimptotelor în patru pași: domeniul $\to$ verticalele $\to$ spre $-\infty$ (orizontală, altfel oblică) $\to$ spre $+\infty$ (idem). Formularea corectă: „dreapta $y=\dots$ este asimptotă la graficul funcției $f$", nu „asimptota funcției".

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiții, candidați și asimptota orizontală

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx-n)=0$ și, în plus: A. $m\in \mathbb{R}$; B. $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$; C. $n\ne 0$; D. $m>0$.

b) Candidații la asimptotă verticală sunt: A. toate punctele domeniului; B. punctele în care se anulează derivata; C. capetele finite și deschise ale domeniului, împreună cu punctele de discontinuitate; D. numai capetele $-\infty$ și $+\infty$.

c) Graficul unei funcții poate avea cel mult: A. o asimptotă neverticală; B. două asimptote neverticale; C. trei asimptote neverticale; D. oricâte asimptote neverticale.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dacă un număr real este exclus din domeniul funcției, atunci dreapta verticală care trece prin el este asimptotă la graficul funcției." b) „Graficul unei funcții nu poate intersecta o asimptotă orizontală a sa." c) „O funcție continuă pe tot $\mathbb{R}$ nu are nicio asimptotă verticală." d) „Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=3$, atunci graficul funcției $f$ are asimptotă oblică spre $+\infty$."

Itemul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare funcție rațională, precizează tipul asimptotei spre $+\infty$ și spre $-\infty$ și scrie ecuația dreptei, atunci când ea există (câte 2 puncte): a) $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}$; b) $f(x)=\frac{x^2+2x+7}{x+3}$; c) $f(x)=\frac{x^3-1}{x+4}$.

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4e^x+3}{e^x+2}$.

a) Arată că domeniul maxim de definiție este $\mathbb{R}$ și că graficul funcției nu are nicio asimptotă verticală. (2 p) b) Calculează limitele lui $f$ la $-\infty$ și la $+\infty$ și scrie asimptotele orizontale, cu capătul precizat la fiecare. (3 p) c) Explică de ce graficul nu are asimptotă oblică spre niciun capăt. (2 p)

Partea a II-a – Asimptota oblică și asimptota verticală

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2-3x-1}{x-2}$.

a) Arată, prin împărțire cu rest, că $f(x)=2x+1+\frac{1}{x-2}$. (3 p) b) Determină asimptota oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$, parcurgând procedura în trei pași și scriind ambele limite. (3 p) c) Stabilește poziția graficului față de asimptota oblică și arată că graficul nu o intersectează. (2 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\sqrt{4x^2-12x}$.

a) Determină domeniul maxim de definiție al funcției. (2 p) b) Determină asimptotele oblice spre $+\infty$ și spre $-\infty$, tratând separat cele două capete. (4 p) c) Arată că graficul nu are nicio asimptotă verticală, deși domeniul nu este $\mathbb{R}$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{x^2-x-2}{(x+1)(x-3{)}^2}$.

a) Determină domeniul maxim de definiție și scrie lista candidaților la asimptotă verticală. (2 p) b) Arată că dreapta $x=-1$ nu este asimptotă și că dreapta $x=3$ este asimptotă verticală bilaterală, precizând semnul fiecărei limite laterale. (3 p) c) Determină asimptota orizontală a graficului. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\ln \left(x^2-6x+5\right)$.

a) Determină domeniul maxim de definiție. (2 p) b) Determină asimptotele verticale, precizând pentru fiecare dacă este la stânga, la dreapta sau bilaterală. (3 p) c) Arată că graficul nu are asimptotă orizontală și nici asimptotă oblică spre $+\infty$, și precizează care dintre cele patru situații de inexistență a oblicei se aplică. (2 p)

Partea a III-a – Schema asimptotelor, parametru și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Aplică schema asimptotelor în patru pași funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x-3}$.

a) Pasul 1 și începutul pasului 2: scrie domeniul ca reuniune de intervale și lista candidaților la asimptotă verticală; arată apoi că $f(x)=x-2-\frac{2}{x-3}$. (3 p) b) Încheie pasul 2: calculează cele două limite laterale în $3$ și precizează felul asimptotei verticale. (3 p) c) Parcurge pașii 3 și 4 și scrie rezultatul final ca listă de drepte cu ecuațiile lor. (4 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Se consideră familia de funcții $f_a:\mathbb{R}\setminus \{-2\}\to \mathbb{R}$, $f_a(x)=\frac{a{x}^2+x+1}{x+2}$, unde $a$ este un număr real.

a) Pentru $a=0$, determină toate asimptotele graficului. (3 p) b) Pentru $a\ne 0$, arată că $f_a(x)=ax+1-2a+\frac{4a-1}{x+2}$ și deduce asimptota oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$. (4 p) c) Determină valoarea lui $a$ pentru care graficul funcției $f_a$ nu are asimptotă verticală și descrie graficul obținut în acest caz. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3x+18}{x+2}$.

a) Arătați că $f(x)=x+1+\frac{16}{x+2}$ și determinați asimptota verticală la graficul funcției $f$, cu ambele limite laterale scrise. (5 p) b) Determinați asimptota oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$ la graficul funcției $f$. (5 p) c) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x+6)(x-2)}{(x+2{)}^2}$, alcătuiți tabelul de variație complet, știind că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{32}{(x+2{)}^3}$, și determinați punctele de extrem local și imaginea funcției. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Condiția $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ face parte din definiție: dacă panta ar fi nulă, condiția s-ar reduce la $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-n)=0$, adică $f(x)\to n$, care este definiția asimptotei orizontale $y=n$. Cuvântul „oblică" spune tocmai că dreapta este înclinată.

b) C. Asimptotele sunt un fenomen de margine. Într-un punct interior în care $f$ este continuă, limita este finită și egală cu $f(x_0)$, deci nu poate fi infinită; acolo graficul trece liniștit prin punct. Rămân capetele finite și deschise ale intervalelor domeniului și punctele de discontinuitate.

c) B. Spre fiecare capăt infinit există cel mult una — orizontală sau oblică, niciodată amândouă, conform Propoziției de excludere reciprocă. Cele două capete dau, împreună, cel mult două asimptote neverticale. (Verticale, în schimb, pot fi oricâte.)

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. O valoare exclusă este doar un candidat; ea devine asimptotă numai dacă cel puțin una dintre limitele laterale iese infinită. Contraexemplu: $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x+1}$ are $-1$ exclus, dar $f(x)=x-2$ pe domeniu, deci limita în $-1$ este $-3$, finită: graficul are o gaură în punctul $(-1,-3)$, nu o asimptotă.

b) F. Definiția cere doar ca distanța de la punctul mobil al graficului la dreaptă să tindă la zero, nu ca ea să fie mereu strict pozitivă. Contraexemplu: $f(x)=\frac{2x-4}{x^2+4}$ are asimptota orizontală $y=0$ spre ambele capete și totuși taie axa $Ox$ în $x=2$, unde numărătorul se anulează.

c) A. Continuitatea în $x_0$ înseamnă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, deci ambele limite laterale sunt finite în orice punct; iar dacă domeniul este $\mathbb{R}$, nu există capete finite deschise. Așadar funcțiile polinomiale, $\sin$, $\cos$ și $e^x$ nu au asimptote verticale, oricât de repede ar crește.

d) F. Panta finită și nenulă este doar primul pas: mai trebuie ca $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-3x)$ să fie finit. Contraexemplu: $f(x)=3x+\sqrt{x+1}$ are $m=3$, dar $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x+1}=+\infty$, deci nu are asimptotă oblică — este situația a patra dintre cele patru situații de inexistență.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Gradele numărătorului și numitorului sunt egale ($2=2$), deci asimptota este orizontală, cu ecuația dată de raportul coeficienților dominanți: $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}=\frac{3}{2}.$$ Dreapta $y=\frac{3}{2}$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

b) Gradul numărătorului îl depășește cu exact unu pe cel al numitorului, deci asimptota este oblică, iar ecuația ei este câtul împărțirii: din $x^2+2x+7=(x+3)(x-1)+10$ rezultă $f(x)=x-1+\frac{10}{x+3}$, deci dreapta $y=x-1$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$.

c) Diferența de grade este $2$, deci nu există nicio asimptotă la infinit: $\frac{f(x)}{x}=\frac{x^3-1}{x^2+4x}\to +\infty$ când $x\to +\infty$, deci panta nu este finită. Graficul crește ca o parabolă, nu se lipește de nicio dreaptă.

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Numitorul este $e^x+2$, iar $e^x>0$ pentru orice $x$ real, deci $e^x+2>2>0$: numitorul nu se anulează niciodată și domeniul maxim este $\mathbb{R}$ (1 p). Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul, iar domeniul nu are capete finite; nu există deci niciun candidat la asimptotă verticală (1 p).

b) (3 p) Spre $-\infty$: $e^x\to 0$, deci $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4e^x+3}{e^x+2}=\frac{0+3}{0+2}=\frac{3}{2}$$ și dreapta $y=\frac{3}{2}$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ (1,5 p). Spre $+\infty$: împărțim numărătorul și numitorul la $e^x$ și obținem $f(x)=\frac{4+3e^{-x}}{1+2e^{-x}}$; cum $e^{-x}\to 0$, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{4+0}{1+0}=4$$ și dreapta $y=4$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ (1,5 p). Cele două capete dau drepte diferite, de aceea se studiază separat.

c) (2 p) La fiecare capăt limita funcției este finită, deci există asimptotă orizontală acolo (1 p); conform Propoziției de excludere reciprocă, spre același capăt nu pot exista și orizontală, și oblică, deci graficul nu are asimptotă oblică nici spre $-\infty$, nici spre $+\infty$ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Efectuăm împărțirea lui $2x^2-3x-1$ la $x-2$: câtul este $2x+1$, iar restul este $1$ (2 p). Verificarea, obligatorie înainte de a scrie concluzia: $(x-2)(2x+1)=2x^2+x-4x-2=2x^2-3x-2$, iar adunând restul $1$ obținem exact $2x^2-3x-1$ (0,5 p). Prin urmare $$f(x)=2x+1+\frac{1}{x-2},x\ne 2$$ (0,5 p).

b) (3 p) Pasul 1 — panta: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-3x-1}{x^2-2x}=2\in {\mathbb{R}}^{\ast }$$ (1 p). Pasul 2 — termenul liber: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-2x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-3x-1-2x^2+4x}{x-2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x-2}=1\in \mathbb{R}$$ (1 p). Pasul 3 — concluzia: dreapta $y=2x+1$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$. Calculele spre $-\infty$ sunt identice și dau aceleași valori, deci aceeași dreaptă este asimptotă oblică și spre $-\infty$ (1 p).

c) (2 p) Diferența dintre funcție și dreaptă este chiar restul împărțit la numitor: $$f(x)-(2x+1)=\frac{1}{x-2}$$ (1 p). Ea este strict pozitivă pentru $x>2$ — graficul stă deasupra asimptotei — și strict negativă pentru $x<2$ — graficul stă dedesubt. Cum o fracție cu numărătorul $1$ nu se anulează niciodată, graficul nu intersectează asimptota (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (2 p) Condiția de existență a radicalului de ordin par este $4x^2-12x\ge 0$, adică $4x(x-3)\ge 0$ (1 p). Trinomul are rădăcinile $0$ și $3$ și coeficientul dominant pozitiv, deci este pozitiv în afara rădăcinilor: $$D=(-\infty ,0]\cup [3,+\infty )$$ (1 p).

b) (4 p) Spre $+\infty$. Limita funcției este $+\infty$, deci nu există asimptotă orizontală și trecem la pantă. Pentru $x>0$ avem $\sqrt{4x^2-12x}=2x\sqrt{1-\frac{3}{x}}$, deci $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2-12x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }2\sqrt{1-\frac{3}{x}}=2\in {\mathbb{R}}^{\ast }$$ (1 p). Amplificăm cu conjugata: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-12x}-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-12x}{\sqrt{4x^2-12x}+2x}=\frac{-12}{4}=-3$$ (1 p), deci dreapta $y=2x-3$ este asimptotă oblică spre $+\infty$. Spre $-\infty$. Acum $x<0$, deci $\sqrt{4x^2}=2|x|=-2x$ și $$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x\sqrt{1-\frac{3}{x}}}{x}=-2,n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-12x}+2x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-12x}{\sqrt{4x^2-12x}-2x}=\frac{-12}{-4}=3$$ (1,5 p), deci dreapta $y=-2x+3$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ (0,5 p). Cine uită modulul obține aceeași dreaptă la ambele capete și desenează un grafic fals pe jumătate.

c) (2 p) Cele două capete finite ale domeniului, $0$ și $3$, sunt închise: funcția este definită acolo, cu $f(0)=f(3)=0$, și este continuă în ele (1 p). Un candidat la asimptotă verticală trebuie să fie un capăt finit deschis sau un punct de discontinuitate; aici nu există niciunul, deci graficul nu are nicio asimptotă verticală (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Numitorul se anulează pentru $x=-1$ și $x=3$, deci $$D=\mathbb{R}\setminus \{-1,3\}$$ (1 p). Ambele numere sunt capete finite și deschise ale intervalelor domeniului, deci lista candidaților la asimptotă verticală este $\{-1,3\}$ (1 p).

b) (3 p) Factorizăm numărătorul: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, deci pe domeniu $$f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{(x+1)(x-3{)}^2}=\frac{x-2}{(x-3{)}^2}$$ (1 p). În $-1$: forma simplificată este continuă acolo, cu limita $\frac{-3}{16}$, finită; graficul are o gaură în punctul $\left(-1,-\frac{3}{16}\right)$, deci $x=-1$ nu este asimptotă (1 p). În $3$: numărătorul tinde la $1>0$, iar numitorul $(x-3{)}^2$ tinde la $0$ prin valori pozitive, rădăcina fiind de ordin par; prin urmare $$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty \text{și}\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,$$ deci dreapta $x=3$ este asimptotă verticală bilaterală, cu ambele ramuri urcând (1 p).

c) (2 p) Pe forma simplificată, gradul numărătorului ($1$) este mai mic decât al numitorului ($2$) (1 p), deci $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{(x-3{)}^2}=0$$ și dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$ (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Condiția de existență a logaritmului este $x^2-6x+5>0$ (0,5 p). Trinomul are rădăcinile $1$ și $5$, deci $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, iar coeficientul dominant fiind pozitiv, expresia este pozitivă în afara rădăcinilor (1 p): $$D=(-\infty ,1)\cup (5,+\infty )$$ (0,5 p).

b) (3 p) Candidații sunt capetele finite deschise $1$ și $5$ (0,5 p). Când $x\to 1$, $x<1$, argumentul $(x-1)(x-5)$ tinde la $0$ prin valori pozitive, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\ln \left(x^2-6x+5\right)=-\infty$$ și dreapta $x=1$ este asimptotă verticală la stânga; la dreapta lui $1$ funcția nici nu este definită (1,25 p). Analog, când $x\to 5$, $x>5$, argumentul tinde la $0$ prin valori pozitive, deci limita este $-\infty$ și dreapta $x=5$ este asimptotă verticală la dreapta (1,25 p).

c) (2 p) Spre $+\infty$ argumentul tinde la $+\infty$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$: nu există asimptotă orizontală (0,5 p). Trecem la pantă; logaritmul crește mai încet decât orice putere pozitivă a lui $x$, deci $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln \left(x^2-6x+5\right)}{x}=0$$ (1 p). Panta fiind nulă, nu există asimptotă oblică: este situația a treia dintre cele patru situații în care oblica nu există (0,5 p). (Analog spre $-\infty$.)

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Pasul 1 — domeniul: numitorul se anulează în $3$, deci $$D=(-\infty ,3)\cup (3,+\infty )$$ (0,5 p). Începutul pasului 2: singurul candidat la asimptotă verticală este $3$, capăt finit deschis al ambelor intervale (0,5 p). Împărțim cu rest: câtul lui $x^2-5x+4$ la $x-3$ este $x-2$, iar restul este $-2$ (1,5 p); verificare: $(x-3)(x-2)=x^2-5x+6$, iar $x^2-5x+6-2=x^2-5x+4$. Prin urmare $$f(x)=x-2-\frac{2}{x-3}$$ (0,5 p).

b) (3 p) Când $x\to 3$, $x<3$, avem $x-3\to 0$ prin valori negative, deci $\frac{2}{x-3}\to -\infty$ și, cu semnul minus din față, $$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$$ (1 p). Când $x\to 3$, $x>3$, avem $x-3\to 0$ prin valori pozitive, deci $\frac{2}{x-3}\to +\infty$ și $$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$$ (1 p). Ambele limite laterale fiind infinite, dreapta $x=3$ este asimptotă verticală bilaterală; semnele sunt inversate față de cazul obișnuit, pentru că restul împărțirii este negativ (1 p).

c) (4 p) Pasul 3 — spre $-\infty$: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$, deci nu există orizontală (0,5 p); trecem la oblică: $$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-5x+4}{x^2-3x}=1\in {\mathbb{R}}^{\ast },n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-2-\frac{2}{x-3}\right)=-2\in \mathbb{R}$$ (1,5 p), deci dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $-\infty$. Pasul 4 — spre $+\infty$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, deci nu există orizontală; aceleași două limite dau tot $m=1$ și $n=-2$, deci aceeași dreaptă $y=x-2$ este asimptotă oblică și spre $+\infty$ (1 p). Rezultatul final, ca listă de drepte: dreapta $x=3$ este asimptotă verticală bilaterală, iar dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ (1 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Pentru $a=0$ funcția devine $f_0(x)=\frac{x+1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}$ (1 p). Gradele fiind egale, $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{f}_0(x)=1$, deci dreapta $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$ (1 p). În $-2$ numărătorul tinde la $-1\ne 0$, iar numitorul la $0$; la stânga $x+2<0$, deci limita este $+\infty$, iar la dreapta $x+2>0$, deci limita este $-\infty$: dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală (1 p).

b) (4 p) Împărțim $a{x}^2+x+1$ la $x+2$: câtul este $ax+1-2a$, iar restul este $4a-1$ (2 p). Verificare: $(x+2)(ax+1-2a)=a{x}^2+(1-2a)x+2ax+2-4a=a{x}^2+x+2-4a$, iar adunând $4a-1$ obținem $a{x}^2+x+1$ (0,5 p). Deci $$f_a(x)=ax+1-2a+\frac{4a-1}{x+2}$$ (0,5 p). Cum $\frac{4a-1}{x+2}\to 0$ spre ambele capete, iar panta $a$ este nenulă prin ipoteză, dreapta $y=ax+1-2a$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$ (1 p).

c) (3 p) Dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală exact atunci când restul este nenul; ea dispare exact când restul se anulează (1 p), adică $4a-1=0$, deci $$a=\frac{1}{4}$$ (1 p). În acest caz $\frac{1}{4}{x}^2+x+1=\frac{1}{4}(x+2{)}^2$, deci $f_{1/4}(x)=\frac{x+2}{4}$ pentru orice $x\ne -2$: graficul este dreapta $y=\frac{x+2}{4}$ din care lipsește punctul $(-2,0)$ — o gaură, nu o asimptotă (1 p). (Observă că valoarea $\frac{1}{4}$ este nenulă, deci se află într-adevăr în cazul studiat la subpunctul b).)

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Împărțim $x^2+3x+18$ la $x+2$: câtul este $x+1$, iar restul este $16$ (1,5 p); verificare: $(x+2)(x+1)=x^2+3x+2$, iar $x^2+3x+2+16=x^2+3x+18$ (0,5 p). Prin urmare $$f(x)=x+1+\frac{16}{x+2},x\ne -2$$ (1 p). În $-2$ numărătorul tinde la $4-6+18=16\ne 0$, iar numitorul la $0$ (0,5 p): $$\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x<-2\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$$ (1 p). Ambele limite laterale fiind infinite, dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală la graficul funcției $f$ (0,5 p).

b) (5 p) Limitele la capete sunt $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, deci nu există asimptotă orizontală spre niciun capăt și trecem la pantă (1 p): $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+3x+18}{x^2+2x}=1\in {\mathbb{R}}^{\ast }$$ (1,5 p). Cu acest $m$, $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{16}{x+2}\right)=1\in \mathbb{R}$$ (1,5 p). Prin urmare dreapta $y=x+1$ este asimptotă oblică spre $+\infty$; aceleași două limite calculate spre $-\infty$ dau tot $m=1$ și $n=1$, deci aceeași dreaptă este asimptotă oblică și spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ (1 p).

c) (5 p) Derivăm forma obținută la subpunctul a): $$f^{\prime }(x)=1-\frac{16}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+2{)}^2-16}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+6)(x-2)}{(x+2{)}^2}$$ (1,5 p). Numitorul este strict pozitiv pe domeniu, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul produsului $(x+6)(x-2)$, cu rădăcinile $-6$ și $2$. Valorile: $f(-6)=-6+1+\frac{16}{-4}=-9$ și $f(2)=2+1+\frac{16}{4}=7$; iar $f^{\prime \prime }(-6)=\frac{32}{(-4{)}^3}=-\frac{1}{2}$ și $f^{\prime \prime }(2)=\frac{32}{4^3}=\frac{1}{2}$ (1 p). Derivata a doua nu se anulează niciodată și își schimbă semnul numai în $-2$, punct care nu aparține domeniului, deci graficul nu are niciun punct de inflexiune. Punctele marcate sunt $-6$, $-2$ și $2$, deci $k=3$ și tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane (0,5 p).

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-6]$ și pe $[2,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-6,-2)$ și pe $(-2,2]$; are punctul de maxim local $x=-6$, cu valoarea maximă locală $f(-6)=-9$, și punctul de minim local $x=2$, cu valoarea minimă locală $f(2)=7$; este concavă pe $(-\infty ,-2)$ și convexă pe $(-2,+\infty )$, fără puncte de inflexiune (0,5 p).

Pe $(-\infty ,-2)$ funcția urcă de la $-\infty$ la $-9$ și coboară înapoi spre $-\infty$, deci acoperă $(-\infty ,-9]$; pe $(-2,+\infty )$ coboară de la $+\infty$ la $7$ și urcă înapoi spre $+\infty$, deci acoperă $[7,+\infty )$. Prin urmare $$\mathrm{Im}f=(-\infty ,-9]\cup [7,+\infty )$$ (0,5 p). (Maximul local este mai mic decât minimul local, pentru că cele două stau pe ramuri diferite ale domeniului.)