Test: binomul lui Newton

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Metode de numărare

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea de combinatorică și verifică formula care leagă tot ce s-a învățat până acum: binomul lui Newton. Aici combinările nu mai numără echipe, ci apar drept coeficienți — iar elevul trebuie să înțeleagă de ce: desfăcând cele $n$ paranteze ale produsului $(a+b{)}^n$, termenul $a^{n-k}{b}^k$ se obține o dată pentru fiecare mod de a alege cele $k$ paranteze din care se ia $b$, adică de $C_n^k$ ori. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: structura dezvoltării — câți termeni are ($n+1$, nu $n$), cum coboară și cum urcă exponenții, de ce suma lor este constant $n$. Al doilea: scrierea efectivă a dezvoltărilor, inclusiv atunci când termenii au coeficienți ($(2x+3{)}^4$) sau când binomul este o diferență, caz în care semnele alternează. Al treilea: termenul general $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, cu atenția la faptul că rangul este $k+1$, nu $k$, și cu deosebirea dintre coeficientul binomial și coeficientul termenului. Al patrulea: identitățile obținute prin particularizări — suma coeficienților binomiali este $2^n$, iar suma lor alternantă este $0$ — și verificarea rapidă prin înlocuirea lui $x$ cu $1$. Conform programei de trunchi comun, toate dezvoltările concrete din test au exponentul cel mult $5$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii marcați se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Coeficienții se pot citi din triunghiul lui Pascal, construit pe ciornă. Fiecare dezvoltare scrisă trebuie să treacă cele două verificări obligatorii: numărul de termeni este $n+1$, iar în fiecare termen suma exponenților este $n$. Se depunctează pierderea alternanței semnelor la binoamele cu minus și confuzia dintre rangul termenului și indicele $k$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe legătura „rang $=k+1$" și pe ridicarea la putere a întregului termen, cu tot cu coeficientul lui.
• Formule de reținut: formula binomului lui Newton: $$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^n{b}^n,$$ cu $n+1$ termeni, coeficienții fiind exact numerele de pe linia $n$ a triunghiului lui Pascal. Termenul general: $$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k,k=0,1,\dots ,n,$$ deci termenul al patrulea corespunde lui $k=3$, iar al șaselea lui $k=5$. Diferența: $(a-b{)}^n$ se obține înlocuind $b$ cu $-b$, adică $T_{k+1}=(-1{)}^k{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ — semnele alternează, începând cu plus. Simetrie: $C_n^k=C_n^{n-k}$, deci termenii egal depărtați de capete au același coeficient binomial. Identități (particularizări ale formulei): pentru $a=b=1$, $$C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n;$$ pentru $a=1$, $b=-1$, suma alternantă $C_n^0-C_n^1+C_n^2-\dots$ este $0$ (pentru $n\ge 1$). Verificarea rapidă a unei dezvoltări: se înlocuiește $x=1$ și se compară suma coeficienților cu valoarea binomului în $x=1$. Linia $5$ a triunghiului lui Pascal: $1,5,10,10,5,1$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Structura dezvoltării și dezvoltări directe

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul termenilor dezvoltării $(a+b{)}^5$ este: A. $5$; B. $6$; C. $7$; D. $10$.

b) Coeficientul termenului $a^2{b}^3$ din dezvoltarea $(a+b{)}^5$ este: A. $5$; B. $10$; C. $15$; D. $20$.

c) Suma coeficienților dezvoltării $(x+1{)}^4$ este: A. $4$; B. $8$; C. $16$; D. $32$.

Itemul 2 (6 puncte)

Scrie dezvoltarea completă, ordonând termenii după puterile descrescătoare ale lui $x$:

a) $(x+2{)}^4$; (3 p)

b) $(2x-1{)}^3$. (3 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n$ termeni."

b) „În orice termen al dezvoltării lui $(a+b{)}^5$, suma exponenților lui $a$ și $b$ este $5$."

c) „$C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=32$."

d) „În dezvoltarea lui $(a-b{)}^4$, toți termenii sunt pozitivi."

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră dezvoltarea $(x+3{)}^5$.

a) Scrie termenul general $T_{k+1}$ al dezvoltării și precizează ce valori poate lua $k$. (3 p)

b) Calculează termenul al treilea al dezvoltării. (3 p)

Partea a II-a – Termeni, coeficienți și calcule cu binomul

Itemul 5 (8 puncte)

Determină (câte 2 puncte):

a) termenul al patrulea al dezvoltării $(x+1{)}^5$;

b) coeficientul lui $x^2$ din dezvoltarea $(x+2{)}^4$;

c) termenul care îl conține pe $x^3$ în dezvoltarea $(2x-1{)}^5$;

d) suma coeficienților dezvoltării $(3x-2{)}^4$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Scrie dezvoltarea completă a lui $(3-x{)}^4$, ordonată după puterile crescătoare ale lui $x$. (4 p)

b) Determină suma coeficienților dezvoltării și verific-o prin înlocuirea lui $x$ cu $1$ în binomul inițial. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Scrie dezvoltarea completă a lui $(a+b{)}^5$, citind coeficienții de pe linia $5$ a triunghiului lui Pascal. (3 p)

b) Folosind dezvoltarea de la a) pentru $a=10$ și $b=1$, calculează $11^5$. (4 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Calculează suma $C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5$ în două moduri: prin adunare directă și printr-o particularizare a formulei binomului. (3 p)

b) Arată că $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0$ și explică ce particularizare a formulei binomului dă acest rezultat. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Determină $n$, știind că suma coeficienților binomiali din dezvoltarea $(a+b{)}^n$ este $32$. (3 p)

b) Pentru valoarea găsită, scrie termenul (sau termenii) din mijloc al dezvoltării $(a+b{)}^n$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Explică, pornind de la desfacerea celor $n$ paranteze ale produsului $(a+b{)}^n$, de ce coeficientul termenului $a^{n-k}{b}^k$ este $C_n^k$. (5 p)

b) Aplică raționamentul pentru a determina coeficientul lui $a^2{b}^3$ din $(a+b{)}^5$ și verifică rezultatul scriind dezvoltarea completă. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră dezvoltarea $(2x+3{)}^4$.

a) Scrie dezvoltarea completă. (4 p)

b) Determină suma coeficienților dezvoltării. (2 p)

c) Determină coeficientul termenului care îl conține pe $x^3$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră dezvoltarea $(x+2{)}^5$.

a) Scrie dezvoltarea completă. (3 p)

b) Determină termenul care îl conține pe $x^2$ și precizează coeficientul lui. (2 p)

c) Verifică dezvoltarea înlocuind $x=1$ și comparând suma coeficienților cu $3^5$. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră numerele $a={\left(1+\sqrt{3}\right)}^4$ și $b={\left(1-\sqrt{3}\right)}^4$.

a) Arătați că $a=28+16\sqrt{3}$. (3 p)

b) Arătați că $a+b$ este număr natural. (3 p)

c) Calculați produsul $a\cdot b$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n+1$ termeni, corespunzând valorilor $k=0,1,\dots ,n$; pentru $n=5$ sunt $6$ termeni. Varianta A este greșeala tipică — „câți termeni, atâta exponent".

b) B. Exponentul lui $b$ este $3$, deci $k=3$, iar coeficientul este $C_5^3=10$. (Simetria dă același rezultat pe drumul complementar: $C_5^3=C_5^2=10$.)

c) C. Suma coeficienților se obține înlocuind $x=1$: $(1+1{)}^4=2^4=16$. Verificare prin dezvoltare: $1+4+6+4+1=16$ ✓.

Itemul 2. (6 p)

a) (3 p) Coeficienții binomiali sunt cei de pe linia $4$: $1,4,6,4,1$, iar $b=2$ se ridică la puteri crescătoare (1 p): $$(x+2{)}^4=x^4+4\cdot 2\cdot x^3+6\cdot 4\cdot x^2+4\cdot 8\cdot x+16,$$ adică (1,5 p) $$(x+2{)}^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16.$$ (Verificare cu $x=1$: $1+8+24+32+16=81=3^4$ ✓) (0,5 p).

b) (3 p) Coeficienții liniei $3$ sunt $1,3,3,1$; se ridică la putere întregul termen $2x$, iar semnele alternează, pentru că al doilea termen este $-1$ (1 p): $$(2x-1{)}^3=(2x{)}^3-3(2x{)}^2+3(2x)-1=8x^3-12x^2+6x-1$$ (1,5 p). (Verificare cu $x=1$: $8-12+6-1=1=(2-1{)}^3$ ✓) (0,5 p).

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Dezvoltarea are $n+1$ termeni, pentru că indicele $k$ parcurge valorile $0,1,\dots ,n$, adică $n+1$ valori. De exemplu, $(a+b{)}^3$ are patru termeni.

b) A. Termenul general este $T_{k+1}=C_5^k{a}^{5-k}{b}^k$, iar suma exponenților este $(5-k)+k=5$, indiferent de $k$. Este una dintre cele două verificări rapide ale unei dezvoltări.

c) A. Suma coeficienților binomiali de pe linia $n$ este $2^n$, deci aici $2^5=32$. Verificare directă: $1+5+10+10+5+1=32$ ✓.

d) F. Semnele alternează, pentru că $(-b{)}^k=(-1{)}^k{b}^k$. Concret, $$(a-b{)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4,$$ deci al doilea și al patrulea termen sunt negativi. (La exponent par, primul și ultimul termen sunt pozitivi — ceea ce nu înseamnă că toți sunt.)

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Cu $a=x$ și $b=3$, termenul general este (2 p) $$T_{k+1}=C_5^k{x}^{5-k}\cdot 3^k,$$ iar $k$ ia valorile $0,1,2,3,4,5$ — în total $6$ valori, corespunzând celor $6$ termeni ai dezvoltării (1 p).

b) (3 p) Termenul al treilea are rangul $3$, deci $k+1=3$, adică $k=2$ (1 p): $$T_3=C_5^2{x}^3\cdot 3^2=10\cdot 9\cdot x^3=90x^3$$ (2 p). (Verificare: suma exponenților în $x^3\cdot 3^2$ se referă doar la $x$; controlul util aici este $5-k=3$ ✓.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p determinarea lui $k$, 1 p calculul).

a) Rangul $4$ înseamnă $k=3$, deci $$T_4=C_5^3{x}^2\cdot 1^3=10x^2.$$

b) Coeficientul lui $x^2$ cere $4-k=2$, deci $k=2$: $$C_4^2\cdot 2^2=6\cdot 4=24.$$

c) În $(2x-1{)}^5$, termenul general este $T_{k+1}=C_5^k(2x{)}^{5-k}(-1{)}^k$. Condiția $5-k=3$ dă $k=2$, deci $$T_3=C_5^2(2x{)}^3(-1{)}^2=10\cdot 8x^3=80x^3.$$ (Semnul este plus, pentru că $k=2$ este par.)

d) Suma coeficienților se obține înlocuind $x=1$: $$(3\cdot 1-2{)}^4=1^4=1.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Scriem $(3-x{)}^4$ cu $a=3$ și $b=-x$; coeficienții liniei $4$ sunt $1,4,6,4,1$ (1 p): $$(3-x{)}^4=3^4-4\cdot 3^{3}x+6\cdot 3^2{x}^2-4\cdot 3x^3+x^4$$ (1,5 p), adică, ordonat după puterile crescătoare ale lui $x$ (1,5 p): $$(3-x{)}^4=81-108x+54x^2-12x^3+x^4.$$

b) (3 p) Suma coeficienților este (1,5 p) $$81-108+54-12+1=16.$$ Verificare prin înlocuirea lui $x$ cu $1$ în binomul inițial: $(3-1{)}^4=2^4=16$ ✓ (1,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Linia $5$ a triunghiului lui Pascal este $1,5,10,10,5,1$ (1 p), deci (2 p) $$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5.$$

b) (4 p) Pentru $a=10$ și $b=1$ avem $a+b=11$, deci membrul stâng este chiar $11^5$ (1 p). Membrul drept devine (2 p): $$10^5+5\cdot 10^4+10\cdot 10^3+10\cdot 10^2+5\cdot 10+1.$$ Adunând: $100000+50000+10000+1000+50+1=161051$ (1 p). Așadar $11^5=161051$. (Se observă că, până la linia $4$ inclusiv, cifrele rezultatului sunt chiar numerele din triunghiul lui Pascal — de la linia $5$ încolo apar însă transporturi, pentru că unele numere depășesc $9$.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Adunare directă: $1+5+10+10+5+1=32$ (1,5 p). Prin binom: în formula $(a+b{)}^5$ punem $a=b=1$; membrul stâng devine $2^5=32$, iar membrul drept este exact suma cerută (1,5 p): $$C_5^0+C_5^1+\cdots +C_5^5=(1+1{)}^5=2^5=32.$$

b) (3 p) Calcul direct: $1-5+10-10+5-1=0$ (1,5 p). Particularizarea: se ia $a=1$ și $b=-1$ în formula binomului (1,5 p): $$0=(1-1{)}^5=C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5.$$ (Consecință: coeficienții de rang par și cei de rang impar au aceeași sumă, adică $1+10+5=16=2^4$ pentru fiecare grupă.)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Suma coeficienților binomiali din dezvoltarea $(a+b{)}^n$ este $2^n$ (1,5 p). Din $2^n=32=2^5$ rezultă $n=5$ (1,5 p).

b) (3 p) Dezvoltarea are $n+1=6$ termeni, un număr par, deci nu există un singur termen din mijloc, ci doi: cei de rang $3$ și $4$ (1 p). Aceștia corespund lui $k=2$ și $k=3$ (1 p): $$T_3=C_5^2{a}^3{b}^2=10a^3{b}^2,T_4=C_5^3{a}^2{b}^3=10a^2{b}^3$$ (1 p). (Coeficienții lor sunt egali, prin simetria $C_5^2=C_5^3$.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Puterea $(a+b{)}^n$ înseamnă produsul a $n$ paranteze identice (0,5 p): $$(a+b{)}^n=\underset{n\text{paranteze}}{\underbrace{(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}}.$$ Desfacerea produsului înseamnă: din fiecare paranteză se alege exact unul dintre cei doi termeni, $a$ sau $b$, iar toate alegerile posibile se adună (1,5 p).

Un termen al sumei arată ca $a^{n-k}{b}^k$ exact atunci când s-a ales $b$ din $k$ paranteze și $a$ din celelalte $n-k$ (1 p). Prin urmare, numărul de dăți în care apare termenul $a^{n-k}{b}^k$ este numărul de moduri de a alege submulțimea celor $k$ paranteze din care se ia $b$ (1 p). Ordinea în care sunt alese parantezele nu contează — contează doar care sunt ele — deci acest număr este $C_n^k$ (0,5 p).

Adunând termenii asemenea, coeficientul lui $a^{n-k}{b}^k$ este $C_n^k$, ceea ce dă chiar formula binomului (0,5 p): $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k.■$$

b) (3 p) Pentru $n=5$ și termenul $a^2{b}^3$ avem $k=3$ (se alege $b$ din trei paranteze), deci coeficientul este $C_5^3=10$ (1,5 p). Verificare prin dezvoltarea completă (1,5 p): $$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5✓$$

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Cu $a=2x$, $b=3$ și coeficienții liniei $4$ (1 p): $$(2x+3{)}^4=(2x{)}^4+4(2x{)}^3\cdot 3+6(2x{)}^2\cdot 9+4(2x)\cdot 27+81$$ (1,5 p), adică (1,5 p) $$(2x+3{)}^4=16x^4+96x^3+216x^2+216x+81.$$ (Atenție: se ridică la putere întregul termen $2x$, nu doar $x$.)

b) (2 p) Se înlocuiește $x=1$ în binomul inițial: $(2+3{)}^4=5^4=625$ (1 p). Verificare prin adunarea coeficienților: $16+96+216+216+81=625$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Termenul cu $x^3$ este al doilea, obținut pentru $k=1$: $C_4^1(2x{)}^3\cdot 3=4\cdot 8\cdot 3\cdot x^3$, deci coeficientul este $96$ (2 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Coeficienții liniei $5$ sunt $1,5,10,10,5,1$, iar $b=2$ se ridică la puteri crescătoare (1 p): $$(x+2{)}^5=x^5+5\cdot 2x^4+10\cdot 4x^3+10\cdot 8x^2+5\cdot 16x+32,$$ adică (2 p) $$(x+2{)}^5=x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32.$$

b) (2 p) Condiția $5-k=2$ dă $k=3$, deci termenul este $T_4=C_5^3{x}^2\cdot 2^3=10\cdot 8x^2=80x^2$, iar coeficientul lui este $80$ (2 p). (Coeficientul termenului, $80$, nu trebuie confundat cu coeficientul binomial, $C_5^3=10$.)

c) (3 p) Suma coeficienților este (1,5 p) $$1+10+40+80+80+32=243.$$ Pe de altă parte, înlocuind $x=1$ în binomul inițial obținem $(1+2{)}^5=3^5=243$ ✓ (1,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Se dezvoltă cu coeficienții liniei $4$, luând $a=1$ și $b=\sqrt{3}$ (1 p): $${\left(1+\sqrt{3}\right)}^4=1+4\sqrt{3}+6\cdot 3+4\cdot 3\sqrt{3}+9,$$ folosind ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$, ${\left(\sqrt{3}\right)}^3=3\sqrt{3}$ și ${\left(\sqrt{3}\right)}^4=9$ (1 p). Grupând separat partea rațională și partea cu radical (1 p): $$a=(1+18+9)+(4+12)\sqrt{3}=28+16\sqrt{3}.$$

b) (3 p) Dezvoltarea lui $b$ se obține la fel, cu $b=-\sqrt{3}$; semnele termenilor de rang par (adică cei cu $k$ impar) se schimbă (1,5 p): $$b={\left(1-\sqrt{3}\right)}^4=28-16\sqrt{3}.$$ Prin urmare (1,5 p) $$a+b=\left(28+16\sqrt{3}\right)+\left(28-16\sqrt{3}\right)=56\in \mathbb{N}.$$ (Termenii cu radical se anulează doi câte doi — este tiparul standard la acest tip de item.)

c) (2 p) Cel mai scurt drum folosește proprietatea puterilor: produsul a două puteri cu același exponent este puterea produsului (1 p): $$a\cdot b={\left[\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)\right]}^4={\left(1-3\right)}^4=(-2{)}^4=16$$ (1 p). (Verificare prin calcul direct: $\left(28+16\sqrt{3}\right)\left(28-16\sqrt{3}\right)=28^2-16^2\cdot 3=784-768=16$ ✓.)