Test: cercul în planul cartezian

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Conice

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă primele patru lecții ale unității de conice — cercul, de la definiția lui ca loc geometric până la tangentă — și verifică cinci lucruri. Primul: cele două scrieri ale cercului, canonică și generală, cu trecerea în ambele sensuri și cu citirea corectă a centrului, $C(-m,-n)$, și a razei, din $r^2=m^2+n^2-p$. Al doilea: condiția de existență $m^2+n^2-p>0$, verificată înainte de a scrie „cercul are centrul…", cu recunoașterea celor două cazuri degenerate — un singur punct și mulțimea vidă. Al treilea: poziția unui punct și poziția unei drepte, decise prin comparații între pătrate: $E(x_0,y_0)$ față de $r^2$, respectiv distanța de la centru la dreaptă față de rază, cu tratarea separată a dreptei verticale. Al patrulea: tangenta într-un punct al cercului, scrisă cu „cei trei pași ai tangentei la cerc" — verificarea apartenenței, panta razei, dreapta prin punct și pantă — și controlată la final prin distanța de la centru. Al cincilea: problemele de determinare, cu regula „trei necunoscute înseamnă trei condiții": cercul prin trei puncte, rezolvat ca sistem liniar în $m$, $n$, $p$, și cercul tangent unei drepte, cu $d(C,d)=r$.

Testul cere de la elev redactarea pe care baremele o punctează literal: condiția verificată → elementele scrise ca listă → calculul cerut → controlul final prin substituție. Un răspuns care sare peste verificarea apartenenței unui punct sau peste condiția de existență pierde punctele de justificare, chiar dacă rezultatul final este corect.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare tangentă se cere și controlul, nu doar ecuația.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Comparațiile se fac între pătrate, ca să nu apară radicali inutili. Se depunctează: raza confundată cu pătratul ei; semnul neschimbat la citirea centrului din paranteze; identificarea lui $2m$ drept $m$; lipsa normalizării când coeficienții pătratelor nu sunt $1$; declararea unei tangente fără controlul $d(C,t)=r$; și uitarea dreptei verticale la tangentele duse dintr-un punct exterior.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor despre ecuația canonică, ecuația generală și poziția dreptei față de cerc.
• Formule de reținut: Ecuația canonică: cercul de centru $C(a,b)$ și rază $r>0$ are ecuația $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Ecuația generală: $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$, cu centrul $(-m,-n)$ și $r^2=m^2+n^2-p$; ea reprezintă un cerc numai dacă $m^2+n^2-p>0$, un singur punct dacă expresia este nulă și mulțimea vidă dacă este negativă. Cercul trece prin origine exact când $p=0$. Poziția unui punct: se compară $E(x_0,y_0)=(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2$ cu $r^2$ — mai mic înseamnă interior, egal înseamnă pe cerc, mai mare înseamnă exterior. Cercul de diametru $AB$: centrul este mijlocul lui $AB$, iar $r=\frac{AB}{2}$. Poziția unei drepte: cu $\delta =\mathrm{dist}(C,d)=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, avem $\delta <r$ secantă, $\delta =r$ tangentă, $\delta >r$ exterioară; același răspuns îl dă semnul discriminantului sistemului, prin identitatea $\frac{\Delta }{4}=(1+m^2)\left(r^2-{\delta }^2\right)$. Lungimea coardei: $\ell =2\sqrt{r^2-{\delta }^2}$. Cei trei pași ai tangentei la cerc: se verifică apartenența punctului, se calculează panta razei, se scrie dreapta prin punct și pantă, cu $m_{\text{tg}}=-\frac{1}{m_{\text{raza˘}}}$. Tangentele dintr-un punct exterior: două, de lungime $PT=\sqrt{C{P}^2-r^2}$; dreapta verticală prin punct se verifică separat. Trei necunoscute înseamnă trei condiții: apartenența unui punct dă o ecuație liniară în $m$, $n$, $p$, anume $2x_{0}m+2y_{0}n+p=-\left(x_0^2+y_0^2\right)$, iar tangența la o dreaptă se scrie $d(C,d)=r$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Onestitate despre examen: în subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă a clasei a XII-a. Formatul cu trei subpuncte folosit la itemul $11$ anticipează structura cerinței, nu prezența ei în variantele publicate până acum. Tehnica sistemelor liniare rezolvate cu formulele lui Cramer, folosită la cercul prin trei puncte, este însă materie de algebră de clasa a XI-a, cerută la examen în forma ei proprie.

Itemi

Partea I – Cele două ecuații ale cercului și poziția unui punct

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Centrul cercului de ecuație $(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=225$ este: A. $(3,-4)$; B. $(-3,4)$; C. $(3,4)$; D. $(-3,-4)$.

b) Ecuația $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$ reprezintă un cerc dacă și numai dacă: A. $p<0$; B. $m^2+n^2-p>0$; C. $m^2+n^2-p=0$; D. oricare ar fi $m$, $n$, $p$.

c) O dreaptă și un cerc au cel mult: A. un punct comun; B. două puncte comune; C. trei puncte comune; D. patru puncte comune.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dacă un punct verifică inegalitatea $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2<r^2$, atunci el aparține cercului de centru $C(a,b)$ și rază $r$." b) „O dreaptă verticală nu poate fi tangentă unui cerc, pentru că nu are pantă." c) „Prin trei puncte oarecare ale planului trece întotdeauna un cerc și numai unul." d) „Tangenta într-un punct al cercului este perpendiculară pe raza dusă în acel punct."

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește ce mulțime de puncte descrie fiecare ecuație și, când este cerc, determină centrul și raza (câte 2 puncte): a) $x^2+y^2+6x-8y-200=0$; b) $x^2+y^2-14x+2y+50=0$; c) $2x^2+2y^2+12x-28y+130=0$.

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră punctele $A(9,13)$ și $B(-15,-5)$.

a) Arată că mijlocul segmentului $AB$ este punctul $(-3,4)$ și că $AB=30$. (2 p) b) Scrie ecuația canonică a cercului care are segmentul $AB$ drept diametru și verifică rezultatul substituind ambele capete. (3 p) c) Stabilește poziția punctelor $P(6,16)$ și $Q(0,0)$ față de acest cerc. (2 p)

Partea a II-a – Drepte, coarde și tangente

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră cercul $\mathcal{C}:(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=225$.

a) Stabilește poziția dreptelor $d_1:y=-8$, $d_2:x=12$ și $d_3:x=14$ față de cerc. (3 p) b) Determină punctele comune ale dreptei $d_1$ cu cercul și calculează lungimea coardei determinate, în două moduri. (3 p) c) Determină punctul de tangență al dreptei $d_2$. (2 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră același cerc $\mathcal{C}:(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=225$ și dreapta $d:3x+4y-82=0$.

a) Arată, folosind distanța de la centru la dreaptă, că $d$ este tangentă cercului. (3 p) b) Confirmă rezultatul prin substituție: arată că ecuația de gradul al doilea obținută are rădăcină dublă și determină punctul de tangență. (3 p) c) Scrie ecuația tangentei paralele cu $d$, dusă în punctul diametral opus punctului de tangență de la subpunctul b). (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră cercul de ecuație $x^2+y^2+6x-8y-200=0$ și punctul $T(9,13)$.

a) Determină centrul și raza cercului, plecând de la coeficienții ecuației generale. (2 p) b) Arată că $T$ aparține cercului și scrie ecuația tangentei în $T$, parcurgând cei trei pași ai tangentei la cerc. (3 p) c) Verifică rezultatul calculând distanța de la centru la dreapta obținută. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Determină ecuația cercului care trece prin punctele $A(0,6)$, $B(12,6)$ și $D(14,-8)$, scriind pentru fiecare punct condiția de apartenență în necunoscutele $m$, $n$, $p$. (4 p) b) Determină centrul și raza cercului obținut și verifică rezultatul pe toate cele trei puncte. (2 p) c) Precizează, fără niciun calcul suplimentar, dacă cercul trece prin originea reperului. (1 p)

Partea a III-a – Determinări, tangente dintr-un punct exterior și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

a) Scrie ecuația canonică a cercului cu centrul $C(6,-2)$, tangent dreptei $d:3x-4y-1=0$, numărând mai întâi condițiile din enunț. (3 p) b) Determină punctul de tangență. (3 p) c) Determină valorile reale ale lui $k$ pentru care dreapta $3x-4y+k=0$ este tangentă cercului găsit la subpunctul a). (4 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Se consideră cercul $x^2+y^2=225$ și punctul $P(25,0)$.

a) Arată că $P$ este exterior cercului și calculează lungimea tangentei duse din $P$. (3 p) b) Determină ecuațiile celor două tangente duse din $P$, verificând la final și dreapta verticală prin $P$. (5 p) c) Determină punctele de tangență și arată că ele sunt simetrice față de axa $Ox$. (2 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea.) Se consideră cercul de ecuație $x^2+y^2-12x+4y-60=0$.

a) Arătați că ecuația reprezintă un cerc, determinați centrul și raza lui și verificați că punctul $A(12,6)$ îi aparține. (5 p) b) Scrieți ecuația tangentei la cerc în punctul $A$ și verificați rezultatul prin distanța de la centru la dreapta obținută. (5 p) c) Stabiliți poziția dreptei $d:3x+4y+20=0$ față de cerc și calculați lungimea coardei determinate de ea. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Forma canonică conține scăderea coordonatelor centrului, deci $(x+3{)}^2=(x-(-3){)}^2$ și centrul este $(-3,4)$. Raza este $\sqrt{225}=15$, nu $225$.

b) B. Completarea pătratelor duce la $(x+m{)}^2+(y+n{)}^2=m^2+n^2-p$; membrul stâng este o sumă de pătrate, deci nenegativ. Pentru valoare negativă a membrului drept nu există niciun punct, pentru valoare nulă rămâne punctul $(-m,-n)$, iar curbă se obține numai când expresia este strict pozitivă.

c) B. Sistemul format din ecuația cercului și ecuația dreptei duce, prin substituție, la o ecuație de gradul al doilea, care are cel mult două soluții reale.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Inegalitatea strictă înseamnă $MC<r$, deci punctul este în interiorul cercului. Pe cerc se află exact punctele care verifică egalitatea; cercul este curba, nu discul.

b) F. Lipsa pantei împiedică doar scrierea $y=mx+n$, nu și tangența. Contraexemplu: dreapta $x=12$ este tangentă cercului $(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=225$ în punctul $(12,4)$, pentru că distanța de la centrul $(-3,4)$ la ea este $|12+3|=15=r$.

c) F. Prin trei puncte trece un cerc și numai unul doar dacă ele sunt necoliniare; determinantul sistemului este de patru ori determinantul de coliniaritate, deci se anulează exact în cazul coliniar. Contraexemplu: $(2,1)$, $(4,5)$, $(6,9)$ sunt pe dreapta $y=2x-3$, iar o dreaptă taie un cerc în cel mult două puncte.

d) A. Distanța de la centru la o dreaptă se măsoară pe perpendiculară, iar la tangentă această distanță minimă este chiar raza; punctul cel mai apropiat de centru este deci punctul de tangență.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Coeficienții lui $x^2$ și $y^2$ sunt egali cu $1$ și nu apare termenul $xy$. Din $2m=6$, $2n=-8$ și termenul liber $-200$ rezultă $m=3$, $n=-4$, $p=-200$, deci $$m^2+n^2-p=9+16+200=225>0.$$ Ecuația reprezintă un cerc de centru $C(-3,4)$ și rază $r=15$. Forma canonică este $(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=225$.

b) Aici $m=-7$, $n=1$, $p=50$, deci $m^2+n^2-p=49+1-50=0$: mulțimea se reduce la un singur punct, $(7,-1)$. Într-adevăr, completarea pătratelor dă $(x-7{)}^2+(y+1{)}^2=0$, egalitate posibilă doar când ambele pătrate sunt nule.

c) Coeficientul comun al pătratelor este $2$, deci normalizăm întâi: $x^2+y^2+6x-14y+65=0$, cu $m=3$, $n=-7$, $p=65$. Atunci $m^2+n^2-p=9+49-65=-7<0$, deci ecuația nu are nicio soluție reală: mulțimea vidă.

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Mijlocul segmentului are coordonatele mediilor: $$\left(\frac{9+(-15)}{2},\frac{13+(-5)}{2}\right)=(-3,4)$$ (1 p). Lungimea: $AB=\sqrt{(9+15{)}^2+(13+5{)}^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30$ (1 p).

b) (3 p) Centrul cercului de diametru $AB$ este mijlocul lui $AB$, adică $C(-3,4)$, iar raza este $\frac{AB}{2}=15$ (1,5 p), deci $$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=225$$ (0,5 p). Verificare pe ambele capete: $A(9,13)$ dă $144+81=225$ ✓, iar $B(-15,-5)$ dă $144+81=225$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Calculăm $E(x_0,y_0)=(x_0+3{)}^2+(y_0-4{)}^2$ și comparăm cu $r^2=225$. Pentru $P(6,16)$: $E=81+144=225$, deci $P$ este pe cerc (1 p). Pentru $Q(0,0)$: $E=9+16=25<225$, deci originea este interioară (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Centrul este $C(-3,4)$, iar raza $r=15$. La o orizontală $y=y_0$ distanța de la centru este $|y_0-4|$, iar la o verticală $x=x_0$ este $|x_0+3|$ (0,75 p). Rezultă: pentru $d_1$, $\delta =12<15$, deci dreapta este secantă (0,75 p); pentru $d_2$, $\delta =15=r$, deci dreapta este tangentă (0,75 p); pentru $d_3$, $\delta =17>15$, deci dreapta este exterioară (0,75 p).

b) (3 p) Substituim $y=-8$ în ecuația cercului: $$(x+3{)}^2+144=225⟺(x+3{)}^2=81⟺x+3=\pm 9,$$ deci $x=6$ sau $x=-12$ (1,5 p). Punctele comune sunt $(6,-8)$ și $(-12,-8)$, iar coarda are lungimea $|6-(-12)|=18$ (0,75 p). Al doilea mod, cu formula: $2\sqrt{r^2-{\delta }^2}=2\sqrt{225-144}=2\cdot 9=18$ ✓ (0,75 p).

c) (2 p) Substituim $x=12$: $225+(y-4{)}^2=225$, adică $(y-4{)}^2=0$ (1 p). Rădăcina dublă $y=4$ confirmă tangența, iar punctul de tangență este $(12,4)$ (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (3 p) Cu $C(-3,4)$ și $r=15$, $$\mathrm{dist}(C,d)=\frac{|3\cdot (-3)+4\cdot 4-82|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-9+16-82|}{5}=\frac{75}{5}=15$$ (2 p). Cum distanța este egală cu raza, dreapta este tangentă cercului (1 p).

b) (3 p) Din ecuația dreptei, $y=\frac{82-3x}{4}$; substituind în ecuația cercului și înmulțind cu $16$ obținem $$16(x+3{)}^2+(66-3x{)}^2=3600⟺25x^2-300x+900=0⟺x^2-12x+36=0$$ (2 p), adică $(x-6{)}^2=0$: rădăcină dublă $x=6$, semnătura algebrică a tangenței (0,5 p). Atunci $y=\frac{82-18}{4}=16$, deci punctul de tangență este $(6,16)$; el verifică ambele ecuații ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Punctul diametral opus lui $(6,16)$ este simetricul lui față de centru: $(2(-3)-6,2\cdot 4-16)=(-12,-8)$ (1 p). Tangenta acolo este paralelă cu $d$, deci are forma $3x+4y+k=0$; impunând să treacă prin punct, $-36-32+k=0$, deci $k=68$ și tangenta este $3x+4y+68=0$. Control: $\frac{|-9+16+68|}{5}=15=r$ ✓ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Din $2m=6$ rezultă $m=3$, din $2n=-8$ rezultă $n=-4$, iar $p=-200$ (1 p). Prin urmare $C(-m,-n)=(-3,4)$ și $r^2=9+16+200=225$, deci $r=15$ (1 p).

b) (3 p) Pasul 1 — apartenența: $81+169+54-104-200=0$ ✓, deci $T$ este pe cerc (1 p). Pasul 2 — panta razei: $m_{\text{raza˘}}=\frac{13-4}{9-(-3)}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ (1 p). Pasul 3 — dreapta prin punct și pantă: tangenta are panta $-\frac{4}{3}$, deci $y-13=-\frac{4}{3}(x-9)$, adică $$4x+3y-75=0$$ (1 p).

c) (2 p) Distanța de la centru la dreapta găsită: $$\frac{|4\cdot (-3)+3\cdot 4-75|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|-12+12-75|}{5}=\frac{75}{5}=15$$ (1,5 p), egală cu raza, deci dreapta este într-adevăr tangentă (0,5 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (4 p) Condiția ca punctul $(x_0,y_0)$ să aparțină cercului $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$ se scrie liniar, $2x_{0}m+2y_{0}n+p=-\left(x_0^2+y_0^2\right)$ (1 p). Pentru cele trei puncte obținem $$\{\begin{array}{l}12n+p=-36\\ 24m+12n+p=-180\\ 28m-16n+p=-260\end{array}$$ (1,5 p) Scăzând prima ecuație din a doua rămâne $24m=-144$, deci $m=-6$ (0,5 p). Înlocuind în a treia, $-168-16n+p=-260$, iar din prima $p=-36-12n$; rezultă $-168-16n-36-12n=-260$, adică $-28n=-56$ și $n=2$, apoi $p=-60$ (0,5 p). Ecuația cercului este $$x^2+y^2-12x+4y-60=0$$ (0,5 p).

b) (2 p) Condiția de existență: $m^2+n^2-p=36+4+60=100>0$ ✓, deci $C(6,-2)$ și $r=10$ (1 p). Verificare: $A(0,6)$ dă $0+36-0+24-60=0$ ✓; $B(12,6)$ dă $144+36-144+24-60=0$ ✓; $D(14,-8)$ dă $196+64-168-32-60=0$ ✓ (1 p).

c) (1 p) Un cerc trece prin origine exact când termenul liber este nul. Aici $p=-60\ne 0$, deci cercul nu trece prin originea reperului.

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Numărăm condițiile: centrul aduce două, tangența pe a treia — problema este bine pusă (0,5 p). Raza este distanța de la centru la dreaptă: $$r=\frac{|3\cdot 6-4\cdot (-2)-1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|18+8-1|}{5}=\frac{25}{5}=5$$ (1,5 p), deci ecuația canonică este $(x-6{)}^2+(y+2{)}^2=25$ (1 p).

b) (3 p) Punctul de tangență este piciorul perpendicularei din centru pe dreaptă. Îl căutăm de forma $(6+3t,-2-4t)$, cu $t$ real, și impunem ecuația dreptei (1 p): $$3(6+3t)-4(-2-4t)-1=25t+25=0,$$ deci $t=-1$ și punctul este $T(3,2)$ (1 p). Control dublu: $T$ verifică ecuația dreptei, $9-8-1=0$ ✓, și pe cea a cercului, $9+16=25$ ✓ (1 p).

c) (4 p) Toate dreptele $3x-4y+k=0$ sunt paralele între ele, iar tangența înseamnă $\mathrm{dist}(C,d)=r$ (1 p): $$\frac{|18+8+k|}{5}=5⟺|26+k|=25$$ (1,5 p). Rezultă $26+k=25$ sau $26+k=-25$, deci $k=-1$ sau $k=-51$ (1 p). Prima valoare redă chiar dreapta din enunț, iar a doua dă tangenta paralelă cu ea, dusă în punctul diametral opus (0,5 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Cercul are centrul în origine și raza $15$. Cum $O{P}^2=625>225=r^2$, punctul $P$ este exterior (1,5 p). Triunghiul format de centru, punctul de tangență și $P$ este dreptunghic în punctul de tangență, deci $$PT=\sqrt{O{P}^2-r^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20$$ (1,5 p).

b) (5 p) Dreptele cu pantă prin $P$ se scriu $y=m(x-25)$, adică $mx-y-25m=0$ (1 p). Condiția de tangență: $$\frac{|-25m|}{\sqrt{m^2+1}}=15⟺625m^2=225\left(m^2+1\right)⟺400m^2=225$$ (2 p), deci $m^2=\frac{9}{16}$ și $m=\pm \frac{3}{4}$ (1 p). Tangentele sunt $$t_1:3x-4y-75=0,t_2:3x+4y-75=0$$ (0,5 p). Verificăm separat verticala $x=25$: distanța ei la centru este $25\ne 15$, deci nu este tangentă și nu se adaugă la răspuns (0,5 p).

c) (2 p) Punctele de tangență sunt picioarele perpendicularelor din origine; pentru $t_1$ obținem $(9,-12)$, iar pentru $t_2$ obținem $(9,12)$, ambele verificând $81+144=225$ ✓ (1,5 p). Ele au aceeași abscisă și ordonate opuse, deci sunt simetrice față de axa $Ox$ — ceea ce era de așteptat, pentru că întreaga configurație este simetrică față de dreapta $OP$, adică față de $Ox$ (0,5 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Coeficienții lui $x^2$ și $y^2$ sunt egali cu $1$ și nu apare termenul $xy$; identificăm $m=-6$, $n=2$, $p=-60$ (1,5 p). Atunci $$m^2+n^2-p=36+4+60=100>0,$$ deci ecuația reprezintă un cerc de centru $C(6,-2)$ și rază $r=10$ (2 p). Forma canonică este $(x-6{)}^2+(y+2{)}^2=100$. Substituim $A(12,6)$: $144+36-144+24-60=0$ ✓, deci $A$ aparține cercului (1,5 p).

b) (5 p) Panta razei $CA$ este $\frac{6-(-2)}{12-6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ (1,5 p), deci tangenta are panta $-\frac{3}{4}$ (1 p) și ecuația $$y-6=-\frac{3}{4}(x-12)⟺3x+4y-60=0$$ (1,5 p). Control: $\frac{|3\cdot 6+4\cdot (-2)-60|}{5}=\frac{50}{5}=10=r$ ✓ (1 p).

c) (5 p) Distanța de la centru la dreaptă: $$\delta =\frac{|3\cdot 6+4\cdot (-2)+20|}{\sqrt{9+16}}=\frac{30}{5}=6$$ (2 p). Cum $6<10$, dreapta este secantă (1 p). Lungimea coardei: $$\ell =2\sqrt{r^2-{\delta }^2}=2\sqrt{100-36}=2\cdot 8=16$$ (1,5 p). Control pe puncte: substituind $x=\frac{-20-4y}{3}$ în ecuația cercului se obțin punctele $(-4,-2)$ și $\left(\frac{44}{5},-\frac{58}{5}\right)$, iar distanța dintre ele este $\sqrt{{\left(\frac{64}{5}\right)}^2+{\left(\frac{48}{5}\right)}^2}=\frac{80}{5}=16$ ✓ (0,5 p).