Test: clasele de resturi modulo n

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Legi de compoziție

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima structură concretă și finită a anului: mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ a claselor de resturi modulo $n$, cu cele două operații ale ei. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: noțiunea de clasă de resturi ca mulțime de numere întregi, criteriul de egalitate $\hat{a}=\hat{b}⟺n\mid (a-b)$ și reducerea corectă la reprezentantul standard, inclusiv pentru numere negative — locul în care se pierd cele mai multe puncte, pentru că restul din teorema împărțirii cu rest este întotdeauna nenegativ. Al doilea: adunarea și înmulțirea claselor, cu buna lor definire, care se demonstrează, nu se presupune. Al treilea: proprietățile care se transportă din $\mathbb{Z}$ (asociativitate, comutativitate, element neutru, distributivitate) și cele două care nu se transportă: un produs de clase nenule poate fi clasa nulă, iar simplificarea printr-un factor comun nu este permisă. Al patrulea: elementele inversabile, cu criteriul $(a,n)=1$, mulțimea $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ și cazul special $n$ prim. Al cincilea: ecuațiile de forma $\hat{a}\cdot \hat{x}=\hat{b}$, rezolvate prin înmulțire cu inversul sau prin verificarea celor $n$ clase, cu discuția numărului de soluții — inclusiv cazul, foarte instructiv, în care nu există nicio soluție.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu justificare se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare rezultat se scrie cu reprezentantul standard, adică sub forma $\hat{r}$ cu $0\le r<n$, iar fiecare soluție de ecuație se verifică în ecuația inițială. Se depunctează: restul negativ la reducerea unei clase; „împărțirea" ambilor membri printr-o clasă, gest care nu are sens în ${\mathbb{Z}}_n$; înmulțirea cu inversul fără justificarea prealabilă $(a,n)=1$; oprirea după prima soluție găsită atunci când coeficientul nu este inversabil; scrierea claselor cu bară, $\bar{a}$, în locul notației cerute, $\hat{a}$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor despre clasele de resturi, cu accent pe criteriul de inversabilitate și pe discuția numărului de soluții.
• Formule de reținut: clasa de resturi este $\hat{a}=\{a+kn\mid k\in \mathbb{Z}\}$, iar ${\mathbb{Z}}_n=\{\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{n-1}\}$ are exact $n$ elemente; $\hat{a}=\hat{b}$ dacă și numai dacă $n\mid (a-b)$. Operațiile sunt $$\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b},\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab},$$ ambele bine definite; adunarea are elementul neutru $\hat{0}$ și opusul $-\hat{a}=\widehat{n-a}$, înmulțirea are elementul neutru $\hat{1}$, iar înmulțirea este distributivă față de adunare. Clasa $\hat{a}$ este inversabilă în $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ dacă și numai dacă $(a,n)=1$, iar $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )=\{\hat{a}\mid (a,n)=1\}$; când $n=p$ este prim, toate cele $p-1$ clase nenule sunt inversabile. Pentru ecuația $\hat{a}\cdot \hat{x}=\hat{b}$ se calculează $d=(a,n)$: dacă $d=1$, soluția este unică, $\hat{x}={\hat{a}}^{-1}\cdot \hat{b}$; dacă $d>1$, ecuația are soluții exact când $d\mid b$, iar atunci are exact $d$ soluții.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Clase de resturi: recunoaștere și calcul

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În ${\mathbb{Z}}_{11}$, clasa numărului $-25$ este: A. $\hat{2}$; B. $\hat{8}$; C. $\hat{3}$; D. $\hat{9}$.

b) Numărul elementelor mulțimii $U({\mathbb{Z}}_{14},\cdot )$ este: A. $4$; B. $6$; C. $7$; D. $13$.

c) În ${\mathbb{Z}}_{18}$, opusul clasei $\hat{7}$ este: A. $\hat{9}$; B. $\widehat{11}$; C. $\widehat{13}$; D. $\hat{1}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează în ${\mathbb{Z}}_{14}$, scriind rezultatul cu reprezentantul standard (câte 2 puncte): a) $\hat{9}+\widehat{11}$; b) $\hat{5}\cdot \hat{9}$; c) $\widehat{13}\cdot \widehat{13}$.

Itemul 3 (6 puncte)

a) Determină clasa numărului $128$ și clasa numărului $-47$ în ${\mathbb{Z}}_9$, scriind de fiecare dată împărțirea cu rest. (3 p) b) Determină toate valorile lui $n\ge 2$ pentru care are loc egalitatea $\widehat{53}=\widehat{17}$ în ${\mathbb{Z}}_n$. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină mulțimea $U({\mathbb{Z}}_{18},\cdot )$ a claselor inversabile din ${\mathbb{Z}}_{18}$. (3 p) b) Determină inversul clasei $\hat{5}$ în ${\mathbb{Z}}_{18}$ și verifică rezultatul. (3 p)

Itemul 5 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „În ${\mathbb{Z}}_{12}$, clasa $\hat{9}$ este inversabilă." b) „În ${\mathbb{Z}}_{13}$, orice clasă nenulă este inversabilă." c) „Ecuația $\hat{6}\cdot \hat{x}=\hat{4}$ are soluții în ${\mathbb{Z}}_{15}$."

Partea a II-a – Tabla, ecuații și puteri

Itemul 6 (8 puncte)

Fie $H=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6}\}$ mulțimea claselor nenule din ${\mathbb{Z}}_7$, cu înmulțirea claselor. a) Scrie tabla înmulțirii pe $H$ și arată că $H$ este parte stabilă a lui ${\mathbb{Z}}_7$ în raport cu înmulțirea. (5 p) b) Citește din tablă elementul neutru și inversul fiecărei clase. (3 p)

Itemul 7 (8 puncte)

Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{18}$ ecuațiile de mai jos, precizând de fiecare dată metoda aleasă și numărul de soluții: a) $\hat{5}\cdot \hat{x}+\hat{7}=\hat{4}$; (4 p) b) $\hat{6}\cdot \hat{x}=\widehat{12}$. (4 p)

Itemul 8 (8 puncte)

a) Determină restul împărțirii numărului $2^{2026}$ la $9$. (4 p) b) Arată că, pentru orice număr întreg $n$, numărul $n^2+n+1$ nu se divide cu $5$. (4 p)

Itemul 9 (8 puncte)

Se lucrează în ${\mathbb{Z}}_{14}$. a) Determină toate clasele nenule $\hat{x}$ pentru care $\hat{2}\cdot \hat{x}=\hat{0}$. (3 p) b) Arată, cu un exemplu, că simplificarea prin $\hat{2}$ nu este permisă în ${\mathbb{Z}}_{14}$. (3 p) c) Verifică distributivitatea calculând $\hat{5}\cdot \left(\hat{9}+\widehat{11}\right)$ pe cele două căi. (2 p)

Partea a III-a – Sinteză și item de tip examen

Itemul 10 (10 puncte)

Se lucrează în ${\mathbb{Z}}_{21}$. a) Determină $U({\mathbb{Z}}_{21},\cdot )$ și numărul elementelor ei. (3 p) b) Rezolvă ecuația $\hat{8}\cdot \hat{x}=\hat{5}$. (4 p) c) Arată că ecuația $\hat{6}\cdot \hat{x}=\hat{4}$ nu are soluții. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Demonstrează că înmulțirea claselor de resturi este bine definită: dacă $\hat{a}=\widehat{a_1}$ și $\hat{b}=\widehat{b_1}$, atunci $\widehat{ab}=\widehat{a_1{b}_1}$. (4 p) b) Arată că, pentru orice $n\ge 2$, clasa $\widehat{n-1}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_n$ și este propriul ei invers. (4 p)

Itemul 12 (10 puncte)

(Item de tip Bacalaureat M1, Subiectul al II-lea.) Se consideră mulțimea ${\mathbb{Z}}_{14}$ a claselor de resturi modulo $14$. a) Determinați $U({\mathbb{Z}}_{14},\cdot )$ și inversul clasei $\hat{9}$. (3 p) b) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{14}$ ecuația $\hat{9}\cdot \hat{x}+\hat{5}=\hat{3}$. (3 p) c) Precizați, fără a le calcula, numărul soluțiilor ecuației $\hat{4}\cdot \hat{x}=\hat{6}$ în ${\mathbb{Z}}_{14}$, apoi rezolvați ecuația. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) B. (2 p) Împărțirea cu rest: $-25=11\cdot (-3)+8$, cu $0\le 8<11$, deci $\widehat{-25}=\hat{8}$. Restul trebuie să fie nenegativ, deci $-25=11\cdot (-2)-3$ nu dă clasa.

b) B. (2 p) Sunt inversabile clasele ai căror reprezentanți sunt primi cu $14=2\cdot 7$, adică $\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13}$ — șase clase.

c) B. (2 p) Opusul lui $\hat{a}$ este $\widehat{n-a}$, deci $-\hat{7}=\widehat{18-7}=\widehat{11}$; verificare: $\hat{7}+\widehat{11}=\widehat{18}=\hat{0}$.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte.

a) $\hat{9}+\widehat{11}=\widehat{20}=\hat{6}$, pentru că $20=14+6$ (2 p).

b) $\hat{5}\cdot \hat{9}=\widehat{45}=\hat{3}$, pentru că $45=14\cdot 3+3$ (2 p).

c) $\widehat{13}\cdot \widehat{13}=\widehat{169}=\hat{1}$, pentru că $169=14\cdot 12+1$ (2 p). (Mai scurt: $\widehat{13}=\widehat{-1}$, deci pătratul este $\hat{1}$.)

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) $128=9\cdot 14+2$, cu $0\le 2<9$, deci $\widehat{128}=\hat{2}$ (1,5 p). $-47=9\cdot (-6)+7$, cu $0\le 7<9$, deci $\widehat{-47}=\hat{7}$ (1,5 p).

b) (3 p) Criteriul de egalitate a claselor cere $n\mid (53-17)$, adică $n\mid 36$ (1,5 p). Divizorii lui $36$ mai mari sau egali cu $2$ sunt $$n\in \{2,3,4,6,9,12,18,36\}$$ (1,5 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Cum $18=2\cdot 3^2$, sunt prime cu $18$ exact numerele care nu sunt divizibile nici cu $2$, nici cu $3$ (1 p). Dintre $0,1,\dots ,17$ rămân $$U({\mathbb{Z}}_{18},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17}\right\}$$ (2 p).

b) (3 p) Cum $(5,18)=1$, inversul există (0,5 p). Căutăm primul număr de forma $1+18k$ divizibil cu $5$: $19$, $37$, $55=5\cdot 11$ (1,5 p). Deci ${\hat{5}}^{-1}=\widehat{11}$ (0,5 p). Verificare: $5\cdot 11=55=18\cdot 3+1$, deci $\hat{5}\cdot \widehat{11}=\hat{1}$ ✓ (0,5 p)

Itemul 5. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p verdictul, 1,5 p justificarea).

a) F. (0,5 p) Criteriul de inversabilitate cere $(9,12)=1$, dar $(9,12)=3\ne 1$, deci $\hat{9}$ nu este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{12}$ (1,5 p).

b) A. (0,5 p) Numărul $13$ este prim, deci pentru orice $a$ cu $1\le a\le 12$ avem $(a,13)=1$; prin urmare toate cele $12$ clase nenule sunt inversabile (1,5 p).

c) F. (0,5 p) Aici $d=(6,15)=3$, iar ecuația are soluții numai când $d\mid b$; cum $3\nmid 4$, mulțimea soluțiilor este vidă (1,5 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (5 p) Calculăm resturile produselor la împărțirea cu $7$; de pildă $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{1}$, $\hat{4}\cdot \hat{6}=\widehat{24}=\hat{3}$, $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{4}$ (1 p).

(3 p) — câte $0,5$ p pentru fiecare linie completată corect. Clasa $\hat{0}$ nu apare în niciuna dintre cele $36$ de căsuțe, pentru că $7$ este prim; prin urmare toate valorile sunt în $H$ și $H$ este parte stabilă (1 p).

b) (3 p) Linia lui $\hat{1}$ reproduce antetul de sus, iar coloana lui $\hat{1}$ reproduce antetul din stânga, deci elementul neutru este $\hat{1}$ (1 p). Căutând $\hat{1}$ pe fiecare linie obținem (2 p): $${\hat{1}}^{-1}=\hat{1},{\hat{2}}^{-1}=\hat{4},{\hat{3}}^{-1}=\hat{5},{\hat{4}}^{-1}=\hat{2},{\hat{5}}^{-1}=\hat{3},{\hat{6}}^{-1}=\hat{6}.$$

Itemul 7. (8 p)

a) (4 p) Izolăm termenul cu necunoscuta, adunând opusul lui $\hat{7}$: $\hat{5}\cdot \hat{x}=\hat{4}-\hat{7}=\widehat{-3}=\widehat{15}$ (1 p). Cum $(5,18)=1$, clasa $\hat{5}$ este inversabilă, cu ${\hat{5}}^{-1}=\widehat{11}$ (itemul 4), deci metoda inversului dă soluție unică (1 p): $$\hat{x}=\widehat{11}\cdot \widehat{15}=\widehat{165}=\hat{3},$$ pentru că $165=18\cdot 9+3$ (1,5 p). Verificare: $\hat{5}\cdot \hat{3}+\hat{7}=\widehat{15}+\hat{7}=\widehat{22}=\hat{4}$ ✓ (0,5 p)

b) (4 p) Aici $d=(6,18)=6\ne 1$, deci $\hat{6}$ nu este inversabilă și se folosește verificarea claselor; cum $6\mid 12$, ecuația are soluții, și anume exact $d=6$ (1,5 p). Produsele $\hat{6}\cdot \hat{x}$ sunt, pentru $x=0,1,\dots ,17$: $$\hat{0},\hat{6},\widehat{12},\hat{0},\hat{6},\widehat{12},\hat{0},\hat{6},\widehat{12},\hat{0},\hat{6},\widehat{12},\hat{0},\hat{6},\widehat{12},\hat{0},\hat{6},\widehat{12},$$ deci soluțiile sunt $\hat{2},\hat{5},\hat{8},\widehat{11},\widehat{14},\widehat{17}$ (2 p). Verificare pentru una dintre ele: $\hat{6}\cdot \hat{8}=\widehat{48}=\widehat{12}$, pentru că $48=18\cdot 2+12$ ✓ (0,5 p)

Itemul 8. (8 p)

a) (4 p) Lucrăm în ${\mathbb{Z}}_9$ și calculăm puterile clasei $\hat{2}$ până când reapare $\hat{1}$ (0,5 p): $${\hat{2}}^1=\hat{2},{\hat{2}}^2=\hat{4},{\hat{2}}^3=\hat{8},{\hat{2}}^4=\widehat{16}=\hat{7},{\hat{2}}^5=\widehat{14}=\hat{5},{\hat{2}}^6=\widehat{10}=\hat{1}$$ (1,5 p). Perioada este deci $6$. Împărțim exponentul: $2026=6\cdot 337+4$ (1 p), de unde $${\hat{2}}^{2026}={\left({\hat{2}}^6\right)}^{337}\cdot {\hat{2}}^4={\hat{1}}^{337}\cdot \hat{7}=\hat{7}.$$ Restul căutat este $7$ (1 p).

b) (4 p) Divizibilitatea cu $5$ înseamnă că clasa numărului este $\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_5$, deci e destul să verificăm cele cinci clase (1 p). Pentru $\hat{n}=\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$ obținem, pe rând, $${\hat{n}}^2+\hat{n}+\hat{1}=\hat{1},\hat{3},\hat{2},\hat{3},\hat{1}$$ (2,5 p) — de pildă, pentru $\hat{n}=\hat{3}$: $\hat{9}+\hat{3}+\hat{1}=\hat{4}+\hat{3}+\hat{1}=\hat{8}=\hat{3}$. Clasa $\hat{0}$ nu apare niciodată, deci $5\nmid n^2+n+1$ pentru orice $n\in \mathbb{Z}$ (0,5 p).

Itemul 9. (8 p)

a) (3 p) Condiția $\hat{2}\cdot \hat{x}=\hat{0}$ înseamnă $14\mid 2x$, adică $7\mid x$ (1,5 p). Pentru $x\in \{0,1,\dots ,13\}$ rămân $x=0$ și $x=7$, deci singura clasă nenulă este $\hat{7}$ (1,5 p). Verificare: $\hat{2}\cdot \hat{7}=\widehat{14}=\hat{0}$ ✓

b) (3 p) Avem $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$ și $\hat{2}\cdot \hat{8}=\widehat{16}=\hat{2}$ (2 p), deci $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}\cdot \hat{8}$, deși $\hat{1}\ne \hat{8}$; prin urmare din egalitatea produselor nu se poate „simplifica" factorul $\hat{2}$ (1 p).

c) (2 p) Prima cale: $\hat{9}+\widehat{11}=\widehat{20}=\hat{6}$, apoi $\hat{5}\cdot \hat{6}=\widehat{30}=\hat{2}$ (1 p). A doua cale: $\hat{5}\cdot \hat{9}=\widehat{45}=\hat{3}$ și $\hat{5}\cdot \widehat{11}=\widehat{55}=\widehat{13}$, iar $\hat{3}+\widehat{13}=\widehat{16}=\hat{2}$ (1 p). Cele două rezultate coincid, așa cum garantează distributivitatea.

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Cum $21=3\cdot 7$, sunt prime cu $21$ exact numerele care nu sunt divizibile nici cu $3$, nici cu $7$ (1 p). Obținem $$U({\mathbb{Z}}_{21},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{8},\widehat{10},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{16},\widehat{17},\widehat{19},\widehat{20}\right\},$$ adică $12$ clase (2 p).

b) (4 p) Cum $(8,21)=1$, clasa $\hat{8}$ este inversabilă și ecuația are soluție unică (1 p). Căutăm inversul: $8\cdot 8=64=21\cdot 3+1$, deci ${\hat{8}}^{-1}=\hat{8}$ (1,5 p). Înmulțind ambii membri cu $\hat{8}$ obținem $$\hat{x}=\hat{8}\cdot \hat{5}=\widehat{40}=\widehat{19},$$ pentru că $40=21+19$ (1 p). Verificare: $\hat{8}\cdot \widehat{19}=\widehat{152}$, iar $152=21\cdot 7+5$, deci rezultatul este $\hat{5}$ ✓ (0,5 p)

c) (3 p) Calculăm $d=(6,21)=3$ (1 p). Ecuația $\hat{6}\cdot \hat{x}=\hat{4}$ are soluții numai dacă $d\mid 4$ (1 p); cum $3\nmid 4$, ecuația nu are nicio soluție în ${\mathbb{Z}}_{21}$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Ipotezele $\hat{a}=\widehat{a_1}$ și $\hat{b}=\widehat{b_1}$ înseamnă, prin criteriul de egalitate a claselor, că $n\mid (a-a_1)$ și $n\mid (b-b_1)$, deci există $k,l\in \mathbb{Z}$ cu $a-a_1=kn$ și $b-b_1=ln$ (1 p). Adunăm și scădem același termen, ca să punem în evidență cele două diferențe (0,5 p): $$ab-a_1{b}_1=ab-a_{1}b+a_{1}b-a_1{b}_1=b(a-a_1)+a_1(b-b_1)=n(bk+a_{1}l)$$ (2 p). Cum $bk+a_{1}l\in \mathbb{Z}$, rezultă $n\mid (ab-a_1{b}_1)$, adică $\widehat{ab}=\widehat{a_1{b}_1}$ (0,5 p). $■$

b) (4 p) Cum $n$ și $n-1$ sunt numere naturale consecutive, avem $(n-1,n)=1$, deci clasa $\widehat{n-1}$ este inversabilă (1,5 p). Pentru a găsi inversul, calculăm $$(n-1{)}^2=n^2-2n+1=n(n-2)+1,$$ deci $n\mid [(n-1{)}^2-1]$, adică $\widehat{n-1}\cdot \widehat{n-1}=\hat{1}$ (2 p). Prin urmare $\widehat{n-1}$ este propriul ei invers (0,5 p). Control: în ${\mathbb{Z}}_{14}$, $\widehat{13}\cdot \widehat{13}=\hat{1}$, exact rezultatul de la itemul 2c.

Itemul 12. (10 p)

a) (3 p) Cum $14=2\cdot 7$, sunt prime cu $14$ clasele impare care nu sunt multipli de $7$ (0,5 p), deci $$U({\mathbb{Z}}_{14},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13}\right\}$$ (1,5 p). Pentru inversul lui $\hat{9}$ căutăm primul număr de forma $1+14k$ divizibil cu $9$: $15$, $29$, $43$, $57$, $71$, $85$, $99=9\cdot 11$, deci ${\hat{9}}^{-1}=\widehat{11}$ (1 p).

b) (3 p) Izolăm: $\hat{9}\cdot \hat{x}=\hat{3}-\hat{5}=\widehat{-2}=\widehat{12}$ (1 p). Clasa $\hat{9}$ este inversabilă, deci înmulțim cu ${\hat{9}}^{-1}=\widehat{11}$ (0,5 p): $$\hat{x}=\widehat{11}\cdot \widehat{12}=\widehat{132}=\hat{6},$$ pentru că $132=14\cdot 9+6$ (1 p). Verificare: $\hat{9}\cdot \hat{6}=\widehat{54}=\widehat{12}$, iar $\widehat{12}+\hat{5}=\widehat{17}=\hat{3}$ ✓ (0,5 p)

c) (4 p) Calculăm $d=(4,14)=2$; cum $2\mid 6$, ecuația are soluții și numărul lor este exact $d=2$ (1,5 p). Le găsim verificând clasele: produsele $\hat{4}\cdot \hat{x}$ sunt, pentru $x=0,1,\dots ,13$, $$\hat{0},\hat{4},\hat{8},\widehat{12},\hat{2},\hat{6},\widehat{10},\hat{0},\hat{4},\hat{8},\widehat{12},\hat{2},\hat{6},\widehat{10},$$ deci soluțiile sunt $\hat{5}$ și $\widehat{12}$ (2 p). Verificare: $\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{6}$ ✓ și $\hat{4}\cdot \widehat{12}=\widehat{48}=\hat{6}$ ✓, pentru că $48=14\cdot 3+6$ (0,5 p)