Test: combinări și triunghiul lui Pascal

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Metode de numărare

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică ultima dintre cele patru metode fundamentale de numărare — combinările — și tabloul care le conține pe toate deodată, triunghiul lui Pascal. Miza principală nu este calculul, ci decizia: aceeași problemă, cu aceleași numere, are răspunsuri care diferă exact de $k!$ ori, după cum ordinea contează sau nu. De aceea, la mai mulți itemi se cere explicit compararea celor două variante. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: formula combinărilor, în ambele scrieri, și cazurile particulare. Al doilea: combinările complementare, $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , folosite atât pentru scurtarea calculelor, cât și la ecuațiile de tipul $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ , care au două familii de soluții — pierderea celei de-a doua este greșeala clasică. Al treilea: formula de recurență $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ , cu demonstrația ei combinatorică (prin fixarea unui element) și cu citirea ei ca regulă de construcție a triunghiului. Al patrulea: aplicațiile clasice — echipe, comisii cu categorii, strângeri de mână, drepte și triunghiuri determinate de puncte, diagonalele unui poligon convex — plus reflexul numărării prin complement la enunțurile cu „cel puțin".

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii marcați se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Un răspuns este complet doar dacă se vede de ce s-a ales metoda: la orice numărare se cere precizat dacă ordinea contează sau nu, folosind testul schimbului (schimb două elemente între ele — obțin altceva?). La ecuațiile cu combinări se scriu întâi condițiile asupra indicilor, iar la final se verifică fiecare soluție față de ele.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe deosebirea dintre $A_{n}^{k}$ și $C_{n}^{k}$ și pe cele două familii de soluții ale ecuației $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ .
Formule de reținut: combinări — numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente: $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}, 0 \leq k \leq n .$ Legătura cu aranjamentele: $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ — întâi alegi, apoi ordonezi. Cazuri particulare: $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$ , $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ . Combinări complementare: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ; de aici, ecuația $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ are soluțiile $a = b$ sau $a + b = n$ . Formula de recurență: $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}, n \geq 2, 1 \leq k \leq n - 1,$ care este chiar regula de construcție a triunghiului lui Pascal: fiecare linie începe și se termină cu $1$ , iar fiecare număr din interior este suma celor două de deasupra lui. Linia $n$ are $n + 1$ numere, este simetrică, iar suma numerelor de pe ea este $2^{n}$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Calculul combinărilor și triunghiul lui Pascal

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea lui $C_{6}^{2}$ este: A. $12$ ; B. $15$ ; C. $30$ ; D. $720$ .

b) Valoarea lui $C_{10}^{8}$ este: A. $10$ ; B. $45$ ; C. $80$ ; D. $90$ .

c) Suma numerelor de pe linia $6$ a triunghiului lui Pascal este: A. $32$ ; B. $36$ ; C. $64$ ; D. $128$ .

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează, folosind de fiecare dată drumul cel mai scurt (câte 1,5 puncte):

a) $C_{7}^{3}$ ;

b) $C_{9}^{7}$ ;

c) $C_{8}^{4}$ ;

d) $C_{5}^{0} + C_{5}^{5}$ .

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „ $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , pentru orice $0 \leq k \leq n$ ."

b) „ $A_{5}^{3} = C_{5}^{3}$ ."

c) „Linia $n$ a triunghiului lui Pascal are $n$ numere."

d) „ $C_{7}^{3} + C_{7}^{4} = C_{8}^{4}$ ."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Scrie liniile de la $0$ la $6$ ale triunghiului lui Pascal, precizând regula după care ai construit fiecare linie nouă. (3 p)

✏️Ilustrație: triunghiul lui Pascal desenat pe șapte linii, cu săgeți care arată cum două numere alăturate de pe o linie se adună și dau numărul de sub ele

b) Folosind triunghiul, calculează $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} + C_{6}^{4}$ . (3 p)

Partea a II-a – Aranjamente sau combinări, ecuații și probleme clasice

Itemul 5 (8 puncte)

Într-o clasă sunt $12$ elevi, printre care Maria. Determină în câte moduri se poate alege (câte 2 puncte):

a) o echipă de $3$ elevi;

b) o echipă de $3$ elevi din care face parte obligatoriu Maria;

c) un președinte, un vicepreședinte și un secretar (funcții distincte, o persoană ocupând cel mult o funcție);

d) numărul strângerilor de mână, dacă fiecare elev dă mâna cu fiecare exact o dată.

Itemul 6 (7 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor naturale, scriind mai întâi condițiile asupra indicilor:

a) $C_{n}^{2} = 21$ ; (3 p)

b) $C_{12}^{x} = C_{12}^{3 x - 8}$ . (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră $8$ puncte în plan, oricare trei dintre ele necoliniare.

a) Câte drepte determină cele $8$ puncte? (2 p)

b) Câte triunghiuri determină ele? (3 p)

c) Câte diagonale are un poligon convex cu $8$ laturi? (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Într-un grup sunt $6$ fete și $5$ băieți. Se alege o comisie de $4$ persoane.

a) Câte comisii au exact $2$ fete și $2$ băieți? (3 p)

b) Câte comisii au cel puțin o fată? (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Calculează $C_{20}^{18}$ , folosind combinările complementare, și explică de ce drumul acesta este mai scurt. (3 p)

b) Restrânge suma $C_{9}^{4} + C_{9}^{5}$ la o singură combinare și calculează-i valoarea. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Demonstrează, printr-un raționament combinatoric (prin fixarea unui element), formula de recurență $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k},$ precizând pentru ce valori ale lui $n$ și $k$ are sens. (5 p)

b) Verifică formula, prin calcul direct, pentru $n = 6$ și $k = 2$ . (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Arată că suma numerelor de pe linia $n$ a triunghiului lui Pascal este $2^{n}$ , folosind interpretarea combinărilor prin submulțimi. (4 p)

b) Determină $n$ , știind că suma numerelor de pe linia $n$ este $512$ . (2 p)

c) Care este cel mai mare număr de pe linia $8$ a triunghiului și pe ce poziție se află? (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) La o loterie se extrag $5$ numere din $40$ , ordinea extragerii neavând importanță. Câte variante de bilet există? (3 p)

b) O agenție acordă $5$ premii diferite unora dintre cei $40$ de participanți, o persoană putând primi cel mult un premiu. În câte moduri se pot acorda premiile? (3 p)

c) Explică de ce rezultatul de la b) este de exact $5!$ ori mai mare decât cel de la a). (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ .

a) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $A$ . (2 p)

b) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $A$ care îl conțin pe $1$ . (3 p)

c) Determinați numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale mulțimii $A$ care conțin exact două numere impare. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ . Varianta C ( $30$ ) este $A_{6}^{2}$ , adică răspunsul dacă ordinea ar conta.

b) B. Se folosesc combinările complementare: $C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ . Calculul direct ar cere $8$ factori la numărător și $8!$ la numitor — același rezultat, dar cu mult mai multă muncă.

c) C. Suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ , deci pe linia $6$ avem $2^{6} = 64$ . Verificare directă pe linia $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ : suma este într-adevăr $64$ .

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte.

a) $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 !} = \frac{210}{6} = 35$ .

b) $C_{9}^{7} = C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ — drumul scurt trece prin complementare.

c) $C_{8}^{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 !} = \frac{1680}{24} = 70$ .

d) $C_{5}^{0} + C_{5}^{5} = 1 + 1 = 2$ . (Există exact o submulțime cu zero elemente — mulțimea vidă — și exact una cu toate cele cinci elemente.)

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. A alege $k$ elemente dintre $n$ înseamnă, în același timp, a hotărî care sunt cele $n - k$ elemente care rămân afară — o singură alegere, două citiri. Algebric: formula $\frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ este simetrică în $k$ și $n - k$ .

b) F. $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ , iar $C_{5}^{3} = \frac{60}{3 !} = 10$ . Cele două diferă exact de $3! = 6$ ori, conform relației $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ : aranjamentele numără și ordinea, combinările nu.

c) F. Linia $n$ are $n + 1$ numere, de la $C_{n}^{0}$ până la $C_{n}^{n}$ . De exemplu, linia $4$ este $1, 4, 6, 4, 1$ — cinci numere, nu patru.

d) A. Este formula de recurență scrisă pentru $n = 8$ și $k = 4$ : $C_{8}^{4} = C_{7}^{3} + C_{7}^{4}$ . Verificare numerică: $35 + 35 = 70$ ✓.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Regula: fiecare linie începe și se termină cu $1$ , iar fiecare număr din interior este suma celor două numere de deasupra lui — adică exact formula de recurență $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ (1 p). Liniile de la $0$ la $6$ sunt (2 p):

Linia	Numerele
$0$	$1$
$1$	$11$
$2$	$121$
$3$	$1331$
$4$	$14641$
$5$	$15101051$
$6$	$1615201561$

b) (3 p) Se citesc direct de pe linia $6$ , pe pozițiile $2$ , $3$ și $4$ (numerotarea începând de la $0$ ) (1,5 p): $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} + C_{6}^{4} = 15 + 20 + 15 = 50$ (1,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p alegerea metodei, 1 p rezultatul).

a) O echipă este o submulțime: schimbând între ei doi membri, echipa rămâne aceeași, deci ordinea nu contează. $C_{12}^{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 !} = \frac{1320}{6} = 220 echipe .$

b) Maria este fixată în echipă, deci mai trebuie aleși $2$ elevi dintre ceilalți $11$ : $C_{11}^{2} = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55 echipe .$

c) Funcțiile sunt distincte, deci contează cine ce funcție primește — ordinea contează: $A_{12}^{3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320 moduri .$ (Este exact de $3! = 6$ ori mai mult decât la punctul a) — aceleași $220$ de grupuri, fiecare ordonat în $6$ feluri.)

d) O strângere de mână este o pereche neordonată de elevi: $C_{12}^{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 str \overset{a}{ˆ} ngeri de m \overset{a}{ˆ} n \overset{a}{˘} .$

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Condiții: $n \in N$ , $n \geq 2$ (0,5 p). Din $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ obținem $n (n - 1) = 42$ , adică (1 p) $n^{2} - n - 42 = 0, Δ = 1 + 168 = 169, n = \frac{1 \pm 13}{2}$ (1 p), deci $n_{1} = 7$ și $n_{2} = - 6$ , valoare care se respinge. Soluția este $n = 7$ (0,5 p). (Verificare: $C_{7}^{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ ✓.)

b) (4 p) Condiții: $x \in N$ , $0 \leq x \leq 12$ și $0 \leq 3 x - 8 \leq 12$ , adică $3 \leq x \leq 6$ (deoarece $x$ este natural) (1 p). Ecuația $C_{12}^{x} = C_{12}^{3 x - 8}$ are două familii de soluții (1 p):

$x = 3 x - 8 ⟹ 2 x = 8 ⟹ x = 4$ (1 p);
$x + (3 x - 8) = 12 ⟹ 4 x = 20 ⟹ x = 5$ (1 p).

Ambele valori respectă condițiile, deci $x \in {4, 5}$ . (Verificare: pentru $x = 4$ , $C_{12}^{4} = C_{12}^{4} = 495$ ✓; pentru $x = 5$ , $C_{12}^{5} = 792$ și $C_{12}^{7} = C_{12}^{5} = 792$ ✓. Reținerea doar a primei familii este greșeala tipică.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) O dreaptă este determinată de o pereche neordonată de puncte, iar cum oricare trei puncte sunt necoliniare, perechi diferite dau drepte diferite (1 p): $C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 drepte$ (1 p).

b) (3 p) Un triunghi este determinat de trei puncte necoliniare, iar ordinea alegerii lor nu contează (1,5 p): $C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 !} = \frac{336}{6} = 56 triunghiuri$ (1,5 p).

c) (2 p) Perechile de vârfuri sunt $C_{8}^{2} = 28$ ; dintre segmentele determinate, $8$ sunt laturi, restul sunt diagonale (1 p): $28 - 8 = 20 diagonale$ (1 p). (Formula generală, obținută la fel: un poligon convex cu $n$ laturi are $C_{n}^{2} - n = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ diagonale.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Alegerile din cele două categorii sunt independente, deci se înmulțesc (1 p): $C_{6}^{2} \cdot C_{5}^{2} = 15 \cdot 10 = 150 comisii$ (2 p).

b) (3 p) Numărăm prin complement. Grupul are $6 + 5 = 11$ persoane, deci comisiile posibile sunt $C_{11}^{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{24} = 330$ (1 p). Contrariul lui „cel puțin o fată" este „nicio fată", adică toți cei $4$ membri sunt băieți: $C_{5}^{4} = C_{5}^{1} = 5$ comisii (1 p). Rezultă $330 - 5 = 325 comisii$ (1 p). (Numărarea directă ar cere patru cazuri — cu $1$ , $2$ , $3$ sau $4$ fete — și tot atâtea produse.)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $C_{20}^{18} = C_{20}^{20 - 18} = C_{20}^{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$ (2 p). Drumul este mai scurt pentru că, în loc de $18$ factori la numărător și $18!$ la numitor, rămân doi factori și o împărțire la $2$ ; a alege $18$ elemente din $20$ înseamnă, de fapt, a alege cele $2$ elemente care rămân afară (1 p).

b) (3 p) Se aplică formula de recurență citită „de la dreapta la stânga", în forma deplasată $C_{n + 1}^{k + 1} = C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1}$ , cu $n = 9$ și $k = 4$ (1,5 p): $C_{9}^{4} + C_{9}^{5} = C_{10}^{5} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 !} = \frac{30 240}{120} = 252$ (1,5 p). (Verificare: $C_{9}^{4} = 126$ și $C_{9}^{5} = C_{9}^{4} = 126$ , iar $126 + 126 = 252$ ✓.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Formula are sens pentru $n \geq 2$ și $1 \leq k \leq n - 1$ ; în afara acestui interval, indicii din membrul drept ar ieși din limitele admise, iar valorile de la capete se știu oricum: $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ (1 p).

Fie $M$ o mulțime cu $n$ elemente și fie $x \in M$ un element fixat. Submulțimile cu $k$ elemente ale lui $M$ se împart în două categorii, după cum îl conțin sau nu pe $x$ (1 p):

cele care îl conțin pe $x$ : o astfel de submulțime este determinată de restul ei, adică de o alegere de $k - 1$ elemente din mulțimea $M ∖ {x}$ , care are $n - 1$ elemente; sunt deci $C_{n - 1}^{k - 1}$ (1,5 p);
cele care nu îl conțin pe $x$ : toate cele $k$ elemente se aleg din $M ∖ {x}$ ; sunt deci $C_{n - 1}^{k}$ (1 p).

Cele două categorii se exclud reciproc (o submulțime fie îl conține pe $x$ , fie nu) și acoperă tot, deci se poate aplica regula sumei (0,5 p): $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} . ■$

b) (3 p) Pentru $n = 6$ și $k = 2$ : membrul stâng este $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ (1,5 p), iar membrul drept $C_{5}^{1} + C_{5}^{2} = 5 + \frac{5 \cdot 4}{2} = 5 + 10 = 15$ (1,5 p). Cele două coincid ✓.

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Numerele de pe linia $n$ sunt $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ , iar $C_{n}^{k}$ este numărul submulțimilor cu exact $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente (1 p). Împărțind toate submulțimile după numărul lor de elemente, obținem categorii care se exclud reciproc și acoperă tot, deci regula sumei arată că suma $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n}$ este chiar numărul tuturor submulțimilor (1,5 p). Pe de altă parte, numărul tuturor submulțimilor este $2^{n}$ , pentru că fiecare element aduce o decizie independentă — îl iau sau nu îl iau (1 p). Prin urmare suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ (0,5 p). (Verificare pe linia $4$ : $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$ ✓.)

b) (2 p) Din $2^{n} = 512$ și $512 = 2^{9}$ rezultă $n = 9$ (2 p).

c) (2 p) Linia $8$ este $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$ . Fiind simetrică, cel mai mare număr este cel din mijloc, adică $C_{8}^{4} = 70$ , aflat pe poziția $4$ (numerotarea începând de la $0$ ) (2 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Ordinea extragerii nu contează, deci un bilet este o submulțime cu $5$ elemente (1 p): $C_{40}^{5} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36}{5 !} = \frac{78 960 960}{120} = 658008 variante$ (2 p).

b) (3 p) Premiile sunt diferite, deci contează și cine primește, și ce anume primește — ordinea contează (1 p): $A_{40}^{5} = 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 = 78960960 moduri$ (2 p).

c) (2 p) Fiecare grup de $5$ persoane ales la punctul a) poate primi cele $5$ premii distincte în $5! = 120$ moduri diferite (1 p). Așadar $A_{40}^{5} = C_{40}^{5} \cdot 5!$ , ceea ce se verifică numeric: $658008 \cdot 120 = 78960960 ✓$ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) O submulțime cu $3$ elemente este o alegere neordonată (0,5 p): $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 !} = \frac{210}{6} = 35 submul ț imi$ (1,5 p).

b) (3 p) Elementul $1$ este fixat înăuntru, deci mai trebuie alese $2$ elemente dintre celelalte $6$ (1,5 p): $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 submul ț imi$ (1,5 p). (Verificare: submulțimile cu $3$ elemente care nu îl conțin pe $1$ sunt $C_{6}^{3} = 20$ , iar $15 + 20 = 35$ ✓ — chiar formula de recurență.)

c) (3 p) Numerele impare din $A$ sunt $1, 3, 5, 7$ (patru), iar cele pare sunt $2, 4, 6$ (trei) (0,5 p). „Exact două numere impare" înseamnă $2$ alegeri din cele impare și $1$ din cele pare, alegerile fiind independente (1 p): $C_{4}^{2} \cdot C_{3}^{1} = 6 \cdot 3 = 18 submul ț imi$ (1,5 p).