Test: Kronecker-Capelli, Rouché și sisteme nedeterminate

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Sisteme de ecuații liniare

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică singura întrebare care se pune înaintea oricărui calcul la un sistem liniar: are el soluții și câte? Sunt evaluate patru lucruri. Primul: matricea sistemului $A$ și matricea extinsă $\overline{A}$ — scrise corect, cu $0$ pe locul necunoscutelor care lipsesc dintr-o ecuație — și cele două ranguri citite din ele. Al doilea: teorema Kronecker-Capelli, cu precizarea ei de completare: dacă rangurile diferă, sistemul e incompatibil; dacă sunt egale cu $n$, e compatibil determinat; dacă sunt egale, dar mai mici decât $n$, e compatibil nedeterminat, cu $n-r$ necunoscute secundare. Al treilea: teorema lui Rouché ca formă de lucru a aceleiași teoreme — minor principal, împărțirea în necunoscute și ecuații principale și secundare, cei $m-r$ determinanți caracteristici, iar dacă toți sunt nuli, rezolvarea sistemului principal cu regula lui Cramer. Al patrulea: scrierea mulțimii soluțiilor unui sistem nedeterminat, cu numărul corect de parametri și cu componentele în ordinea necunoscutelor din enunț.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii de studiu al compatibilității se cer toate etapele scrise, nu doar concluzia.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Un rang se consideră justificat doar prin două afirmații — un minor nenul de ordin $r$, scris explicit, și anularea minorilor de ordin $r+1$. Se depunctează: coeficienții nuli netrecuți în matrice, concluzia „determinantul e nul, deci sistemul nu are soluții", numărul greșit de parametri în mulțimea soluțiilor și verificarea făcută numai în ecuațiile principale, care sunt satisfăcute prin construcție.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe calculul rangului și pe construcția determinanților caracteristici.
• Formule de reținut: teorema Kronecker-Capelli — un sistem liniar este compatibil dacă și numai dacă $$\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A};$$ în plus, dacă valoarea comună este $r$ și $n$ este numărul necunoscutelor, atunci $r=n$ înseamnă soluție unică, iar $r<n$ înseamnă o infinitate de soluții, cu $n-r$ necunoscute secundare (gradul de nedeterminare). Întotdeauna $\mathrm{rang}A\le \mathrm{rang}\overline{A}\le \mathrm{rang}A+1$. Teorema lui Rouché: un sistem este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli; determinantul caracteristic ${\Delta }_{car}^{(k)}$ al ecuației secundare $k$ se obține bordând minorul principal cu coeficienții acelei ecuații și cu coloana termenilor liberi, are ordinul $r+1$, iar numărul lor este exact $m-r$. Sistemul principal este format din ecuațiile principale, cu necunoscutele secundare trecute în membrul drept și notate $\alpha$, $\beta$; determinantul lui este chiar minorul principal, deci este de tip Cramer și se rezolvă cu $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$. Mulțimea soluțiilor se scrie $S=\{(\dots ,\dots ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, cu componentele în ordinea necunoscutelor din enunț.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Matricea extinsă, rangul și teorema Kronecker-Capelli

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Matricea extinsă a unui sistem cu $3$ ecuații și $4$ necunoscute are formatul: A. $3\times 4$; B. $4\times 3$; C. $3\times 5$; D. $4\times 5$.

b) Un sistem cu $3$ necunoscute are $\mathrm{rang}A=2$ și $\mathrm{rang}\overline{A}=3$. Sistemul este: A. compatibil determinat; B. compatibil nedeterminat; C. incompatibil; D. de tip Cramer.

c) Un sistem compatibil cu $n=4$ necunoscute și $\mathrm{rang}A=2$ are gradul de nedeterminare: A. $1$; B. $2$; C. $4$; D. $6$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x-y+3z=-3\\ y+z=1\end{array}$$

a) Scrie matricea sistemului $A$ și matricea extinsă $\overline{A}$, precizând formatul fiecăreia. (2 p) b) Calculează $\det A$. (2 p) c) Precizează $\mathrm{rang}A$ și $\mathrm{rang}\overline{A}$ și stabilește natura sistemului, justificând. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$, atunci sistemul are soluție unică." b) „Pentru orice sistem liniar are loc $\mathrm{rang}A\le \mathrm{rang}\overline{A}\le \mathrm{rang}A+1$." c) „Un sistem cu $3$ ecuații și $5$ necunoscute poate fi compatibil determinat." d) „Dacă la un sistem pătratic $\det A=0$, atunci sistemul este incompatibil."

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră sistemele $$(S_1):\{\begin{array}{l}x+y+2z=5\\ 2x-y+z=4\\ 3x+3z=9\end{array}(S_2):\{\begin{array}{l}x+y+2z=5\\ 2x-y+z=4\\ 3x+3z=10\end{array}$$

a) Arată că cele două sisteme au aceeași matrice $A$ și că $\mathrm{rang}A=2$. (2 p) b) Calculează $\mathrm{rang}\overline{A}$ pentru fiecare sistem și precizează natura fiecăruia. (3 p) c) Rezolvă sistemul compatibil și scrie mulțimea soluțiilor. (2 p)

Partea a II-a – Teorema lui Rouché: minor principal și determinanți caracteristici

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+2y+z=5\\ x+3y-z=4\\ 2x+5y=9\\ x+y+3z=6\end{array}$$

a) Arată că $\mathrm{rang}A=2$, alege un minor principal și precizează necunoscutele principale și secundare, respectiv ecuațiile principale și secundare. (2 p) b) Spune, înainte de orice calcul, câți determinanți caracteristici are sistemul și ce ordin au. (1 p) c) Calculează-i și trage concluzia asupra compatibilității. (3 p) d) Rezolvă sistemul principal și scrie mulțimea soluțiilor. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y+2z=6\\ 2x+3y-z=3\\ 3x+4y+z=9\\ x+2y-3z=0\end{array}$$

a) Arată că $\mathrm{rang}A=2$ și fixează minorul principal format din primele două linii și din coloanele lui $x$ și $y$. (2 p) b) Calculează cei doi determinanți caracteristici. (4 p) c) Precizează natura sistemului și confirmă concluzia printr-o combinație potrivită de ecuații. (1 p)

Itemul 7 (8 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}2x+3y+z=4\\ 3x+4y+2z=5\\ 5x+7y+mz=9\end{array},m\in \mathbb{R}.$$

a) Calculează $\det A$ ca expresie în $m$. (2 p) b) Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul este compatibil determinat și rezolvă-l pentru $m=1$. (3 p) c) Pentru valoarea rămasă a lui $m$, studiază compatibilitatea cu teorema lui Rouché și rezolvă sistemul. (3 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Răspunde, cu justificare: a) Un sistem are $5$ ecuații și $\mathrm{rang}A=3$. Câți determinanți caracteristici are și de ce ordin sunt ei? (2 p) b) Un sistem are $4$ ecuații și $\mathrm{rang}A=4$. Ce poți afirma despre compatibilitatea lui, fără niciun calcul? (2 p) c) Un sistem are $4$ ecuații, $3$ necunoscute și $\mathrm{rang}A=2$, iar primul determinant caracteristic calculat este egal cu $3$. Ce concluzie tragi și ce mai ai de calculat? (3 p)

Partea a III-a – Sisteme compatibile nedeterminate și itemi de tip examen

Itemul 9 (9 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+2y+3z+t=3\\ 2x+4y+5z+3t=7\\ 3x+6y+8z+4t=10\end{array}$$

a) Arată că sistemul este compatibil și determină gradul lui de nedeterminare. (3 p) b) Arată că $x$ și $y$ nu pot fi amândouă necunoscute principale și alege o pereche care poate. (2 p) c) Rezolvă sistemul și scrie mulțimea soluțiilor. (3 p) d) Scrie soluția particulară obținută pentru valorile nule ale parametrilor și verific-o în toate ecuațiile. (1 p)

Itemul 10 (8 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}2x+y+3z=5\\ 3x+2y+z=6\\ 5x+3y+4z=11\end{array}$$

a) Arată că sistemul este compatibil simplu nedeterminat și rezolvă-l luând $z$ drept necunoscută secundară. (3 p) b) Rezolvă-l a doua oară, luând $x$ drept necunoscută secundară; verifică mai întâi că alegerea este permisă. (3 p) c) Arată că cele două scrieri descriu aceeași mulțime de soluții. (2 p)

Itemul 11 (9 puncte)

(Problemă aplicată.) Un magazin a vândut într-o zi $20$ de obiecte de trei feluri, la prețurile de $5$, $10$ și $20$ de lei bucata, încasând în total $210$ lei.

a) Notează necunoscutele, scrie sistemul și arată, cu teorema lui Rouché, că el este compatibil nedeterminat. (3 p) b) Rezolvă sistemul și scrie mulțimea soluțiilor. (3 p) c) Determină toate variantele în care numerele de obiecte din fiecare fel sunt numere naturale. (3 p)

Itemul 12 (9 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}2x+y-z=3\\ x+2y+z=6\\ 3x+3y+mz=9\end{array},m\in \mathbb{R}.$$

a) Calculați $\det A$ în funcție de $m$. (2 p) b) Determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul este compatibil determinat și rezolvați sistemul pentru $m=3$. (4 p) c) Pentru valoarea rămasă a lui $m$, studiați compatibilitatea sistemului și scrieți mulțimea soluțiilor. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Matricea extinsă are $m=3$ linii și $n+1=5$ coloane, deci formatul $3\times 5$. Varianta A este formatul lui $A$, fără coloana termenilor liberi. b) C. Rangurile fiind diferite, teorema Kronecker-Capelli respinge compatibilitatea. Faptul că $\mathrm{rang}\overline{A}$ este cu exact $1$ mai mare decât $\mathrm{rang}A$ este singura situație posibilă când ele diferă. c) B. Gradul de nedeterminare este $n-r=4-2=2$; sistemul este dublu nedeterminat. Varianta D confundă gradul de nedeterminare cu produsul $n\cdot r$.

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Coeficientul lui $z$ din prima ecuație și cel al lui $x$ din a treia sunt $0$ și trebuie trecute în matrice (0,5 p): $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& -1& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 5\\ 2& -1& 3& -3\\ 0& 1& 1& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R}).$$ Formatele sunt $3\times 3$, respectiv $3\times 4$ (1,5 p).

b) (2 p) Dezvoltând după prima linie: $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& -1& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1\cdot (-1-3)-2\cdot (2-0)+0\cdot (2-0)=-4-4=-8.$$

c) (2 p) Cum $\det A=-8\ne 0$, avem $\mathrm{rang}A=3$ (0,5 p). Matricea extinsă are $3$ linii, deci rangul ei este cel mult $3$; conținând minorul nenul de mai sus, $\mathrm{rang}\overline{A}=3$ (1 p). Prin urmare $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3=n$: sistem compatibil determinat (de tip Cramer) (0,5 p). Control: soluția este $(1,2,-1)$, iar $1+4=5$ ✓, $2-2-3=-3$ ✓, $2-1=1$ ✓.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Egalitatea rangurilor dă doar existența soluțiilor; unicitatea cere în plus $r=n$. Contraexemplu: sistemul $(S_1)$ de la itemul 4 are ranguri egale și o infinitate de soluții. b) A. Orice minor al lui $A$ este și minor al lui $\overline{A}$, de unde prima inegalitate; iar $\overline{A}$ are o singură coloană în plus, care poate ridica rangul cu cel mult o unitate, de unde a doua. c) F. Rangul unei matrice cu $3$ linii nu depășește $3$, deci $r\le 3<5=n$, iar condiția $r=n$ nu poate fi îndeplinită. Sistemul este ori incompatibil, ori nedeterminat, cu cel puțin două necunoscute secundare. d) F. $\det A=0$ arată doar că sistemul nu este de tip Cramer. El poate fi incompatibil, dar poate la fel de bine avea o infinitate de soluții — vezi cele două sisteme de la itemul 4, care au aceeași matrice, cu determinantul nul, și răspunsuri opuse.

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Cele două sisteme diferă numai prin ultimul termen liber, deci au aceeași matrice $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 3& 0& 3\end{array}\right),\det A=1\cdot (-3-0)-1\cdot (6-3)+2\cdot (0+3)=-3-3+6=0$$ (1 p). Minorul din primele două linii și coloanele lui $x$ și $y$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$ (nu poate fi $3$, fiindcă $\det A=0$) (1 p). (Se observă direct că $L_3=L_1+L_2$.)

b) (3 p) Un minor de ordin $3$ al lui $\overline{A}$ care nu folosește coloana termenilor liberi este chiar $\det A=0$; rămâne de cercetat minorul din coloanele lui $x$, $y$ și coloana termenilor liberi (0,5 p). Pentru $(S_1)$: $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 5\\ 2& -1& 4\\ 3& 0& 9\end{array}\right|=1\cdot (-9-0)-1\cdot (18-12)+5\cdot (0+3)=-9-6+15=0,$$ la fel ca ceilalți minori de ordin $3$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2=\mathrm{rang}A<3=n$: sistem compatibil simplu nedeterminat (1,5 p). Pentru $(S_2)$: $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 5\\ 2& -1& 4\\ 3& 0& 10\end{array}\right|=1\cdot (-10-0)-1\cdot (20-12)+5\cdot (0+3)=-10-8+15=-3\ne 0,$$ deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2$: sistem incompatibil (1 p).

c) (2 p) La $(S_1)$, minorul principal ocupă primele două linii și coloanele lui $x$ și $y$, deci $z$ este necunoscută secundară. Cu $z=\alpha$, sistemul principal este $x+y=5-2\alpha$, $2x-y=4-\alpha$; adunând, $3x=9-3\alpha$, deci $x=3-\alpha$ și $y=2-\alpha$ (1,5 p): $$S=\{(3-\alpha ,2-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ Verificare în ecuația secundară: $3(3-\alpha )+3\alpha =9$ ✓, pentru orice $\alpha$ (0,5 p). Observație de subliniat: o singură cifră schimbată în coloana termenilor liberi a mutat sistemul dintr-o categorie în alta.

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$, $y$ este $$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right|=3-2=1\ne 0,$$ deci $\mathrm{rang}A\ge 2$ (0,5 p). Toți minorii de ordin $3$ sunt nuli, pentru că $L_3=L_1+L_2$ și $L_4=2L_1-L_2$, deci $\mathrm{rang}A=2$ (1 p). Luăm minorul de mai sus drept minor principal: necunoscute principale $x$ și $y$, necunoscută secundară $z$; ecuații principale primele două, ecuații secundare a treia și a patra (0,5 p).

b) (1 p) Numărul lor este $m-r=4-2=2$, iar ordinul fiecăruia este $r+1=3$.

c) (3 p) Bordăm minorul principal, pe rând, cu fiecare ecuație secundară și cu coloana termenilor liberi (0,5 p): $${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 1& 3& 4\\ 2& 5& 9\end{array}\right|=1\cdot (27-20)-2\cdot (9-8)+5\cdot (5-6)=7-2-5=0,$$ $${\Delta }_{car}^{(4)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 1& 3& 4\\ 1& 1& 6\end{array}\right|=1\cdot (18-4)-2\cdot (6-4)+5\cdot (1-3)=14-4-10=0.$$ Amândoi sunt nuli, deci, prin teorema lui Rouché, sistemul este compatibil; cum $r=2<3=n$, el este simplu nedeterminat (2,5 p).

d) (2 p) Cu $z=\alpha$, sistemul principal este $x+2y=5-\alpha$, $x+3y=4+\alpha$; scăzând prima ecuație din a doua, $y=2\alpha -1$, apoi $x=5-\alpha -2(2\alpha -1)=7-5\alpha$ (1,5 p): $$S=\{(7-5\alpha ,2\alpha -1,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ Verificare în ecuațiile secundare: $2(7-5\alpha )+5(2\alpha -1)=9$ ✓ și $(7-5\alpha )+(2\alpha -1)+3\alpha =6$ ✓ (0,5 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Minorul din primele două linii și coloanele lui $x$, $y$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A\ge 2$ (1 p). Cum $L_3=L_1+L_2$ și $L_4=L_2-L_1$ (la coeficienți), orice minor de ordin $3$ al lui $A$ este nul, deci $\mathrm{rang}A=2$ (1 p). Necunoscute principale $x$, $y$; secundară $z$; ecuații secundare a treia și a patra.

b) (4 p) — câte 2 puncte. $${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& 3& 3\\ 3& 4& 9\end{array}\right|=1\cdot (27-12)-1\cdot (18-9)+6\cdot (8-9)=15-9-6=0,$$ $${\Delta }_{car}^{(4)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& 3& 3\\ 1& 2& 0\end{array}\right|=1\cdot (0-6)-1\cdot (0-3)+6\cdot (4-3)=-6+3+6=3\ne 0.$$

c) (1 p) Un singur determinant caracteristic nenul este de ajuns: sistemul este incompatibil, iar restul calculului se oprește aici. Confirmare directă: scăzând prima ecuație din a doua obținem $x+2y-3z=3-6=-3$, în timp ce ecuația a patra cere $x+2y-3z=0$ — o contradicție.

Itemul 7. (8 p)

a) (2 p) Dezvoltând după prima linie: $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& 4& 2\\ 5& 7& m\end{array}\right|=2(4m-14)-3(3m-10)+1(21-20)=8m-28-9m+30+1=3-m.$$

b) (3 p) Pentru $3-m\ne 0$, adică $m\ne 3$, sistemul este de tip Cramer, deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3=n$: compatibil determinat (1 p). Pentru $m=1$ avem $\Delta =2$ și $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}4& 3& 1\\ 5& 4& 2\\ 9& 7& 1\end{array}\right|=-2,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ 3& 5& 2\\ 5& 9& 1\end{array}\right|=4,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 3& 4& 5\\ 5& 7& 9\end{array}\right|=0,$$ deci $x=\frac{-2}{2}=-1$, $y=\frac{4}{2}=2$, $z=0$ (1,5 p). Verificare: $-2+6+0=4$ ✓, $-3+8+0=5$ ✓, $-5+14+0=9$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Rămâne $m=3$, când $\det A=0$. Minorul din primele două linii și coloanele lui $x$, $y$ este $\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 4\end{array}\right|=-1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$; îl luăm minor principal, ecuația secundară fiind a treia (1 p). Există un singur determinant caracteristic: $${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 3& 4& 5\\ 5& 7& 9\end{array}\right|=2(36-35)-3(27-25)+4(21-20)=2-6+4=0,$$ deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat (1 p). Cu $z=\alpha$, sistemul principal $2x+3y=4-\alpha$, $3x+4y=5-2\alpha$ dă $x=-1-2\alpha$ și $y=2+\alpha$, adică $$S=\{(-1-2\alpha ,2+\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$$ (0,5 p). Verificare în ecuația secundară: $5(-1-2\alpha )+7(2+\alpha )+3\alpha =-5-10\alpha +14+7\alpha +3\alpha =9$ ✓ (0,5 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Determinanții caracteristici se construiesc câte unul pentru fiecare ecuație secundară, iar acestea sunt $m-r=5-3=2$ (1 p). Fiecare are ordinul $r+1=4$ (1 p).

b) (2 p) Aici $r=m=4$, deci toate ecuațiile sunt principale și nu rămâne niciuna secundară (1 p). Nu există niciun determinant caracteristic, condiția din teorema lui Rouché este îndeplinită automat și sistemul este compatibil, oricare ar fi termenii liberi (1 p). (Câte soluții are se decide separat, comparând $r$ cu $n$.)

c) (3 p) Un singur determinant caracteristic nenul înseamnă că $\overline{A}$ are un minor nenul de ordin $r+1=3$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2=\mathrm{rang}A$ (1,5 p). Prin teorema Kronecker-Capelli, sistemul este incompatibil (1 p). Nu mai ai nimic de calculat: al doilea determinant caracteristic, oricare ar fi valoarea lui, nu mai poate schimba concluzia (0,5 p).

Itemul 9. (9 p)

a) (3 p) Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$, $z$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\end{array}\right|=-1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A\ge 2$ (1 p). Cum $L_3=L_1+L_2$, orice minor de ordin $3$ al lui $A$ este nul, deci $\mathrm{rang}A=2$; aceeași relație are loc și între termenii liberi ($3+7=10$), deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2$ (1,5 p). Sistemul este compatibil, cu gradul de nedeterminare $n-r=4-2=2$: dublu nedeterminat (0,5 p). (Echivalent, cu Rouché: există un singur determinant caracteristic, $m-r=1$, iar el este nul.)

b) (2 p) Coloana lui $y$ este dublul coloanei lui $x$, deci orice minor care le conține pe amândouă este nul: $$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right|=4-4=0.$$ Prin urmare $x$ și $y$ nu pot fi amândouă principale (1,5 p). O pereche care poate: $x$ și $z$, cu minorul nenul calculat la punctul a) (0,5 p).

c) (3 p) Necunoscute principale $x$ și $z$; secundare $y=\alpha$ și $t=\beta$; ecuații principale primele două (0,5 p). Sistemul principal este $$\{\begin{array}{l}x+3z=3-2\alpha -\beta \\ 2x+5z=7-4\alpha -3\beta \end{array}$$ Scăzând dublul primei ecuații din a doua: $-z=1-\beta$, deci $z=\beta -1$; apoi $x=3-2\alpha -\beta -3(\beta -1)=6-2\alpha -4\beta$ (2 p). Scriind componentele în ordinea necunoscutelor din enunț: $$S=\{(6-2\alpha -4\beta ,\alpha ,\beta -1,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$$ (0,5 p).

d) (1 p) Pentru $\alpha =\beta =0$ se obține $(6,0,-1,0)$. Verificare în toate ecuațiile: $6+0-3+0=3$ ✓, $12+0-5+0=7$ ✓, $18+0-8+0=10$ ✓.

Itemul 10. (8 p)

a) (3 p) A treia linie este suma primelor două, atât la coeficienți, cât și la termenii liberi ($5+6=11$), deci $\det A=0$ și determinantul caracteristic este nul; minorul $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2<3=n$: sistem compatibil simplu nedeterminat (1,5 p). Cu $z=\alpha$, sistemul principal $2x+y=5-3\alpha$, $3x+2y=6-\alpha$ dă $x=4-5\alpha$ și $y=7\alpha -3$ (1 p): $$S=\{(4-5\alpha ,7\alpha -3,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ Verificare în ecuația secundară: $5(4-5\alpha )+3(7\alpha -3)+4\alpha =20-25\alpha +21\alpha -9+4\alpha =11$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Alegerea este permisă numai dacă minorul format din coloanele necunoscutelor rămase principale, $y$ și $z$, este nenul: $$\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right|=1-6=-5\ne 0$$ (1 p). Cu $x=\alpha$, sistemul principal $y+3z=5-2\alpha$, $2y+z=6-3\alpha$ dă, prin eliminarea lui $y$, $5z=4-\alpha$, deci (1,5 p) $$S=\left\{\left(\alpha ,\frac{13-7\alpha }{5},\frac{4-\alpha }{5}\right)\mid \alpha \in \mathbb{R}\right\}.$$ Observație: prima alegere a dat numere întregi, a doua fracții — când ai de ales, ia minorul principal care duce la calcule mai simple (0,5 p).

c) (2 p) Înlocuind în a doua scriere $\alpha$ cu $4-5\alpha$ se obține $$\frac{13-7(4-5\alpha )}{5}=\frac{35\alpha -15}{5}=7\alpha -3,\frac{4-(4-5\alpha )}{5}=\alpha ,$$ adică exact prima scriere (1,5 p). Concret: pentru $\alpha =1$ prima dă $(-1,4,1)$, iar pentru $\alpha =-1$ a doua dă tot $(-1,4,1)$. Forma soluției depinde de alegerea făcută, mulțimea soluțiilor nu (0,5 p).

Itemul 11. (9 p)

a) (3 p) Fie $x$, $y$, $z$ numerele de obiecte vândute la $5$, $10$, respectiv $20$ de lei. Prima ecuație numără obiecte, a doua adună lei (1 p): $$\{\begin{array}{l}x+y+z=20\\ 5x+10y+20z=210\end{array}$$ Minorul din coloanele lui $x$ și $y$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 5& 10\end{array}\right|=5\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$ (mai mult nu se poate, matricea având două linii) (1 p). Cum $r=m=2$, nu există nicio ecuație secundară, deci niciun determinant caracteristic: condiția din teorema lui Rouché este îndeplinită automat, iar sistemul este compatibil. Gradul de nedeterminare este $n-r=3-2=1$, deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat (1 p).

b) (3 p) Împărțind a doua ecuație la $5$ obținem $x+2y+4z=42$; scăzând prima ecuație rezultă $y+3z=22$ (1 p). Cu $z=\alpha$: $y=22-3\alpha$ și $x=20-y-z=2\alpha -2$ (1,5 p): $$S=\{(2\alpha -2,22-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ Verificare: $(2\alpha -2)+(22-3\alpha )+\alpha =20$ ✓ și $5(2\alpha -2)+10(22-3\alpha )+20\alpha =10\alpha -10+220-30\alpha +20\alpha =210$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Contextul cere ca toate cele trei componente să fie numere naturale (0,5 p): $2\alpha -2\ge 0$ dă $\alpha \ge 1$; $22-3\alpha \ge 0$ dă $\alpha \le \frac{22}{3}$, adică $\alpha \le 7$; iar $\alpha$ însuși trebuie să fie natural (1,5 p). Rămân $\alpha \in \{1,2,3,4,5,6,7\}$, adică șapte variante (0,5 p): $$(0,19,1),(2,16,2),(4,13,3),(6,10,4),(8,7,5),(10,4,6),(12,1,7).$$ Control pe una dintre ele, de pildă $(6,10,4)$: $6+10+4=20$ obiecte ✓ și $30+100+80=210$ lei ✓ (0,5 p). (Datele problemei nu determină un răspuns unic: informația este insuficientă, nu contradictorie.)

Itemul 12. (9 p)

a) (2 p) Dezvoltând după prima linie: $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 2& 1\\ 3& 3& m\end{array}\right|=2(2m-3)-1(m-3)+(-1)(3-6)=4m-6-m+3+3=3m.$$

b) (4 p) Pentru $3m\ne 0$, adică $m\ne 0$, sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat (1 p). Pentru $m=3$ avem $\Delta =9$ și $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ 6& 2& 1\\ 9& 3& 3\end{array}\right|=0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& 6& 1\\ 3& 9& 3\end{array}\right|=27,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 2& 6\\ 3& 3& 9\end{array}\right|=0,$$ deci $x=0$, $y=\frac{27}{9}=3$, $z=0$ (2,5 p). Verificare în toate ecuațiile: $0+3-0=3$ ✓, $0+6+0=6$ ✓, $0+9+0=9$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Rămâne $m=0$, când $\det A=0$. Minorul din primele două linii și coloanele lui $x$, $y$ este $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$; îl luăm minor principal, iar ecuația a treia este singura secundară (1 p). Determinantul caracteristic este $${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 2& 6\\ 3& 3& 9\end{array}\right|=2(18-18)-1(9-18)+3(3-6)=0+9-9=0,$$ deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat (1 p). Cu $z=\alpha$, sistemul principal $2x+y=3+\alpha$, $x+2y=6-\alpha$ dă $x=\alpha$ și $y=3-\alpha$ (0,5 p): $$S=\{(\alpha ,3-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ Verificare în ecuația secundară: $3\alpha +3(3-\alpha )+0\cdot \alpha =9$ ✓ (0,5 p).