Test: conice, drepte și tangente

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Conice

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă partea de poziții relative a unității — intersecția unei conice cu o dreaptă, tangenta prin dedublare, intersecția a două conice — și legătura cu analiza matematică, și verifică cinci lucruri. Primul: cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică, cu accent pe pasul al treilea, verificarea coeficientului lui $x^2$ înainte de discriminant; el separă cele două situații în care o dreaptă are un singur punct comun cu o conică fără să fie tangentă — paralela cu axa parabolei și paralela cu o asimptotă a hiperbolei. Al doilea: tabelul condițiilor de tangență ale dreptei $y=mx+n$ la fiecare dintre cele patru conice, folosit în discuțiile după parametru. Al treilea: metoda dedublării, aplicată în cele trei etape fixate — verificarea apartenenței, regula mecanică, aducerea la forma generală și controlul — cu atenția cuvenită la coeficientul $p$ de la parabolă, care este jumătate din numărul citit în ecuație. Al patrulea: tangentele dintr-un punct exterior, obținute rezolvând condiția de tangență ca ecuație în panta $m$, cu verificarea obligatorie a dreptei verticale. Al cincilea: intersecția a două conice, cu mișcarea potrivită fiecărei perechi — scăderea ecuațiilor la două cercuri, substituția lui $y^2$ la cerc și parabolă, sumele $x+y$ și $x-y$ la cerc și hiperbolă echilateră — și cu filtrele care resping soluțiile fără corespondent real. Peste toate, testul cere confirmarea cu derivata funcției-ramură: aceeași pantă obținută pe două drumuri independente este cel mai bun control pe care îl poate face un elev într-o lucrare.

Testul cere o redactare pe care baremele o punctează literal: metoda numită înainte de a fi folosită → calculul → substituția fiecărui punct găsit în toate ecuațiile din enunț. Un răspuns care declară „tangentă" pentru că a găsit un singur punct comun, fără rădăcină dublă, nu primește punctajul, oricât de corect ar fi calculul.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); fiecare punct găsit se verifică în ambele ecuații.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: discriminantul calculat fără verificarea prealabilă a coeficientului lui $x^2$; „tangentă" declarată pentru un singur punct comun obținut dintr-o ecuație de gradul întâi; dedublarea aplicată unui punct care nu este pe conică; folosirea lui $2p$ în locul lui $p$ la tangenta parabolei; verticala uitată la tangentele dintr-un punct exterior; și soluțiile cu $x<0$ păstrate după substituirea lui $y^2$ dintr-o parabolă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor despre intersecția conicei cu o dreaptă și despre metoda dedublării.
• Formule de reținut: Cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică: alegi forma dreptei; substitui; verifici coeficientul lui $x^2$; abia apoi discuți după semnul discriminantului — $\Delta >0$ secantă, $\Delta =0$ tangentă, $\Delta <0$ exterioară. Coeficientul lui $x^2$ este $1+m^2$ la cerc și $b^2+a^2{m}^2$ la elipsă, deci nu se anulează niciodată; este $b^2-a^2{m}^2$ la hiperbolă, deci se anulează pentru $m=\pm \frac{b}{a}$, și $m^2$ la parabolă, deci se anulează pentru $m=0$. Condițiile de tangență ale dreptei $y=mx+n$: $n^2=r^2\left(1+m^2\right)$ la cercul cu centrul în origine, $n^2=a^2{m}^2+b^2$ la elipsă, $n^2=a^2{m}^2-b^2$ la hiperbolă, $2mn=p$ la parabola $y^2=2px$. Regula de dedublare: $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$, termenul liber rămânând neschimbat; tangenta este $\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1$ la elipsă, $\frac{x{x}_0}{a^2}-\frac{y{y}_0}{b^2}=1$ la hiperbolă și $y{y}_0=p\left(x+x_0\right)$ la parabolă. Pantele tangentei din derivată: $-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$ la elipsă, $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$ la hiperbolă, $\frac{p}{y_0}$ la parabolă și $-\frac{y_0}{x_0}$ la $xy=k$. Funcțiile-ramură: $\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ pe $[-a,a]$ la elipsă, $\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ la hiperbolă, $\pm \sqrt{2px}$ pe $[0,+\infty )$ la parabolă; în vârfurile de pe axa focală ele nu sunt derivabile, iar tangenta este verticală. Aria triunghiului determinat de tangentă cu axele: $\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}$ la elipsă și $2k$, constant, la $xy=k$. Intersecția a două conice: cel mult patru puncte comune; la două cercuri, scăderea ecuațiilor lasă o dreaptă, deci cel mult două puncte.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Onestitate despre examen: în subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă a clasei a XII-a. Formatul cu trei subpuncte folosit la itemul $11$ anticipează structura cerinței, nu prezența ei în variantele publicate până acum. Ecuația tangentei scrisă cu derivata, $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, este în schimb o cerință constantă a Subiectului al III-lea, iar aici se exersează pe funcții cu radical, cu domeniul precizat.

Itemi

Partea I – Poziția unei drepte față de o conică

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dreapta $y=mx+n$ este tangentă elipsei $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ dacă și numai dacă: A. $n^2=a^2{m}^2-b^2$; B. $n^2=a^2{m}^2+b^2$; C. $n^2=r^2\left(1+m^2\right)$; D. $2mn=p$.

b) Tangenta la parabola $y^2=64x$ într-un punct $M_0(x_0,y_0)$ al ei are ecuația: A. $y{y}_0=64\left(x+x_0\right)$; B. $y{y}_0=32\left(x+x_0\right)$; C. $y{y}_0=32x+x_0$; D. $y{y}_0=16\left(x+x_0\right)$.

c) Coeficientul lui $x^2$ obținut prin substituirea dreptei $y=mx+n$ în ecuația unei elipse: A. se poate anula pentru anumite valori ale lui $m$; B. este $b^2+a^2{m}^2$, deci nu se anulează niciodată; C. este $b^2-a^2{m}^2$; D. este $m^2$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dacă o dreaptă are exact un punct comun cu o conică, atunci ea este tangentă conicei." b) „Metoda dedublării dă tangenta la o conică pentru orice punct din plan." c) „Dintr-un punct exterior unei conice se pot duce exact două tangente." d) „Două conice au cel mult două puncte comune."

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește poziția fiecărei drepte față de elipsa $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{144}=1$, folosind condiția de tangență (câte 2 puncte): a) $4x+5y-100=0$; b) $4x+5y-50=0$; c) $4x+5y-150=0$.

Itemul 4 (7 puncte)

a) Stabilește poziția dreptei $y=24$ față de parabola $y^2=64x$, parcurgând cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică, și precizează dacă dreapta este tangentă. (3 p) b) Arată că dreapta $4x-3y+36=0$ are exact un punct comun cu hiperbola $\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{144}=1$ și că nu este tangentă în acel punct. (3 p) c) Explică, într-o propoziție, de ce la cerc și la elipsă coeficientul lui $x^2$ nu se poate anula niciodată. (1 p)

Partea a II-a – Tangenta prin dedublare

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră elipsa $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{144}=1$ și punctul $M_0\left(16,\frac{36}{5}\right)$.

a) Etapa 1 a dedublării: arată că $M_0$ aparține elipsei. (2 p) b) Etapele 2 și 3 ale dedublării: scrie tangenta în $M_0$ și adu-o la forma $Ax+By+C=0$. (3 p) c) Controlează rezultatul pe două căi: prin condiția de tangență și prin substituție, arătând că ecuația obținută are rădăcină dublă. (3 p)

Itemul 6 (8 puncte)

a) Arată că punctul $(15,16)$ aparține hiperbolei $\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{144}=1$ și scrie tangenta în acest punct prin dedublare. (4 p) b) Scrie tangenta la parabola $y^2=64x$ în punctul $(4,16)$, cu atenție la valoarea parametrului. (3 p) c) Verifică rezultatul de la subpunctul b) cu ajutorul condiției de tangență a dreptei $y=mx+n$ la parabolă. (1 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Determină tangentele de pantă $\frac{5}{3}$ la hiperbola $\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{144}=1$ și punctele lor de contact. (4 p) b) Arată că cele două puncte de contact sunt simetrice față de centrul hiperbolei. (1 p) c) Determină tangentele duse din punctul $P(0,8)$ la parabola $y^2=64x$, verificând și dreapta verticală prin $P$. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Determină punctele comune ale cercurilor $x^2+y^2=169$ și $x^2+y^2-28x-28y+307=0$, prin scăderea ecuațiilor. (4 p) b) Determină punctele comune ale cercului $x^2+y^2=61$ cu hiperbola echilateră $xy=30$. (3 p)

Partea a III-a – Intersecții, analiză matematică și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

a) Determină punctele comune ale parabolei $y^2=64x$ cu cercul $(x-40{)}^2+y^2=1600$. (5 p) b) Explică de ce numărul punctelor comune obținute la subpunctul a) este impar. (2 p) c) Arată că parabola $y^2=64x$ și cercul $(x+20{)}^2+y^2=100$ nu au niciun punct comun, fără a calcula rădăcinile ecuației obținute. (3 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Se consideră elipsa $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{144}=1$.

a) Scrie funcțiile-ramură ale elipsei, cu domeniul lor, și derivata ramurii de deasupra axei $Ox$, precizând pe ce mulțime este valabilă. (3 p) b) Calculează valoarea derivatei ramurii de sus în $x=16$ și confirmă panta tangentei scrise la itemul $5$. (3 p) c) Determină tangenta în vârful $A(20,0)$, explică de ce ea nu are pantă și calculează aria triunghiului determinat cu axele de coordonate de tangenta din $M_0\left(16,\frac{36}{5}\right)$. (4 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea.) Se consideră hiperbola de ecuație $\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{144}=1$.

a) Determinați vârfurile, focarele, excentricitatea și asimptotele hiperbolei. (5 p) b) Arătați că punctul $M(15,16)$ aparține hiperbolei, scrieți tangenta în $M$ prin dedublare și confirmați panta ei cu derivata funcției-ramură. (5 p) c) Determinați punctele în care tangenta scrisă la subpunctul b) taie axele de coordonate și calculați aria triunghiului determinat de ea cu axele. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Substituind $y=mx+n$ în ecuația elipsei și înmulțind cu $a^2{b}^2$ se obține o ecuație de gradul al doilea al cărei discriminant redus este $a^2{b}^2\left(a^2{m}^2+b^2-n^2\right)$; el se anulează exact când $n^2=a^2{m}^2+b^2$. Varianta A este condiția de la hiperbolă, C de la cerc, iar D de la parabolă.

b) B. Coeficientul lui $x$ este dublul parametrului, deci $p=32$. Regula $2x\to x+x_0$ înseamnă că termenul liniar își pierde coeficientul $2$, iar tangenta devine $y{y}_0=p\left(x+x_0\right)$, adică $y{y}_0=32\left(x+x_0\right)$.

c) B. Coeficientul este suma dintre un număr strict pozitiv, $b^2$, și unul nenegativ, $a^2{m}^2$, deci este strict pozitiv pentru orice pantă. Anularea lui se poate întâmpla numai la hiperbolă și la parabolă.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Tangența înseamnă rădăcină dublă a unei ecuații de gradul al doilea. Contraexemplu: dreapta $y=24$ taie parabola $y^2=64x$ doar în punctul $(9,24)$, dar ecuația obținută este de gradul întâi, deci nu există rădăcină dublă și dreapta traversează curba.

b) F. Toate demonstrațiile regulii folosesc esențial faptul că punctul verifică ecuația conicei. Aplicată unui punct exterior, formula dă tot o dreaptă, dar aceea nu atinge curba în punctul respectiv; prima etapă a rețetei este tocmai verificarea apartenenței.

c) A. Impunând condiția de tangență dreptelor care trec prin punct se obține o ecuație în panta $m$ cu două soluții; când ea coboară la gradul întâi, a doua tangentă este chiar verticala prin punct, care nu aparține fasciculului $y=m(x-x_P)+y_P$.

d) F. Maximul este patru, atins de pildă de o parabolă și un cerc potrivit ales; eliminarea unei variabile duce la o ecuație de gradul al patrulea cel mult. Numai la două cercuri maximul coboară la doi, pentru că scăderea ecuațiilor lor lasă o dreaptă.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

Toate trei dreptele au aceeași pantă: din $4x+5y+C=0$ rezultă $y=-\frac{4}{5}x-\frac{C}{5}$, deci $m=-\frac{4}{5}$. Pragul de tangență este același pentru toate: $$n^2=a^2{m}^2+b^2=400\cdot \frac{16}{25}+144=256+144=400.$$

a) Aici $n=20$, deci $n^2=400$: dreapta este tangentă elipsei.

b) Aici $n=10$, deci $n^2=100<400$: discriminantul este pozitiv, deci dreapta este secantă.

c) Aici $n=30$, deci $n^2=900>400$: discriminantul este negativ, deci dreapta este exterioară.

Itemul 4. (7 p)

a) (3 p) Pasul 1: dreapta este orizontală, deci are pantă, $m=0$, și $n=24$ (0,5 p). Pasul 2: substituim în ecuația parabolei și obținem $576=64x$ (0,5 p). Pasul 3: coeficientul lui $x^2$ este $m^2=0$, deci ecuația a coborât la gradul întâi și pasul al patrulea nu se mai aplică (1 p). Soluția unică este $x=9$, deci dreapta are exact un punct comun cu parabola, $(9,24)$; nu este tangentă, pentru că nu există rădăcină dublă — este dreapta paralelă cu axa parabolei (1 p).

b) (3 p) Dreapta se scrie $y=\frac{4}{3}x+12$, iar $\frac{4}{3}=\frac{b}{a}$ este chiar panta unei asimptote, deci coeficientul lui $x^2$ este $b^2-a^2{m}^2=144-81\cdot \frac{16}{9}=0$ (1,5 p). Substituind în $16x^2-9y^2=1296$ rămâne o ecuație de gradul întâi, $-288x=2592$, cu soluția $x=-9$ și $y=0$: singurul punct comun este vârful $(-9,0)$, care verifică ambele ecuații ✓ (1 p). Dreapta nu este tangentă acolo: tangenta în vârf este verticala $x=-9$, altă dreaptă (0,5 p).

c) (1 p) Pentru că acolo coeficientul este $1+m^2$, respectiv $b^2+a^2{m}^2$, adică o sumă în care cel puțin un termen este strict pozitiv, deci el rămâne strict pozitiv pentru orice pantă.

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Substituim coordonatele punctului (1 p): $$\frac{256}{400}+\frac{{\left(\frac{36}{5}\right)}^2}{144}=\frac{16}{25}+\frac{\frac{1296}{25}}{144}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Aplicăm regula de dedublare, $x^2\to x{x}_0$ și $y^2\to y{y}_0$ (1 p): $$\frac{16x}{400}+\frac{\frac{36}{5}y}{144}=1⟺\frac{x}{25}+\frac{y}{20}=1$$ (1 p). Înmulțind cu $100$ obținem $4x+5y-100=0$ (1 p).

c) (3 p) Prima cale. Panta este $m=-\frac{4}{5}$ și termenul liber $n=20$, iar condiția de tangență cere $n^2=a^2{m}^2+b^2=256+144=400=20^2$ ✓ (1,5 p). A doua cale. Din $y=20-\frac{4}{5}x$ și $144x^2+400y^2=57600$ rezultă $$400x^2-12800x+102400=0⟺x^2-32x+256=0⟺(x-16{)}^2=0,$$ rădăcină dublă în $x=16$ ✓ (1,5 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (4 p) Apartenența: $\frac{225}{81}-\frac{256}{144}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$ ✓ (1,5 p). Prin dedublare (1,5 p): $$\frac{15x}{81}-\frac{16y}{144}=1⟺\frac{5x}{27}-\frac{y}{9}=1,$$ iar înmulțind cu $27$ obținem $5x-3y-27=0$ (1 p).

b) (3 p) Coeficientul lui $x$ este $64$, adică dublul parametrului, deci $p=32$ — jumătate din numărul citit în ecuație (1,5 p). Verificăm apartenența: $16^2=256=64\cdot 4$ ✓ (0,5 p). Formula $y{y}_0=p\left(x+x_0\right)$ dă $16y=32(x+4)$, adică $2x-y+8=0$ (1 p).

c) (1 p) Dreapta găsită are $m=2$ și $n=8$, iar condiția de tangență la parabolă cere $2mn=p$; într-adevăr, $2\cdot 2\cdot 8=32=p$ ✓.

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Condiția de tangență la hiperbolă este $n^2=a^2{m}^2-b^2$ (1 p); cu $a^2=81$, $b^2=144$ și $m=\frac{5}{3}$ obținem $$n^2=81\cdot \frac{25}{9}-144=225-144=81,$$ deci $n=\pm 9$ (1,5 p). Tangentele sunt $5x-3y-27=0$ și $5x-3y+27=0$ (0,5 p). Punctele de contact ies din dedublare: scriind prima tangentă ca $\frac{5x}{27}-\frac{y}{9}=1$ și comparând-o cu $\frac{x{x}_0}{81}-\frac{y{y}_0}{144}=1$ obținem $x_0=15$ și $y_0=16$; a doua dă $(-15,-16)$. Ambele verifică ecuația hiperbolei ✓ (1 p).

b) (1 p) Punctele $(15,16)$ și $(-15,-16)$ au coordonatele opuse, deci mijlocul segmentului lor este originea, adică centrul hiperbolei: sunt diametral opuse.

c) (2 p) Punctul este exterior, pentru că $8^2=64>64\cdot 0=0$. Dreptele cu pantă prin $P$ au $n=8$, iar condiția $2mn=p$ dă $16m=32$, deci $m=2$ și prima tangentă este $2x-y+8=0$ (1 p). Verticala prin $P$ este $x=0$; substituind, $y^2=0$ are rădăcină dublă, deci ea este tangentă în vârful $(0,0)$. Din $P$ pornesc, așadar, exact două tangente (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (4 p) Ambele cercuri au coeficientul $1$ la $x^2$ și la $y^2$, deci scăderea ecuațiilor elimină termenii de gradul al doilea (1 p): $$\left(x^2+y^2-28x-28y+307\right)-\left(x^2+y^2-169\right)=0⟺-28x-28y+476=0⟺x+y=17$$ (1,5 p). Substituim $y=17-x$ în prima ecuație: $x^2+(17-x{)}^2=169$, adică $2x^2-34x+120=0$ și $x^2-17x+60=0$, cu soluțiile $x=5$ și $x=12$ (1 p). Punctele comune sunt $(5,12)$ și $(12,5)$; fiecare verifică ambele ecuații: pentru $(5,12)$, $25+144=169$ ✓ și $169-140-336+307=0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Din $x^2+y^2=61$ și $xy=30$ obținem $$(x+y{)}^2=61+60=121,(x-y{)}^2=61-60=1$$ (1,5 p), deci $x+y=\pm 11$ și $x-y=\pm 1$ (0,5 p). Combinând semnele rezultă patru puncte: $(6,5)$, $(5,6)$, $(-5,-6)$ și $(-6,-5)$, fiecare verificând ambele ecuații ✓ (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (5 p) Desfacem ecuația cercului: $x^2-80x+1600+y^2=1600$, adică $x^2-80x+y^2=0$ (1,5 p). Substituim $y^2=64x$ din ecuația parabolei (1,5 p): $$x^2-80x+64x=0⟺x^2-16x=0⟺x(x-16)=0,$$ deci $x=0$ sau $x=16$; ambele sunt nenegative, deci acceptabile (1 p). Pentru $x=0$ obținem $y^2=0$, adică un singur punct, $(0,0)$; pentru $x=16$ obținem $y^2=1024$, deci $y=\pm 32$. Punctele comune sunt $(0,0)$, $(16,32)$ și $(16,-32)$, fiecare verificând ambele ecuații ✓ (1 p).

b) (2 p) Pentru că cercul trece prin vârful parabolei, situat pe axa ei de simetrie (1 p). Rădăcina $x=0$ aduce un singur punct, fiind pe axă, în timp ce fiecare rădăcină strict pozitivă aduce câte două puncte simetrice față de axă; totalul devine astfel impar (1 p).

c) (3 p) Desfacem și substituim $y^2=64x$: $x^2+40x+400+64x-100=0$, adică $x^2+104x+300=0$ (1,5 p). Suma rădăcinilor este $-104<0$, iar produsul lor este $300>0$, deci ambele rădăcini sunt strict negative (1 p). Cum parabola cere $x\ge 0$, nicio rădăcină nu dă un punct al ei: cele două curbe nu au niciun punct comun. (Geometric: cercul are centrul în $(-20,0)$ și raza $10$, deci se află în întregime la stânga axei $Oy$.) (0,5 p)

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Din ecuație, $y^2=\frac{144}{400}\left(400-x^2\right)$, deci $$f_{1,2}:[-20,20]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{5}\sqrt{400-x^2}$$ (1,5 p). Ramura de deasupra axei $Ox$ este $f_1$, iar derivata ei este $$f_1^{\prime }(x)=-\frac{3}{5}\cdot \frac{x}{\sqrt{400-x^2}}$$ (1 p), valabilă doar pe intervalul deschis $(-20,20)$, pentru că în capete numitorul se anulează (0,5 p).

b) (3 p) Înlocuim $x=16$ (1 p): $$f_1^{\prime }(16)=-\frac{3}{5}\cdot \frac{16}{\sqrt{400-256}}=-\frac{3}{5}\cdot \frac{16}{12}=-\frac{4}{5}$$ (1,5 p). Tangenta scrisă la itemul $5$, $4x+5y-100=0$, are panta $-\frac{4}{5}$: aceeași valoare, obținută pe un drum independent ✓ (0,5 p).

c) (4 p) În vârful $A(20,0)$ dedublarea dă $\frac{20x}{400}=1$, adică dreapta verticală $x=20$ (1 p). Ea nu are pantă, pentru că funcția-ramură nu este derivabilă în capătul domeniului, iar limita derivatei este infinită: $\underset{\begin{array}{c}x\to 20\\ x<20\end{array}}{\lim }{f}_1^{\prime }(x)=-\infty$ (1 p). Tangenta din $M_0$, adică $4x+5y-100=0$, taie axa $Ox$ în $(25,0)$ și axa $Oy$ în $(0,20)$ (1 p), deci triunghiul dreptunghic determinat are aria $\frac{25\cdot 20}{2}=250$; formula generală confirmă: $\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}=\frac{400\cdot 144}{2\cdot 16\cdot \frac{36}{5}}=250$ ✓ (1 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Din numitori, $a=9$ și $b=12$ (1 p), deci $c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ (1,5 p). Vârfurile sunt $(\pm 9,0)$, focarele $(\pm 15,0)$ (1,5 p), excentricitatea $e=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$, iar asimptotele $y=\pm \frac{4}{3}x$ (1 p).

b) (5 p) Apartenența: $\frac{225}{81}-\frac{256}{144}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$ ✓ (1,5 p). Prin dedublare, $\frac{15x}{81}-\frac{16y}{144}=1$, adică $5x-3y-27=0$, dreaptă de pantă $\frac{5}{3}$ (2 p). Confirmare cu derivata: punctul are ordonata pozitivă, deci se află pe ramura $f_1(x)=\frac{4}{3}\sqrt{x^2-81}$, cu $f_1(15)=\frac{4}{3}\cdot 12=16$ ✓ și $$f_1^{\prime }(15)=\frac{4}{3}\cdot \frac{15}{\sqrt{225-81}}=\frac{4}{3}\cdot \frac{15}{12}=\frac{5}{3}$$ ✓ (1,5 p).

c) (5 p) Punând $y=0$ în ecuația tangentei obținem $5x=27$, deci punctul $\left(\frac{27}{5},0\right)$ (1,5 p). Punând $x=0$ obținem $-3y=27$, deci punctul $(0,-9)$ (1,5 p). Triunghiul determinat este dreptunghic, cu vârful drept în origine și catetele $\frac{27}{5}$ și $9$ (1 p), deci $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot \frac{27}{5}\cdot 9=\frac{243}{10}=24,3$$ (1 p).