Test: continuitatea într-un punct și puncte de discontinuitate

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite de funcții și continuitate

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima proprietate calitativă a funcțiilor din analiza matematică: continuitatea. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția continuității într-un punct — egalitatea $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, cu cele trei cerințe pe care le ascunde (punctul să fie în domeniu, limita să existe și să fie finită, cele două să coincidă). Al doilea: criteriul cu șiruri, forma cerută de programă, folosit în ambele direcții — ca să demonstrezi continuitatea, cu un șir arbitrar, și ca să o infirmi, cu un singur contraexemplu. Al treilea: clasificarea punctelor de discontinuitate, unde cuvântul care decide totul este „finite": speța I înseamnă limite laterale care există și sunt finite, speța a II-a înseamnă orice altceva. Al patrulea: tiparul cel mai frecvent la Bacalaureat M1, determinarea parametrilor pentru care o funcție definită pe ramuri devine continuă — adică transformarea unui lanț de egalități într-o ecuație.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu redactare completă se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare studiu de continuitate se consideră complet doar dacă apar toate cele trei numere — limita la stânga, valoarea funcției în punct, limita la dreapta —, scrise separat, înainte de concluzie. Se depunctează: compararea doar a limitelor laterale între ele, fără valoarea $f(x_0)$; citirea valorii de pe ramura greșită; înlocuirea lui $x$ cu $x_0$ înainte de eliminarea unei nedeterminări; clasificarea unui punct ca fiind de speța I fără a verifica dacă limitele laterale sunt finite; valoarea unui parametru scrisă fără verificare.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe lanțul de egalități și pe clasificarea discontinuităților.
• Formule de reținut: definiția — $f$ este continuă în $x_0\in D$ dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$; forma de lucru, folosită la fiecare exercițiu, este lanțul de trei egalități $$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)=f(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x),\text{pe scurt}{l}_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0).$$ Criteriul cu șiruri: $f$ este continuă în $x_0$ dacă și numai dacă, pentru orice șir $(x_n)$ de puncte din domeniu cu $x_n\to x_0$, avem $f(x_n)\to f(x_0)$; pentru a infirma continuitatea este de ajuns un singur șir care nu se comportă. Clasificarea: un punct de discontinuitate $x_0\in D$ este de speța I dacă ambele limite laterale există și sunt finite (fără ca lanțul de mai sus să se închidă) și de speța a II-a în orice altă situație, adică atunci când cel puțin una dintre limitele laterale este infinită sau nu există. Saltul, definit numai la speța I, este $s=l_d(x_0)-l_s(x_0)$ și poate fi și nul, atunci când limitele laterale coincid, dar diferă de $f(x_0)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Continuitatea într-un punct și continuitatea laterală

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}$ pentru $x\ne 4$ și $f(4)=6$, limita $\underset{x\to 4}{\lim }f(x)$ este: A. $6$; B. $8$; C. $0$; D. nu există.

b) Funcția $f$ este continuă în punctul $x_0$ din domeniu dacă și numai dacă: A. limita $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ există; B. $l_s(x_0)=l_d(x_0)$; C. $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$; D. $f(x_0)$ se poate calcula.

c) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}5x-2,& x\le 3\\ x^2+1,& x>3\end{array}$, valoarea $f(3)$ este: A. $10$; B. $13$; C. $3$; D. nu se poate calcula.

Itemul 2 (6 puncte)

Studiază continuitatea următoarelor funcții în punctul indicat, scriind cele trei numere înainte de concluzie (câte 2 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-7x+3$, în $x_0=3$; b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}4x-5,& x\le 2\\ x^2-1,& x>2\end{array}$, în $x_0=2$; c) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2,& x<1\\ 6-2x,& x\ge 1\end{array}$, în $x_0=1$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă limitele laterale ale funcției $f$ în $x_0$ sunt egale între ele, atunci $f$ este continuă în $x_0$." b) „Dacă $f$ este continuă la stânga în $x_0$ și continuă la dreapta în $x_0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$." c) „Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$, atunci funcția poate fi făcută continuă în $x_0$, alegând potrivit valoarea $f(x_0)$." d) „Într-un punct izolat al domeniului său, orice funcție este continuă."

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+5,& x<-1\\ x^2,& x\ge -1\end{array}$. a) Calculează $l_s(-1)$, $f(-1)$ și $l_d(-1)$. (3 p) b) Precizează dacă $f$ este continuă la stânga, la dreapta sau în $-1$, justificând fiecare răspuns. (3 p)

Partea a II-a – Puncte de discontinuitate: speța și saltul

Itemul 5 (8 puncte)

Pentru fiecare funcție, arată că punctul indicat este punct de discontinuitate și precizează speța lui; unde se poate, calculează saltul (câte 2 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-3,& x<2\\ x+4,& x\ge 2\end{array}$, în $x_0=2$; b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ pentru $x\ne -1$ și $f(-1)=2$, în $x_0=-1$; c) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5}{x-4}$ pentru $x\ne 4$ și $f(4)=0$, în $x_0=4$; d) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-36}{x-6}$ pentru $x\ne 6$ și $f(6)=10$, în $x_0=6$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-10}{|x-5|}$ pentru $x\ne 5$ și $f(5)=0$. a) Calculează $l_s(5)$ și $l_d(5)$, explicitând modulul pe fiecare parte. (4 p) b) Precizează speța punctului $x_0=5$ și calculează saltul funcției acolo. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin \frac{3}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. a) Arată, folosind șirurile $x_n=\frac{3}{2n\pi }$ și $y_n=\frac{3}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$, cu $n\ge 1$, că $l_d(0)$ nu există. (5 p) b) Precizează speța punctului $x_0=0$ și explică de ce saltul nu se poate calcula. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă ambele limite laterale ale funcției $f$ în $x_0$ există, atunci $x_0$ este punct de discontinuitate de speța I." b) „Saltul se poate calcula în orice punct de discontinuitate." c) „Un punct de discontinuitate aparține domeniului de definiție al funcției." d) „Dacă saltul funcției $f$ în $x_0$ este $0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$."

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\setminus \{7\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x-7}$, și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{x-7}$ pentru $x\ne 7$ și $g(7)=1$. a) Explică de ce funcția $f$ nu are niciun punct de discontinuitate. (3 p) b) Arată că $x_0=7$ este punct de discontinuitate pentru $g$ și precizează-i speța. (3 p)

Partea a III-a – Criteriul cu șiruri, parametri și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Folosind criteriul cu șiruri, arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|3x-6|$, este continuă în $x_0=2$. (4 p) b) Folosind un singur șir, ales convenabil, arată că funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1,& x<0\\ x+2,& x\ge 0\end{array}$, nu este continuă în $x_0=0$. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+a^2,& x\le 1\\ 5ax-3,& x>1\end{array}$, unde $a$ este număr real. a) Determină valorile lui $a$ pentru care $f$ este continuă în $x_0=1$. (5 p) b) Verifică, pentru fiecare valoare găsită, că lanțul de egalități se închide. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-1,& x\le 2\\ ax+b,& 2<x<5\\ x^2+7,& x\ge 5\end{array}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. a) Justifică de ce continuitatea se decide numai în punctele $2$ și $5$. (2 p) b) Determină $a$ și $b$ pentru care $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și verifică rezultatul. (6 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x},& x>0\\ 3x+a,& x\le 0\end{array}$, unde $a$ este număr real. a) Calculați $f(0)$ și $l_s(0)$. (2 p) b) Calculați $l_d(0)$. (3 p) c) Determinați $a$ pentru care $f$ este continuă în $x_0=0$ și arătați că, pentru valoarea găsită, $f$ este continuă în orice punct real. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Pentru $x\ne 4$ avem $\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$, deci limita este $8$. Varianta A este valoarea $f(4)$, nu limita — cele două sunt informații diferite, iar aici ele nici nu coincid. b) C. Lanțul de trei egalități este forma practică a definiției. Varianta A dă doar existența limitei, varianta B doar egalitatea limitelor laterale; niciuna nu conține valoarea $f(x_0)$. c) B. Punctul $3$ verifică prima condiție, $x\le 3$, deci valoarea se citește de pe prima ramură: $f(3)=5\cdot 3-2=13$. Varianta A este rezultatul greșit obținut de pe ramura $x^2+1$, care nu îl conține pe $3$.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte (1 p cele trei numere, 1 p concluzia). a) Valoarea: $f(3)=2\cdot 9-7\cdot 3+3=18-21+3=0$. Funcția fiind polinomială, limita ei în orice punct real este valoarea funcției în acel punct, deci $l_s(3)=f(3)=l_d(3)=0$: $f$ este continuă în $3$. b) $2$ verifică $x\le 2$, deci $f(2)=4\cdot 2-5=3$; $$l_s(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(4x-5)=3,l_d(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\left(x^2-1\right)=3.$$ Lanțul $3=3=3$ se închide, deci $f$ este continuă în $2$. c) $1$ verifică $x\ge 1$, deci $f(1)=6-2=4$; $l_s(1)=1^2+2=3$ și $l_d(1)=6-2\cdot 1=4$. Cum $l_d(1)=f(1)=4$, funcția este continuă la dreapta; cum $l_s(1)=3\ne 4$, ea nu este continuă la stânga, deci nu este continuă în $1$.

Observație de barem, valabilă la toate cele trei subpuncte: semnul din condiția ramurii — $\le$ față de $<$ — hotărăște de unde se citește valoarea $f(x_0)$, iar valoarea aceasta este o **a treia informație**, citită din enunț, nu una dintre limitele laterale. La subpunctul c), dacă enunțul ar fi avut $x>1$ pe ramura a doua, valoarea $f(1)$ s-ar fi luat de pe prima ramură și ar fi fost $3$, iar concluzia s-ar fi schimbat în „continuă la stânga".

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Din $l_s(x_0)=l_d(x_0)$ rezultă doar că limita există; continuitatea cere în plus ca ea să fie egală cu $f(x_0)$. Contraexemplu: $f(x)=x+4$ pentru $x\ne 4$ și $f(4)=6$ are ambele limite laterale egale cu $8$, dar nu e continuă în $4$ (este chiar funcția de la itemul 1). b) A. Este teorema de caracterizare: cele două egalități $l_s(x_0)=f(x_0)$ și $l_d(x_0)=f(x_0)$ dau împreună lanțul complet, adică $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. c) F. Continuitatea cere ca limita să fie finită, pentru că ea trebuie să fie egală cu numărul real $f(x_0)$. Niciun număr real nu este egal cu $+\infty$, deci nicio alegere a valorii nu salvează situația. d) A. Într-un punct izolat limita nici nu se definește, iar funcția nu are cum să „sară", neavând vecini din domeniu cu care să se compare; prin convenție, ea este continuă acolo.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Punctul $-1$ verifică a doua condiție, $x\ge -1$, deci valoarea se ia de pe ramura $x^2$ (1 p): $$f(-1)=(-1{)}^2=1.$$ $$l_s(-1)=\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x<-1\end{array}}{\lim }(3x+5)=-3+5=2\text{(1 p)},l_d(-1)=\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x>-1\end{array}}{\lim }{x}^2=1\text{(1 p)}.$$

b) (3 p) Cum $l_d(-1)=1=f(-1)$, funcția este continuă la dreapta în $-1$ (1,5 p). Cum $l_s(-1)=2\ne 1=f(-1)$, funcția nu este continuă la stânga, deci nu este continuă în $-1$ (1,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p limitele laterale, 0,5 p speța, 0,5 p saltul sau justificarea absenței lui). a) $2$ verifică $x\ge 2$, deci $f(2)=6$; $l_s(2)=2\cdot 2-3=1$ și $l_d(2)=2+4=6$. Lanțul nu se închide ($1\ne 6$), deci $2$ este punct de discontinuitate. Limitele laterale sunt finite și diferite, deci $x_0=2$ este punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $$s=l_d(2)-l_s(2)=6-1=5.$$ (Funcția este continuă la dreapta în $2$.) b) Numitorul $(x+1{)}^2$ este strict pozitiv de ambele părți ale lui $-1$ și tinde la $0$, deci $$l_s(-1)=\frac{3}{0^{+}}=+\infty ,l_d(-1)=\frac{3}{0^{+}}=+\infty .$$ Cele două limite laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$ și sunt chiar egale, dar nu sunt finite, deci $x_0=-1$ este punct de discontinuitate de speța a II-a; saltul nu se definește, pentru că diferența $(+\infty )-(+\infty )$ nu este o operație permisă. c) Numitorul $x-4$ este negativ la stânga lui $4$ și pozitiv la dreapta, deci $$l_s(4)=\frac{5}{0^{-}}=-\infty ,l_d(4)=\frac{5}{0^{+}}=+\infty .$$ Limitele laterale există, dar nu sunt finite: punctul $x_0=4$ este de speța a II-a, iar saltul nu se definește. d) Pentru $x\ne 6$ avem $\frac{x^2-36}{x-6}=x+6$, deci $l_s(6)=l_d(6)=12$. Cum $f(6)=10\ne 12$, lanțul nu se închide. Limitele laterale sunt finite (și egale), deci $x_0=6$ este punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $s=12-12=0$.

Observație de barem, valabilă la tot itemul: ordinea este obligatorie — întâi se stabilește dacă ambele limite laterale sunt finite, abia apoi se dă speța. Cine sare peste această verificare clasifică greșit subpunctele b) și c), unde limitele laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$. Tot aici se vede diferența dintre b) și subpunctul d): la b) limitele laterale sunt egale între ele, ca și la d), dar numai la d) ele sunt numere reale, deci numai acolo se poate vorbi despre salt.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Explicităm modulul. Pentru $x>5$ avem $|x-5|=x-5$, deci (1 p) $$f(x)=\frac{2(x-5)}{x-5}=2⟹l_d(5)=2\text{(1 p)}.$$ Pentru $x<5$ avem $|x-5|=-(x-5)$, deci (1 p) $$f(x)=\frac{2(x-5)}{-(x-5)}=-2⟹l_s(5)=-2\text{(1 p)}.$$

b) (3 p) Din enunț $f(5)=0$, deci lanțul nu se închide în niciun loc: $5$ este punct de discontinuitate (1 p). Limitele laterale sunt finite și diferite, deci $x_0=5$ este punct de discontinuitate de speța I (1 p), cu saltul $$s=l_d(5)-l_s(5)=2-(-2)=4\text{(1 p)}.$$

Itemul 7. (7 p)

a) (5 p) Folosim criteriul cu șiruri, în varianta lui de infirmare: două șiruri cu aceeași limită, ale căror imagini au limite diferite.

Ambele șiruri au termeni strict pozitivi și tind la $0$, pentru că numitorii cresc nemărginit (1 p). Calculăm imaginile (2 p): $$f(x_n)=\sin \frac{3}{\frac{3}{2n\pi }}=\sin (2n\pi )=0,f(y_n)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=1.$$ Deci $f(x_n)\to 0$, iar $f(y_n)\to 1$ (1 p). Cele două șiruri tind la $0$ prin valori strict pozitive, dar imaginile lor au limite diferite, deci $l_d(0)$ nu există (1 p).

b) (2 p) O limită laterală lipsind, punctul $x_0=0$ este punct de discontinuitate de speța a II-a (1 p). Saltul nu se poate calcula, pentru că el se definește numai la speța I, iar aici diferența $l_d(0)-l_s(0)$ nu are sens: unul dintre termeni nu există (1 p). Observație: funcția este mărginită (toate valorile ei sunt în $[-1,1]$), deci speța a II-a nu înseamnă neapărat valori care explodează.

Itemul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Din definiție lipsește cuvântul finite. Contraexemplul este chiar itemul 5.b): funcția $\frac{3}{(x+1{)}^2}$, prelungită cu $f(-1)=2$, are ambele limite laterale egale cu $+\infty$ — deci existente —, iar punctul este de speța a II-a. b) F. Saltul se definește numai în punctele de discontinuitate de speța I. La speța a II-a, diferența $l_d-l_s$ ori nu are sens, pentru că una dintre limite nu există, ori ar duce la o operație interzisă în $\overline{\mathbb{R}}$. c) A. Continuitatea în $x_0$ se afirmă numai pentru $x_0$ din domeniu; fără $f(x_0)$, egalitatea din definiție nici nu se poate scrie. De aceea funcția $f$ de la itemul 9.a) nu are puncte de discontinuitate. d) F. Saltul nul spune doar că cele două limite laterale coincid; dacă valoarea $f(x_0)$ este altundeva, punctul rămâne de discontinuitate — exact situația de la itemul 5.d).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Domeniul funcției $f$ este $\mathbb{R}\setminus \{7\}$, iar în fiecare punct $x_0\ne 7$ funcția este dată de o expresie uzuală, cu numitorul nenul; prin operațiile cu limite, limita în $x_0$ este chiar $\frac{1}{x_0-7}=f(x_0)$, deci $f$ este continuă acolo (2 p). Punctul $7$ nu aparține domeniului, deci despre el nu se poate afirma nici continuitate, nici discontinuitate. Prin urmare $f$ nu are niciun punct de discontinuitate (1 p).

b) (3 p) Funcția $g$ are domeniul $\mathbb{R}$, deci punctul $7$ intră în discuție. Numitorul tinde la $0$, iar semnul lui se studiază pe fiecare parte (1 p): $$l_s(7)=\frac{1}{0^{-}}=-\infty ,l_d(7)=\frac{1}{0^{+}}=+\infty \text{(1 p)}.$$ Limitele laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar nu sunt finite, deci $x_0=7$ este punct de discontinuitate de speța a II-a (1 p). Morala celor două puncte: aceeași formulă, două domenii diferite, două răspunsuri diferite.

Itemul 10. (8 p)

a) (4 p) Avem $f(2)=|3\cdot 2-6|=0$ (0,5 p). Fie $(x_n)$ un șir oarecare de numere reale cu $x_n\to 2$ (0,5 p). Atunci $$|f(x_n)-f(2)|=|3x_n-6|=3|x_n-2|\text{(1,5 p)}.$$ Cum $x_n\to 2$, avem $|x_n-2|\to 0$, deci $0\le |f(x_n)-f(2)|=3|x_n-2|\to 0$ și, prin criteriul cleștelui, $f(x_n)\to 0=f(2)$ (1 p). Șirul $(x_n)$ fiind arbitrar, criteriul cu șiruri dă continuitatea lui $f$ în $2$ (0,5 p).

b) (4 p) Din enunț, $0$ verifică $x\ge 0$, deci $g(0)=0+2=2$ (1 p). Alegem șirul $x_n=-\frac{1}{n}$, $n\ge 1$, care are toți termenii strict negativi și tinde la $0$ (1 p). Pentru acești termeni se folosește prima ramură: $$g(x_n)={\left(-\frac{1}{n}\right)}^2-1=\frac{1}{n^2}-1⟶-1\text{(1,5 p)}.$$ Cum $-1\ne 2=g(0)$, criteriul cu șiruri este încălcat de acest singur șir, deci $g$ nu este continuă în $0$ (0,5 p). Observație de barem: pentru a infirma continuitatea este suficient un contraexemplu; pentru a o demonstra ar fi fost nevoie de un șir arbitrar, ca la punctul a).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Punctul $1$ verifică prima condiție, $x\le 1$, deci valoarea se ia de pe ramura $x^2+a^2$ (1 p): $$f(1)=1+a^2,l_s(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\left(x^2+a^2\right)=1+a^2\text{(1 p)},$$ $$l_d(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(5ax-3)=5a-3\text{(1 p)}.$$ Prima egalitate a lanțului se realizează automat, deci condiția de continuitate se reduce la $1+a^2=5a-3$ (1 p), adică $$a^2-5a+4=0⟺(a-1)(a-4)=0⟹a\in \{1,4\}\text{(1 p)}.$$

b) (3 p) Verificăm fiecare rădăcină, înlocuind în cele trei numere (câte 1,5 p):

• $a=1$: ramurile devin $x^2+1$ și $5x-3$; atunci $l_s(1)=2$, $f(1)=2$ și $l_d(1)=5-3=2$, deci lanțul $2=2=2$ se închide ✓;
• $a=4$: ramurile devin $x^2+16$ și $20x-3$; atunci $l_s(1)=17$, $f(1)=17$ și $l_d(1)=20-3=17$, deci lanțul $17=17=17$ se închide ✓.

Ambele valori convin, deci răspunsul este $a\in \{1,4\}$.

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,2)$, $(2,5)$ și $(5,+\infty )$, funcția este dată de o singură expresie polinomială, deci limita ei în orice punct al intervalului este valoarea funcției în acel punct: continuitatea acolo este asigurată, indiferent de $a$ și $b$. Rămân de studiat numai cele două puncte de racord, $2$ și $5$.

b) (6 p) În $x_0=2$: punctul verifică $x\le 2$, deci $f(2)=3\cdot 2-1=5=l_s(2)$, iar $l_d(2)=2a+b$; condiția de continuitate este (1,5 p) $$2a+b=5.$$ În $x_0=5$: punctul verifică $x\ge 5$, deci $f(5)=5^2+7=32=l_d(5)$, iar $l_s(5)=5a+b$; condiția este (1,5 p) $$5a+b=32.$$ Scăzând prima ecuație din a doua obținem $3a=27$, deci $a=9$, iar din prima $b=5-18=-13$ (2 p).

Verificare (1 p): cu $a=9$ și $b=-13$, ramura din mijloc devine $9x-13$. În $2$: $l_d(2)=18-13=5=f(2)=l_s(2)$ ✓. În $5$: $l_s(5)=45-13=32=f(5)=l_d(5)$ ✓. Împreună cu punctul a), funcția este continuă pe $\mathbb{R}$.

Observație de barem: cele două condiții formează un sistem liniar de două ecuații cu două necunoscute, deci se poate rezolva și cu regula lui Cramer, obținând același rezultat; determinantul sistemului este nenul, ceea ce explică de ce soluția este unică. Cerința „continuă pe $\mathbb{R}$" are, prin urmare, două părți de redactat: fraza scurtă de la punctul a), care lichidează restul domeniului, și calculul de la punctul b), care rezolvă racordurile. Fără prima, concluzia rămâne mai slabă decât cerința.

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Punctul $0$ verifică a doua condiție, $x\le 0$, deci valoarea se citește de pe ramura $3x+a$: $$f(0)=3\cdot 0+a=a\text{(1 p)},l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }(3x+a)=a\text{(1 p)}.$$

b) (3 p) Pe ramura din dreapta, înlocuirea directă ar da nedeterminarea $\frac{0}{0}$, deci amplificăm cu conjugata $\sqrt{x+9}+3$ (1 p): $$\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\frac{\left(\sqrt{x+9}-3\right)\left(\sqrt{x+9}+3\right)}{x\left(\sqrt{x+9}+3\right)}=\frac{x+9-9}{x\left(\sqrt{x+9}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}\text{(1 p)}.$$ Ultima expresie nu mai are nedeterminare, deci $$l_d(0)=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}\text{(1 p)}.$$

c) (3 p) Condiția de continuitate $l_s(0)=f(0)=l_d(0)$ devine $a=\frac{1}{6}$ (1,5 p).

Pentru această valoare, pe intervalul $(-\infty ,0)$ funcția este dată de expresia polinomială $3x+\frac{1}{6}$, iar pe $(0,+\infty )$ de o expresie uzuală cu numitorul nenul și cu radicandul strict pozitiv; prin operațiile cu limite, în orice punct al acestor intervale limita funcției este chiar valoarea ei acolo, deci $f$ este continuă în fiecare astfel de punct (1 p). În $x_0=0$ continuitatea a fost obținută mai sus, deci $f$ este continuă în orice punct real (0,5 p).

Observație de barem: nedeterminarea trebuie eliminată înainte de orice înlocuire; scrierea $\frac{0}{0}$ urmată de o valoare se depunctează integral. Rezultatul se lasă în forma exactă $\frac{1}{6}$, nu aproximat zecimal.