Test: convexitate, concavitate și puncte de inflexiune

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Studiul variației funcțiilor cu derivate

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică a doua jumătate a studiului variației: nu încotro merge graficul, ci cum se curbează. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția cu coarda — o funcție este convexă pe un interval dacă valoarea într-un punct intermediar nu depășește ordonata coardei, iar demonstrația pe funcțiile de gradul al doilea se face prin identitatea centrală $tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(t{x}_1+(1-t)x_2)=at(1-t)(x_1-x_2{)}^2$. Al doilea: criteriul cu derivata a doua, cu inegalitate nestrictă ($f^{\prime \prime }\ge 0$ înseamnă convexă) și cu ipoteza „de două ori derivabilă pe un interval" verificată înainte de aplicare. Al treilea: punctul de inflexiune, adică punctul din interiorul domeniului în care funcția își schimbă convexitatea; aici se verifică deosebirea dintre condiția necesară $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ și criteriul complet, care cere în plus schimbarea efectivă de semn. Al patrulea: cele două capcane-pereche, care apar la fiecare sesiune — o funcție cu $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ fără schimbare de semn (nu are inflexiune) și o funcție la care $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul într-un punct care nu aparține domeniului (nici ea nu are inflexiune).

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare concluzie despre curbură se scrie pe un interval, cu paranteze corecte, niciodată pe o reuniune de intervale. Se depunctează: declararea unui punct de inflexiune numai pentru că $f^{\prime \prime }$ se anulează acolo, scrierea unui rezultat de forma „convexă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$", confuzia dintre rândul lui $f^{\prime }$ (monotonie) și rândul lui $f^{\prime \prime }$ (curbură) și răspunsul cu o singură coordonată atunci când se cere punctul de inflexiune al graficului.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe criteriul cu derivata a doua și pe cele două capcane.
• Formule de reținut: Definiția. $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ interval, este convexă pe $I$ dacă $$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\text{pentru orice }{x}_1,x_2\in I\text{ și orice }t\in [0,1],$$ și concavă dacă inegalitatea are loc în sens invers; geometric, graficul unei funcții convexe stă sub coardă și deasupra tangentei, iar al uneia concave, invers. Simbolurile sunt $\cup$ pentru convexă („ține apa") și $\cap$ pentru concavă („varsă apa"). Cazul mijlocului ($t=\frac{1}{2}$): $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ — el poate infirma convexitatea printr-un singur contraexemplu, dar nu o poate demonstra. Criteriul cu derivata a doua: dacă $f$ e de două ori derivabilă pe intervalul $I$, atunci $f$ e convexă pe $I$ $⟺$ $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe $I$, și concavă $⟺$ $f^{\prime \prime }(x)\le 0$. Condiția necesară de inflexiune: dacă $x_0$ e punct de inflexiune și $f$ e de două ori derivabilă în jurul lui, atunci $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. Criteriul complet: $x_0$ interior domeniului, $f$ continuă acolo, $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ și $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul în $x_0$. Punct $\ne$ valoare: $x_0$ este punctul de inflexiune al funcției, iar $(x_0,f(x_0))$ este punctul de inflexiune al graficului. În tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$ se scrie $0$ în zerouri și $|$ în punctele în care funcția nu e definită, iar la $\pm \infty$ celula rămâne goală; marcajul $\text{I}$ se pune în rândul lui $f(x)$, după valoare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiția convexității și criteriul cu derivata a doua

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x^2+7x-1$, este: A. convexă pe $\mathbb{R}$; B. concavă pe $\mathbb{R}$; C. și convexă, și concavă pe $\mathbb{R}$; D. nici convexă, nici concavă pe $\mathbb{R}$.

b) Dacă $f$ este de două ori derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ pentru orice $x\in I$, atunci pe $I$ funcția $f$ este: A. descrescătoare; B. crescătoare; C. concavă; D. convexă.

c) Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5$, are în origine: A. un punct de maxim local; B. un punct de minim local; C. un punct de inflexiune; D. niciuna dintre acestea.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează $f^{\prime \prime }$ și precizează intervalele de convexitate și de concavitate (câte 1,5 puncte): a) $f(x)=x^3-9x^2+15x$, $x\in \mathbb{R}$; b) $f(x)=-x^3+6x^2-4$, $x\in \mathbb{R}$; c) $f(x)=x^4-18x^2+7$, $x\in \mathbb{R}$; d) $f(x)=e^{-x}+3x$, $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Există funcții care sunt, pe același interval, în același timp strict descrescătoare și convexe." b) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de inflexiune al funcției $f$." c) „Funcția $f(x)=\frac{2}{x}$ este convexă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$." d) „Dacă $f^{\prime \prime }(x)>0$ pe intervalul $I$, atunci graficul lui $f$ se află deasupra oricărei tangente duse într-un punct din $I$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Demonstrează, pornind de la definiție, că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^2-3x+2$, este convexă pe $\mathbb{R}$. (3 p) b) Arată, cu un contraexemplu pe mijloc, că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x$, nu este convexă pe $\mathbb{R}$. (3 p)

Partea a II-a – Puncte de inflexiune și tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$

Itemul 5 (8 puncte)

Determină punctele de inflexiune ale graficului fiecărei funcții (câte 2 puncte): a) $f(x)=x^3-6x^2+7x-2$, $x\in \mathbb{R}$; b) $f(x)=x^4-2x^3$, $x\in \mathbb{R}$; c) $f(x)=(x-3)e^x$, $x\in \mathbb{R}$; d) $f(x)=\frac{12}{x^2+3}$, $x\in \mathbb{R}$, știind că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{72\left(x^2-1\right)}{{\left(x^2+3\right)}^3}$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2\cos x$. a) Calculează $f^{\prime }$ și arată că $f^{\prime \prime }(x)=-2\cos x$. (2 p) b) Determină punctele în care $f^{\prime \prime }$ se anulează și studiază semnul lui $f^{\prime \prime }$ pe $[0,2\pi ]$. (3 p) c) Determină punctele de inflexiune ale graficului funcției $f$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$. a) Arată că $f(x)=2+\frac{3}{x-1}$ și deduce că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{(x-1{)}^3}$. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$ și precizează intervalele de convexitate și de concavitate. (3 p) c) Explică de ce funcția nu are niciun punct de inflexiune, deși $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+4x^3+6x^2+5$. a) Arată că $f^{\prime \prime }(x)=12(x+1{)}^2$ și că funcția nu are puncte de inflexiune, deși $f^{\prime \prime }$ se anulează. (3 p) b) Arată că $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+\ln x$. a) Arată că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2x^2-1}{x^2}$ și determină intervalele de convexitate și de concavitate. (3 p) b) Determină punctul de inflexiune al graficului funcției $f$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează, pornind de la definiție, că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|2x-6|+1$, este convexă pe $\mathbb{R}$. (5 p) b) Explică de ce criteriul cu derivata a doua nu poate fi aplicat în punctul $x_0=3$ și de ce concluzia de la punctul a) rămâne totuși valabilă. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+2x^3-12x^2$. a) Arată că $f^{\prime \prime }(x)=12(x+2)(x-1)$ și determină intervalele de convexitate și de concavitate. (3 p) b) Alcătuiește tabelul cu rândurile $x$, $f^{\prime \prime }(x)$ și $f(x)$, folosind simbolurile $\cup$ și $\cap$ în coloanele-interval și marcajul $\text{I}$ în dreptul punctelor de inflexiune. (3 p) c) Scrie punctele de inflexiune ale graficului funcției $f$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+m{x}^2+3x-4$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determină $m$ pentru care $f$ este concavă pe $(-\infty ,2]$ și convexă pe $[2,+\infty )$. (3 p) b) Pentru valoarea găsită, determină punctul de inflexiune al graficului funcției $f$. (3 p) c) Arată că, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$, funcția $f$ are exact un punct de inflexiune. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$, și arătați că $f^{\prime }(x)=-(x-1{)}^2{e}^{-x}$. (2 p) b) Arătați că $f^{\prime \prime }(x)=(x-1)(x-3)e^{-x}$, $x\in \mathbb{R}$. (3 p) c) Determinați punctele de inflexiune ale graficului funcției $f$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Coeficientul dominant este $a=-3<0$, iar o funcție de gradul al doilea cu $a<0$ este concavă pe $\mathbb{R}$ (parabolă cu ramurile în jos). Se poate verifica și cu derivata a doua: $f^{\prime \prime }(x)=-6<0$ pentru orice $x$ real. b) C. Semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă curbura, nu monotonia: $f^{\prime \prime }\le 0$ pe un interval înseamnă concavă acolo. Variantele A și B confundă rândul lui $f^{\prime }$ cu rândul lui $f^{\prime \prime }$ — este greșeala numărul unu la această temă. c) C. Avem $f^{\prime }(x)=5x^4$ și $f^{\prime \prime }(x)=20x^3$, care se anulează în $0$ și își schimbă semnul acolo (negativ la stânga, pozitiv la dreapta), deci $0$ este punct de inflexiune. Nu este punct de extrem, pentru că $f^{\prime }(x)=5x^4\ge 0$ nu-și schimbă semnul: este o inflexiune cu tangentă orizontală.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p calculul lui $f^{\prime \prime }$, 0,5 p zerourile și semnul, 0,5 p concluzia scrisă pe intervale).

a) $f^{\prime }(x)=3x^2-18x+15$, deci $f^{\prime \prime }(x)=6x-18=6(x-3)$. Fiind o funcție de gradul întâi cu panta pozitivă, $f^{\prime \prime }$ este negativă înainte de $3$ și pozitivă după: $$f\text{ concava˘ pe }(-\infty ,3],f\text{ convexa˘ pe }[3,+\infty ).$$

b) $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x$, deci $f^{\prime \prime }(x)=-6x+12=-6(x-2)$, pozitivă înainte de $2$ și negativă după: $$f\text{ convexa˘ pe }(-\infty ,2],f\text{ concava˘ pe }[2,+\infty ).$$

c) $f^{\prime }(x)=4x^3-36x$, deci $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-36=12\left(x^2-3\right)$, cu zerourile $\pm \sqrt{3}$. Trinomul are coeficientul dominant pozitiv, deci semnul este $+$ în afara rădăcinilor și $-$ între ele: $$f\text{ convexa˘ pe }\left(-\infty ,-\sqrt{3}\right]\text{ și pe }\left[\sqrt{3},+\infty \right),f\text{ concava˘ pe }\left[-\sqrt{3},\sqrt{3}\right].$$

d) $f^{\prime }(x)=-e^{-x}+3$, deci $f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}>0$ pentru orice $x$ real. Domeniul fiind un interval, criteriul se aplică o singură dată: $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$, fără puncte de inflexiune. Termenul afin $3x$ nu influențează derivata a doua.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Monotonia și convexitatea sunt proprietăți independente. Funcția $f(x)=e^{-x}$ are $f^{\prime }(x)=-e^{-x}<0$, deci este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$, și $f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}>0$, deci este convexă pe $\mathbb{R}$. (La fel de bun: $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$.)

b) F. Condiția este doar necesară, nu și suficientă: mai trebuie ca $f^{\prime \prime }$ să-și schimbe semnul. Contraexemplul standard este $f(x)=x^4$, cu $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$: derivata a doua se anulează în $0$, dar rămâne pozitivă de ambele părți, funcția este convexă pe tot $\mathbb{R}$ și $0$ nu este punct de inflexiune.

c) F. Greșeala nu este de semn, ci de domeniu: ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval, iar convexitatea se declară numai pe un interval. Corect se scriu două afirmații separate: cum $f^{\prime \prime }(x)=\frac{4}{x^3}$ este negativă pe $(-\infty ,0)$ și pozitivă pe $(0,+\infty )$, funcția este concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$.

d) A. Este a doua citire geometrică a convexității: graficul unei funcții convexe se află sub orice coardă și deasupra oricărei tangente, atingând tangenta doar în punctul de contact. (Control pe un caz cunoscut: la $f(x)=e^x$, tangenta în $0$ este $y=x+1$, iar $e^x\ge x+1$ pentru orice $x$ real.)

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ și $t\in [0,1]$; notăm $x=t{x}_1+(1-t)x_2$ (0,5 p). Calculăm diferența dintre ordonata coardei și ordonata graficului. Termenii $-3x$ și $+2$ se reduc, pentru că $t{x}_1+(1-t)x_2=x$ și $t+(1-t)=1$, deci rămâne numai partea pătratică (1 p): $$tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(x)=4[t{x}_1^2+(1-t)x_2^2-(t{x}_1+(1-t)x_2{)}^2]=4t(1-t)(x_1-x_2{)}^2$$ (1 p). Cum $t\ge 0$, $1-t\ge 0$ și $(x_1-x_2{)}^2\ge 0$, membrul drept este mai mare sau egal cu zero, deci $$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2),$$ adică exact inegalitatea de convexitate (0,5 p). $■$ (Se acceptă și justificarea scurtă „coeficientul dominant este $4>0$", dar numai cu identitatea scrisă; enunțul cere pornirea de la definiție.)

b) (3 p) Este de infirmat o afirmație de tipul „pentru orice", deci ajunge un singur contraexemplu, iar cazul mijlocului este cel mai comod (0,5 p). Luăm $x_1=-3$ și $x_2=1$; mijlocul lor este $-1$ (0,5 p). Atunci $$f(-1)=-1+4=3,\frac{f(-3)+f(1)}{2}=\frac{-15+(-3)}{2}=-9$$ (1,5 p). Cum $3>-9$, inegalitatea $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ nu are loc, deci $f$ nu este convexă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p). (De reținut asimetria: un contraexemplu infirmă, dar verificarea pe mijloc nu demonstrează niciodată convexitatea.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p calculul lui $f^{\prime \prime }$, 0,5 p zerourile, 0,5 p schimbarea de semn, 0,5 p valoarea $f(x_0)$ și scrierea perechii).

a) $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+7$, deci $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$, cu zeroul $x=2$, punct interior domeniului. Panta $6$ fiind pozitivă, semnul trece de la $-$ la $+$, deci schimbarea are loc. Cum $f(2)=8-24+14-2=-4$, punctul de inflexiune al graficului este $(2,-4)$.

b) $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2$, deci $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x=12x(x-1)$, cu zerourile $0$ și $1$. Trinomul are coeficientul dominant pozitiv, deci semnul este $+$, $-$, $+$ pe cele trei intervale: în ambele zerouri semnul se schimbă. Cum $f(0)=0$ și $f(1)=1-2=-1$, punctele de inflexiune ale graficului sunt $(0,0)$ și $(1,-1)$.

c) Derivăm de două ori cu regula produsului: $f^{\prime }(x)=e^x+(x-3)e^x=(x-2)e^x$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$. Cum $e^x>0$, semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x-1$: negativ înainte de $1$, pozitiv după. Deci $x_0=1$ este punct de inflexiune, iar $f(1)=-2e$: punctul graficului este $(1,-2e)$.

d) Numitorul ${\left(x^2+3\right)}^3$ este strict pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x^2-1=(x-1)(x+1)$: pozitiv în afara intervalului $[-1,1]$ și negativ înăuntru. Semnul se schimbă în ambele zerouri, iar $f(-1)=f(1)=\frac{12}{4}=3$, deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $(-1,3)$ și $(1,3)$.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Derivăm termen cu termen, folosind $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=1-2\sin x$$ (1 p). Derivând încă o dată, cu $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, obținem $f^{\prime \prime }(x)=-2\cos x$ (0,5 p).

b) (3 p) Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ se scrie $\cos x=0$ (1 p). În intervalul $[0,2\pi ]$ soluțiile sunt $$x_1=\frac{\pi }{2},x_2=\frac{3\pi }{2}$$ (1 p). Semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul opus semnului lui $\cos x$; se verifică cu câte un punct de probă din fiecare interval: $f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}<0$, $f^{\prime \prime }(\pi )=2>0$, $f^{\prime \prime }\left(\frac{7\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}<0$ (0,5 p).

Capetele fiind închise, în coloanele lor se scriu valorile $f^{\prime \prime }(0)=-2$ și $f^{\prime \prime }(2\pi )=-2$, nu se lasă goale (0,5 p). Concluzia: $f$ este concavă pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, convexă pe $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ și concavă pe $\left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$.

c) (2 p) În ambele zerouri semnul se schimbă, iar ele sunt puncte interioare domeniului $[0,2\pi ]$, deci amândouă sunt puncte de inflexiune ale funcției (1 p). Valorile: $$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}+2\cos \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2},f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{3\pi }{2}+2\cos \frac{3\pi }{2}=\frac{3\pi }{2},$$ deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ și $\left(\frac{3\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ — amândouă situate pe prima bisectoare (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Împărțim: $\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$ (1 p). De aici, scriind $f(x)=2+3(x-1{)}^{-1}$ și derivând de două ori cu regula funcțiilor compuse, $$f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{(x-1{)}^3}$$ (1 p).

b) (3 p) Numărătorul $6$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $(x-1{)}^3$, adică semnul lui $x-1$ (1 p). Punctul $1$ nu aparține domeniului, deci în tabel primește bara $|$, nu zeroul (0,5 p):

(1 p). Concluzia se scrie în două afirmații separate, câte una pe fiecare interval al domeniului: $f$ este concavă pe $(-\infty ,1)$ și convexă pe $(1,+\infty )$ (0,5 p).

c) (2 p) Definiția cere ca punctul de inflexiune să fie interior domeniului și funcția să fie continuă acolo (1 p). Aici $f^{\prime \prime }$ își schimbă într-adevăr semnul „în jurul" lui $1$, dar $1\notin \mathbb{R}\setminus \{1\}$: funcția nici măcar nu este definită în acel punct, deci nu există nicio vecinătate pe care să se poată vorbi de o trecere de la $\cup$ la $\cap$. Prin urmare $f$ nu are niciun punct de inflexiune (1 p). (Este capcana-pereche a lui $x^4$: acolo exista punctul, dar lipsea schimbarea de semn; aici există schimbarea de semn, dar lipsește punctul.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Derivăm de două ori: $$f^{\prime }(x)=4x^3+12x^2+12x,f^{\prime \prime }(x)=12x^2+24x+12=12\left(x^2+2x+1\right)=12(x+1{)}^2$$ (1,5 p). Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ are soluția unică $x=-1$, deci singurul candidat este $-1$ (0,5 p). Fiind un pătrat înmulțit cu numărul pozitiv $12$, $f^{\prime \prime }$ este pozitivă și la stânga, și la dreapta lui $-1$:

Semnul nu se schimbă, deci $-1$ se respinge, iar funcția nu are niciun punct de inflexiune (1 p).

b) (3 p) Din $f^{\prime \prime }(x)=12(x+1{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$ real (1,5 p) și din faptul că $\mathbb{R}$ este interval, criteriul cu derivata a doua (scris cu inegalitate nestrictă) dă: $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$ (1 p). Anularea izolată din $x=-1$ nu strică nimic — contează doar ca $f^{\prime \prime }$ să nu-și schimbe semnul (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Funcția este definită pe intervalul $(0,+\infty )$, unde este de două ori derivabilă (0,5 p). Avem $$f^{\prime }(x)=2x+\frac{1}{x},f^{\prime \prime }(x)=2-\frac{1}{x^2}=\frac{2x^2-1}{x^2}$$ (1 p). Numitorul $x^2$ este strict pozitiv, deci semnul este dat de $2x^2-1$, care se anulează pentru $x^2=\frac{1}{2}$, adică — pe domeniu — pentru $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (0,5 p):

(0,5 p). Deci $f$ este concavă pe $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ și convexă pe $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$ (0,5 p).

b) (3 p) În $x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$ derivata a doua se anulează și își schimbă semnul, deci $x_0$ este punct de inflexiune al funcției (1 p). Calculăm valoarea, folosind $\ln \frac{\sqrt{2}}{2}=\ln 2^{-\frac{1}{2}}=-\frac{\ln 2}{2}$ (1 p): $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}=\frac{1-\ln 2}{2}.$$ Punctul de inflexiune al graficului este $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1-\ln 2}{2}\right)$ (1 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$, $t\in [0,1]$ și $x=t{x}_1+(1-t)x_2$ (0,5 p).

Pregătirea expresiei. Folosind $t+(1-t)=1$, scriem argumentul modulului ca o combinație de aceeași formă (1 p): $$2x-6=2(t{x}_1+(1-t)x_2)-6t-6(1-t)=t(2x_1-6)+(1-t)(2x_2-6).$$

Inegalitatea modulului. Din inegalitatea modulului unei sume și din $t\ge 0$, $1-t\ge 0$ (care permit scoaterea factorilor din modul) (1,5 p): $$|2x-6|\le |t(2x_1-6)|+|(1-t)(2x_2-6)|=t|2x_1-6|+(1-t)|2x_2-6|$$ (1 p).

Încheierea. Adunăm $1=t+(1-t)$ în ambii membri și obținem $$f(x)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2),$$ adică exact inegalitatea de convexitate, pentru orice $x_1,x_2$ și orice $t\in [0,1]$ (1 p). $■$ (Geometric: graficul este un „V" cu vârful în $(3,1)$, iar orice coardă trece pe deasupra lui.)

b) (3 p) Criteriul cu derivata a doua are ipoteza „$f$ de două ori derivabilă pe interval", iar ea nu este îndeplinită în $3$ (1 p): derivatele laterale ale lui $f$ în $3$ sunt $-2$ și $2$, deci $f$ nu este derivabilă acolo (punct unghiular), cu atât mai puțin de două ori derivabilă; $f^{\prime \prime }(3)$ nu există (1 p). Criteriul se poate aplica doar separat, pe $(-\infty ,3)$ și pe $(3,+\infty )$, unde $f^{\prime \prime }(x)=0$. Concluzia de la a) rămâne însă valabilă, pentru că ea a fost obținută direct din definiție, care cere doar inegalitatea coardei, nu și derivabilitatea (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Derivăm de două ori: $$f^{\prime }(x)=4x^3+6x^2-24x,f^{\prime \prime }(x)=12x^2+12x-24=12\left(x^2+x-2\right)=12(x+2)(x-1)$$ (1,5 p). Zerourile lui $f^{\prime \prime }$ sunt $-2$ și $1$; coeficientul dominant al trinomului este pozitiv, deci semnul este $+$ în afara rădăcinilor și $-$ între ele (0,5 p). Prin urmare $f$ este convexă pe $(-\infty ,-2]$, concavă pe $[-2,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$ (1 p).

b) (3 p) Valorile în punctele marcate: $f(-2)=16-16-48=-48$ și $f(1)=1+2-12=-9$ (1 p); termenul dominant fiind $x^4$, limitele la ambele capete sunt $+\infty$ (0,5 p). Cu două puncte marcate, tabelul are $8$ coloane:

(1,5 p). (Coloanele-interval conțin doar simbolul de curbură: despre monotonie nu s-a spus nimic aici, deci nu se scriu săgeți.)

c) (2 p) În ambele zerouri semnul lui $f^{\prime \prime }$ se schimbă, deci amândouă sunt puncte de inflexiune ale funcției (1 p); punctele de inflexiune ale graficului sunt $(-2,-48)$ și $(1,-9)$ (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Avem $f^{\prime }(x)=3x^2+2mx+3$ și $f^{\prime \prime }(x)=6x+2m$ (1 p). Trecerea de la concavitate la convexitate în $2$ cere $f^{\prime \prime }(2)=0$, adică $12+2m=0$, deci $m=-6$ (1,5 p). Verificare: pentru $m=-6$ avem $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$, funcție de gradul întâi cu panta $6>0$, deci semnul chiar trece de la $-$ la $+$ în $2$ — concavă pe $(-\infty ,2]$, convexă pe $[2,+\infty )$ (0,5 p).

b) (3 p) Pentru $m=-6$, $f(x)=x^3-6x^2+3x-4$ (0,5 p). Cum $f^{\prime \prime }$ se anulează în $2$ și își schimbă semnul acolo, $x_0=2$ este punct de inflexiune al funcției (1 p). Valoarea: $$f(2)=8-24+6-4=-14$$ (1 p), deci punctul de inflexiune al graficului este $(2,-14)$ (0,5 p).

c) (2 p) Derivata a doua $f^{\prime \prime }(x)=6x+2m$ este o funcție de gradul întâi cu coeficientul $6\ne 0$, oricare ar fi $m$ (0,5 p). Ea are deci exact un zero, $x_0=-\frac{m}{3}$, și, având pantă nenulă, își schimbă semnul acolo, trecând de la $-$ la $+$ (1 p). Cum $x_0$ este punct interior domeniului $\mathbb{R}$, el este punct de inflexiune, și este singurul (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Produs de două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$, cu ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=-e^{-x}$ (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-\left(x^2+1\right)e^{-x}=-\left(x^2-2x+1\right)e^{-x}=-(x-1{)}^2{e}^{-x}$$ (1,5 p).

b) (3 p) Derivăm încă o dată, tot cu regula produsului, pe forma factorizată (0,5 p): $$f^{\prime \prime }(x)=-2(x-1)e^{-x}+(x-1{)}^2{e}^{-x}=(x-1)e^{-x}[(x-1)-2]=(x-1)(x-3)e^{-x}$$ (2,5 p).

c) (3 p) Cum $e^{-x}>0$ pentru orice $x$ real, ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ este echivalentă cu $(x-1)(x-3)=0$, deci candidații sunt $1$ și $3$, ambii interiori domeniului (1 p). Trinomul $(x-1)(x-3)$ are coeficientul dominant pozitiv, deci semnul este $+$, $-$, $+$:

Semnul se schimbă în ambele puncte, deci amândouă sunt puncte de inflexiune (1 p). Valorile: $$f(1)=2e^{-1}=\frac{2}{e},f(3)=10e^{-3}=\frac{10}{e^3},$$ deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $\left(1,\frac{2}{e}\right)$ și $\left(3,\frac{10}{e^3}\right)$ (1 p). (Observație de control: $f^{\prime }(x)=-(x-1{)}^2{e}^{-x}\le 0$, deci funcția este descrescătoare pe $\mathbb{R}$; punctul $1$ anulează derivata întâi fără să fie punct de extrem — este o inflexiune cu tangentă orizontală.)