Test: corpuri și morfisme de inele

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Inele, corpuri și polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică a doua treaptă a suplimentului de algebră: structura de corp și funcțiile care o transportă dintr-un loc în altul. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: definiția corpului — inel cu $1\ne 0$ în care orice element nenul este inversabil — împreună cu notația $K^{\ast }$, cu faptul că un corp nu are divizori ai lui zero și cu deosebirea fermă dintre inel integru și corp. Al doilea: teorema centrală, „$({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim", cu demonstrația pe ambele implicații, plus calculul efectiv al inverselor și rezolvarea ecuațiilor și a sistemelor într-un ${\mathbb{Z}}_p$ concret. Al treilea: corpurile de numere de tipul $\{a+b\sqrt{d}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$, cu norma și cu expresia conjugată, și contrastul cu inelul corespunzător de coeficienți întregi. Al patrulea: morfismul de inele, cu cele trei condiții ale sale — inclusiv $f(1)=1^{\prime }$, care nu rezultă din primele două — proprietățile care se păstrează, injectivitatea morfismelor de corpuri și argumentele prin care se arată că două inele nu sunt izomorfe. Al cincilea: transportul de structură, atât pe legi date prin formule, cât și pe mulțimi de matrice, cu izomorfismele către $\mathbb{C}$ și către corpurile pătratice.

Mențiune de supliment: testul verifică materie din suplimentul pentru Bacalaureat M1 — corpurile și morfismele de inele sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar concluzia.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare invers din ${\mathbb{Z}}_p$ se justifică prin produsul care îl confirmă, iar fiecare soluție de ecuație sau de sistem se verifică prin înlocuire. Se depunctează: verificarea a numai două condiții la un morfism de inele, confuzia dintre inel integru și corp, afirmarea structurii de corp pentru un ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ putere de număr prim, reverificarea axiomelor după ce izomorfismul a fost deja stabilit și scrierea $\frac{\hat{1}}{\hat{3}}$ în locul inversului.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe teorema claselor de resturi și pe rețeta transportului de structură.
• Formule de reținut: Corp: inel cu $1\ne 0$ în care orice element nenul este inversabil; $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$ este grup față de înmulțire; toate corpurile din acest curs sunt comutative. Un corp nu are divizori ai lui zero, deci este inel integru; reciproca este falsă ($\mathbb{Z}$). Regula de simplificare: într-un corp, din $ax=ay$ și $a\ne 0$ rezultă $x=y$. Ecuația de gradul întâi: într-un corp, $ax=b$ cu $a\ne 0$ are soluția unică $x=a^{-1}b$. Teorema: ${\mathbb{Z}}_n$ este corp $⟺$ $n$ este număr prim; cel mai mic corp este ${\mathbb{Z}}_2$. Corpul pătratic: $\{a+b\sqrt{d}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$, cu $d$ care nu e pătrat perfect, are inversul $(a+b\sqrt{d}{)}^{-1}=\frac{a-b\sqrt{d}}{a^2-d{b}^2}$, unde $a^2-d{b}^2$ este norma. Morfismul de inele are trei condiții: $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$ și $f(1)=1^{\prime }$; el păstrează zeroul, opusul, puterile și inversele, deci duce $U(A)$ în $U(A^{\prime })$. Orice morfism de corpuri este injectiv. Izomorfism = morfism bijectiv; se scrie $A\simeq A^{\prime }$. Argumente de ne-izomorfism: cardinalul, comutativitatea înmulțirii, existența divizorilor lui zero, grupul unităților. Transportul de structură: pentru $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, funcția $f(x)=x-a$ este izomorfism către $(\mathbb{R},+,\cdot )$; zeroul este $a$, unitatea este $a+1$, simetricul lui $x$ față de $\otimes$ este $a+\frac{1}{x-a}$. Familia de matrice $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ verifică $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$ și $\det A(a,b)=a^2+b^2$; funcția $\phi (a+bi)=A(a,b)$ este izomorfism de la $\mathbb{C}$ la această familie. Familia pătratică se notează cu altă literă, $B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& db\\ b& a\end{array}\right)$, cu $\det B(a,b)=a^2-d{b}^2$; ea este izomorfă cu $\{a+b\sqrt{d}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Corpul: definiție, teorema claselor de resturi, calcule

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Un corp este un inel cu $1\ne 0$ în care: A. înmulțirea este comutativă; B. orice element nenul este inversabil; C. nu există divizori ai lui zero; D. orice element are opus.

b) Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$, cu adunarea și înmulțirea claselor, este corp dacă și numai dacă: A. $n$ este par; B. $n$ este putere a unui număr prim; C. $n$ este număr prim; D. $n\ge 2$.

c) Cel mai mic corp are: A. un element; B. două elemente; C. trei elemente; D. o infinitate de elemente.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice inel integru este corp." b) „Mulțimea ${\mathbb{Z}}_{16}$ este corp, pentru că $16$ este putere a unui număr prim." c) „Într-un corp $K$, ecuația $ax=b$ cu $a\ne 0$ are exact o soluție." d) „Orice morfism de inele este injectiv."

Itemul 3 (7 puncte)

Se lucrează în corpul ${\mathbb{Z}}_{13}$. a) Determină ${\hat{6}}^{-1}$, ${\hat{7}}^{-1}$ și ${\hat{8}}^{-1}$, scriind de fiecare dată produsul care confirmă rezultatul. (3 p) b) Rezolvă ecuația $\hat{6}x+\hat{9}=\hat{4}$. (2 p) c) Rezolvă ecuația $x^2=\hat{3}$. (2 p)

Itemul 4 (7 puncte)

a) Demonstrează că, dacă $p$ este număr prim, atunci orice clasă nenulă din ${\mathbb{Z}}_p$ este inversabilă. (4 p) b) Demonstrează reciproca: dacă ${\mathbb{Z}}_n$ este corp, atunci $n$ este număr prim. (2 p) c) Precizează pentru care valori $n\in \{15,16,17,18,19\}$ mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ este corp. (1 p)

Partea a II-a – Corpuri de numere, morfisme și transport de structură

Itemul 5 (7 puncte)

Se consideră mulțimile $K=\left\{a+b\sqrt{7}|a,b\in \mathbb{Q}\right\}$ și $A=\left\{a+b\sqrt{7}|a,b\in \mathbb{Z}\right\}$, cu adunarea și înmulțirea numerelor reale. a) Arată că $K$ este parte stabilă față de ambele operații, scriind formula produsului. (2 p) b) Arată că $K$ este corp și calculează inversul lui $3+\sqrt{7}$. (3 p) c) Arată că $A$ este inel, dar nu este corp, indicând un element nenul neinversabil. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Arată că funcția $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_9$, $f(k)=\hat{k}$, este morfism de inele și stabilește, cu justificare, dacă este izomorfism. (3 p) b) Fie $g:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $g(x)=\frac{x}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Arată că $g$ verifică primele două condiții din definiția morfismului de inele, dar nu pe a treia, și explică ce se strică. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile $x\oplus y=x+y+2$ și $x\otimes y=xy+2x+2y+2$. a) Arată că $x\otimes y=(x+2)(y+2)-2$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. (2 p) b) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$, este izomorfism de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$. (3 p) c) Deduce că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp și determină elementul nul, elementul unitate și simetricul lui $3$ față de $\otimes$. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Arată, indicând de fiecare dată invariantul folosit, că nu sunt izomorfe: a) inelele $\mathbb{Q}$ și ${\mathbb{Z}}_7$; (2 p) b) inelele ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ și $\mathbb{R}$; (2 p) c) inelele $A=\left\{a+b\sqrt{7}|a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ și $K=\left\{a+b\sqrt{7}|a,b\in \mathbb{Q}\right\}$. (3 p)

Partea a III-a – Sinteză și item de tip Bacalaureat M1

Itemul 9 (7 puncte)

Rezolvă în corpul ${\mathbb{Z}}_{11}$ sistemul $$\{\begin{array}{l}\hat{3}x+\hat{4}y=\hat{2}\\ \hat{5}x+\hat{2}y=\hat{9}\end{array}$$ a) Determină inversele de care ai nevoie, cu produsele care le confirmă. (2 p) b) Rezolvă sistemul prin metoda reducerii. (3 p) c) Verifică soluția în ambele ecuații și explică de ce ea este unică. (2 p)

Itemul 10 (7 puncte)

a) Demonstrează că orice morfism de corpuri este injectiv. (4 p) b) Demonstrează că singurul morfism de inele $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ este funcția identică. (3 p)

Itemul 11 (7 puncte)

Se consideră mulțimea $M=\left\{A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R}\right\}$, izomorfă cu $\mathbb{C}$ prin $\phi (a+bi)=A(a,b)$. a) Calculează $A(2,-3)\cdot A(1,4)$ pe două căi: direct și prin numere complexe. (3 p) b) Determină $A(2,-3{)}^{-1}$. (2 p) c) Rezolvă în $M$ ecuația $X^2=A(0,-8)$. (2 p)

Itemul 12 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea, problema a doua.) Se consideră mulțimea $$N=\left\{B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 7b\\ b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{Q}\right\}\subset {\mathcal{M}}_2(\mathbb{Q}).$$ a) Arătați că $B(a,b)\cdot B(c,d)=B(ac+7bd,ad+bc)$ și că $\det B(a,b)=a^2-7b^2$. (5 p) b) Arătați că funcția $\psi :K\to N$, $\psi (a+b\sqrt{7})=B(a,b)$, unde $K=\left\{a+b\sqrt{7}|a,b\in \mathbb{Q}\right\}$, este izomorfism de inele, și deduceți că $(N,+,\cdot )$ este corp comutativ. (5 p) c) Determinați $B(2,1{)}^{-1}$ și rezolvați în $N$ ecuația $X^2=B(11,4)$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) B. Condiția care deosebește corpul de inel este inversabilitatea tuturor elementelor nenule. Variantele A, C și D sunt proprietăți pe care corpul le are, dar care nu îl caracterizează: D este axioma A4, deci o are orice inel; A este adevărată prin convenția cursului; C este o consecință, nu o definiție.

b) (2 p) C. Teorema cere ca $n$ însuși să fie prim. Varianta B este exact capcana: ${\mathbb{Z}}_4$, ${\mathbb{Z}}_8$, ${\mathbb{Z}}_9$ nu sunt corpuri.

c) (2 p) B. Corpul ${\mathbb{Z}}_2=\{\hat{0},\hat{1}\}$ are două elemente. Un corp nu poate avea un singur element, pentru că definiția cere $1\ne 0$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Contraexemplul standard este $\mathbb{Z}$: este inel comutativ, nenul și fără divizori ai lui zero, deci integru, dar $2$ nu are invers întreg. Implicația adevărată merge în celălalt sens: orice corp este inel integru.

b) (1,5 p) F. Teorema cere ca $n$ să fie prim, nu putere de prim. Concret, $\hat{2}\cdot \hat{8}=\widehat{16}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_{16}$, deci $\hat{2}$ este divizor al lui zero și nu poate fi inversabilă.

c) (1,5 p) A. Existența: $x=a^{-1}b$ verifică ecuația. Unicitatea: din $a{x}_1=a{x}_2$ și $a\ne 0$, regula de simplificare într-un corp dă $x_1=x_2$.

d) (1,5 p) F. Reducerea modulo $n$, adică $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$, $f(k)=\hat{k}$, este morfism de inele și nu este injectivă: toți multiplii lui $n$ merg în $\hat{0}$. Injectivitatea este garantată doar pentru morfismele de corpuri.

Itemul 3. (7 p)

a) (3 p) Câte un punct pentru fiecare invers, cu justificarea prin produs: $6\cdot 11=66=5\cdot 13+1$, deci ${\hat{6}}^{-1}=\widehat{11}$ (1 p); $7\cdot 2=14=13+1$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\hat{2}$ (1 p); $8\cdot 5=40=3\cdot 13+1$, deci ${\hat{8}}^{-1}=\hat{5}$ (1 p).

b) (2 p) Adunăm opusul lui $\hat{9}$, adică $\hat{4}$: $\hat{6}x=\hat{4}+\hat{4}=\hat{8}$ (1 p). Înmulțim cu ${\hat{6}}^{-1}=\widehat{11}$: $x=\widehat{11}\cdot \hat{8}=\widehat{88}=\widehat{10}$, pentru că $88=6\cdot 13+10$. Verificare: $\hat{6}\cdot \widehat{10}+\hat{9}=\widehat{60}+\hat{9}=\hat{8}+\hat{9}=\widehat{17}=\hat{4}$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Scriem pătratele tuturor claselor, folosind că $\widehat{13-a}=\widehat{-a}$ are același pătrat ca $\hat{a}$ (1 p): $${\hat{1}}^2=\hat{1},{\hat{2}}^2=\hat{4},{\hat{3}}^2=\hat{9},{\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{3},{\hat{5}}^2=\widehat{25}=\widehat{12},{\hat{6}}^2=\widehat{36}=\widehat{10}.$$ Valoarea $\hat{3}$ apare pentru $\hat{4}$ și, prin simetrie, pentru $\widehat{13-4}=\hat{9}$; într-adevăr $9^2=81=6\cdot 13+3$. Soluțiile sunt $x\in \{\hat{4},\hat{9}\}$ (1 p).

Itemul 4. (7 p)

a) (4 p) Fie $\hat{a}\ne \hat{0}$, adică $p\nmid a$. Considerăm funcția $\phi :{\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{Z}}_p$, $\phi (\hat{x})=\hat{a}\hat{x}$ (1 p), și arătăm că este injectivă: dacă $\hat{a}\hat{x}=\hat{a}\hat{y}$, atunci $\hat{a}(\hat{x}-\hat{y})=\hat{0}$, adică $p\mid a(x-y)$; cum $p$ este prim și $p\nmid a$, rezultă $p\mid x-y$, deci $\hat{x}=\hat{y}$ (2 p). Fiind o funcție injectivă de la o mulțime finită la ea însăși, $\phi$ este și surjectivă, deci clasa $\hat{1}$ este atinsă: există $\hat{x}$ cu $\hat{a}\hat{x}=\hat{1}$, adică $\hat{a}$ este inversabilă (1 p).

b) (2 p) Presupunem, prin reducere la absurd, că $n$ nu este prim: $n=d\cdot d^{\prime }$ cu $1<d<n$ și $1<d^{\prime }<n$ (1 p). Atunci $\hat{d}\ne \hat{0}$, $\widehat{d^{\prime }}\ne \hat{0}$, dar $\hat{d}\cdot \widehat{d^{\prime }}=\hat{n}=\hat{0}$ — divizori ai lui zero, imposibil într-un corp. Deci $n$ este prim (1 p).

c) (1 p) Numai pentru $n=17$ și $n=19$, singurele numere prime din listă. Pentru $15=3\cdot 5$, $16=2^4$ și $18=2\cdot 3^2$ structura este inel, dar nu corp.

Itemul 5. (7 p)

a) (2 p) Suma: $(a+b\sqrt{7})+(c+d\sqrt{7})=(a+c)+(b+d)\sqrt{7}$ (0,5 p). Produsul, folosind $(\sqrt{7}{)}^2=7$ (1 p): $$(a+b\sqrt{7})(c+d\sqrt{7})=(ac+7bd)+(ad+bc)\sqrt{7}.$$ Coeficienții obținuți sunt raționali, deci ambele rezultate rămân în $K$ (0,5 p).

b) (3 p) Asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea se moștenesc din $\mathbb{R}$; $0$, $1$ și opusele aparțin lui $K$, deci $K$ este inel comutativ (0,5 p). Fie $a+b\sqrt{7}\ne 0$. Numitorul $a^2-7b^2$ este nenul: dacă $b\ne 0$ și $a^2=7b^2$, atunci $\sqrt{7}=\left|\frac{a}{b}\right|$ ar fi rațional, fals; iar dacă $b=0$, atunci $a\ne 0$ (1 p). Amplificând cu expresia conjugată (1 p): $$(a+b\sqrt{7}{)}^{-1}=\frac{a-b\sqrt{7}}{a^2-7b^2}\in K,$$ deci $K$ este corp. Pentru $3+\sqrt{7}$: $a^2-7b^2=9-7=2$, deci inversul este $\frac{3-\sqrt{7}}{2}$; verificare: $(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})=2$, iar împărțind la $2$ obținem $1$ ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Mulțimea $A$ este parte stabilă (aceleași formule, cu coeficienți întregi), conține $0$ și $1$ și e închisă la opuse, deci este inel comutativ (1 p). Nu este corp: elementul $3\in A$ este nenul, dar $3^{-1}=\frac{1}{3}$ nu se scrie sub forma $a+b\sqrt{7}$ cu $a,b$ întregi, pentru că scrierea unui număr sub această formă este unică, iar $\frac{1}{3}\notin \mathbb{Z}$ (1 p). (Elemente inversabile există totuși: $8+3\sqrt{7}$ are norma $64-63=1$, deci inversul lui este $8-3\sqrt{7}\in A$.)

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Cele trei condiții se citesc direct din definițiile operațiilor cu clase: $f(k+m)=\widehat{k+m}=\hat{k}+\hat{m}=f(k)+f(m)$; $f(km)=\widehat{km}=\hat{k}\hat{m}=f(k)f(m)$; $f(1)=\hat{1}$, elementul unitate al lui ${\mathbb{Z}}_9$ (2 p). Nu este izomorfism: $f$ este surjectivă, dar nu injectivă, pentru că $f(0)=f(9)=\hat{0}$; de altfel $\mathbb{Z}$ este infinit, iar ${\mathbb{Z}}_9$ are nouă elemente (1 p).

b) (4 p) Notăm $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, deci $g(x)=\frac{x}{2}J$, și observăm că $J^2=2J$ (1 p). Aditivitatea: $g(x)+g(y)=\frac{x+y}{2}J=g(x+y)$ (1 p). Multiplicativitatea (1 p): $$g(x)g(y)=\frac{xy}{4}{J}^2=\frac{xy}{4}\cdot 2J=\frac{xy}{2}J=g(xy).$$ A treia condiție cade: $g(1)=\frac{1}{2}J=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\ne I_2$. Ce se strică este exact păstrarea inversabilității: $\det g(1)=0$, deci unitatea lui $\mathbb{R}$, care este inversabilă, ajunge într-o matrice neinversabilă (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Desfacem membrul drept: $(x+2)(y+2)-2=xy+2x+2y+4-2=xy+2x+2y+2=x\otimes y$ (1,5 p). Recunoaștem tiparul $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$ cu $a=-2$; verificarea termenului liber, $a^2+a=4-2=2$, confirmă (0,5 p).

b) (3 p) Funcția $f(x)=x+2$ este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(t)=t-2$ (1 p). Verificăm cele trei condiții (2 p): $$f(x\oplus y)=x+y+4=(x+2)+(y+2)=f(x)+f(y),$$ $$f(x\otimes y)=(x+2)(y+2)-2+2=(x+2)(y+2)=f(x)f(y),$$ iar elementul unitate al lui $\otimes$ este $-1$, cu $f(-1)=1$.

c) (2 p) Prin transport de structură, toate axiomele corpului $(\mathbb{R},+,\cdot )$ se mută în $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$, deci acesta este corp comutativ (0,5 p). Elementul nul este $f^{-1}(0)=-2$, elementul unitate este $f^{-1}(1)=-1$ (1 p). Simetricul lui $3$ față de $\otimes$ este $$f^{-1}\left(\frac{1}{3+2}\right)=\frac{1}{5}-2=-\frac{9}{5};$$ verificare: $3\otimes \left(-\frac{9}{5}\right)=-\frac{27}{5}+6-\frac{18}{5}+2=-9+8=-1$, adică unitatea ✓ (0,5 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Invariantul este cardinalul: un izomorfism este, înainte de orice, o bijecție (1 p). Mulțimea $\mathbb{Q}$ este infinită, iar ${\mathbb{Z}}_7$ are șapte elemente, deci nu poate exista bijecție între ele (1 p).

b) (2 p) Invariantul este comutativitatea înmulțirii (1 p). Dacă ar exista un izomorfism $f:{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$, atunci pentru orice $X,Y$ am avea $f(XY)=f(X)f(Y)=f(Y)f(X)=f(YX)$, iar din injectivitate $XY=YX$ — fals, pentru că $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, iar produsul în ordine inversă este $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ (1 p). (Se poate invoca și existența divizorilor lui zero în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, absenți din $\mathbb{R}$.)

c) (3 p) Invariantul este grupul unităților (1 p). Un izomorfism $f:A\to K$ duce $U(A)$ bijectiv în $U(K)$, pentru că păstrează inversabilitatea în ambele sensuri (1 p). Dar $K$ este corp, deci $U(K)=K\setminus \{0\}$ cuprinde toate elementele nenule, în timp ce în $A$ elementul $3$ este nenul și neinversabil, deci $U(A)\ne A\setminus \{0\}$; prin bijecție, ar rezulta că și $A$ este corp — contradicție (1 p).

Itemul 9. (7 p)

a) (2 p) Cum $11$ este prim, ${\mathbb{Z}}_{11}$ este corp și toate clasele nenule sunt inversabile. Ne folosim de: ${\hat{2}}^{-1}=\hat{6}$, pentru că $2\cdot 6=12=11+1$ (0,5 p); ${\hat{4}}^{-1}=\hat{3}$, pentru că $4\cdot 3=12=11+1$ (0,5 p); ${\hat{7}}^{-1}=\hat{8}$, pentru că $7\cdot 8=56=5\cdot 11+1$ (1 p).

b) (3 p) Înmulțim a doua ecuație cu $\hat{2}$: $\widehat{10}x+\hat{4}y=\widehat{18}=\hat{7}$ (1 p). Scădem prima ecuație și obținem $(\widehat{10}-\hat{3})x=\hat{7}-\hat{2}$, adică $\hat{7}x=\hat{5}$ (1 p). Înmulțind cu ${\hat{7}}^{-1}=\hat{8}$ rezultă $x=\hat{8}\cdot \hat{5}=\widehat{40}=\hat{7}$, căci $40=3\cdot 11+7$. Din prima ecuație, $\hat{4}y=\hat{2}-\hat{3}\cdot \hat{7}=\hat{2}-\widehat{21}=\hat{2}-\widehat{10}=\widehat{-8}=\hat{3}$, deci $y=\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}$ (1 p).

c) (2 p) Verificare în prima ecuație: $\hat{3}\cdot \hat{7}+\hat{4}\cdot \hat{9}=\widehat{21}+\widehat{36}=\widehat{10}+\hat{3}=\widehat{13}=\hat{2}$ ✓; în a doua: $\hat{5}\cdot \hat{7}+\hat{2}\cdot \hat{9}=\widehat{35}+\widehat{18}=\hat{2}+\hat{7}=\hat{9}$ ✓ (1 p). Soluția este unică pentru că fiecare pas a folosit înmulțirea cu un element inversabil, operație reversibilă într-un corp; într-un ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus, același drum ar fi putut pierde sau adăuga soluții (1 p).

Itemul 10. (7 p)

a) (4 p) Fie $K$, $K^{\prime }$ corpuri și $f:K\to K^{\prime }$ morfism de inele. Fiind morfism între grupurile aditive, e destul să arătăm că singurul element dus în $0^{\prime }$ este $0$ (1 p). Presupunem $f(x)=0^{\prime }$ cu $x\ne 0$; cum $K$ este corp, $x$ este inversabil, deci (1,5 p) $$1^{\prime }=f(1)=f(x\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f\left(x^{-1}\right)=0^{\prime }\cdot f\left(x^{-1}\right)=0^{\prime }.$$ Am obținut $1^{\prime }=0^{\prime }$, ceea ce contrazice definiția corpului $K^{\prime }$ (0,5 p). Deci $x=0$. Dacă acum $f(x_1)=f(x_2)$, atunci $f(x_1-x_2)=0^{\prime }$, deci $x_1=x_2$: funcția este injectivă (1 p). (Observă unde s-a folosit a treia condiție din definiția morfismului: fără $f(1)=1^{\prime }$, membrul stâng nu ar fi fost unitatea lui $K^{\prime }$.)

b) (3 p) Din a treia condiție, $f(1)=1$; prin inducție și aditivitate, $f(n)=nf(1)=n$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, apoi $f(0)=0$ și $f(-n)=-f(n)=-n$, deci $f(k)=k$ pentru orice întreg $k$ (1,5 p). Fie acum $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, cu $q\ne 0$. Din multiplicativitate (1 p): $$p=f(p)=f\left(q\cdot \frac{p}{q}\right)=f(q)\cdot f\left(\frac{p}{q}\right)=q\cdot f\left(\frac{p}{q}\right),$$ de unde $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q}$ (0,5 p).

Itemul 11. (7 p)

a) (3 p) Direct: $A(2,-3)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $A(1,4)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -4& 1\end{array}\right)$, iar (1,5 p) $$\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2+12& 8-3\\ 3-8& 12+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& 5\\ -5& 14\end{array}\right)=A(14,5).$$ Prin numere complexe: lui $A(2,-3)$ îi corespunde $2-3i$, iar lui $A(1,4)$ îi corespunde $1+4i$; produsul este $(2-3i)(1+4i)=2+8i-3i+12=14+5i$, deci $A(14,5)$ — același rezultat (1,5 p).

b) (2 p) Numărul complex asociat este $z=2-3i$, cu $|z{|}^2=4+9=13$ (1 p), deci $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{2+3i}{13}$ și $$A(2,-3{)}^{-1}=A\left(\frac{2}{13},\frac{3}{13}\right)=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -3& 2\end{array}\right)$$ (1 p). (Control: $\det A(2,-3)=4+9=13$, exact $|z{|}^2$.)

c) (2 p) Prin izomorfism, ecuația devine $z^2=-8i$. Cu $z=x+yi$ obținem $x^2-y^2=0$ și $2xy=-8$, adică $xy=-4<0$, deci $y=-x$ și $x^2=4$ (1 p). Rezultă $z\in \{2-2i,-2+2i\}$, adică $$X=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& 2\end{array}\right)\text{sau}X=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ -2& -2\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare pentru prima: $(2-2i{)}^2=4-8i-4=-8i$ ✓. Soluțiile sunt exact două, pentru că $\phi$ este bijectivă, iar un număr complex nenul are exact două rădăcini pătrate.

Itemul 12. (15 p) — problemă de tip Subiectul al II-lea, trei subpuncte a câte $5$ puncte.

a) (5 p) Înmulțim direct (3 p): $$\left(\begin{array}{cc}a& 7b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& 7d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac+7bd& 7ad+7bc\\ bc+ad& 7bd+ac\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac+7bd& 7(ad+bc)\\ ad+bc& ac+7bd\end{array}\right),$$ iar ultima matrice este exact $B(ac+7bd,ad+bc)$ (1 p). Determinantul: $\det B(a,b)=a\cdot a-7b\cdot b=a^2-7b^2$ (1 p).

b) (5 p) Funcția $\psi$ este bijectivă: scrierea $a+b\sqrt{7}$ cu $a,b$ raționale este unică, pentru că $\sqrt{7}$ este irațional, iar $B(a,b)=B(c,d)$ dă $a=c$ și $b=d$ (1 p). Verificăm cele trei condiții (3 p): pentru adunare, $\psi ((a+c)+(b+d)\sqrt{7})=B(a+c,b+d)=B(a,b)+B(c,d)$; pentru înmulțire, formula produsului în $K$ este $$(a+b\sqrt{7})(c+d\sqrt{7})=(ac+7bd)+(ad+bc)\sqrt{7},$$ cu aceiași coeficienți ca la punctul a), deci $\psi (zw)=\psi (z)\psi (w)$; în fine, $\psi (1)=B(1,0)=I_2$. Prin transport de structură, $N$ moștenește toate axiomele corpului comutativ $K$, deci $(N,+,\cdot )$ este corp comutativ (1 p).

c) (5 p) Lui $B(2,1)$ îi corespunde $2+\sqrt{7}$, cu norma $4-7=-3$ (0,5 p), deci inversul este $\frac{2-\sqrt{7}}{-3}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{7}$ și $$B(2,1{)}^{-1}=B\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{2}{3}& \frac{7}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{2}{3}\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare cu formula de la a): $B(2,1)\cdot B\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)=B\left(-\frac{4}{3}+\frac{7}{3},\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\right)=B(1,0)=I_2$ ✓ (0,5 p).

Pentru ecuație, notăm $z={\psi }^{-1}(X)=x+y\sqrt{7}$, cu $x,y\in \mathbb{Q}$; ecuația devine $z^2=11+4\sqrt{7}$, adică $x^2+7y^2=11$ și $2xy=4$ (1,5 p). Din a doua, $xy=2$, deci $y=\frac{2}{x}$ și prima devine $x^4-11x^2+28=0$, cu $x^2\in \{4,7\}$ (1 p). Valoarea $x^2=7$ se respinge, pentru că $\sqrt{7}$ nu este rațional; rămâne $x=\pm 2$, cu $y=\pm 1$. Soluțiile sunt $$X=B(2,1)=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 2\end{array}\right)\text{și}X=B(-2,-1)=\left(\begin{array}{cc}-2& -7\\ -1& -2\end{array}\right)$$ (0,5 p). Verificare: $B(2,1{)}^2=B(4+7,2+2)=B(11,4)$ ✓.