Test: cuartile, amplitudine și boxplot

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Statistică matematică

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică indicatorii de împrăștiere bazați pe poziție și rezumatul grafic care se construiește din ei. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: amplitudinea $A=x_{\max }-x_{\min }$ — rapidă, dar bazată pe numai două valori, deci extrem de sensibilă la o valoare izolată. Al doilea, cel mai important: algoritmul cuartilelor, cu regula care se greșește cel mai des — când $n$ este impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți. Al treilea: abaterea intercuartilică $\text{IQR}=Q_3-Q_1$, lungimea „jumătății din mijloc" a datelor, care rămâne neschimbată chiar dacă valorile extreme se mișcă mult. Al patrulea: cele cinci numere caracteristice $x_{\min },Q_1,Q_2,Q_3,x_{\max }$ și diagrama boxplot construită din ele, cu mustățile duse până la minimul și maximul setului. Testul cere și interpretări: din poziția medianei în cutie și din raportul lungimilor mustăților se citește forma distribuției.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu cuartile se cere scrisă și împărțirea în jumătăți, nu doar rezultatul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească un calculator de buzunar. Prima operație, obligatorie la orice item: ordonarea crescătoare a datelor. Diagramele nu se cer desenate la scară; se cer datele desenului — capetele cutiei, poziția liniei mediane, capetele mustăților și lungimile lor.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe cazul $n$ impar și pe deosebirea dintre amplitudine și $\text{IQR}$.
• Formule de reținut: pe date ordonate crescător $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$: $$Q_2=x_{\frac{n+1}{2}}(n\text{ impar}),Q_2=\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}(n\text{ par}).$$ $Q_1$ este mediana jumătății inferioare, iar $Q_3$ este mediana jumătății superioare. Când $n$ este impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți; când $n$ este par, jumătățile sunt primele, respectiv ultimele $\frac{n}{2}$ valori. Indicatorii: $$A=x_{\max }-x_{\min },\text{IQR}=Q_3-Q_1.$$ Boxplot: pe o axă gradată se desenează cutia de la $Q_1$ la $Q_3$ (deci de lungime $\text{IQR}$), o linie la $Q_2$ în interiorul ei și mustăți duse până la $x_{\min }$ și până la $x_{\max }$ (deci lungimea totală este $A$). Cele patru sferturi delimitate de $x_{\min },Q_1,Q_2,Q_3,x_{\max }$ conțin, fiecare, câte un sfert din date.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Amplitudine, cuartile și cele cinci numere

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Amplitudinea setului $7,3,11,5,9$ este: A. $3$; B. $7$; C. $8$; D. $11$.

b) Un set de date are $Q_1=12$ și $Q_3=20$. Abaterea intercuartilică este: A. $8$; B. $16$; C. $20$; D. $32$.

c) Într-o diagramă boxplot, lungimea cutiei reprezintă: A. amplitudinea; B. mediana; C. abaterea intercuartilică; D. media datelor.

Itemul 2 (6 puncte)

Se dă setul de date $4,7,9,12,15,18,22$. a) Calculează amplitudinea. (1 p) b) Determină $Q_2$, apoi scrie explicit cele două jumătăți și determină $Q_1$ și $Q_3$. (4 p) c) Calculează $\text{IQR}$. (1 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Când $n$ este impar, valoarea mediană intră în jumătatea inferioară a datelor, la calculul lui $Q_1$." b) „Pentru orice set de date, $\text{IQR}\le A$." c) „Într-un boxplot, mustața din dreapta se duce până la valoarea maximă a setului." d) „Două seturi de date cu aceeași mediană au obligatoriu aceeași împrăștiere."

Itemul 4 (6 puncte)

Se dă setul de date $6,8,11,13,16,18,21,27$. a) Determină cele cinci numere caracteristice. (4 p) b) Calculează $A$ și $\text{IQR}$. (2 p)

Partea a II-a – Toate paritățile, robustețe și boxplot

Itemul 5 (8 puncte)

Se dă setul de date $2,5,6,8,11,13,14,17,20$. a) Determină $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $A$ și $\text{IQR}$, scriind explicit cele două jumătăți. (5 p) b) Un elev a inclus valoarea mediană în ambele jumătăți. Ce valori ar obține el pentru $Q_1$, $Q_3$ și $\text{IQR}$ și cu cât greșește? (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se dă setul de date $3,5,8,10,12,14,17,19,21,25$. a) Determină cele cinci numere caracteristice, $A$ și $\text{IQR}$. (4 p) b) Înlocuiește ultima valoare, $25$, cu $60$ și recalculează $A$ și $\text{IQR}$. Ce observi și ce concluzie tragi despre cei doi indicatori? (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Temperaturile maxime (în grade Celsius) înregistrate în $11$ zile au fost: $$12,14,15,17,18,20,22,23,25,28,30.$$ a) Determină cele cinci numere caracteristice. (3 p) b) Scrie datele desenului pentru boxplot: capetele cutiei, poziția liniei mediane și capetele mustăților. (2 p) c) Calculează lungimile celor două mustăți și precizează ce spun ele despre forma setului. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Un boxplot al notelor obținute de elevii unei școli la un concurs are $x_{\min }=8$, $Q_1=14$, $Q_2=17$, $Q_3=23$, $x_{\max }=32$ (puncte). a) Calculează $A$ și $\text{IQR}$. (2 p) b) Calculează lungimile mustăților și precizează ce concluzie tragi despre forma distribuției. (2 p) c) Dacă la concurs au participat $40$ de elevi, aproximativ câți au obținut peste $23$ de puncte? (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Doi elevi au obținut, la $7$ teste, punctajele: $$\text{Ana: }10,12,14,15,16,18,20;\text{Bogdan: }4,8,13,15,17,22,26.$$ a) Determină cele cinci numere caracteristice pentru fiecare elev. (3 p) b) Compară cele două boxploturi și scrie o concluzie în cuvinte, precizând ce indicator face diferența. (3 p)

Partea a III-a – Necunoscute, interpretări și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

Se dă setul ordonat crescător $2,x,8,10,12,14,17,20$, despre care se știe că $Q_1=6,5$. a) Determină $x$ și verifică faptul că setul rămâne ordonat. (3 p) b) Determină cele cinci numere caracteristice. (3 p) c) Calculează $A$ și $\text{IQR}$. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră setul ordonat crescător $3,5,7,9,11,13,a$, unde $a\ge 13$. a) Determinați $Q_1$, $Q_2$ și $Q_3$ și arătați că $\text{IQR}$ nu depinde de valoarea lui $a$. (4 p) b) Determinați $a$, știind că amplitudinea setului este $20$. (2 p) c) Explicați, folosind punctul a), de ce $\text{IQR}$ este un indicator mai robust decât amplitudinea. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Un set are $8$ valori, iar cele cinci numere caracteristice sunt $5;8;12;17;24$. Câte valori se află în fiecare dintre cele patru sferturi delimitate de aceste numere? (2 p) b) Precizează trei lucruri pe care un boxplot nu le arată. (3 p) c) Arată, printr-un exemplu concret, că două seturi diferite de date pot avea exact același boxplot. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Numărul de cărți împrumutate zilnic de la bibliotecă în $12$ zile a fost: $$5,7,8,10,11,13,15,16,18,20,23,28.$$ a) Determinați cele cinci numere caracteristice. (4 p) b) Calculați $A$ și $\text{IQR}$ și precizați câte valori se află în fiecare sfert. (2 p) c) Descrieți boxplotul corespunzător și precizați ce formă are distribuția. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C (2 p). Ordonat, setul este $3,5,7,9,11$, deci $A=11-3=8$. Amplitudinea nu depinde de ordinea în care sunt scrise datele, ci doar de cele două valori extreme. b) A (2 p). $\text{IQR}=Q_3-Q_1=20-12=8$; abaterea intercuartilică este o diferență, nu o sumă. c) C (2 p). Cutia se întinde de la $Q_1$ la $Q_3$, deci lungimea ei este exact $Q_3-Q_1=\text{IQR}$. Amplitudinea este lungimea totală, de la un capăt de mustață la celălalt.

Itemul 2. (6 p)

a) (1 p) $A=22-4=18$.

b) (4 p) Datele sunt deja ordonate și $n=7$ este impar, deci mediana este valoarea de pe poziția $\frac{7+1}{2}=4$, adică $Q_2=12$ (1 p). Valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți (1 p): $$\underset{\text{juma˘tatea inferioara˘}}{\underbrace{4,7,9}}\mid 12\mid \underset{\text{juma˘tatea superioara˘}}{\underbrace{15,18,22}}$$ Fiecare jumătate are $3$ valori, deci $Q_1=7$ (1 p) și $Q_3=18$ (1 p).

c) (1 p) $\text{IQR}=18-7=11$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F (1,5 p). Convenția este exact opusă: când $n$ este impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți, iar acestea au câte $\frac{n-1}{2}$ elemente fiecare. b) A (1,5 p). Din $x_{\min }\le Q_1\le Q_3\le x_{\max }$ rezultă $Q_3-Q_1\le x_{\max }-x_{\min }$, adică $\text{IQR}\le A$. Cutia este întotdeauna cuprinsă între capetele mustăților. c) A (1,5 p). Este chiar convenția de construcție folosită în manual: mustățile merg până la minimul și până la maximul setului, deci lungimea totală a diagramei este amplitudinea. d) F (1,5 p). Seturile $10,12,14,15,16,18,20$ și $4,8,13,15,17,22,26$ au amândouă mediana $15$, dar amplitudinile $10$ și $22$, deci împrăștieri foarte diferite.

Itemul 4. (6 p)

a) (4 p) $n=8$ este par, deci $Q_2=\frac{x_4+x_5}{2}=\frac{13+16}{2}=14,5$ (1 p). Jumătățile sunt primele, respectiv ultimele $4$ valori (1 p): $$\underset{\text{inferioara˘}}{\underbrace{6,8,11,13}}\mid \underset{\text{superioara˘}}{\underbrace{16,18,21,27}}$$ $$Q_1=\frac{8+11}{2}=9,5,Q_3=\frac{18+21}{2}=19,5$$ (1 p). Cele cinci numere caracteristice sunt $6;9,5;14,5;19,5;27$ (1 p).

b) (2 p) $A=27-6=21$ (1 p) și $\text{IQR}=19,5-9,5=10$ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (5 p) Datele sunt ordonate și $n=9$ este impar, deci $Q_2$ este valoarea de pe poziția $5$, adică $Q_2=11$ (1 p). Jumătățile, fără valoarea mediană (1 p): $$\underset{\text{inferioara˘}}{\underbrace{2,5,6,8}}\mid 11\mid \underset{\text{superioara˘}}{\underbrace{13,14,17,20}}$$ Fiecare jumătate are $4$ valori (număr par), deci cuartilele sunt medii de câte două valori: $$Q_1=\frac{5+6}{2}=5,5,Q_3=\frac{14+17}{2}=15,5$$ (2 p). $A=20-2=18$ și $\text{IQR}=15,5-5,5=10$ (1 p).

b) (3 p) Incluzând mediana în ambele jumătăți, elevul ar lucra cu $2,5,6,8,11$ și cu $11,13,14,17,20$, fiecare de câte $5$ valori (1 p). Ar obține $Q_1=6$ și $Q_3=14$, deci $\text{IQR}=14-6=8$ (1 p). Față de valoarea corectă, $\text{IQR}=10$, greșeala este de $2$ unități, adică $20\%$ din valoarea reală: incluzând mediana, cutia iese prea îngustă, pentru că ambele jumătăți sunt trase spre centru (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) $n=10$ este par, deci $Q_2=\frac{x_5+x_6}{2}=\frac{12+14}{2}=13$ (1 p). Jumătățile au câte $5$ valori (1 p): $$\underset{\text{inferioara˘}}{\underbrace{3,5,8,10,12}}\mid \underset{\text{superioara˘}}{\underbrace{14,17,19,21,25}}$$ Fiecare are un număr impar de elemente, deci $Q_1=8$ și $Q_3=19$ (1 p). Cele cinci numere sunt $3;8;13;19;25$, iar $A=25-3=22$ și $\text{IQR}=19-8=11$ (1 p).

b) (3 p) Cu $60$ în locul lui $25$, setul devine $3,5,8,10,12,14,17,19,21,60$. Cuartilele se calculează la fel: $Q_2=13$, $Q_1=8$, $Q_3=19$, deci $\text{IQR}=11$, neschimbat (1 p). Amplitudinea devine însă $A=60-3=57$, adică de peste două ori mai mare decât înainte (1 p). Concluzia: amplitudinea depinde numai de cele două valori extreme, deci o singură valoare izolată o poate schimba oricât; $\text{IQR}$ măsoară jumătatea din mijloc a datelor și rămâne stabil — de aceea este indicatorul preferat când setul are valori extreme (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) $n=11$ este impar, deci $Q_2$ este valoarea de pe poziția $6$, adică $Q_2=20^{\circ }$C (1 p). Jumătățile, fără valoarea mediană, au câte $5$ valori: $12,14,15,17,18$ și $22,23,25,28,30$, deci $Q_1=15^{\circ }$C și $Q_3=25^{\circ }$C (1 p). Cele cinci numere: $12;15;20;25;30$ (1 p).

b) (2 p) Cutia se întinde de la $15$ la $25$ (lungime $10$), linia mediană se trasează la $20$, mustața stângă merge de la $15$ până la $12$, iar mustața dreaptă de la $25$ până la $30$ (2 p).

c) (2 p) Mustața stângă are lungimea $15-12=3$, iar cea dreaptă $30-25=5$ (1 p). Mediana cade exact la mijlocul cutiei ($20-15=5=25-20$), deci jumătatea din mijloc este simetrică; mustața dreaptă este însă mai lungă, ceea ce arată o ușoară asimetrie spre dreapta — zilele foarte calde se întind mai departe de centru decât cele foarte reci (1 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) $A=32-8=24$ puncte (1 p) și $\text{IQR}=23-14=9$ puncte (1 p).

b) (2 p) Mustața stângă: $14-8=6$; mustața dreaptă: $32-23=9$ (1 p). Mediana este mai aproape de $Q_1$ ($17-14=3$) decât de $Q_3$ ($23-17=6$), iar mustața dreaptă este mai lungă: distribuția este asimetrică spre dreapta, adică punctajele mari sunt mai împrăștiate decât cele mici (1 p).

c) (2 p) Prin construcție, un sfert dintre date se află deasupra lui $Q_3$ (1 p), deci aproximativ $\frac{40}{4}=10$ elevi au obținut peste $23$ de puncte (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Ambele seturi au $n=7$ (impar), deci mediana este valoarea de pe poziția $4$, iar jumătățile au câte $3$ valori, fără mediană. Ana: $Q_2=15$; din $10,12,14$ rezultă $Q_1=12$; din $16,18,20$ rezultă $Q_3=18$. Cele cinci numere: $10;12;15;18;20$ (1,5 p). Bogdan: $Q_2=15$; din $4,8,13$ rezultă $Q_1=8$; din $17,22,26$ rezultă $Q_3=22$. Cele cinci numere: $4;8;15;22;26$ (1,5 p).

b) (3 p) Cele două cutii au aceeași linie mediană, la $15$: nivelul tipic al celor doi elevi este identic (1 p). Diferența o face împrăștierea: Ana are $A=20-10=10$ și $\text{IQR}=18-12=6$, iar Bogdan $A=26-4=22$ și $\text{IQR}=22-8=14$, adică peste dublu (1 p). Concluzie: la același nivel mediu, Ana este mult mai constantă (cutie îngustă, mustăți scurte), iar Bogdan este neregulat — are și rezultate mai bune decât cele mai bune ale Anei ($26$ față de $20$), dar și rezultate mult mai slabe ($4$ față de $10$). Un boxplot cu mediana la fel și cutii diferite este exact situația în care compararea pe un singur indicator ar induce în eroare (1 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (3 p) $n=8$ este par, deci jumătatea inferioară este formată din primele $4$ valori: $2,x,8,10$ (1 p). Cuartila $Q_1$ este mediana acestor patru valori, adică $$Q_1=\frac{x+8}{2}=6,5⟹x+8=13⟹x=5$$ (1 p). Verificare: $2\le 5\le 8$, deci setul $2,5,8,10,12,14,17,20$ rămâne ordonat crescător (1 p).

b) (3 p) $Q_2=\frac{x_4+x_5}{2}=\frac{10+12}{2}=11$ (1 p). Jumătatea superioară este $12,14,17,20$, deci $Q_3=\frac{14+17}{2}=15,5$ (1 p). Cele cinci numere caracteristice sunt $2;6,5;11;15,5;20$ (1 p).

c) (2 p) $A=20-2=18$ (1 p) și $\text{IQR}=15,5-6,5=9$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Setul are $n=7$ valori (impar), deci $Q_2$ este valoarea de pe poziția $4$, adică $Q_2=9$ (1 p). Jumătatea inferioară este $3,5,7$, deci $Q_1=5$ (1 p). Jumătatea superioară este $11,13,a$; cum $a\ge 13$, aceste trei valori sunt deja ordonate crescător, iar mediana lor este valoarea din mijloc, adică $Q_3=13$ (1 p). Prin urmare $$\text{IQR}=Q_3-Q_1=13-5=8,$$ valoare care nu conține pe $a$, deci nu depinde de el (1 p).

b) (2 p) Cum $a\ge 13>3$, avem $x_{\max }=a$ și $x_{\min }=3$ (1 p), deci din $A=a-3=20$ rezultă $a=23$ (valoare care respectă condiția $a\ge 13$) (1 p).

c) (2 p) Punctul a) arată direct diferența: valoarea $a$ poate crește oricât — $13$, $23$ sau $1000$ — iar $\text{IQR}$ rămâne $8$, în timp ce amplitudinea $A=a-3$ crește odată cu ea, fără limită (1 p). Motivul: amplitudinea este construită exclusiv din cele două valori extreme, pe când $Q_1$ și $Q_3$ sunt valori de poziție, care depind de ordinea datelor, nu de cât de mari sunt cele de la capete. De aceea, la seturi cu valori izolate, împrăștierea se raportează prin $\text{IQR}$ (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Cele cinci numere taie setul în patru sferturi cu același număr de valori (1 p); cum $8:4=2$, în fiecare sfert se află câte $2$ valori (1 p).

b) (3 p) Boxplotul nu arată: numărul de date — un boxplot din $7$ valori arată identic cu unul din $700$ care au aceleași cinci numere, de aceea volumele se scriu alături de desen (1 p); valorile individuale și de câte ori se repetă fiecare (1 p); dacă datele formează două grupuri distincte (două „vârfuri"), lucru care se vede doar pe o histogramă sau pe o diagramă cu bare — și, în plus, nu arată nici media, fiind construit numai din numere de poziție (1 p).

c) (3 p) Un exemplu: seturile $$3,6,8,11,14,16,19\text{și}3,6,9,11,15,16,19$$ (1 p). Ambele au $n=7$, deci $Q_2=11$ (poziția $4$); din $3,6,8$, respectiv $3,6,9$, rezultă în ambele cazuri $Q_1=6$; din $14,16,19$, respectiv $15,16,19$, rezultă în ambele cazuri $Q_3=16$ (1,5 p). Cele cinci numere sunt identice, $3;6;11;16;19$, deci boxploturile coincid, deși seturile diferă prin două valori (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (4 p) Datele sunt ordonate și $n=12$ este par, deci $$Q_2=\frac{x_6+x_7}{2}=\frac{13+15}{2}=14$$ (1 p). Jumătățile au câte $6$ valori (1 p): $$\underset{\text{inferioara˘}}{\underbrace{5,7,8,10,11,13}}\mid \underset{\text{superioara˘}}{\underbrace{15,16,18,20,23,28}}$$ Fiecare are un număr par de elemente, deci $$Q_1=\frac{8+10}{2}=9,Q_3=\frac{18+20}{2}=19$$ (1 p). Cele cinci numere caracteristice: $5;9;14;19;28$ (1 p).

b) (2 p) $A=28-5=23$ și $\text{IQR}=19-9=10$ (1 p). Cum $12:4=3$, în fiecare sfert se află câte $3$ valori (1 p).

c) (2 p) Cutia se întinde de la $9$ la $19$, are lungimea $10$, iar linia mediană se trasează la $14$, exact la mijlocul ei ($14-9=5=19-14$); mustața stângă merge de la $9$ la $5$ (lungime $4$), iar cea dreaptă de la $19$ la $28$ (lungime $9$) (1 p). Cutia este simetrică, dar mustața dreaptă este de peste două ori mai lungă decât cea stângă, deci distribuția este asimetrică spre dreapta: zilele cu foarte multe împrumuturi se depărtează mai mult de centru decât cele cu foarte puține. Într-un astfel de set, media depășește de obicei mediana (1 p).