Test: definiția derivatei și derivatele laterale

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Funcții derivabile

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică fundația întregului capitol de derivate, adică primele trei lecții ale unității: definiția derivatei într-un punct, derivatele laterale și legătura dintre derivabilitate și continuitate. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: scrierea corectă a raportului de diferențe $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, cu valoarea $f(x_0)$ calculată separat, și prelucrarea lui algebrică până dispare nedeterminarea $\frac{0}{0}$ — prin factorizare la funcțiile polinomiale, prin aducere la același numitor la cele raționale, prin amplificare cu conjugata la radicali. Al doilea: deosebirea dintre o funcție care are derivată într-un punct (limita există în $\overline{\mathbb{R}}$, deci poate fi și infinită) și una care este derivabilă acolo (limita există și este finită); este distincția care decide răspunsul în jumătate dintre enunțuri. Al treilea: calculul separat al derivatelor laterale $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$, mai ales la funcțiile definite pe ramuri, unde în ambele rapoarte se scade aceeași valoare $f(x_0)$. Al patrulea: teorema „derivabilă $\Rightarrow$ continuă", contrapoziția ei ca metodă de lucru și tiparul complet al problemelor cu parametri, în care continuitatea dă prima ecuație, iar egalitatea derivatelor laterale pe a doua.

Toate derivatele se cer din definiție. Tabelul derivatelor funcțiilor uzuale, regulile de derivare și ecuația tangentei nu au fost încă predate la momentul acestui test, deci nu se pot folosi în rezolvare — iar o soluție care le invocă nu primește punctaj, chiar dacă rezultatul final este corect.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație și la cei cu parametri se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare studiu de derivabilitate se consideră complet numai dacă răspunsul numește condiția care se verifică sau care cade. Se depunctează: scăderea altei valori decât $f(x_0)$ în raportul unei derivate laterale, concluzia „derivabilă" din simpla egalitate a derivatelor laterale (fără finitudine), afirmația „este derivabilă" atunci când derivata iese $\pm \infty$, sărirea peste verificarea continuității la funcțiile pe ramuri cu parametri și folosirea tabelului derivatelor uzuale sau a regulilor de derivare, care nu sunt încă predate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe calculul din definiție și pe procedura de la funcțiile definite pe ramuri.
• Formule de reținut: definiția derivatei — pentru $x_0$ punct de acumulare al domeniului, $$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};$$ funcția are derivată în $x_0$ dacă această limită există în $\overline{\mathbb{R}}$ și este derivabilă în $x_0$ dacă limita există și este finită. Derivatele laterale: $$f_s^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},f_d^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Teorema de caracterizare: $f$ este derivabilă în $x_0$ dacă și numai dacă $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ există, sunt finite și sunt egale; atunci $f^{\prime }(x_0)$ este valoarea lor comună. Teorema de legătură: dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$; contrapoziția, adică forma de lucru, spune că o funcție discontinuă în $x_0$ nu este derivabilă în $x_0$. Reciproca este falsă. La problemele cu parametri se scriu două ecuații, în această ordine: întâi cea de continuitate ($l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$), apoi cea de derivabilitate ($f_s^{\prime }(x_0)=f_d^{\prime }(x_0)$).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Raportul de diferențe și derivata din definiție

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Raportul de diferențe al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x$, în punctul $x_0=2$, se simplifică la: A. $x+2$; B. $x+3$; C. $2x+1$; D. $x-2$.

b) Dacă $f_s^{\prime }(x_0)=f_d^{\prime }(x_0)=+\infty$, atunci: A. $f$ este derivabilă în $x_0$; B. $f$ are derivată în $x_0$, dar nu este derivabilă acolo; C. $f$ nu are derivată în $x_0$; D. $f$ nu este continuă în $x_0$.

c) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-4x+7$, valoarea lui $f^{\prime }(1)$ este: A. $3$; B. $-4$; C. $7$; D. $0$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează din definiție derivata cerută (câte 1,5 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x$, în $x_0=3$; b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x$, în $x_0=2$; c) $f:\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{2x-1}$, în $x_0=1$; d) $f:\left[-\frac{1}{3},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{3x+1}$, în $x_0=5$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ există amândouă în $\overline{\mathbb{R}}$, atunci $f$ are derivată în $x_0$." b) „La o funcție pe ramuri ale cărei ramuri nu se lipesc în $x_0$, în raportul care dă $f_d^{\prime }(x_0)$ se scade limita la dreapta, nu $f(x_0)$." c) „Dacă $f$ este derivabilă la stânga și derivabilă la dreapta în $x_0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$." d) „Dacă $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și derivabilă pe $\mathbb{R}\setminus \{x_0\}$, atunci $f$ este derivabilă și în $x_0$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Arată, folosind definiția, că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+5x$, este derivabilă în orice punct $x_0\in \mathbb{R}$ și determină $f^{\prime }(x_0)$. (3 p) b) Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x-1}$, are derivată în $x_0=1$, dar nu este derivabilă acolo. (3 p)

Partea a II-a – Derivate laterale, funcții pe ramuri și parametri

Itemul 5 (7 puncte)

a) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x,& x\le 2\\ 6x-6,& x>2\end{array}$. Arată că $f$ este continuă în $x_0=2$, apoi studiază derivabilitatea ei în acest punct. (4 p) b) Se consideră $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+3,& x\le 1\\ 5x+1,& x>1\end{array}$. Arată că $g$ nu este derivabilă în $x_0=1$, fără a calcula derivate laterale. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x<3\\ x^2-4x,& x\ge 3\end{array}$, să fie derivabilă în $x_0=3$, apoi precizează $f^{\prime }(3)$.

Itemul 7 (7 puncte)

Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+bx+1,& x\le 2\\ 9x-7,& x>2\end{array}$, să fie derivabilă în $x_0=2$, apoi precizează $f^{\prime }(2)$.

Itemul 8 (7 puncte)

a) Se consideră $f:(-\infty ,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{5-x}$. Studiază derivabilitatea lui $f$ în $x_0=5$ și formulează răspunsul complet. (4 p) b) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{|x-4|}$. Calculează $f_s^{\prime }(4)$ și $f_d^{\prime }(4)$, apoi precizează dacă $f$ are derivată în $4$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) a) Un mobil se deplasează rectiliniu, iar spațiul parcurs, în metri, după $t$ secunde este $s(t)=3t^2-2t$. Determină viteza instantanee la momentul $t_0=4$. (3 p) b) Volumul de apă dintr-un bazin, în litri, după $t$ minute este $V(t)=\{\begin{array}{ll}{t}^2+2t,& t\le 4\\ 6t,& t>4\end{array}$. Arată că $V$ este continuă la minutul $4$ și stabilește dacă debitul instantaneu are un salt în acel moment. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează teorema: dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci $f$ este continuă în $x_0$. Precizează explicit locul în care se folosește faptul că $f^{\prime }(x_0)$ este finită. (5 p) b) Arată că reciproca este falsă, studiind funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|2x-1|$, în punctul $x_0=\frac{1}{2}$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Enunță teorema de caracterizare a derivabilității cu ajutorul derivatelor laterale, apoi studiază derivabilitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-3x,& x\le 2\\ 5x-8,& x>2\end{array}$, în $x_0=2$. (5 p) b) Pentru funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-3x,& x\le 2\\ 5x-7,& x>2\end{array}$, arată că $g$ nu este derivabilă în $x_0=2$ și precizează care dintre cele trei condiții din teoremă cade. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+mx+n,& x\le -1\\ 2x+5,& x>-1\end{array}$, cu $m,n\in \mathbb{R}$. a) Determină $m$ și $n$ astfel încât $f$ să fie derivabilă în $x_0=-1$. (5 p) b) Pentru valorile găsite, precizează $f^{\prime }(-1)$ și determină, din definiție, $f^{\prime }(x_0)$ pentru $x_0<-1$. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2$. a) Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$. (3 p) b) Arată că $f$ este derivabilă în orice punct $x_0\in \mathbb{R}$, determină $f^{\prime }(x_0)$ și rezolvă ecuația $f^{\prime }(x_0)=0$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Avem $f(2)=4+2=6$, deci $$\frac{x^2+x-6}{x-2}=\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3,x\ne 2.$$ Varianta A ar apărea dacă s-ar uita termenul $x$ din expresia funcției, iar C este derivata scrisă „din memorie", nu raportul cerut. b) B. Limita raportului de diferențe există în $\overline{\mathbb{R}}$ și valorează $+\infty$, deci funcția are derivată; derivabilitatea cere însă limită finită, deci ea cade. Exemplul-etalon este $\sqrt[3]{x}$ în $0$. c) B. Pentru $f(x)=-4x+7$ raportul de diferențe este $\frac{-4x+7-3}{x-1}=\frac{-4(x-1)}{x-1}=-4$, constant, deci $f^{\prime }(1)=-4$. Varianta A este coeficientul din varianta greșită de semn, iar C este termenul liber. Reține tiparul: la o funcție de gradul întâi raportul de diferențe nu depinde de $x$, deci derivata este aceeași în orice punct și egală cu coeficientul lui $x$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p valoarea $f(x_0)$ și scrierea raportului, 0,5 p prelucrarea algebrică, 0,5 p limita).

a) $f(3)=9-15=-6$ și $$\frac{x^2-5x+6}{x-3}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2⟶1,$$ deci $f^{\prime }(3)=1$.

b) $f(2)=8+4=12$; grupăm ca să scoatem factorul $x-2$: $$\frac{x^3+2x-12}{x-2}=\frac{(x^3-8)+2(x-2)}{x-2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)+2(x-2)}{x-2}=x^2+2x+6⟶14,$$ deci $f^{\prime }(2)=14$.

c) $f(1)=1$ și, aducând la același numitor, $$\frac{\frac{1}{2x-1}-1}{x-1}=\frac{\frac{1-(2x-1)}{2x-1}}{x-1}=\frac{2-2x}{(2x-1)(x-1)}=\frac{-2(x-1)}{(2x-1)(x-1)}=-\frac{2}{2x-1}⟶-2,$$ deci $f^{\prime }(1)=-2$.

d) $f(5)=\sqrt{16}=4$; amplificăm cu conjugata: $$\frac{\sqrt{3x+1}-4}{x-5}=\frac{(3x+1)-16}{(x-5)(\sqrt{3x+1}+4)}=\frac{3(x-5)}{(x-5)(\sqrt{3x+1}+4)}=\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}⟶\frac{3}{8},$$ deci $f^{\prime }(5)=\frac{3}{8}$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Existența celor două limite laterale nu ajunge; ele trebuie să fie și egale, altfel limita raportului de diferențe nu există. Contraexemplu: la $f(x)=\sqrt{|x|}$ în $0$ avem $f_s^{\prime }(0)=-\infty$ și $f_d^{\prime }(0)=+\infty$ — amândouă există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar $f$ nu are derivată în $0$. b) F. În ambele rapoarte se scade aceeași valoare $f(x_0)$, citită de pe ramura a cărei condiție este satisfăcută de $x_0$ — indiferent dacă ramurile se lipesc sau nu. Tocmai când ele nu se lipesc greșeala devine vizibilă: scăzând limita la dreapta s-ar obține o valoare finită acolo unde raportul, în realitate, explodează. c) A. Derivabilă la stânga înseamnă $f_s^{\prime }(x_0)$ finită; din identitatea $f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)$, trecând la limită numai pentru $x<x_0$, obținem $l_s(x_0)=f(x_0)$. Analog la dreapta, deci $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$ și $f$ este continuă în $x_0$. Observă că nu se cere ca cele două derivate laterale să fie egale — continuitatea vine din finitudinea lor, nu din egalitate. d) F. Este reciproca teoremei de legătură, restrânsă la un singur punct, și rămâne falsă. Contraexemplu: $f(x)=|x+1|$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și derivabilă pe $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ (raportul de diferențe este constant $-1$ la stânga și $1$ la dreapta), dar în $-1$ derivatele laterale sunt $-1$ și $1$, deci $f$ nu este derivabilă acolo.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Fie $x_0\in \mathbb{R}$ oarecare; atunci $f(x_0)=x_0^2+5x_0$ (0,5 p) și, pentru $x\ne x_0$, $$\frac{x^2+5x-x_0^2-5x_0}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x+x_0)+5(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0+5$$ (1,5 p). Limita este $\underset{x\to x_0}{\lim }(x+x_0+5)=2x_0+5$, valoare finită pentru orice $x_0$ real, deci $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $f^{\prime }(x_0)=2x_0+5$ (1 p).

b) (3 p) Avem $f(1)=\sqrt[3]{0}=0$ (0,5 p), iar pentru $x\ne 1$, notând $u=\sqrt[3]{x-1}$, obținem $x-1=u^3$ și $$\frac{\sqrt[3]{x-1}-0}{x-1}=\frac{u}{u^3}=\frac{1}{u^2}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1{)}^2}}$$ (1,5 p). Numitorul este strict pozitiv pentru orice $x\ne 1$ și tinde la $0$, deci raportul tinde la $+\infty$ din ambele părți. Prin urmare $f$ are derivată în $1$, anume $f^{\prime }(1)=+\infty$, dar nu este derivabilă în $1$, pentru că limita nu este finită (1 p).

Itemul 5. (7 p)

a) (4 p) Continuitate: punctul $2$ verifică prima condiție ($2\le 2$), deci $f(2)=4+2=6$; apoi $l_s(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(x^2+x)=6$ și $l_d(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }(6x-6)=6$. Lanțul $6=6=6$ se verifică, deci $f$ este continuă în $2$ (1,5 p).

Derivatele laterale: $$f_s^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x-2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(x+3)=5,f_d^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{6x-6-6}{x-2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{6(x-2)}{x-2}=6$$ (2 p).

Concluzia: ambele derivate laterale există și sunt finite, dar $5\ne 6$, deci condiția de egalitate cade și $f$ nu este derivabilă în $2$ (0,5 p).

b) (3 p) $1\le 1$, deci $g(1)=1+3=4$, în timp ce $l_d(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(5x+1)=6$ (1,5 p). Cum $6\ne 4$, funcția nu este continuă în $1$ (0,5 p). Prin contrapoziția teoremei de legătură, o funcție discontinuă într-un punct nu poate fi derivabilă acolo, deci $g$ nu este derivabilă în $1$ — fără niciun calcul de derivate laterale (1 p).

Itemul 6. (7 p)

Valoarea în punct: $3\ge 3$, deci $f(3)=9-12=-3$ (1 p).

Ecuația de continuitate: $l_s(3)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }(ax+b)=3a+b$, iar condiția $l_s(3)=f(3)$ dă $$3a+b=-3$$ (1,5 p).

Derivatele laterale: folosind $b=-3-3a$, numărătorul din stânga devine $ax+b-(-3)=ax-3a=a(x-3)$, deci $$f_s^{\prime }(3)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }\frac{a(x-3)}{x-3}=a,f_d^{\prime }(3)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x-3}=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }(x-1)=2$$ (2 p).

Ecuația de derivabilitate: $f_s^{\prime }(3)=f_d^{\prime }(3)$ dă $a=2$, iar din prima ecuație $b=-3-6=-9$ (1,5 p).

Verificare și concluzie: pentru $a=2$ și $b=-9$ ramura din stânga este $2x-9$, care în $3$ dă $-3=f(3)$, iar derivata ei laterală este $2=f_d^{\prime }(3)$. Așadar $f$ este derivabilă în $3$ și $f^{\prime }(3)=2$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

Valoarea în punct: $2\le 2$, deci $f(2)=4a+2b+1$ (0,5 p).

Ecuația de continuitate: $l_d(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }(9x-7)=11$, deci $4a+2b+1=11$, adică $$2a+b=5$$ (1,5 p).

Derivatele laterale: numărătorul din stânga este $$a{x}^2+bx+1-(4a+2b+1)=a(x^2-4)+b(x-2)=(x-2)(a(x+2)+b),$$ deci $f_s^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(a(x+2)+b)=4a+b$ (2 p); pe cealaltă parte, $f_d^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{9x-7-11}{x-2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{9(x-2)}{x-2}=9$ (1 p).

Sistemul: din $2a+b=5$ și $4a+b=9$, scăzând prima ecuație din a doua, obținem $2a=4$, deci $a=2$ și $b=1$ (1,5 p).

Verificare și concluzie: ramura din stânga devine $2x^2+x+1$, care în $2$ dă $8+2+1=11$ ✓, iar $f_s^{\prime }(2)=4\cdot 2+1=9=f_d^{\prime }(2)$ ✓. Ambele sunt finite și egale, deci $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=9$ (0,5 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (4 p) La dreapta lui $5$ domeniul nu are puncte, deci se studiază numai derivata la stânga (1 p). Cum $f(5)=\sqrt{0}=0$, pentru $x<5$ avem $5-x>0$ și $$\frac{\sqrt{5-x}-0}{x-5}=\frac{\sqrt{5-x}}{-(5-x)}=-\frac{1}{\sqrt{5-x}}$$ (1,5 p), deci $f_s^{\prime }(5)=\underset{\begin{array}{c}x\to 5\\ x<5\end{array}}{\lim }\left(-\frac{1}{\sqrt{5-x}}\right)=-\infty$ (1 p).

Formularea completă a răspunsului: funcția are derivată la stânga în $5$, egală cu $-\infty$, deci nu este derivabilă în $5$; nu se spune „nu e derivabilă la dreapta", pentru că la dreapta nu există nimic de verificat (0,5 p).

b) (3 p) $f(4)=0$. Pentru $x>4$ avem $|x-4|=x-4$, deci $$f_d^{\prime }(4)=\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x>4\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x-4}}{x-4}=\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x>4\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-4}}=+\infty$$ (1 p); pentru $x<4$ avem $|x-4|=4-x$ și $x-4=-(4-x)$, deci $$f_s^{\prime }(4)=\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x<4\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{4-x}}{-(4-x)}=\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x<4\end{array}}{\lim }\left(-\frac{1}{\sqrt{4-x}}\right)=-\infty$$ (1 p).

Concluzia: cele două derivate laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar sunt diferite, deci limita raportului de diferențe nu există: $f$ nu are derivată în $4$ și, cu atât mai mult, nu este derivabilă acolo (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $s(4)=48-8=40$ metri (0,5 p). Viteza medie între momentele $4$ și $t$ este $$\frac{s(t)-s(4)}{t-4}=\frac{3t^2-2t-40}{t-4}=\frac{(t-4)(3t+10)}{t-4}=3t+10$$ (1,5 p), iar trecând la limită pentru $t\to 4$ obținem $s^{\prime }(4)=22$. Viteza instantanee la momentul $t_0=4$ este de $22$ m/s (1 p).

b) (3 p) Continuitate: $V(4)=16+8=24$, iar $l_d(4)=\underset{\begin{array}{c}t\to 4\\ t>4\end{array}}{\lim }6t=24$; cele trei valori coincid, deci $V$ este continuă la minutul $4$ — volumul nu sare (1 p).

Debitul instantaneu, adică $V^{\prime }(4)$, pe fiecare parte: $$V_s^{\prime }(4)=\underset{\begin{array}{c}t\to 4\\ t<4\end{array}}{\lim }\frac{t^2+2t-24}{t-4}=\underset{\begin{array}{c}t\to 4\\ t<4\end{array}}{\lim }(t+6)=10,V_d^{\prime }(4)=\underset{\begin{array}{c}t\to 4\\ t>4\end{array}}{\lim }\frac{6t-24}{t-4}=6$$ (1,5 p).

Interpretare: cele două valori sunt finite, dar diferite, deci $V$ nu este derivabilă în $4$: volumul variază continuu, însă debitul scade brusc de la $10$ litri pe minut la $6$ litri pe minut. Da, debitul instantaneu are un salt (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Ipoteza: $f$ este derivabilă în $x_0$, adică limita $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ există și este finită, egală cu $f^{\prime }(x_0)$ (0,5 p).

Identitatea de pornire. Pentru orice $x$ din domeniu cu $x\ne x_0$ putem înmulți și împărți cu numărul nenul $x-x_0$: $$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)$$ (1,5 p).

Trecerea la limită. Primul factor tinde la $f^{\prime }(x_0)$, al doilea tinde la $0$; ambele limite există și sunt finite, deci limita produsului este produsul limitelor (1,5 p): $$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)-f(x_0))=f^{\prime }(x_0)\cdot 0=0,$$ adică $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, ceea ce este exact definiția continuității lui $f$ în $x_0$ (1 p). $■$

Unde se folosește finitudinea: la pasul de trecere la limită. Dacă $f^{\prime }(x_0)$ ar fi $+\infty$ sau $-\infty$, produsul ar fi de forma $\infty \cdot 0$, adică una dintre cele șapte nedeterminări, iar raționamentul s-ar opri. De aceea teorema se enunță pentru funcții derivabile, nu pentru funcții care doar „au derivată" (0,5 p).

b) (3 p) Continuitate: $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$, iar ambele limite laterale ale lui $|2x-1|$ în $\frac{1}{2}$ sunt $0$, deci $f$ este continuă în $\frac{1}{2}$ (1 p).

Derivabilitate: pentru $x<\frac{1}{2}$ avem $|2x-1|=1-2x$, deci $$f_s^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\underset{\begin{array}{c}x\to \frac{1}{2}\\ x<\frac{1}{2}\end{array}}{\lim }\frac{1-2x}{x-\frac{1}{2}}=\underset{\begin{array}{c}x\to \frac{1}{2}\\ x<\frac{1}{2}\end{array}}{\lim }\frac{-2\left(x-\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}}=-2,$$ iar pentru $x>\frac{1}{2}$ avem $|2x-1|=2x-1$ și, analog, $f_d^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=2$ (1,5 p).

Concluzie: ambele derivate laterale sunt finite, dar $-2\ne 2$, deci $f$ nu este derivabilă în $\frac{1}{2}$, deși este continuă acolo. Prin urmare implicația „derivabilă $\Rightarrow$ continuă" nu se poate întoarce (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Enunțul teoremei: fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$ punct de acumulare bilateral pentru $D$. Funcția $f$ este derivabilă în $x_0$ dacă și numai dacă derivatele laterale $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ există, sunt finite și sunt egale; în acest caz $f^{\prime }(x_0)$ este valoarea lor comună (1,5 p).

Continuitatea: $2\le 2$, deci $f(2)=8-6=2$, iar $l_d(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }(5x-8)=2$ și $l_s(2)=2$; funcția este continuă în $2$ (1 p).

Derivatele laterale: $$f_s^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }\frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }\frac{(x-2)(2x+1)}{x-2}=5,f_d^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{5x-8-2}{x-2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{5(x-2)}{x-2}=5$$ (2 p).

Concluzie: cele două derivate laterale există, sunt finite și egale, deci, conform teoremei, $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=5$ (0,5 p).

b) (3 p) Ramura din stânga este aceeași, deci $g(2)=2$, dar $l_d(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }(5x-7)=3\ne 2$: funcția nu este continuă în $2$ (1,5 p). Prin contrapoziție, $g$ nu este derivabilă în $2$ (0,5 p).

Care condiție cade: cade condiția de finitudine, și anume pentru derivata la dreapta. Într-adevăr, numărătorul $5x-7-2=5x-9$ tinde la $1\ne 0$, în timp ce numitorul $x-2$ tinde la $0$ prin valori pozitive, deci $$g_d^{\prime }(2)=\frac{1}{0^{+}}=+\infty ,$$ în timp ce, pe ramura din stânga, calculul de la punctul a) rămâne valabil și dă $g_s^{\prime }(2)=5$, valoare finită. Existența nu cade (ambele limite există în $\overline{\mathbb{R}}$) — cade finitudinea, iar acesta este mecanismul general dintr-un punct de discontinuitate: numitorul tinde mereu la zero, iar numărătorul nu (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (5 p) Valoarea în punct: $-1\le -1$, deci $f(-1)=1-m+n$ (0,5 p).

Ecuația de continuitate: $l_d(-1)=\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x>-1\end{array}}{\lim }(2x+5)=3$, deci $1-m+n=3$, adică $$n=m+2$$ (1,5 p).

Derivatele laterale: folosind $n=m+2$, numărătorul din stânga devine $$x^2+mx+n-3=(x^2-1)+m(x+1)=(x+1)(x-1+m),$$ deci $f_s^{\prime }(-1)=\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x<-1\end{array}}{\lim }(x-1+m)=m-2$ (1,5 p); pe cealaltă parte, $f_d^{\prime }(-1)=\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x>-1\end{array}}{\lim }\frac{2x+5-3}{x+1}=\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x>-1\end{array}}{\lim }\frac{2(x+1)}{x+1}=2$ (1 p).

Ecuația de derivabilitate: $m-2=2$ dă $m=4$, apoi $n=6$ (0,5 p).

Verificare: ramura din stânga devine $x^2+4x+6$, care în $-1$ dă $1-4+6=3=f(-1)$ ✓, iar $f_s^{\prime }(-1)=4-2=2=f_d^{\prime }(-1)$ ✓.

b) (3 p) Cele două derivate laterale sunt egale cu $2$, deci $f^{\prime }(-1)=2$ (1 p).

Pentru $x_0<-1$ punctul se află în interiorul primei ramuri, deci se lucrează numai cu $f(x)=x^2+4x+6$: $$\frac{x^2+4x+6-(x_0^2+4x_0+6)}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x+x_0)+4(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0+4⟶2x_0+4$$ (1,5 p), deci $f^{\prime }(x_0)=2x_0+4$ pentru orice $x_0<-1$. Se observă că, pentru $x_0=-1$, formula dă tot $2$ — racordul este neted (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Recunoaștem raportul de diferențe al lui $f$ în $x_0=1$, deci limita cerută este chiar $f^{\prime }(1)$ (0,5 p). Avem $f(1)=1-3=-2$ (0,5 p) și $$\frac{x^3-3x^2+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2-2x-2)}{x-1}=x^2-2x-2$$ (1,5 p), deci limita este $\underset{x\to 1}{\lim }(x^2-2x-2)=1-2-2=-3$ (0,5 p).

b) (5 p) Fie $x_0\in \mathbb{R}$ oarecare. Separăm raportul pe cei doi termeni ai expresiei (1 p): $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}-3\cdot \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=(x^2+x{x}_0+x_0^2)-3(x+x_0)$$ (2 p).

Trecând la limită pentru $x\to x_0$ obținem $$f^{\prime }(x_0)=3x_0^2-6x_0,$$ valoare finită pentru orice $x_0$ real, deci $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ (1 p).

Control: pentru $x_0=1$ formula dă $3-6=-3$, adică exact rezultatul de la punctul a) ✓ (0,5 p).

Ecuația $f^{\prime }(x_0)=0$ devine $3x_0^2-6x_0=0$, adică $3x_0(x_0-2)=0$, cu soluțiile $x_0=0$ și $x_0=2$ (0,5 p).