Test: determinanți de ordinul 2 și 3

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Permutări, determinanți și matrice inversabile

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică motorul de calcul al întregului capitol: determinantul, la ordinele $2$ și $3$. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția la ordinul 2, $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$, împreună cu disciplina notațiilor — $\det A$ în text, tabloul între bare verticale duble doar la momentul calculului, niciodată bara simplă în jurul literei matricei, care se citește „modul". Al doilea: definiția la ordinul 3, ca sumă de șase produse de câte trei factori, trei cu plus și trei cu minus, fiecare produs luând câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană; cele două rețete de așezare — regula lui Sarrus și regula triunghiului — nu sunt metode diferite, ci două desene pentru aceeași listă de șase produse, motiv pentru care una o verifică pe cealaltă. Al treilea: scurtăturile care se văd din privire — zerourile care sting produse, forma triunghiulară, liniile proporționale — și, la fel de important, limita celor două reguli: ele se aplică exclusiv la ordinul $3$. Al patrulea: ecuațiile cu determinanți, în care necunoscuta sau un parametru se află printre elementele matricei.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu justificare se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La ordinul $3$, suma produselor care se adună și suma celor care se scad se scriu separat, înainte de scădere. Se depunctează: adunarea în loc de scădere la ordinul $2$, pierderea semnului la scăderea unei sume negative, amestecarea celor două desene (Sarrus început și terminat cu triunghiuri), aplicarea regulii lui Sarrus la ordinul $4$ și neverificarea soluțiilor la ecuațiile cu parametru.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe cele șase produse ale ordinului $3$ și pe semnele lor.
• Formule de reținut: la ordinul 2, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$, $$\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$ — produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. La ordinul 3, pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$, $$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}.$$ Regula lui Sarrus: se copiază sub tablou primele două linii, se adună produsele de pe cele trei diagonale care coboară spre dreapta și se scad produsele de pe cele trei care coboară spre stânga. Regula triunghiului: se adună produsul de pe diagonala principală și produsele celor două triunghiuri paralele cu ea, se scad produsul de pe diagonala secundară și produsele celor două triunghiuri paralele cu ea. Ambele dau aceleași șase produse și se aplică exclusiv la ordinul 3. Determinantul unei matrice triunghiulare de ordin $3$ (sau al uneia diagonale) este produsul elementelor de pe diagonala principală; în particular $\det I_2=\det I_3=1$, iar $\det O_2=\det O_3=0$. Determinantul se definește numai pentru matrice pătratice și este un număr, nu o matrice.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Determinantul de ordinul al doilea

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea determinantului $\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 4\end{array}\right|$ este: A. $22$; B. $2$; C. $-2$; D. $12$.

b) Dacă o matrice de ordinul al doilea are linia a doua egală cu prima linie înmulțită cu $3$, atunci determinantul ei este: A. $3$; B. $0$; C. $9$; D. nu se poate afla fără numere concrete.

c) Determinantul unei matrice de ordinul al treilea este o sumă de: A. $3$ produse; B. $6$ produse; C. $9$ produse; D. $27$ de produse.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează (câte 1,5 puncte): a) $\left|\begin{array}{cc}7& -3\\ 2& 5\end{array}\right|$; b) $\left|\begin{array}{cc}-4& 6\\ -2& 3\end{array}\right|$; c) $\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& \frac{1}{2}\\ \frac{4}{5}& \frac{3}{4}\end{array}\right|$; d) $\left|\begin{array}{cc}3& i\\ 2i& 1\end{array}\right|$.

Itemul 3 (6 puncte)

a) Determină numerele reale $x$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}x& 3\\ 4& x-1\end{array}\right|=0$ și verifică soluțiile. (3 p) b) Determină numerele reale $m$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}m& 5\\ 2& m\end{array}\right|=6$. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 3& 4\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$. (2 p) b) Scrie ${}^{t}A$ și calculează $\det ({}^{t}A)$. (2 p) c) Calculează determinantul matricei obținute din $A$ schimbând între ele cele două linii și compară cele trei valori obținute. (2 p)

Partea a II-a – Determinantul de ordinul al treilea

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, scriind separat suma produselor care se adună și suma celor care se scad (câte 4 puncte): a) $\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 4& 0\\ 5& 2& -2\end{array}\right|$; b) $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 3& 5& 1\\ -1& 4& 2\end{array}\right|$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră determinantul $D=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 0& 4& 5\\ -1& 2& 1\end{array}\right|$. a) Calculează $D$ folosind regula lui Sarrus, scriind ce linii copiezi sub tablou. (4 p) b) Verifică rezultatul folosind regula triunghiului și explică în ce constă legătura dintre cele două reguli. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Calculează, folosind de fiecare dată drumul cel mai scurt și justificând alegerea: a) $\left|\begin{array}{ccc}3& -2& 5\\ 0& 4& 7\\ 0& 0& -1\end{array}\right|$; (2 p) b) $\left|\begin{array}{ccc}2& -6& 4\\ 1& -3& 2\\ 5& 0& 7\end{array}\right|$; (2 p) c) $\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 3& 4\\ 5& 6& 7\end{array}\right|$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 2& m& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\det A(m)$ și scrie rezultatul sub formă de produs. (4 p) b) Determină valorile lui $m$ pentru care $\det A(m)=0$ și justifică rezultatul privind liniile matricei. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Regula lui Sarrus se poate aplica unui determinant de ordinul al patrulea, copiind sub tablou primele trei linii." b) „Dacă o matrice de ordinul al treilea are un element egal cu $0$, atunci determinantul ei este $0$." c) „Determinantul de ordinul al treilea este o sumă de șase produse, dintre care trei se adună și trei se scad." d) „O matrice cu două linii și trei coloane are determinant."

Partea a III-a – Sinteză și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -1& 2\\ 3& 0& 5\\ 1& 6& -2\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$ prin regula triunghiului. (4 p) b) Verifică rezultatul prin regula lui Sarrus. (2 p) c) Scrie ${}^{t}A$, calculează $\det ({}^{t}A)$ și compară cu valoarea de la punctul a). (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}4x+3y=17\\ 5x-2y=4\end{array}$$ a) Scrie matricea coeficienților, calculează-i determinantul și precizează, fără a rezolva sistemul, dacă acesta are soluție unică. (3 p) b) Determină soluția sistemului și verific-o în ambele ecuații. (5 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& m\\ 2& m& 4\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\det A(1)$. (3 p) b) Calculează $\det A(m)$, determină valorile lui $m$ pentru care determinantul este nul și explică rezultatul privind coloanele matricei. (5 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 3& -1& 4\\ 1& 2& 5\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$. (3 p) b) Verificați rezultatul prin cealaltă regulă de calcul. (2 p) c) Determinați $x\in \mathbb{R}$ pentru care matricea obținută din $A$ înlocuind elementul de pe linia $1$ și coloana $2$ cu $x$ are determinantul nul. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. $\det =3\cdot 4-5\cdot 2=12-10=2$. Varianta A se obține adunând cele două produse, în loc de a le scădea. b) B. Cu $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 3a& 3b\end{array}\right)$ obținem $\det A=a\cdot 3b-b\cdot 3a=0$, oricare ar fi $a$ și $b$: liniile proporționale anulează determinantul. c) B. Fiecare produs ia câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană; împerecherile posibile ale liniilor cu coloanele sunt $3!=6$, deci determinantul are șase produse, trei cu plus și trei cu minus.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (1 p cele două produse scrise separat, 0,5 p rezultatul). a) $7\cdot 5-(-3)\cdot 2=35+6=41$. Al doilea produs este negativ, deci scăderea lui devine adunare. b) $(-4)\cdot 3-6\cdot (-2)=-12+12=0$. Rezultatul se explică și structural: prima linie este a doua înmulțită cu $2$, adică liniile sunt proporționale. c) Calculăm cele două produse și scădem: $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{5-4}{10}=\frac{1}{10}.$$ d) $3\cdot 1-i\cdot 2i=3-2i^2=3+2=5$. Determinantul unei matrice cu elemente complexe poate fi număr real.

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Calculăm determinantul, tratând $x$ ca pe un număr (0,5 p): $$\left|\begin{array}{cc}x& 3\\ 4& x-1\end{array}\right|=x(x-1)-3\cdot 4=x^2-x-12.$$ Ecuația $x^2-x-12=0$ are discriminantul $1+48=49$, deci $x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$, adică $x_1=4$ și $x_2=-3$ (2 p). Verificare: pentru $x=4$, $4\cdot 3-12=0$ ✓; pentru $x=-3$, $(-3)(-4)-12=0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) $\left|\begin{array}{cc}m& 5\\ 2& m\end{array}\right|=m^2-10$ (1 p), iar condiția $m^2-10=6$ dă $m^2=16$, deci $m=4$ sau $m=-4$ (1,5 p). Verificare: pentru $m=4$, $16-10=6$ ✓ (0,5 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) $\det A=5\cdot 4-(-2)\cdot 3=20+6=26$.

b) (2 p) Transpusa se obține schimbând liniile cu coloanele: ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ -2& 4\end{array}\right)$ (1 p), iar $\det ({}^{t}A)=5\cdot 4-3\cdot (-2)=20+6=26$ (1 p).

c) (2 p) Matricea cu liniile schimbate este $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& -2\end{array}\right)$, cu determinantul $3\cdot (-2)-4\cdot 5=-6-20=-26$ (1 p). Comparând cele trei valori: transpunerea nu schimbă determinantul, iar schimbarea celor două linii îi schimbă semnul. La ordinul $2$ ambele se văd direct în formulă: la transpunere, produsul de pe diagonala principală rămâne același, iar cel de pe diagonala secundară doar își schimbă ordinea factorilor; la schimbarea liniilor, cele două produse își schimbă rolurile între ele (1 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 4 puncte (1,5 p suma produselor care se adună, 1,5 p suma celor care se scad, 1 p rezultatul).

a) Se adună: $2\cdot 4\cdot (-2)=-16$; $(-1)\cdot 0\cdot 5=0$; $3\cdot 1\cdot 2=6$; suma este $-10$. Se scad: $3\cdot 4\cdot 5=60$; $2\cdot 0\cdot 2=0$; $(-1)\cdot 1\cdot (-2)=2$; suma este $62$. Deci $$\det =-10-62=-72.$$

b) Se adună: $1\cdot 5\cdot 2=10$; $0\cdot 1\cdot (-1)=0$; $(-2)\cdot 3\cdot 4=-24$; suma este $-14$. Se scad: $(-2)\cdot 5\cdot (-1)=10$; $1\cdot 1\cdot 4=4$; $0\cdot 3\cdot 2=0$; suma este $14$. Deci $$\det =-14-14=-28.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Copiem sub tablou primele două linii, adică $3,1,-2$ și $0,4,5$ (1 p). Diagonalele care coboară spre dreapta dau $3\cdot 4\cdot 1=12$, $0\cdot 2\cdot (-2)=0$ și $(-1)\cdot 1\cdot 5=-5$, cu suma $7$ (1,5 p). Diagonalele care coboară spre stânga dau $(-1)\cdot 4\cdot (-2)=8$, $3\cdot 2\cdot 5=30$ și $0\cdot 1\cdot 1=0$, cu suma $38$ (1 p). Prin urmare $$D=7-38=-31$$ (0,5 p).

b) (3 p) Prin regula triunghiului, se adună produsul de pe diagonala principală $3\cdot 4\cdot 1=12$ și produsele celor două triunghiuri, $1\cdot 5\cdot (-1)=-5$ și $(-2)\cdot 0\cdot 2=0$, cu suma $7$ (1 p); se scad produsul de pe diagonala secundară $(-2)\cdot 4\cdot (-1)=8$ și produsele triunghiurilor $3\cdot 5\cdot 2=30$ și $1\cdot 0\cdot 1=0$, cu suma $38$ (1 p). Se obține tot $D=-31$ ✓ Legătura: cele două reguli nu sunt metode diferite de calcul, ci două moduri de a găsi pe desen aceleași șase produse ale definiției; de aceea una o poate verifica pe cealaltă, iar o diferență între rezultate înseamnă sigur o greșeală de calcul (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Matricea este triunghiulară: sub diagonala principală sunt numai zerouri, deci toate produsele în afară de cel de pe diagonala principală conțin cel puțin un factor nul (1 p). Prin urmare $$\det =3\cdot 4\cdot (-1)=-12$$ (1 p).

b) (2 p) Prima linie este a doua înmulțită cu $2$: $(2,-6,4)=2\cdot (1,-3,2)$, adică liniile sunt proporționale (1 p). Determinantul este $0$; se poate verifica și prin calcul: suma produselor care se adună și suma celor care se scad ies amândouă egale cu $-102$ (1 p).

c) (3 p) Se adună: $0\cdot 3\cdot 7=0$; $0\cdot 4\cdot 5=0$; $2\cdot 0\cdot 6=0$; suma este $0$ (1 p). Se scad: $2\cdot 3\cdot 5=30$; $0\cdot 4\cdot 6=0$; $0\cdot 0\cdot 7=0$; suma este $30$ (1 p). Deci $$\det =0-30=-30$$ (0,5 p). Din cele șase produse, cinci se anulează: zerourile sting produsele în care apar, dar nu anulează determinantul (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (4 p) Se adună: $m\cdot m\cdot 1=m^2$; $1\cdot 1\cdot 1=1$; $1\cdot 2\cdot 1=2$; suma este $m^2+3$ (1,5 p). Se scad: $1\cdot m\cdot 1=m$; $m\cdot 1\cdot 1=m$; $1\cdot 2\cdot 1=2$; suma este $2m+2$ (1,5 p). Prin urmare $$\det A(m)=m^2+3-2m-2=m^2-2m+1=(m-1{)}^2$$ (1 p).

b) (2 p) Un pătrat se anulează doar când baza este nulă, deci $\det A(m)=0$ exact pentru $m=1$ (soluție dublă) (1 p). Pentru $m=1$, prima și a treia linie devin amândouă $1,1,1$, adică matricea are două linii identice — de aici determinantul nul, vizibil fără niciun calcul (1 p). Control: pentru $m=3$, formula dă $(3-1{)}^2=4$, iar calculul direct pe tablou dă tot $4$ ✓

Itemul 9. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul $3$. Argumentul este de numărare: la ordinul $4$ determinantul are $4!=24$ de produse, iar orice schemă de diagonale prelungite produce cel mult $8$. Rezultatul obținut astfel nu are nicio legătură cu valoarea corectă. b) F. Zerourile anulează doar produsele în care apar, nu determinantul. Contraexemplu: $\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 3& 4& 5\\ 6& 7& 9\end{array}\right|=-3\ne 0$, deși matricea are un element nul. c) A. Fiecare produs ia câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană; sunt $3!=6$ astfel de produse, iar semnele se împart în trei plus și trei minus. d) F. Determinantul se definește numai pentru matrice pătratice: la o matrice cu $2$ linii și $3$ coloane nu se poate lua câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană.

Itemul 10. (8 p)

a) (4 p) Prin regula triunghiului. Se adună: $4\cdot 0\cdot (-2)=0$ (diagonala principală); $(-1)\cdot 5\cdot 1=-5$; $2\cdot 3\cdot 6=36$; suma este $31$ (1,5 p). Se scad: $2\cdot 0\cdot 1=0$ (diagonala secundară); $4\cdot 5\cdot 6=120$; $(-1)\cdot 3\cdot (-2)=6$; suma este $126$ (1,5 p). Prin urmare $$\det A=31-126=-95$$ (1 p).

b) (2 p) Prin Sarrus, copiind sub tablou liniile $4,-1,2$ și $3,0,5$: diagonalele care coboară spre dreapta dau $4\cdot 0\cdot (-2)=0$, $3\cdot 6\cdot 2=36$ și $1\cdot (-1)\cdot 5=-5$, cu suma $31$; cele care coboară spre stânga dau $1\cdot 0\cdot 2=0$, $4\cdot 6\cdot 5=120$ și $3\cdot (-1)\cdot (-2)=6$, cu suma $126$. Deci $\det A=-95$ ✓

c) (2 p) ${}^{t}A=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 1\\ -1& 0& 6\\ 2& 5& -2\end{array}\right)$ (0,5 p). Se adună: $4\cdot 0\cdot (-2)=0$; $3\cdot 6\cdot 2=36$; $1\cdot (-1)\cdot 5=-5$; suma $31$. Se scad: $1\cdot 0\cdot 2=0$; $4\cdot 6\cdot 5=120$; $3\cdot (-1)\cdot (-2)=6$; suma $126$. Deci $\det ({}^{t}A)=-95$ (1 p) — aceeași valoare ca $\det A$: transpunerea nu schimbă determinantul, pentru că produce exact aceleași șase produse, scrise în altă ordine (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Matricea coeficienților este $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& -2\end{array}\right)$ (1 p), cu $$\det A=4\cdot (-2)-3\cdot 5=-8-15=-23$$ (1,5 p). Cum $\det A\ne 0$, sistemul are soluție unică (0,5 p).

b) (5 p) Eliminăm pe rând necunoscutele, ca la deducerea determinantului. Înmulțim prima ecuație cu $-2$, a doua cu $3$ și le scădem; coeficientul lui $x$ devine chiar $\det A$ (1 p): $$-23x=17\cdot (-2)-3\cdot 4=-34-12=-46⟹x=2$$ (1,5 p). Analog pentru $y$, înmulțind a doua ecuație cu $4$, prima cu $5$ și scăzând (0,5 p): $$-23y=4\cdot 4-17\cdot 5=16-85=-69⟹y=3$$ (1,5 p). Verificare în ambele ecuații: $4\cdot 2+3\cdot 3=8+9=17$ ✓ și $5\cdot 2-2\cdot 3=10-6=4$ ✓ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Pentru $m=1$ matricea este $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 4\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ (0,5 p). Se adună: $1\cdot 1\cdot 2=2$; $2\cdot 4\cdot 1=8$; $1\cdot 2\cdot 1=2$; suma $12$ (1 p). Se scad: $1\cdot 1\cdot 1=1$; $1\cdot 4\cdot 1=4$; $2\cdot 2\cdot 2=8$; suma $13$ (1 p). Deci $\det A(1)=12-13=-1$ (0,5 p).

b) (5 p) Cu $m$ oarecare, se adună: $1\cdot m\cdot 2=2m$; $2\cdot 4\cdot 1=8$; $m\cdot 2\cdot 1=2m$; suma este $4m+8$ (1,5 p). Se scad: $m\cdot m\cdot 1=m^2$; $1\cdot 1\cdot 4=4$; $2\cdot 2\cdot 2=8$; suma este $m^2+12$ (1,5 p). Prin urmare $$\det A(m)=4m+8-m^2-12=-m^2+4m-4=-(m-2{)}^2$$ (1 p). Determinantul se anulează exact pentru $m=2$ (soluție dublă) (0,5 p). Pentru $m=2$, matricea devine $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 2& 4\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$, în care coloana a treia este prima coloană înmulțită cu $2$ — coloane proporționale, deci determinant nul (0,5 p). Control: pentru $m=1$ formula dă $-(1-2{)}^2=-1$, exact valoarea calculată la punctul a) ✓

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Prin regula triunghiului. Se adună: $2\cdot (-1)\cdot 5=-10$; $1\cdot 4\cdot 1=4$; $0\cdot 3\cdot 2=0$; suma este $-6$ (1 p). Se scad: $0\cdot (-1)\cdot 1=0$; $2\cdot 4\cdot 2=16$; $1\cdot 3\cdot 5=15$; suma este $31$ (1 p). Prin urmare $$\det A=-6-31=-37$$ (1 p).

b) (2 p) Prin Sarrus, copiind sub tablou liniile $2,1,0$ și $3,-1,4$: diagonalele care coboară spre dreapta dau $2\cdot (-1)\cdot 5=-10$, $3\cdot 2\cdot 0=0$ și $1\cdot 1\cdot 4=4$, cu suma $-6$ (1 p); cele care coboară spre stânga dau $1\cdot (-1)\cdot 0=0$, $2\cdot 2\cdot 4=16$ și $3\cdot 1\cdot 5=15$, cu suma $31$. Deci $\det A=-37$ ✓ (1 p).

c) (3 p) Matricea devine $\left(\begin{array}{ccc}2& x& 0\\ 3& -1& 4\\ 1& 2& 5\end{array}\right)$ (0,5 p). Se adună: $2\cdot (-1)\cdot 5=-10$; $x\cdot 4\cdot 1=4x$; $0\cdot 3\cdot 2=0$; suma este $4x-10$ (0,5 p). Se scad: $0\cdot (-1)\cdot 1=0$; $2\cdot 4\cdot 2=16$; $x\cdot 3\cdot 5=15x$; suma este $15x+16$ (0,5 p). Determinantul este $$4x-10-15x-16=-11x-26,$$ iar condiția $-11x-26=0$ dă $x=-\frac{26}{11}$ (1 p). Control: pentru $x=1$ formula dă $-11-26=-37$, exact valoarea de la punctul a), unde elementul era chiar $1$ ✓ (0,5 p).