Test: divizibilitate și teorema lui Bézout

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică trecerea de la calcul la structură: după ce elevul știe să împartă polinoame, întrebarea devine când împărțirea iese exactă. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția divizibilității ($g\mid f$ înseamnă că există $h$ cu $f=gh$) și criteriul practic care o traduce în calcul — restul împărțirii lui $f$ la $g$ trebuie să fie polinomul nul. Al doilea: proprietățile divizibilității — tranzitivitatea, faptul că un divizor comun divide orice combinație și consecința asupra gradelor ($g\mid f$, $f\ne 0$ implică $\mathrm{grad}g\le \mathrm{grad}f$) — proprietăți care scurtează dramatic multe rezolvări. Al treilea: teorema lui Bézout, puntea dintre rădăcini și factori: $a$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $X-a$ divide pe $f$; de aici, extinderea la mai multe rădăcini distincte și limitarea numărului de rădăcini la gradul polinomului. Al patrulea: tehnicile de examen — determinarea parametrilor din condiții de divizibilitate (fiecare rădăcină a împărțitorului dă o ecuație) și aflarea restului împărțirii la un produs de factori de gradul întâi, plecând doar de la câteva valori ale polinomului.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. O afirmație de divizibilitate se consideră justificată doar dacă este scrisă factorizarea $f=g\cdot h$ sau dacă este arătat explicit că restul este nul. La determinarea parametrilor, se cere verificarea finală prin înlocuirea valorilor găsite. Se depunctează: confundarea lui „$g$ divide $f$" cu „$f$ divide $g$", folosirea unei singure condiții când împărțitorul are două rădăcini distincte și afirmația că un polinom poate avea mai multe rădăcini decât gradul său.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe teorema lui Bézout și pe proprietățile divizibilității.
• Formule de reținut: definiția — pentru $f,g\in \mathbb{C}[X]$ spunem că $g$ divide $f$ (scriem $g\mid f$) dacă există $h\in \mathbb{C}[X]$ cu $f=g\cdot h$; criteriul practic — $g\mid f$ dacă și numai dacă restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul. Proprietăți: $g\mid f_1$ și $g\mid f_2$ implică $g\mid (f_1\pm f_2)$ și $g\mid (h{f}_1)$ pentru orice $h$; $g\mid f$ și $f\mid u$ implică $g\mid u$; dacă $g\mid f$ și $f\ne 0$, atunci $\mathrm{grad}g\le \mathrm{grad}f$. Teorema lui Bézout: $$a\text{este ra˘da˘cina˘ a lui }f⟺(X-a)\mid f.$$ Extinderea: dacă $a_1,a_2,\dots ,a_k$ sunt rădăcini distincte ale lui $f$, atunci $(X-a_1)(X-a_2)\cdots (X-a_k)\mid f$; în particular, un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte. Restul împărțirii la $(X-a)(X-b)$, cu $a\ne b$, se caută sub forma $r=mX+n$, determinată din $r(a)=f(a)$ și $r(b)=f(b)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Divizibilitate: definiție, criteriu, prime aplicații

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Polinomul $X-2$ divide polinomul $f$ dacă și numai dacă: A. $f(2)=0$; B. $f(-2)=0$; C. $f(0)=2$; D. $\mathrm{grad}f=2$.

b) Polinomul $X^3-8$ se divide cu: A. $X-2$; B. $X+2$; C. $X^2+4$; D. $X-8$.

c) Dacă $g\mid f$ și $f\mid u$, atunci: A. $u\mid g$; B. $g\mid u$; C. $f=g$; D. nu se poate spune nimic.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește, justificând, dacă $g$ divide pe $f$ (câte 1,5 puncte): a) $f=X^3-1$, $g=X-1$; b) $f=X^4+1$, $g=X+1$; c) $f=X^3+8$, $g=X+2$; d) $f=X^4-5X^2+4$, $g=X^2-1$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $g\mid f$ și $f\ne 0$, atunci $\mathrm{grad}g\le \mathrm{grad}f$." b) „Polinomul $X-a$ divide pe $f$ dacă și numai dacă $a$ este rădăcină a lui $f$." c) „Dacă $f(2)=0$ și $f(3)=0$, atunci $f$ se divide cu $(X-2)(X-3)$." d) „Un polinom de gradul al treilea poate avea patru rădăcini distincte."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Arată că $X-3$ divide polinomul $f=X^3-4X^2+X+6$, determină câtul și scrie descompunerea lui $f$ în factori de gradul întâi. (3 p) b) Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care polinomul $g=X^3+m{X}^2-4X+8$ se divide cu $X+2$. (3 p)

Partea a II-a – Parametri, proprietăți și restul la un produs

Itemul 5 (8 puncte)

Determină valoarea parametrului real pentru care are loc divizibilitatea (câte 2 puncte): a) $(X-1)\mid (X^3+a{X}^2-5X+1)$; b) $(X+1)\mid (X^4+b{X}^2+3X-1)$; c) $(X-2)\mid (2X^3-3X^2+cX-6)$; d) $(2X-1)\mid (4X^3-2X^2+dX-1)$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+a{X}^2+bX-6$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Determină $a$ și $b$ știind că $f$ se divide cu $(X-1)(X+3)$. (4 p) b) Pentru valorile găsite, scrie descompunerea lui $f$ în factori de gradul întâi. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Se știe despre polinomul $f\in \mathbb{R}[X]$ că $f(2)=5$ și $f(-1)=-4$. Determină restul împărțirii lui $f$ la $(X-2)(X+1)$. (4 p) b) Determină restul împărțirii polinomului $g=X^{2025}+X^2+1$ la $X^2-X$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Demonstrează că, dacă $g\mid f_1$ și $g\mid f_2$, atunci $g\mid (f_1+f_2)$ și $g\mid (h\cdot f_1)$, oricare ar fi $h\in \mathbb{C}[X]$. (3 p) b) Arată, printr-o grupare convenabilă, că $X^2+1$ divide polinomul $f=X^5+X^3+2X^2+2$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Arată că numerele $1$, $2$ și $3$ sunt rădăcini ale polinomului $f=X^3-6X^2+11X-6$ și scrie descompunerea lui în factori de gradul întâi. (4 p) b) Explică de ce $f$ nu poate avea și alte rădăcini în afară de $1$, $2$ și $3$. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează teorema lui Bézout: pentru $f\in \mathbb{C}[X]$ și $a\in \mathbb{C}$, numărul $a$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $(X-a)\mid f$. (5 p) b) Folosind teorema, arată că $X-a$ divide polinomul $X^4-a^4$ și scrie câtul. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Demonstrează că, dacă $a$ și $b$ sunt rădăcini distincte ale polinomului $f\in \mathbb{C}[X]$, atunci $(X-a)(X-b)\mid f$. (5 p) b) Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care polinomul $f=X^4+a{X}^2+bX+6$ se divide cu $(X-1)(X+3)$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^4+a{X}^3+b{X}^2-4X+4$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Determină $a$ și $b$ știind că $f$ se divide cu $X^2-X-2$. (5 p) b) Pentru valorile găsite, determină câtul împărțirii lui $f$ la $X^2-X-2$. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2+mX+n$, cu $m,n\in \mathbb{R}$. a) Arătați că, dacă $f$ se divide cu $X-1$, atunci $m+n=2$. (3 p) b) Determinați $m$ și $n$ știind că $f$ se divide cu $X^2-1$ și scrieți descompunerea lui $f$ în factori de gradul întâi. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. Este chiar teorema lui Bézout: $X-2$ divide pe $f$ exact atunci când $2$ este rădăcină, adică $f(2)=0$. Varianta B corespunde împărțitorului $X+2$. b) A. $f(2)=8-8=0$, deci $X-2$ este factor; efectiv, $X^3-8=(X-2)(X^2+2X+4)$. Pentru varianta B, $f(-2)=-16\ne 0$. c) B. Divizibilitatea este tranzitivă: din $f=g{h}_1$ și $u=f{h}_2$ rezultă $u=g(h_1{h}_2)$, deci $g\mid u$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) Da. $f(1)=1-1=0$, deci prin teorema lui Bézout $X-1$ divide pe $f$; explicit, $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$. b) Nu. $f(-1)=1+1=2\ne 0$, deci restul împărțirii la $X+1$ este $2$, nenul. c) Da. $f(-2)=-8+8=0$; explicit, $X^3+8=(X+2)(X^2-2X+4)$. d) Da. Cu substituția $t=X^2$ obținem $t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$, deci $$X^4-5X^2+4=(X^2-1)(X^2-4),$$ adică $X^2-1$ este factor, cu câtul $X^2-4$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Din $f=gh$ cu $f\ne 0$ rezultă $h\ne 0$, deci $\mathrm{grad}f=\mathrm{grad}g+\mathrm{grad}h\ge \mathrm{grad}g$, gradele fiind numere naturale. b) A. Este exact enunțul teoremei lui Bézout, consecință a teoremei restului: restul împărțirii la $X-a$ este $f(a)$, iar împărțirea e exactă exact când acest rest e nul. c) A. Rădăcinile $2$ și $3$ sunt distincte, deci se aplică extinderea teoremei lui Bézout: $f$ se divide cu produsul $(X-2)(X-3)$. (Dacă rădăcinile ar coincide, concluzia nu ar mai fi automată.) d) F. Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte. Dacă ar avea patru rădăcini distincte, ar fi divizibil cu un produs de patru factori de gradul întâi, deci ar avea gradul cel puțin $4$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Calculăm $f(3)=27-36+3+6=0$, deci $X-3$ divide pe $f$ (1 p). Câtul se obține cu schema lui Horner, pe coeficienții $1,-4,1,6$ și $a=3$: rândul de jos este $1,-1,-2,0$, deci $q=X^2-X-2$ (1 p). Descompunând și trinomul, $X^2-X-2=(X-2)(X+1)$, obținem $$f=(X-3)(X-2)(X+1)$$ (0,5 p). Verificare: $(X-3)(X^2-X-2)=X^3-X^2-2X-3X^2+3X+6=X^3-4X^2+X+6$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Condiția $(X+2)\mid g$ este echivalentă cu $g(-2)=0$ (1 p): $$g(-2)=-8+4m+8+8=4m+8$$ (1 p). Din $4m+8=0$ rezultă $m=-2$ (0,5 p). Verificare: pentru $g=X^3-2X^2-4X+8$ avem $g(-2)=-8-8+8+8=0$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p scrierea condiției, 1 p rezolvarea).

a) Condiția este $f(1)=0$: $1+a-5+1=a-3=0$, deci $a=3$. b) Condiția este $f(-1)=0$: $1+b-3-1=b-3=0$, deci $b=3$. c) Condiția este $f(2)=0$: $16-12+2c-6=2c-2=0$, deci $c=1$. d) Rădăcina împărțitorului $2X-1$ este $\frac{1}{2}$, deci condiția este $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$: $$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{d}{2}-1=0⟹d=2.$$ Verificare: $4X^3-2X^2+2X-1=2X^2(2X-1)+(2X-1)=(2X-1)(2X^2+1)$ ✓

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Produsul $(X-1)(X+3)$ divide pe $f$ dacă și numai dacă atât $X-1$, cât și $X+3$ îl divid, adică $f(1)=0$ și $f(-3)=0$ (1 p): $$f(1)=1+a+b-6=0⟹a+b=5;$$ $$f(-3)=-27+9a-3b-6=0⟹3a-b=11$$ (1,5 p). Adunând cele două ecuații obținem $4a=16$, deci $a=4$ și $b=1$ (1 p). Verificare: pentru $f=X^3+4X^2+X-6$ avem $f(1)=0$ ✓ și $f(-3)=-27+36-3-6=0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Împărțind pe $f$ la $X-1$ cu schema lui Horner (coeficienții $1,4,1,-6$, cu $a=1$) obținem rândul $1,5,6,0$, deci $f=(X-1)(X^2+5X+6)$ (1,5 p). Trinomul are rădăcinile $-2$ și $-3$, deci $X^2+5X+6=(X+2)(X+3)$ (1 p). În concluzie $$f=(X-1)(X+2)(X+3).$$ Verificare: $(X+2)(X+3)=X^2+5X+6$, iar $(X-1)(X^2+5X+6)=X^3+4X^2+X-6$ ✓ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Împărțitorul are gradul $2$, deci restul se scrie $r=mX+n$ (1 p). Din $f=(X-2)(X+1)q+mX+n$, substituind $X=2$ și $X=-1$ (1 p): $$2m+n=f(2)=5,-m+n=f(-1)=-4.$$ Scăzând a doua ecuație din prima obținem $3m=9$, deci $m=3$ și $n=-1$ (1,5 p). Restul este $$r=3X-1.$$ Verificare: $r(2)=5$ ✓ și $r(-1)=-4$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Scriem $X^2-X=X(X-1)$, deci rădăcinile împărțitorului sunt $0$ și $1$, iar restul are forma $r=mX+n$ (0,5 p). Calculăm $$g(0)=0+0+1=1,g(1)=1+1+1=3$$ (1 p). Din $r(0)=n=1$ și $r(1)=m+n=3$ obținem $m=2$ (1 p), deci restul este $$r=2X+1$$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Din ipoteze există $h_1,h_2\in \mathbb{C}[X]$ cu $f_1=g{h}_1$ și $f_2=g{h}_2$ (1 p). Atunci $$f_1+f_2=g{h}_1+g{h}_2=g(h_1+h_2),$$ iar $h_1+h_2$ este tot un polinom, deci $g\mid (f_1+f_2)$ (1 p). Analog, pentru orice $h\in \mathbb{C}[X]$, $$h\cdot f_1=h\cdot (g{h}_1)=g\cdot (h{h}_1),$$ deci $g\mid (h{f}_1)$ (1 p). $■$ (Împreună, cele două proprietăți spun că un divizor comun divide orice combinație $h_1{f}_1+h_2{f}_2$.)

b) (3 p) Grupăm termenii câte doi, după puterea comună (1 p): $$f=X^5+X^3+2X^2+2=X^3(X^2+1)+2(X^2+1).$$ Ambii termeni sunt multipli de $X^2+1$, deci, prin proprietatea demonstrată la a), suma lor este tot multiplu (1 p): $$f=(X^2+1)(X^3+2)$$ (0,5 p). Verificare: $(X^2+1)(X^3+2)=X^5+2X^2+X^3+2=f$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (4 p) Verificăm prin înlocuire (1,5 p): $$f(1)=1-6+11-6=0,f(2)=8-24+22-6=0,f(3)=27-54+33-6=0.$$ Cele trei rădăcini sunt distincte, deci $f$ se divide cu produsul $(X-1)(X-2)(X-3)$ (1 p). Cum acest produs are gradul $3$, ca și $f$, iar ambele polinoame sunt monice, câtul este $1$ (1 p): $$f=(X-1)(X-2)(X-3).$$ Verificare: $(X-1)(X-2)=X^2-3X+2$, iar $(X^2-3X+2)(X-3)=X^3-6X^2+11X-6$ ✓ (0,5 p).

b) (2 p) Dacă $f$ ar avea o a patra rădăcină $a$, distinctă de $1$, $2$ și $3$, atunci $f$ s-ar divide cu produsul celor patru factori de gradul întâi, deci ar avea gradul cel puțin $4$ (1,5 p). Or, $\mathrm{grad}f=3$ — contradicție. Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) „$\Leftarrow$" — dacă $(X-a)\mid f$, atunci $a$ este rădăcină. Din ipoteză există $h\in \mathbb{C}[X]$ cu $f=(X-a)h$ (1 p). Evaluând în $a$ obținem $f(a)=(a-a)h(a)=0$, deci $a$ este rădăcină (1 p).

„$\Rightarrow$" — dacă $a$ este rădăcină, atunci $(X-a)\mid f$. Aplicăm teorema împărțirii cu rest pentru $f$ și $X-a$: există $q$ și $r$ cu $f=(X-a)q+r$, unde $r$ este nul sau de grad $0$, deci o constantă (1,5 p). Evaluând în $a$ obținem $f(a)=0\cdot q(a)+r=r$, adică $r=f(a)$ (teorema restului) (1 p). Cum, prin ipoteză, $f(a)=0$, rezultă $r=0$, deci $f=(X-a)q$, adică $(X-a)\mid f$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Polinomul $u=X^4-a^4$ are valoarea $u(a)=a^4-a^4=0$, deci $a$ este rădăcină și, prin teorema lui Bézout, $X-a$ divide pe $u$ (1,5 p). Câtul se obține cu schema lui Horner (coeficienții $1,0,0,0,-a^4$) sau prin identitate cunoscută: $$X^4-a^4=(X-a)(X^3+a{X}^2+a^{2}X+a^3)$$ (1 p). Verificare, prin desfacerea parantezelor: $X^4+a{X}^3+a^2{X}^2+a^{3}X-a{X}^3-a^2{X}^2-a^{3}X-a^4=X^4-a^4$ ✓ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Cum $a$ este rădăcină, teorema lui Bézout dă $f=(X-a)q$, cu $q\in \mathbb{C}[X]$ (1,5 p). Evaluăm această egalitate în $b$ (1 p): $$0=f(b)=(b-a)q(b).$$ Cum $a\ne b$, factorul $b-a$ este un număr complex nenul, deci $q(b)=0$ (1 p). Prin urmare $b$ este rădăcină a lui $q$ și, aplicând din nou teorema lui Bézout, $q=(X-b)q_1$ (1 p). Înlocuind, $$f=(X-a)(X-b)q_1,$$ deci $(X-a)(X-b)\mid f$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Condițiile sunt $f(1)=0$ și $f(-3)=0$ (0,5 p): $$f(1)=1+a+b+6=0⟹a+b=-7;$$ $$f(-3)=81+9a-3b+6=0⟹3a-b=-29$$ (1 p). Adunând, $4a=-36$, deci $a=-9$ și $b=2$ (1 p). Verificare: pentru $f=X^4-9X^2+2X+6$ avem $f(1)=1-9+2+6=0$ ✓ și $f(-3)=81-81-6+6=0$ ✓; câtul împărțirii la $X^2+2X-3$ este $X^2-2X-2$ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (5 p) Descompunem întâi împărțitorul: $X^2-X-2=(X-2)(X+1)$ (1 p). Divizibilitatea cere ca ambele rădăcini, $2$ și $-1$, să anuleze polinomul (1 p): $$f(2)=16+8a+4b-8+4=0⟹2a+b=-3;$$ $$f(-1)=1-a+b+4+4=0⟹a-b=9$$ (1,5 p). Adunând cele două relații obținem $3a=6$, deci $a=2$ și $b=-7$ (1 p). Verificare: pentru $f=X^4+2X^3-7X^2-4X+4$ avem $f(2)=16+16-28-8+4=0$ ✓ și $f(-1)=1-2-7+4+4=0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Efectuăm împărțirea lui $f$ la $X^2-X-2$ (0,5 p): $X^2(X^2-X-2)=X^4-X^3-2X^2$, rămâne $3X^3-5X^2-4X+4$; apoi $3X(X^2-X-2)=3X^3-3X^2-6X$, rămâne $-2X^2+2X+4$; în fine $-2(X^2-X-2)=-2X^2+2X+4$, rămâne $0$ (1,5 p). Așadar $$q=X^2+3X-2,r=0$$ (0,5 p). Verificare: $(X^2-X-2)(X^2+3X-2)=X^4+2X^3-7X^2-4X+4=f$ ✓ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Divizibilitatea cu $X-1$ este echivalentă, prin teorema lui Bézout, cu $f(1)=0$ (1 p): $$f(1)=1-3+m+n=m+n-2$$ (1,5 p). Din $m+n-2=0$ rezultă $m+n=2$ (0,5 p).

b) (5 p) Cum $X^2-1=(X-1)(X+1)$, avem două condiții: $f(1)=0$ și $f(-1)=0$ (1 p). Prima a fost obținută la punctul a): $m+n=2$. A doua dă (1,5 p) $$f(-1)=-1-3-m+n=n-m-4=0⟹n-m=4.$$ Adunând cele două relații obținem $2n=6$, deci $n=3$ și $m=-1$ (1,5 p). Pentru $f=X^3-3X^2-X+3$, împărțirea la $X^2-1$ dă câtul $X-3$, deci $$f=(X-1)(X+1)(X-3)$$ (0,5 p). Verificare: $(X^2-1)(X-3)=X^3-3X^2-X+3$ ✓, iar $f(1)=0$, $f(-1)=0$ și $f(3)=27-27-3+3=0$ ✓ (0,5 p).