Test: dreapta prin două puncte și coliniaritatea

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Drepte în planul cartezian

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică partea unității în care determinanții intră în geometrie — exact abordarea cerută de programa de matematică-informatică. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: ecuația generală $ax+by+c=0$, cu $a$ și $b$ nu simultan nule, singura scriere care acoperă toate dreptele planului, verticalele incluse, și trecerea în ambele sensuri între ea și forma explicită $y=mx+n$. Al doilea: citirea poziției dreptei direct din coeficienți ($b=0$ înseamnă verticală fără pantă, $a=0$ înseamnă orizontală de pantă $0$, $c=0$ înseamnă dreaptă prin origine) și faptul că ecuația generală nu este unică, două ecuații descriind aceeași dreaptă exact când tripletele $(a,b,c)$ sunt proporționale cu factor nenul. Al treilea: ecuația dreptei determinate de două puncte, pe cele trei rute — panta urmată de formula punct-pantă, forma cu proporție (cu cele două puncte moarte ale ei) și forma cu determinant de ordinul al treilea, care nu împarte niciodată la nimic și de aceea funcționează fără discuție de cazuri. Al patrulea: condiția de coliniaritate a trei puncte, comparată în ambele variante — criteriul cu pante, rapid dar inutilizabil pe verticale, și criteriul cu determinant, fără nicio excepție.

O precizare de notație, făcută înainte de prima folosire. Litera $\Delta$ a fost întrebuințată, la unitatea de sisteme liniare, pentru determinantul sistemului din formulele lui Cramer. Aici, în toată această parte a geometriei analitice, $\Delta$ înseamnă exclusiv determinantul de ordinul al treilea format cu coordonatele a trei puncte și cu o coloană de $1$ — cel care decide coliniaritatea. Sunt două obiecte diferite, care poartă din tradiție același nume; contextul le deosebește de fiecare dată, iar în test nu apare decât al doilea.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare ecuație de dreaptă obținută se consideră completă doar dacă este verificată prin substituția AMBELOR puncte — o greșeală la pantă sau la un semn lasă adesea primul punct pe dreaptă și îl scoate pe al doilea. Se depunctează: panta luată fără semn din forma generală (corect este $m=-\frac{a}{b}$); aplicarea formulei pantei când $b=0$, în locul concluziei „dreapta este verticală, deci nu are pantă"; confundarea termenului liber $c$ cu ordonata la origine $n$; compararea a doar doi dintre cei trei coeficienți la întrebarea „aceeași dreaptă?"; folosirea formei cu proporție pe puncte cu abscise sau ordonate egale; semnul greșit la al doilea termen al dezvoltării determinantului; și acceptarea tacită a soluțiilor în care două puncte se confundă, atunci când enunțul cere puncte distincte.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe coeficienții obținuți din dezvoltarea determinantului și pe condiția $\Delta =0$.
• Formule de reținut: ecuația generală este $ax+by+c=0$, cu $(a,b)\ne (0,0)$; când $b\ne 0$ ea se aduce la forma explicită, cu $m=-\frac{a}{b}$ și $n=-\frac{c}{b}$ — cu semnul minus în ambele; când $b=0$ dreapta este verticala $x=-\frac{c}{a}$ și nu are pantă. Dreapta determinată de două puncte distincte $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ se poate scrie sub forma cu proporție $$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A},x_A\ne x_B\text{ și }{y}_A\ne y_B,$$ sau, fără nicio excepție, sub forma cu determinant: $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0.$$ Dezvoltarea după prima linie dă direct coeficienții ecuației generale: $$a=y_A-y_B,b=x_B-x_A,c=x_A{y}_B-x_B{y}_A.$$ Condiția de coliniaritate (cu $\Delta$ înțeles ca mai sus): punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|=0;$$ echivalent, când abscisele implicate sunt distincte, $m_{AB}=m_{AC}$. Necoliniare și distincte înseamnă vârfurile unui triunghi.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Ecuația generală și trecerea între forme

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Panta dreptei de ecuație $7x+3y-12=0$ este: A. $\frac{7}{3}$; B. $-\frac{7}{3}$; C. $-\frac{3}{7}$; D. $4$.

b) Dreapta de ecuație $4y+20=0$ este: A. verticală, fără pantă; B. orizontală, de pantă $0$; C. o dreaptă prin origine; D. oblică, de pantă $4$.

c) Trei puncte din plan sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul $\Delta$ format cu coordonatele lor și cu coloana de $1$: A. este nenul; B. este nul; C. este pozitiv; D. este egal cu $1$.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă (câte 1,5 puncte): a) scrie sub formă generală, cu coeficienți întregi, dreapta $y=-\frac{3}{4}x+5$; b) scrie sub formă explicită dreapta $6x-5y+15=0$ și precizează panta ei; c) precizează poziția față de axe a dreptei $9x+27=0$ și scrie-o sub forma $x=k$; d) precizează poziția față de axe a dreptei $5x-8y=0$ și calculează-i panta.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Ecuațiile $4x-6y+10=0$ și $2x-3y+5=0$ reprezintă aceeași dreaptă." b) „Ecuațiile $3x+y-2=0$ și $3x+y+7=0$ reprezintă aceeași dreaptă." c) „Forma cu proporție se poate folosi pentru punctele $A(-1,4)$ și $B(-1,9)$." d) „Dacă trei puncte sunt coliniare, atunci $\Delta =0$, indiferent de ordinea în care se scriu punctele pe liniile determinantului."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Verifică dacă punctul $P(-5,4)$ aparține dreptei de ecuație $2x+7y-18=0$. (2 p) b) Determină numărul real $a$ pentru care dreapta $ax-5y+12=0$ trece prin punctul $N(4,4)$. (2 p) c) Determină ordonata punctului de abscisă $-3$ situat pe dreapta $5x+4y-13=0$. (2 p)

Partea a II-a – Dreapta determinată de două puncte

Itemul 5 (8 puncte)

Scrie ecuația generală, cu coeficienți întregi, a dreptei $AB$, folosind coeficienții $a$, $b$, $c$ obținuți din dezvoltarea determinantului. Precizează de fiecare dată dacă dreapta are pantă (câte 2 puncte): a) $A(-6,7)$, $B(2,-5)$; b) $A(-7,-2)$, $B(5,-2)$; c) $A(4,-9)$, $B(4,6)$; d) $A(-2,6)$, $B(3,-9)$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră punctele $A(7,-4)$ și $B(-3,11)$. a) Scrie determinantul care dă ecuația dreptei $AB$, dezvoltă-l după prima linie și adu ecuația obținută la forma generală cu coeficienți întregi. (4 p) b) Verifică rezultatul prin substituția ambelor puncte. (2 p) c) Precizează panta dreptei $AB$. (1 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Scrie ecuația dreptei determinate de $A(-5,2)$ și $B(7,8)$ folosind forma cu proporție și adu-o la forma generală cu coeficienți întregi. (4 p) b) Explică de ce forma cu proporție nu se poate folosi pentru punctele $C(-3,6)$ și $D(-3,-8)$, scrie ecuația dreptei $CD$ și precizează dacă ea are pantă. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră punctele $A(-9,8)$, $B(-3,10)$ și $C(9,-2)$. a) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $[BC]$. (2 p) b) Scrie ecuația generală a dreptei $AM$, folosind determinantul. (4 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Stabilește, prin ambele criterii, dacă punctele $A(-7,-5)$, $B(-1,-1)$ și $C(8,5)$ sunt coliniare. (4 p) b) Stabilește dacă punctele $D(-4,3)$, $E(2,6)$ și $F(6,9)$ sunt coliniare. (2 p)

Partea a III-a – Coliniaritate și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că punctele $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$, cu $A\ne B$, sunt coliniare dacă și numai dacă $\Delta =0$. (5 p) b) Explică, fără niciun calcul, de ce determinantul din ecuația dreptei $AB$ se anulează atât pentru $M=A$, cât și pentru $M=B$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră punctele $A(-3,4)$, $B(2,-6)$ și $C\left(m,m^2-5\right)$, unde $m\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\Delta$ și determină valorile lui $m$ pentru care punctele sunt coliniare. (4 p) b) Arată că una dintre valorile găsite trebuie exclusă dacă se cere ca cele trei puncte să fie distincte. (2 p) c) Pentru cealaltă valoare, scrie ecuația generală a dreptei care conține cele trei puncte. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Stabilește dacă punctele $P(-4,7)$, $Q(-4,-2)$ și $R(-4,13)$ sunt coliniare, precizând de ce metoda pantelor nu se poate aplica aici. (3 p) b) Arată că punctele $S(-5,-1)$, $T(3,5)$ și $U(1,11)$ sunt vârfurile unui triunghi. (3 p) c) Scrie ecuația generală a dreptei $ST$ și compară rezultatul substituției lui $U$ în expresia obținută din determinant cu valoarea lui $\Delta$ de la punctul b). (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,8)$ și $B(5,-4)$. a) Scrieți ecuația generală a dreptei $AB$. (3 p) b) Determinați panta și ordonata la origine ale dreptei $AB$. (2 p) c) Determinați numărul real $p$ pentru care punctele $A$, $B$ și $C(p,2p)$ sunt coliniare. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Cum $b=3\ne 0$, îl izolăm pe $y$: din $3y=-7x+12$ obținem $y=-\frac{7}{3}x+4$, deci $m=-\frac{7}{3}$. Varianta A este greșeala clasică — raportul $\frac{a}{b}$ luat fără semnul minus.

b) B. Aici $a=0$, deci ecuația se reduce la $y=-5$: dreapta este orizontală, paralelă cu $Ox$, și are pantă, egală cu $0$. Varianta A confundă orizontala cu verticala, iar D confundă coeficientul lui $y$ cu panta.

c) B. Este chiar condiția de coliniaritate: punctele sunt coliniare exact când $\Delta =0$. Varianta A descrie situația opusă — $\Delta \ne 0$ înseamnă că punctele formează un triunghi.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p procedeul, 1 p rezultatul cu verificare).

a) Trecem totul în membrul stâng: $\frac{3}{4}x+y-5=0$, apoi înmulțim cu $4$ ca să scăpăm de numitor: $$3x+4y-20=0.$$ Verificare: $(0,5)$ dă $20-20=0$ ✓ și $(4,2)$ dă $12+8-20=0$ ✓.

b) Izolăm $y$: din $5y=6x+15$ obținem $y=\frac{6}{5}x+3$, deci panta este $m=\frac{6}{5}$, iar ordonata la origine este $n=3$. Verificare: $(0,3)$ dă $0-15+15=0$ ✓ și $(5,9)$ dă $30-45+15=0$ ✓.

c) Coeficientul lui $y$ este $b=0$, deci dreapta este verticală, paralelă cu $Oy$: din $9x=-27$ rezultă $x=-3$. Ea nu are pantă, pentru că unghiul ei de înclinare este $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există.

d) Termenul liber este $c=0$, deci dreapta trece prin origine ($O(0,0)$ verifică ecuația). Cum $a\ne 0$ și $b\ne 0$, ea este oblică, de pantă $m=-\frac{5}{-8}=\frac{5}{8}$. Verificare: punctul $(8,5)$ o verifică, fiindcă $40-40=0$ ✓.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Al doilea triplet înmulțit cu $2$ dă primul: $2\cdot (2,-3,5)=(4,-6,10)$. Fiind vorba de toți trei coeficienții și de un factor nenul, mulțimea soluțiilor nu se schimbă, deci cele două ecuații descriu aceeași dreaptă.

b) F. Primii doi coeficienți coincid, dar termenii liberi diferă: nu există niciun număr $k$ cu $3k=3$, $k=1$ și $-2k=7$ simultan (primele două cer $k=1$, a treia cere $k=-\frac{7}{2}$). Sunt drepte diferite: punctul $(0,2)$ verifică prima ecuație, dar în a doua dă $2+7=9\ne 0$.

c) F. Cele două puncte au aceeași abscisă, $-1$, deci numitorul din stânga al proporției, $x_B-x_A$, este nul, iar scrierea nu are sens. Dreapta $AB$ este verticala $x=-1$; ea se scrie direct sau se obține din forma cu determinant, care nu împarte la nimic.

d) A. Orice permutare a liniilor unui determinant se obține prin una sau două schimbări de linii, iar fiecare schimbare inversează doar semnul. Prin urmare $\Delta$ ia cel mult valorile $d$ și $-d$, iar condiția $\Delta =0$ nu este afectată de semn: răspunsul la întrebarea „sunt coliniare?" nu depinde de ordinea punctelor.

Itemul 4. (6 p) — câte 2 puncte (1 p substituția, 1 p concluzia sau rezolvarea).

a) Substituim coordonatele lui $P$ în membrul stâng: $2\cdot (-5)+7\cdot 4-18=-10+28-18=0$. Rezultatul fiind $0$, punctul $P$ aparține dreptei.

b) Punctul $N(4,4)$ aparține dreptei exact când coordonatele lui anulează membrul stâng: $$4a-5\cdot 4+12=0⟹4a-8=0⟹a=2.$$ Verificare: dreapta $2x-5y+12=0$ conține $N$, căci $8-20+12=0$ ✓.

c) Punem $x=-3$ în ecuație: $5\cdot (-3)+4y-13=0$, adică $4y=28$, deci $y=7$. Punctul este $(-3,7)$; verificare: $-15+28-13=0$ ✓.

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p cei trei coeficienți, 0,5 p forma simplificată, 0,5 p verificarea și precizarea despre pantă).

a) $a=y_A-y_B=7-(-5)=12$; $b=x_B-x_A=2-(-6)=8$; $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A=(-6)(-5)-2\cdot 7=30-14=16$. Ecuația $12x+8y+16=0$, împărțită prin $4$, devine $$3x+2y+4=0.$$ Verificare: $A$ dă $-18+14+4=0$ ✓; $B$ dă $6-10+4=0$ ✓. Cum $b=2\ne 0$, dreapta are pantă: $m=-\frac{3}{2}$.

b) $a=-2-(-2)=0$; $b=5-(-7)=12$; $c=(-7)(-2)-5\cdot (-2)=14+10=24$. Ecuația $12y+24=0$, împărțită prin $12$, devine $$y+2=0,$$ adică $y=-2$: dreapta este orizontală și are pantă, egală cu $0$. Verificare: ambele puncte au ordonata $-2$ ✓.

c) $a=-9-6=-15$; $b=4-4=0$; $c=4\cdot 6-4\cdot (-9)=24+36=60$. Ecuația $-15x+60=0$, împărțită prin $-15$, devine $$x-4=0,$$ adică $x=4$: dreapta este verticală și nu are pantă (aici $b=0$, deci formula $m=-\frac{a}{b}$ nu se poate aplica). Verificare: ambele puncte au abscisa $4$ ✓. Observă că determinantul a rezolvat cazul fără nicio discuție separată.

d) $a=6-(-9)=15$; $b=3-(-2)=5$; $c=(-2)(-9)-3\cdot 6=18-18=0$. Ecuația $15x+5y=0$, împărțită prin $5$, devine $$3x+y=0.$$ Termenul liber fiind nul, dreapta trece prin origine. Verificare: $A$ dă $-6+6=0$ ✓; $B$ dă $9-9=0$ ✓; $O(0,0)$ dă $0$ ✓. Panta este $m=-3$.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Punctul curent se așază pe prima linie, iar punctele date pe celelalte două (1 p): $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ 7& -4& 1\\ -3& 11& 1\end{array}\right|=0.$$ Dezvoltăm după prima linie, cu atenție la semnul minus de la al doilea termen (2 p): $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ 7& -4& 1\\ -3& 11& 1\end{array}\right|=x(-4-11)-y(7-(-3))+(7\cdot 11-(-3)(-4))=-15x-10y+65.$$ Ecuația $-15x-10y+65=0$, împărțită prin $-5$, devine $$3x+2y-13=0$$ (1 p). (Se regăsesc formulele coeficienților: $a=y_A-y_B=-15$, $b=x_B-x_A=-10$, $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A=65$.)

b) (2 p) Substituim ambele puncte: $A(7,-4)$ dă $21-8-13=0$ ✓ (1 p); $B(-3,11)$ dă $-9+22-13=0$ ✓ (1 p). Verificarea unui singur punct nu este suficientă: o greșeală de semn la pantă lasă adesea primul punct pe dreaptă și îl scoate pe al doilea.

c) (1 p) Cum $b=2\ne 0$, panta este $m=-\frac{3}{2}$. Control prin formula din coordonate: $\frac{11-(-4)}{-3-7}=\frac{15}{-10}=-\frac{3}{2}$ ✓.

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Scriem proporția, cu diferențele față de $A$ la numărători și diferențele dintre puncte la numitori, în aceeași ordine (1 p): $$\frac{x-(-5)}{7-(-5)}=\frac{y-2}{8-2}⟹\frac{x+5}{12}=\frac{y-2}{6}.$$ Înmulțim încrucișat și desfacem parantezele (2 p): $$6(x+5)=12(y-2)⟹6x+30=12y-24⟹6x-12y+54=0,$$ iar împărțind prin $6$ obținem $$x-2y+9=0$$ (1 p). Verificare: $A$ dă $-5-4+9=0$ ✓; $B$ dă $7-16+9=0$ ✓.

b) (3 p) Punctele $C$ și $D$ au aceeași abscisă, $-3$, deci numitorul din stânga al proporției este $x_D-x_C=0$: scrierea nu are sens ca proporție și trebuie tratată separat (1 p). Dreapta $CD$ este formată din toate punctele de abscisă $-3$, deci are ecuația $$x+3=0,$$ adică $x=-3$ (1 p). Fiind verticală, ea nu are pantă — nu se spune „pantă infinită". (Forma cu determinant ar fi dat același rezultat fără nicio discuție: $a=6-(-8)=14$, $b=-3-(-3)=0$, $c=(-3)(-8)-(-3)\cdot 6=24+18=42$, deci $14x+42=0$.) (1 p)

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor (1 p): $$M\left(\frac{-3+9}{2},\frac{10+(-2)}{2}\right)=M(3,4)$$ (1 p).

b) (4 p) Aplicăm formulele coeficienților pentru punctele $A(-9,8)$ și $M(3,4)$ (2 p): $$a=y_A-y_M=8-4=4,b=x_M-x_A=3-(-9)=12,c=x_A{y}_M-x_M{y}_A=-36-24=-60.$$ Ecuația $4x+12y-60=0$, împărțită prin $4$, devine $$x+3y-15=0$$ (1 p). Verificare: $A$ dă $-9+24-15=0$ ✓; $M$ dă $3+12-15=0$ ✓ (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (4 p) Criteriul cu pante. Abscisele lui $A$, $B$ și $C$ sunt distincte două câte două, deci pantele există (1,5 p): $$m_{AB}=\frac{-1-(-5)}{-1-(-7)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},m_{AC}=\frac{5-(-5)}{8-(-7)}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$ Cele două pante pornesc din punctul comun $A$ și sunt egale, deci dreptele $AB$ și $AC$ coincid: punctele sunt coliniare.

Criteriul cu determinant, dezvoltat după prima linie (1,5 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-7& -5& 1\\ -1& -1& 1\\ 8& 5& 1\end{array}\right|=-7(-1-5)-(-5)(-1-8)+((-1)\cdot 5-8\cdot (-1))=42-45+3=0.$$ Cele două criterii se confirmă reciproc (1 p).

b) (2 p) Dezvoltăm determinantul după prima linie (1 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-4& 3& 1\\ 2& 6& 1\\ 6& 9& 1\end{array}\right|=-4(6-9)-3(2-6)+(2\cdot 9-6\cdot 6)=12+12-18=6\ne 0,$$ deci punctele nu sunt coliniare; fiind și distincte, ele sunt vârfurile unui triunghi (1 p). (Confirmare prin pante: $m_{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, iar $m_{DF}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ — diferite.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Tratăm cazul $A\ne B$, cerut de enunț (1 p). Dreapta $AB$ are ecuația scrisă sub formă de determinant: $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0,$$ iar punctul $C$ aparține acestei drepte exact atunci când coordonatele lui anulează determinantul, adică atunci când (2 p) $$\left|\begin{array}{ccc}{x}_C& y_C& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0.$$ Acest determinant se obține din $\Delta$ prin două schimbări de linii — întâi liniile $1$ și $3$, apoi liniile $2$ și $3$ — iar fiecare schimbare de linii inversează semnul determinantului. Două inversări readuc semnul inițial, deci cei doi determinanți sunt egali (1,5 p). Prin urmare $$C\in AB⟺\Delta =0,$$ ceea ce este exact coliniaritatea celor trei puncte (0,5 p). $■$

b) (3 p) Pentru $M=A$, primele două linii ale determinantului devin identice, amândouă egale cu $(x_A,y_A,1)$; un determinant cu două linii identice este nul, deci determinantul se anulează (1,5 p). Pentru $M=B$, devin identice liniile întâi și a treia, amândouă egale cu $(x_B,y_B,1)$, iar concluzia este aceeași (1,5 p). Anularea vine, așadar, dintr-o proprietate structurală a determinanților, nu din numere — de aceea nu e nevoie de niciun calcul.

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Dezvoltăm determinantul după prima linie (2 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-3& 4& 1\\ 2& -6& 1\\ m& m^2-5& 1\end{array}\right|=-3(-6-(m^2-5))-4(2-m)+(2(m^2-5)-m\cdot (-6)).$$ Desfacem și reducem termenii asemenea (1 p): $$\Delta =-3(-1-m^2)-8+4m+2m^2-10+6m=3+3m^2-8+4m+2m^2-10+6m=5m^2+10m-15.$$ Așadar $\Delta =5\left(m^2+2m-3\right)=5(m+3)(m-1)$, iar condiția $\Delta =0$ dă $$m=-3\text{sau}m=1$$ (1 p).

b) (2 p) Pentru $m=-3$ obținem $C\left(-3,(-3{)}^2-5\right)=C(-3,4)$, adică exact punctul $A$ (1 p). Cele trei puncte nu mai sunt distincte, iar determinantul se anulează trivial, prin două linii identice; dacă enunțul cere puncte distincte (sau un triunghi propriu-zis), această valoare se exclude (1 p). Pentru $m=1$ obținem $C(1,-4)$, diferit atât de $A$, cât și de $B$.

c) (2 p) Scriem dreapta $AB$ cu formulele coeficienților (1 p): $a=4-(-6)=10$, $b=2-(-3)=5$, $c=(-3)(-6)-2\cdot 4=18-8=10$, deci $10x+5y+10=0$, iar împărțind prin $5$, $$2x+y+2=0.$$ Verificare pe toate trei punctele: $A$ dă $-6+4+2=0$ ✓; $B$ dă $4-6+2=0$ ✓; $C(1,-4)$ dă $2-4+2=0$ ✓ (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Toate trei punctele au abscisa $-4$, deci niciuna dintre pante nu există: formula pantei ar cere un numitor nul, iar criteriul cu pante nu se poate nici măcar formula (1 p). Folosim determinantul: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-4& 7& 1\\ -4& -2& 1\\ -4& 13& 1\end{array}\right|=0,$$ pentru că prima coloană este coloana a treia înmulțită cu $-4$, iar un determinant cu două coloane proporționale este nul — fără niciun calcul (1 p). Punctele sunt, așadar, coliniare: toate se află pe verticala de ecuație $x+4=0$ (1 p).

b) (3 p) Calculăm $\Delta$ prin dezvoltare după prima linie (2 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-5& -1& 1\\ 3& 5& 1\\ 1& 11& 1\end{array}\right|=-5(5-11)-(-1)(3-1)+(3\cdot 11-1\cdot 5)=30+2+28=60.$$ Cum $\Delta =60\ne 0$, punctele nu sunt coliniare; fiind și distincte două câte două, ele sunt vârfurile unui triunghi (1 p).

c) (2 p) Coeficienții dreptei $ST$: $a=-1-5=-6$, $b=3-(-5)=8$, $c=(-5)\cdot 5-3\cdot (-1)=-25+3=-22$, deci $-6x+8y-22=0$, iar împărțind prin $-2$, $$3x-4y+11=0.$$ Verificare: $S$ dă $-15+4+11=0$ ✓; $T$ dă $9-20+11=0$ ✓ (1 p). Substituim acum $U(1,11)$ în expresia nesimplificată, cea obținută direct din determinant: $-6\cdot 1+8\cdot 11-22=-6+88-22=60$ — exact valoarea lui $\Delta$ de la punctul b) (1 p). Nu e o coincidență: prin construcție, $\Delta$ este chiar rezultatul substituirii celui de-al treilea punct în ecuația dreptei determinate de primele două, scrisă sub formă de determinant. (În forma simplificată, împărțită prin $-2$, substituția dă $3-44+11=-30$, adică $\Delta$ împărțit tot prin $-2$ — semn că $U\notin ST$.)

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Aplicăm formulele coeficienților obținute din dezvoltarea determinantului (1 p): $$a=y_A-y_B=8-(-4)=12,b=x_B-x_A=5-(-3)=8,c=x_A{y}_B-x_B{y}_A=(-3)(-4)-5\cdot 8=12-40=-28.$$ Ecuația $12x+8y-28=0$, împărțită prin $4$, devine $$AB:3x+2y-7=0$$ (1,5 p). Verificare pe ambele puncte: $A$ dă $-9+16-7=0$ ✓; $B$ dă $15-8-7=0$ ✓ (0,5 p).

b) (2 p) Cum $b=2\ne 0$, dreapta nu este verticală și are pantă: $m=-\frac{a}{b}=-\frac{3}{2}$ (1 p). Ordonata la origine este $n=-\frac{c}{b}=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$; echivalent, izolând $y$ obținem $y=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$ (1 p). Control: panta din coordonate este $\frac{-4-8}{5-(-3)}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$ ✓.

c) (3 p) Cele trei puncte sunt coliniare exact când $C$ aparține dreptei $AB$, adică atunci când coordonatele lui anulează membrul stâng al ecuației (1 p): $$3p+2\cdot 2p-7=0⟹7p=7⟹p=1$$ (1 p). Așadar $C(1,2)$. Verificare prin determinant (1 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-3& 8& 1\\ 5& -4& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=-3(-4-2)-8(5-1)+(5\cdot 2-1\cdot (-4))=18-32+14=0✓.$$